Главная Калькуляторы

Как из сосредоточенной нагрузки получить распределенную. Замена распределенных сил эквивалентными сосредоточенными

Для того чтобы использовать существующий банк предельных нагрузок, необходимо привести в точное соответствие характер сравниваемых нагрузок рабочего и предельного состояний. Для конструкций, которые контактируют со средой по явно выраженной поверхности, предельной является поверхностная нагрузка (измеряется в Н/м 2). Например, в плите покрытия (табл. 2.11) и стеновой панели (табл. 2.16) явно выделяются поверхности, к которым прикладывается нагрузка: к плитам покрытия - вес самого покрытия и снеговая, к панелям стен - ветровая. Рабочая нагрузка при оценке прочности таких конструкций должна быть также поверхностной.

Предельная нагрузка на конструкции, которые несут плиты и панели (например, балки, ригели, фермы и другие), в банке данных отнесена к единице длины элемента, то есть является линейной (Н/м). Поэтому и нагрузка рабочего состояния должна быть приведена к линейной и измеряться в тех же единицах (Н/м).

Балки, ригели, фермы передают нагрузку на колонны в виде сил, сосредоточенных на малом участке (нагрузка относится к точке). Поэтому предельной в банке данных для таких конструкций является сила (Н) и нагрузка рабочего состояния должна быть приведена к силе (Н).

Ранее мы подробно разобрали поверхностную нагрузку. Процедура по приведению поверхностной нагрузки к линейной или сосредоточенной называется сбором нагрузки на элемент сооружения

.2.6.2. Сбор нагрузки

Процедура сбора нагрузки требует умения решать две задачи. Во- первых, определять, как нагрузка передается от одного элемента сооружения к другому, то есть устанавливать так называемую «иерархическую схему» - схему подчиненности . Во-вторых, находить величину нагрузки, которая прикладывается к изучаемому элементу.

Один из простейших способов решения первой задачи связан с представлением о последовательности монтажа элементов сооружения. Монтаж широко распространенных плитно-балочных сооружений, например, обычно начинается с устройства фундаментов. Затем на них устанавливаются вертикальные несущие элементы (колонны, стены), на которые укладываются горизонтальные элементы (ригели, балки, фермы), а на них - плиты перекрытий или покрытий. Передача нагрузки происходит по схеме разборки , т. е. плиты передают нагрузку на балки, ригели, фермы, которые в свою очередь загружают колонны (стены), а те - фундамент. Горизонтальные элементы (ригели, балки, фермы), например, собирают нагрузку с плит. Таким образом, на них передается нагрузка, приложенная к поверхности этих плит. Ригели, балки, фермы и другие горизонтальные элементы опираются на колонны и передают на каждую из них соответствующую часть нагрузки от плит.

Часть поверхности, с которой нагрузка передается на элемент сооружения, называют грузовой площадью . От ее размеров и формы зависит величина распределения линейной нагрузки или значение сосредоточенной силы.

Таким образом, передача нагрузки происходит по схеме разборки, а ее величина определяется грузовой площадью и интенсивностью поверхностной нагрузки. Для того чтобы определить эту площадь, воспользуемся принципом равной ответственности, который заключается в том, что всякая нагрузка распределяется поровну между несущими элементами одного уровня иерархии.

Приведение поверхностной нагрузки к линейной.

Если, например, на плиту, опирающуюся на два параллельных ригеля (рис.2.23), действует равномерно распределенная нагрузка q (Н/м 2), то на каждый ригель нагрузка будет собираться с части плиты, прилегающей к нему. Принцип равной ответственности говорит о том, что вся нагрузка должна делиться поровну (пополам) , то есть половина плиты, прилегающая к ригелю, передает на него всю поверхностную нагрузку. Линия, проходящая по середине ширины плиты в направлении расположения ригелей, называется линией раздела нагрузки. Она разбивает загруженную поверхность на две части, каждая из которых составляет грузовую площадь соответствующего (ближайшего) ригеля. Значение линейной нагрузки, отнесенной к одному ригелю, можно подсчитать как произведение

q = q 0 ·(a/2), (2.14)
где a - ширина плиты.

