Значения первообразных таблица. Первообразная. Решение легких примеров
Определение первообразной функции
- Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)
Можно прочесть двумя способами:
- f производная функции F
- F первообразная для функции f
Свойство первообразных
- Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрическая интерпретация
- Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .
Правила вычисления первообразных
- Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
- Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
- Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .
- Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
- Если график функции f(x) на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
- Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.
Неопределенный интеграл
Определение :
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) - называют подынтегральной функцией;
- f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
- x - называют переменной интегрирования;
- F(x) - одна из первообразных функции f(x);
- С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
- Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C .
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
| Функция f(x) | Первообразная F(x) + C | Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C | \int x { ^m } dx = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C |
| f(x) = \frac { 1 } { x } | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac { dx } { x } = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e { ^x } dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac { a^x } { l na } + C | \int a { ^x } dx = \frac { a^x } { l na } + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac { 1 } { \sin { ^2 } x } | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac { 1 } { \cos { ^2 } x } | F(x) = \tg x + C | \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt { x } | F(x) =\frac { 2x \sqrt { x } } { 3 } + C | |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { x } } | F(x) =2\sqrt { x } + C | |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1-x^2 } } | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac { dx } { \sqrt { 1-x^2 } } =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1+x^2 } } | F(x)=\arctg x + C | \int \frac { dx } { \sqrt { 1+x^2 } } =\arctg x + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2-x^2 } } | F(x)=\arcsin \frac { x } { a } + C | \int \frac { dx } { \sqrt { a^2-x^2 } } =\arcsin \frac { x } { a } + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2+x^2 } } | F(x)=\arctg \frac { x } { a } + C | \int \frac { dx } { \sqrt { a^2+x^2 } } = \frac { 1 } { a } \arctg \frac { x } { a } + C |
| f(x) =\frac { 1 } { 1+x^2 } | F(x)=\arctg + C | \int \frac { dx } { 1+x^2 } =\arctg + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { x^2-a^2 } } (a \not= 0) | F(x)=\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C | \int \frac { dx } { \sqrt { x^2-a^2 } } =\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sin x } | F(x)= l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C | \int \frac { dx } { \sin x } = l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \cos x } | F(x)= l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C | \int \frac { dx } { \cos x } = l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C |
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
\int_ { a } ^ { b } f(x) dx =F(x)|_ { a } ^ { b } = F(b) - F(a)
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
S= \int_ { a } ^ { b } f(x) dx
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
Таблица первообразных
Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C и ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x можно составить таблицу первообразных.
Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.
|
Постоянная y = C C " = 0 Степенная функция y = x p . (x p) " = p · x p - 1 |
Постоянная y = C d (C) = 0 · d x Степенная фунция y = x p . d (x p) = p · x p - 1 · d x |
|
(a x) " = a x · ln a |
Показательная функция y = a x . d (a x) = a x · ln α · d x В частности при a = e имеем y = e x d (e x) = e x · d x |
|
log a x " = 1 x · ln a |
Логарифмические функия y = log a x . d (log a x) = d x x · ln a В частности при a = e имеем y = ln x d (ln x) = d x x |
|
Тригонометрические функции. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
Тригонометрические функции. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x |
|
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2 |
Обратные тригонометрические фунции. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2 |
Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f (x) = x p .
Согласно таблице дифференциалов d (x p) = p · x p - 1 · d x . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Следовательно, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .
Примем равным - 1 , найдем множество первообразных степенной функции f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .
Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d (ln x) = d x x , x > 0 , следовательно ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x . Поэтому ∫ d x x = ln x , x > 0 .
Таблица первообразных (неопределенных интегралов)
В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование
Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а также свойства неопределенных интегралов ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.
Пример 1
Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x
Решение
Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x
По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:
3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x
Используем данные из таблицы первообразных: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 (1 · x + C 1 - cos x + C 2) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x - 3 cos x + C
Ответ: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .
Пример 2
Необходимо найти множество первообразных функции f (x) = 2 3 4 x - 7 .
Решение
Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Это значит, что ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .
Используем правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .
Получаем ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .
Ответ: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C
Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.
Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В более раннем материале был рассмотрен вопрос нахождения производной и были показаны её различные применения: вычисление углового коэффициента касательной к графику, решение задач на оптимизацию, исследование функций на монотонность и экстремумы. $\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits}$ $\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits}$
Рисунок 1.
Так же была рассмотрена задача нахождения мгновенной скорости $v(t)$ с помощью производной по заранее известному пройденному пути, выражаемому функцией $s(t)$.
