Ce este sinus alfa. Ce sunt sinus și cosinus. Sinus în geometrie

Acest articol conține tabele de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. În primul rând, vom oferi un tabel cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, adică un tabel cu sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor de 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). După aceasta, vom oferi un tabel cu sinusuri și cosinusuri, precum și un tabel cu tangente și cotangente de V. M. Bradis și vom arăta cum să folosiți aceste tabele atunci când găsim valorile funcțiilor trigonometrice.

Navigare în pagină.

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Bibliografie.

• Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
• Bradis V. M. Tabele de matematică din patru cifre: pentru învățământul general. manual stabilimente. - Ed. a II-a. - M.: Butarda, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

|BD|- lungimea arcului de cerc cu centru într-un punct A.
α - unghi exprimat în radiani.

Sine ( sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.
cosinus ( cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Notatii acceptate

;
;
.

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

	y = sin x	y = cos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescând
Descendentă
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	y = 1

Formule de bază

Suma pătratelor sinusului și cosinusului

Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea prin tangentă

; .

Când avem:
; .

La:
; .

Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

formula lui Euler

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; . Derivarea formulelor > > >

Derivate de ordin al n-lea:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale sinusului și cosinusului sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Vezi si:

În acest articol vom arăta cum să dăruiești definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi și număr în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notații, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să vedem cum se formează ideea de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă într-un curs de matematică școlar. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care vorbește despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și număr. Să prezentăm toate aceste definiții, să dăm exemple și să dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul de geometrie cunoaștem definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Să dăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic– acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea introduse acolo - sin, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul dintre latura opusă BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentei, cotangent și lungimea uneia dintre laturi pentru a găsi lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este egal cu 3 și ipotenuza AB este egală cu 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Unghi de rotație

În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Mărimea unghiului de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade; unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt date nu ale unui unghi ascuțit, ci ale unui unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, către care așa-numitul punct de plecare A(1, 0) merge după rotirea lui cu un unghi α în jurul punctului O - începutul sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα=y.

Definiție.

Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cosα=x.

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tanα=y/x.

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Dar tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar acest lucru se întâmplă la unghiurile 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la punctul cu ordonata zero (1, 0) sau (−1, 0), iar acest lucru se întâmplă pentru unghiurile 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), iar cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definițiile includ denumirile deja cunoscute de noi sin, cos, tg și ctg, ele sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului de rotație (uneori puteți găsi denumirile tan și cot corespunzând cu tangente și cotangente) . Deci sinusul unui unghi de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, intrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3·π.

În concluzia acestui punct, este de remarcat faptul că atunci când vorbim despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurt, „sinus alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangente și cotangente.

Vom spune, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul numărului 8·π prin definiție este un număr egal cu cosinusul unghiului de 8·π rad. Și cosinusul unui unghi de 8·π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8·π este egal cu 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se asociază un punct de pe cercul unitar cu centrul la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar prin coordonatele acestui punct se determină sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să ne uităm la asta mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește o corespondență între numerele reale și punctele dintr-un cerc:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0);
• numărul pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• numărul negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct de pe cercul A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul numărului t este ordonata punctului de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică sint=y.

Definiție.

Cosinusul numărului t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost=x.

Definiție.

Tangenta numărului t este raportul dintre ordonata și abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta unui număr t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost.

Definiție.

Cotangente a numărului t este raportul dintre abscisa si ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzator numarului t, adica ctgt=x/y. O altă formulare este aceasta: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt=cost/sint.

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul de pe cercul unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.

Încă merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem intrarea sin3. Cum putem înțelege dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau despre sinusul unghiului de rotație de 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu are o importanță fundamentală.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare foarte specifică sinα, precum și valoarea cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corespund valorilor tgα și alte valori decât 180°k, k∈Z (πk rad ) – valori de ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tanα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

Putem vorbi în mod similar despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori foarte specifice sint, precum și costului. În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k, k∈Z corespund valorilor tgt și numerelor π·k, k∈Z - valori ctgt.

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, ne putem gândi la variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argument unghiular), cât și ca argument numeric.

Totuși, la școală studiem în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim în mod specific despre funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Relația dintre definițiile din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α cuprins între 0 și 90 de grade, atunci definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație în contextul trigonometriei sunt pe deplin compatibile cu definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul de geometrie. Să justificăm asta.

Să descriem cercul unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marchem punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opusă unghiului este egală cu ordonata punctului A 1, adică |A 1 H|=y, iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α atunci când α este de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: manual pentru învăţământul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev etc.]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: manual. pentru clasele 7-9. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - ed. a II-a - M.: Educaţie, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Tutorial pentru elevii clasei a IX-a liceu/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. M.: Educație, 1969.
4. Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La ora 14:00 Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ ( nivel de profil)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaug. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I.: Educație, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Lectura: Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi arbitrar

Sinus, cosinus al unui unghi arbitrar

Pentru a înțelege ce sunt funcțiile trigonometrice, să ne uităm la un cerc cu raza unitară. Acest cerc are un centru la origine pe planul de coordonate. Pentru a determina funcțiile date vom folosi vectorul rază SAU, care începe din centrul cercului și punctul R este un punct pe cerc. Acest vector rază formează un unghi alfa cu axa OH. Deoarece cercul are o rază egală cu unu, atunci SAU = R = 1.

Dacă din punct de vedere R coboara perpendiculara pe axa OH, atunci obținem un triunghi dreptunghic cu o ipotenuză egală cu unu.

Dacă vectorul rază se mișcă în sensul acelor de ceasornic, atunci această direcție se numește negativ, dacă se mișcă în sens invers acelor de ceasornic - pozitiv.

Sinusul unghiului SAU, este ordonata punctului R vector pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea sinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele U la suprafata.

Cum a fost obținută această valoare? Deoarece știm că sinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, Acea sin(α) = y 0 .

Într-un cerc unitar, valoarea ordonatei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă

Sinusul ia o valoare pozitivă în primul și al doilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al treilea și al patrulea.

Cosinusul unghiului cerc dat format din vectorul rază SAU, este abscisa punctului R vector pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea cosinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele X la suprafata.

Cosinusul unui unghi arbitrar într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, Acea cos(α) = x 0 .

În cercul unitar, valoarea abscisei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă

Cosinusul ia o valoare pozitivă în primul și al patrulea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al treilea.

Tangentăunghi arbitrar Se calculează raportul dintre sinus și cosinus.

Dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic, atunci acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Dacă vorbim despre cercul unitar, atunci acesta este raportul dintre ordonate și abscisă.

Judecând după aceste relații, se poate înțelege că tangenta nu poate exista dacă valoarea abscisei este zero, adică la un unghi de 90 de grade. Tangenta poate lua toate celelalte valori.

Tangenta este pozitivă în primul și al treilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al patrulea.