Рис. 2.23.Сбор нагрузки на линейные элементы: а, б - при параллельном расположении ригелей; в, г - при пересечении ригелей под углом; б, г - нагрузка на ригели 1 - грузовая площадь; 2, 4 - ригели; 3 - плита; 5 - линия раздела

Если же ригели не параллельны, то линия раздела проходит по биссектрисе угла между ними, так как расстояния от точки, лежащей на биссектрисе, до осей ригеля одинаковы. Ввиду того, что грузовая площадь вдоль ригеля меняет свою ширину, а нагрузка равномерно распределена по площади, согласно (2.14) линейная нагрузка вдоль ригеля не постоянна, а меняется по закону изменения расстояния от ригеля до линии раздела.

П р и м е р 2.17. Определить распределение нагрузки вдоль ригеля производственного здания (рис.2.24). Поверхностная нагрузка на покрытие 5.6 кН/м 2 . Шаг ригелей 6 м, пролет 18 м.

Р е ш е н и е. Линия раздела между соседними ригелями проходит по середине их шага, то есть на каждый ригель в середине блока с двух сторон передается нагрузка

q = 5.6·6 = 33.6 кН/м.

Крайние ригели загружены только с одной стороны, поэтому нагрузка на них в два раза меньше

q = 5.6·3 = 16.8 кН/м.

Рис.2.24. Промышленное здание . а - разрез, б - план 1-ригель, 2-грузовая площадь на крайний ригель, 3- то же на средний, 4-средняя колонна, 5-грузовая площадь на торцевую колонну, 6-то же на среднюю, 7-крайняя колонна, 8-грузовая площадь на угловую колонну

П р и м е р 2.18 (для самостоятельного решения). Определить нагрузку на средний и крайний ригели неразрезной плиты (рис.2.25) от полезной нагрузки 2 кН/м с учетом и без учета собственного веса плиты и ригеля. (На рис. 2.25 приведены ответы без учета собственного веса конструкции).

Рис. 2.25. Балочное перекрытие а - разрез, б - общий вид, 1 - грузовая площадь для крайней балки, 2 - то же для средней (размеры в см)

П р и м е р 2.19. Найти нагрузку на подошву фундамента вдоль брандмауэрной стенки (рис.2.26). Толщина кирпичной стены равна 38 см. Высота фундаментных подушек 30 см, ширина 0.6 м. Карнизная плита высотой 8 см имеет ширину 0.5 м.

Р е ш е н и е. Нагрузка вдоль подошвы фундамента не одинакова, так как высота стены изменяется в соответствии с уклоном кровли прилегающего здания.

Рис 2.26 Брандмауэрная стена а - разрез стены, б - фасад, в - давление в середине стены (кПа), г - эпюра давления на подошву фундамента по длине стены (кПа); 1 - подошва фундамента, 2 - железобетонная карнизная плита

Нагрузка:
от фундаментной подушки (γ = 25 кН/м 3)
0.3·0.6·25 = 4.5 кН/м,
от карнизной плиты (γ = 25 кН/м 3)
0.08·0.5·25 = 1 кН/м

Рис. 2.27. Пятиэтажное здание а - разрез здания, б - фундамент под наружную стену, в - фундамент под внутреннюю стену

Кирпичная стена (γ = 18 кН/м) переменной высоты передает на подошву фундамента нагрузку, пропорциональную толщине и высоте стены:

максимальное давление
0.38·8.2·18 = 56.4 кН/м,
минимальное давление
0.38·5.7·18 = 39.0 кН/м.
Эпюра давления показана на рисунке 2.25.

П р и м е р 2.20 (для самостоятельного решения). Определить давление на подошву фундамента жилого дома, разрез которого приведен на рисунке 2.27. Состав перекрытия и покрытия принять по своему усмотрению. Учесть полезную нагрузку. Проемы во внешних стенах составляют 35% их площади, во внутренних - 10%.

П р и м е р 2.21. Определить грузовые площади и найти распределение нагрузки для четырех ригелей, которые окаймляют четырехугольную плиту (a = 2.5 м, b = 3 м) с равномерно распределенной поверхностной нагрузкой q = 4 кН/м 2 (рис.2.28).

Р е ш е н и е. Рассматривая углы плиты A, B, C, D , отмечаем, что в каждом из них поверхностная нагрузка передается на два ригеля, пересекающихся под углом 90 0 . Следовательно, линиями разделов являются AF, BF, DE, CE , делящие эти углы пополам. Точки пересечения биссектрис образуют треугольники AFB и CED, являющиеся грузовыми площадями для ригелей AB и CD . Оставшуюся часть площади средней линией FE разделим на две AFEC и BFED , которые являются грузовыми площадями для ригелей AC и BD .