Рисунок 2.
Очень часто встречается и обратная задача, когда нужно найти путь $s(t)$, пройденный точкой за время $t$, зная скорость движения точки $v(t)$. Если вспомнить, мгновенная скорость $v(t)$ находится, как производная от функции пути $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значит, чтобы решить обратную задачу, то есть вычислить путь, нужно найти функцию, производная которой будет равна функции скорости. Но мы-то знаем, что производная пути и есть скорость, то есть: $s’(t) = v(t)$. Скорость равна произведению ускорения на время: $v=at$. Нетрудно определить, что искомая функция пути будет иметь вид: $s(t) = \frac{at^2}{2}$. Но это не совсем полное решение. Полное решение будет иметь вид: $s(t)= \frac{at^2}{2}+C$, где $C$ – некоторая константа. Почему именно так, будет рассказано далее. А пока проверим правильность найденного решения: $s"(t)=\left(\frac{at^2}{2}+C\right)"=2\frac{at}{2}+0=at=v(t)$.
Стоит заметить, что нахождение пути по скорости является физическим смыслом первообразной.
Полученная функция $s(t)$ называется первообразной функции $v(t)$. Довольно интересное и необычное название, не правда ли. В нём кроется большой смысл, который объясняет суть данного понятия и ведёт к его пониманию. Можно заметить, что в нём заключены два слова «первый» и «образ». Они говорят сами за себя. То есть это та функция, которая является исходной для имеющейся у нас производной. А мы по этой производной ищем ту функцию, которая была в начале, была «первой», «первым образом», то есть первообразную. Её иногда также называют примитивной функцией или антипроизводной.
Как нам уже известно, процесс нахождения производной называется дифференцированием. А процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования. Верно и обратное утверждение.
Определение. Первообразной для функции $f(x)$ на некотором интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой равна этой функции $f(x)$ для всех $x$ из указанного интервала: $F’(x)=f(x)$.
У кого-то может возникнуть вопрос: откуда в определении взялись $F(x)$ и $f(x)$, если изначально речь шла о $s(t)$ и $v(t)$. Дело в том, что $s(t)$ и $v(t)$ – частные случаи обозначения функций, имеющие в данном случае конкретный смысл, то есть это функция времени и функция скорости соответственно. То же самое и с переменной $t$ – она обозначает время. А $f$ и $x$ – традиционный вариант общего обозначения функции и переменной соответственно. Стоит обратить особое внимание на обозначение первообразной $F(x)$. Во-первых, $F$ – заглавная. Первообразные обозначаются заглавными буквами. Во-вторых, буквы совпадают: $F$ и $f$. То есть, для функции $g(x)$ первообразная будет обозначаться $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Вне зависимости от обозначений правила нахождения первообразной функции всегда одинаковы.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Доказать, что функция $F(x)=\frac{1}{5}\sin5x$ является первообразной функции $f(x)=\cos5x$.
Для доказательства воспользуемся определением, а точнее тем фактом, что $F’(x)=f(x)$, и найдём производную функции $F(x)$: $F’(x)=(\frac{1}{5} \sin5x)’=\frac{1}{5}\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Значит $F(x)=\frac{1}{5} \sin5x$ является первообразной $f(x)=\cos5x$. Что и требовалось доказать.
Пример 2. Найти, каким функциям соответствуют следующие первообразные: а) $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.
Чтобы найти искомые функции, вычислим их производные:
а) $F’(z)=(\tg z)’=\frac{1}{\cos^2 z}$;
б) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Пример 3.
Какой будет первообразная для $f(x)=0$?
Воспользуемся определением. Подумаем, какая функция может иметь производную, равную $0$. Вспоминая таблицу производных, получаем, что любая постоянная будет иметь такую производную. Получаем, что искомая нами первообразная: $F(x)= C$.
Полученное решение можно объяснить геометрически и физически. Геометрически оно означает, что касательная к графику $y=F(x)$ горизонтальна в каждой точке этого графика и, значит, совпадает с осью $Ox$. Физически объясняется тем, что точка, имеющая скорость, равную нулю, остаётся на месте, то есть пройденный ею путь неизменен. Исходя из этого можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. (Признак постоянства функций ). Если на некотором промежутке $F’(x) = 0$, то функция $F(x)$ на этом промежутке постоянна.
Пример 4.