Распределение нагрузки вдоль ригелей показано на рисунке 2.28.

Рис. 2.28. Плита перекрытия а - схема плиты, б - грузовые площади, в - нагрузка на ригель 1,

П р и м е р 2.22. Радиальная вантовая система на круговом контуре радиусом 50 м содержит 18 радиальных вант, на которых находятся плиты покрытия, передающие поверхностную нагрузку интенсивностью 4.12 кН/м 2 . Определить грузовую площадь загружения одной ванты (рис.2.29).

Рис. 2.29. Радиальное вантовое покрытие а – разрез, б – план, в – нагрузка вдоль ванты

Р е ш е н и е. В горизонтальной плоскости угол между вантами равенα = 360 0 /18 = 20 0 .

Линия раздела пройдет по биссектрисе этого угла. Так как плиты находятся с двух сторон от ванты, то нужно к полученной грузовой площади OAB прибавить такую же по величине площадь OBC .

Величина максимальной нагрузки определяется шагом вант по опорному контуру: a = α·R = (2·π /18) ·50 = 17.45 м,
q = 17.45·4.1 = 71.56 кН/м.

Эпюра нагрузки показана на рисунке 2.29.

П р и м е р 2.23 (для самостоятельного решения). Определить нагрузку на ванту шатрового покрытия (рис.2.30).

Рис. 2.30. Шатровое покрытие а - разрез, б - план

П р и м е р 2.24 (для самостоятельного решения).

Определить грузовые площади и распределение нагрузки для ригелей в неразрезной окаймленной плите (рис.2.31).

Интенсивность поверхностной нагрузки равна 2 кН/м 2 .

Рис. 2.31. Ребристая плита покрытия 13,5 х 3 м

Приведение поверхностной нагрузки к сосредоточенной.

Следуя тому же принципу равной ответственности конструкций, сосредоточенная сила на колонну, передаваемая через ригели, собирается с площади, полученной путем деления расстояний между элементами одного иерархического уровня (колонн, например) пополам (рис.2.32). Приведение к сосредоточенной силе необходимо при расчете не только колонн, но и ферм, подстропильных балок и других конструкций.

П р и м е р 2.25. Определить нагрузку на колонны промышленного здания, показанного на рисунке 2.24. Исходную информацию взять из примера 2.17.

Р е ш е н и е. Разделим расстояния по шагу рам и по пролету пополам. Таким образом, площадь грузовой поверхности

A = 6·18 = 108 м 2 ,

P = A·q = 108·5.2 = 561.6 кН.

Рис. 2.32. Ребристое перекрытие многоэтажного здания. а - разрез по А-А, б - план этажа (заштрихована грузовая площадь колонны)

П р и м е р 2.26. Собрать нагрузку на плиту монолитного ребристого перекрытия многоэтажного здания и нагрузку, передающуюся от перекрытия на центральную колонну. Фрагменты плана и разреза здания представлены на рисунке 2.32. Колонны железобетонные, сечением 40×40 см, устанавливаются через 6 м. Перекрытие железобетонное монолитное ребристое, толщина плиты 12 см, сечения ребер (продольных и поперечных балок) 20×50 см. Удельные веса конструкций пола (кН/м 3): паркет дубовый − 6 , цементная стяжка − 20 , шлакобетон (звукоизоляция) − 12.2 , железобетонная плита − 25 .

Р е ш е н и е. Коэффициенты надежности по нагрузке в соответствии со СНиП 2.01.07.85. Для деревянных конструкций и равномерно распределенных временных нагрузок при нормативном значении большем 2 кПа γ f = 1.2. Для железобетонных конструкций с удельным весом большим 16 кН/м 3 γ f = 1.1. Для изоляционных и выравнивающих слоев, выполняемых на строительной площадке, γ f = 1.3.

Для того чтобы от удельного веса материалов и конструкций перейти к нормативной равномерно распределенной нагрузке по площади, необходимо удельный вес материалов умножить на толщину слоя. Расчетные значения нагрузки получаем умножением значений нормативных нагрузок на коэффициенты надежности по нагрузке γ f . Определение нагрузки на плиту сводим в таблице 2.18.

В задачах встречаются системы параллельных сил, распределенных по некоторому закону вдоль прямолинейного стержня (рис.1.33).

Рис.1.33

Такие распределенные силы характеризуются интенсивностью q , равной величине силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка (например, погонный вес балки как элемента строительной конструкции). В общем случае интенсивность является некоторой функцией q(x) координаты x, отсчитываемой вдоль нагруженного отрезка.

Интенсивность измеряется в системе единиц СИ в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

Рис.1.34

Рассмотрим систему параллельных сил, распределенных по произвольному закону q (x ) вдоль прямолинейного отрезка длиной a и направленных

перпендикулярно этому отрезку (рис.1.33).

Величина главного вектора и главный алгебраический момент M O относительно центра (т. О) определяются суммированием (интегрированием) элементарных бесконечно малых сил q(x)·dx моментов x·q(x)·dx по всей длине нагруженного участка:

Если приложить главный вектор в точке стержня, удаленной от О на расстоянии (рис.1.34), то его момент относительно т.О станет равным главному алгебраическому моменту М 0 . Это означает, что приложенный в этой точке один вектор * определяет такой же главный вектор и главный алгебраический момент системы. Таким образом, системы эквивалентны. Следовательно, приложенный в этой точке главный вектор * является равнодействующей силой, или, как принято говорить, сосредоточенной силой , эквивалентной исходной распределенной нагрузке.

Итак, формулы для оценки эквивалентной сосредоточенной силы и точки её приложения:

Воспользуемся полученными формулами для двух часто встречающихся случаев: равномерно и линейно распределенные нагрузки.

(рис.1.35).

Рис.1.35

Здесь интенсивность постоянна: q = const. Распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой , равной произведению интенсивности на длину отрезка и приложенной к середине нагруженного участка:

Силы, распределенные по линейному закону (рис.1.36).

Рис.1.36

Для такой системы сил интенсивность q меняется от нуля до максимального значения q max по линейному закону.

Эквивалентная сосредоточенная сила этой системы приложена в точке, делящей нагруженный участок в соотношении 2: 1 (рис.1.36) и равна:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Определите величину и точку приложения равномерно распределенной нагрузки.

2. Определите величину и точку приложения линейно распределенной нагрузки.

3. Какую размерность имеет погонный вес?

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.

В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса.

Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет.

На рис. 2.1, а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы . На рис. 2.1, б дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами Р и моментами Ш, приложенными к его осн.

Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.

Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии.

Например, нагрузка , равномерно распределенная по части поверхности бруса, показанная на рис. 3.1, а, заменяется на расчетной схеме (рис. 3.1, б) нагрузкой q, равномерно распределенной по длине оси бруса.

При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при переменной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной.

Нагрузка, распределенная по поверхности, характеризуется ее интенсивностью р, представляющей собой предел отношения равнодействующей нагрузки ДР, приходящейся на весьма малую площадку, к величине этой площадки , когда она стремится к нулю, т. е.

Таким образом, интенсивность является мерой нагрузки, распределенной по поверхности сооружения; ее размерность - кгс/см, гс/м2 и т. д.

Мерой нагрузки, распределенной по линии (например, по длине оси бруса - рис. 3.1, б), является ее интенсивность , размерность которой и т. д. Такая нагрузка иногда называется погонной.

Сплошная нагрузка, распределенная по линии, изображается обычно в виде графика, показывающего (в определенном масштабе), как изменяется ее интенсивность по длине оси бруса. Такой график называется эпюрой нагрузки. При равномерной нагрузке эпюра ограничена прямой, параллельной оси бруса (рис. 3.1, б), а при неравномерной - прямой, наклонной к оси бруса, или кривой линией (в зависимости от закона изменения интенсивности).

Нагрузки, распределенные по объему тела (например, вес сооружения, силы инерции), называются объемными силами; их интенсивность имеет размерность и т. д.

К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок - активных сил, относятся также реакции связей - реактивные силы.

Нагрузки, распределенные по линии и сосредоточенные в точках, реально не существуют. Их можно получить лишь в результате схематизации реальных нагрузок, распределенных по объему (объемных сил) и по поверхности.

При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одними лишь сосредоточенными и распределенными силовыми нагрузками. В этих случаях, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки (см. рис. 2.1, б) в виде сосредоточенных моментов (пар сил) и моментов, распределенных по линии (длине) или по поверхности. Сосредоточенные моменты имеют размерности кгс см, гс м и т. д.; моменты, распределенные по линии, - кгс см/см (или кгс), и т. д., а моменты, распределенные по поверхности, - (или ), и т. д.

Нагрузки (силовые и моментные) различаются не только по способу их приложения (распределенные и сосредоточенные), но также по длительности действия (постоянные и временные) и характеру воздействия на конструкцию (статические и динамические).

Постоянные нагрузки (например, собственный вес конструкции) действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки (например, вес поезда) действуют в течение ограниченного промежутка времени. Величина статической нагрузки медленно возрастает от нуля до ее конечного значения, а потому эта нагрузка вызывает в конструкции весьма малые ускорения, в связи с чем возникающими при этом силами инерции можно в расчете пренебречь. Динамическая нагрузка (например, ударная) вызывает в конструкции или отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени.

Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменяться по некоторому закону; в последнем случае она называется переменной нагрузкой.

Если переменная нагрузка изменяется по циклическому (повторяющемуся) закону, то она называется циклической.

Поверхностные и объёмные силы представляют собой нагрузку, распределённую по некоторой поверхности или объёму. Такая нагрузка задаётся интенсивностью , которая представляет собой силу, приходящуюся на единицу некоторого объёма, или некоторой площади, или некоторой длины.

Особое место при решении ряда практически интересных задач занимает случай плоской распределённой нагрузки, приложенной по нормали к некоторой балке. Если вдоль балки направить ось , то интенсивность будет функцией координаты и измеряется в Н/м. Интенсивность представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины.

Плоская фигура, ограниченная балкой и графиком интенсивности нагрузки, называется эпюрой распределённой нагрузки (Рис. 1.28). Если по характеру решаемой задачи можно не учитывать деформации, т.е. можно считать тело абсолютно твёрдым, то распределённую нагрузку можно (и нужно) заменить равнодействующей.

Разобьём балку на отрезков длиной

, на каждом из которых будем считать интенсивность постоянной и равной

, где –координата отрезка

. При этом кривая интенсивности заменяется ломаной линией, а нагрузка, приходящаяся на отрезок

, заменяется сосредоточенной силой

, приложенной в точке (Рис. 1.29). Полученная система параллельных сил имеет равнодействующую, равную сумме сил, действующих на каждый из отрезков, приложенную в центре параллельных сил.

Понятно, что такое представление тем точнее описывает реальную ситуацию, чем меньше отрезок

, т.е. чем больше число отрезков . Точный результат получаем, переходя к пределу при длине отрезка

, стремящейся к нулю. Предел, получаемый в результате описанной процедуры, представляет собой интеграл. Таким образом, для модуля равнодействующей получаем:

Для определения координаты точки приложения равнодействующей используем теорему Вариньона:

если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра (любой оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно этого центра (этой оси)

Записывая эту теорему для системы сил

в проекциях на ось и переходя к пределу при длине отрезков, стремящейся к нулю, получаем:

Очевидно, модуль равнодействующей численно равен площади эпюры распределённой нагрузки, а точка её приложения совпадает с центром тяжести однородной пластины, имеющей форму эпюры распределённой нагрузки.

Отметим два часто встречающихся случая.

,

(Рис. 1.30). Модуль равнодействующей и координата её точки приложения определяются по формулам:

В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.

(Рис. 1.31). В этом случае:

В частности, давление воды на вертикальную стенку прямо пропорционально глубине .

Пример 1.5

Определить реакции опор ибалки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределённой нагрузки. Дано:

Найдём равнодействующую распределённой нагрузки. Модуль равнодействующей равен

плечо силы относительно точкиравно

Рассмотрим равновесие балки. Силовая схема представлена на Рис. 1.33.

Пример 1.6

Определить реакцию заделки консольной балки, находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределённой нагрузки (Рис. 1.34).

Заменим распределённую нагрузку тремя сосредоточенными силами. Для этого разобъём эпюру распределённой нагрузки на два треугольника и прямоугольник. Находим

Силовая схема представлена на Рис. 1.35.