Определить, первообразными каких функций являются функции а) $F_1 = \frac{x^7}{7}$; б) $F_2 = \frac{x^7}{7} – 3$; в) $F_3 = \frac{x^7}{7} + 9$; г) $F_4 = \frac{x^7}{7} + a$, где $a$ – некоторое число.
Используя определение первообразной, делаем вывод, что для решения этого задания нам нужно вычислить производные данных нам первообразных функций. При вычислении помним о том, что производная постоянной, то есть любого числа, равна нулю.
а) $F_1 =(\frac{x^7}{7})"= 7 \cdot \frac{x^6}{7} = x^6$;
б) $F_2 =\left(\frac{x^7}{7} – 3\right)"=7 \cdot \frac{x^6}{7}= x^6$;
в) $F_3 =(\frac{x^7}{7} + 9)’= x^6$;
г) $F_4 =(\frac{x^7}{7} + a)’ = x^6$.
Что мы видим? Несколько разных функций являются первообразными одной и той же функции. Это говорит о том, что у любой функции существует бесконечно много первообразных, и они имеют вид $F(x) + C$, где $C$ – произвольная константа. То есть операция интегрирования является многозначной в отличие от операции дифференцирования. Сформулируем на основании этого теорему, описывающую основное свойство первообразных.
Теорема. (Основное свойство первообразных ). Пусть функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f(x)$ на некотором промежутке. Тогда для всех значений из этого промежутка справедливо следующее равенство: $F_2=F_1+C$, где $C$ – некоторая константа.
Факт наличия бесконечного множества первообразных можно интерпретировать геометрически. С помощью параллельного переноса вдоль оси $Oy$ можно получить друг из друга графики двух любых первообразных для $f(x)$. В этом заключается геометрический смысл первообразной.
Очень важно обратить внимание на то, что выбором константы $C$ можно добиться прохождения графика первообразной через определённую точку.
Рисунок 3.
Пример 5.
Найти первообразную для функции $f(x)=\frac{x^2}{3}+1$, график которой проходит через точку $(3; 1)$.
Найдём сначала все первообразные для $f(x)$: $F(x)=\frac{x^3}{9}+x + C$.
Далее найдём такое число C, при котором график $y=\frac{x^3}{9}+x + C$ будет проходит через точку $(3; 1)$. Для этого подставим координаты точки в уравнение графика и решим его относительно $C$:
$1= \frac{3^3}{9}+3 + C$, $C=-5$.
Получили график $y=\frac{x^3}{9}+x-5$, который соответствует первообразной $F(x)=\frac{x^3}{9}+x-5$.
Таблица первообразных
Таблицу формул для нахождения первообразных можно составить, используя формулы нахождения производных.
| Функции | Первообразные |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $\displaystyle \frac{1}{x}$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} +C$ |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac{1}{1+x^2}$ | $\arcctg x+C$ |
Проверить правильность составления таблицы можно следующим образом: для каждого множества первообразных, находящегося в правом столбце найти производную, в результате чего получатся соответствующие функции, стоящие в левом столбце.
Некоторые правила нахождения первообразных
Как известно, многие функции имеют более сложный вид, нежели указанные в таблице первообразных, и могут представлять собой любое произвольное сочетание сумм и произведений функций из этой таблицы. И тут возникает вопрос, как вычислять первообразные подобных функций. К примеру, из таблицы мы знаем, как вычислить первообразные $x^3$, $\sin x$ и $10$. А как, например, вычислить первообразную $x^3-10\sin x$? Забегая вперёд, стоит отметить, что она будет равна $\frac{x^4}{4}+10\cos x$.
1. Если $F(x)$ первообразная для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первообразная будет равна $F(x)+G(x)$.
2. Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ и $a$ – константа, то для $af(x)$ первообразной будет $aF(x)$.
3. Если для $f(x)$ первообразной является $F(x)$, $a$ и $b$ – константы, то $\frac{1}{a} F(ax+b)$ первообразная для $f(ax+b)$.
Используя полученные правила мы можем расширить таблицу первообразных.
| Функции | Первообразные |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac{(ax+b)^n}{a(n+1)} +C$ |
| $\displaystyle \frac{1}{ax+b}, a\ne0$ | $\displaystyle \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$ |
| $e^{ax+b}, a\ne0$ | $\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax+b}+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$ |
Пример 5. Найти первообразные для:
а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
б) $\displaystyle \frac{6}{x^5} -\frac{2}{x}$;
в) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
г) $\displaystyle \sqrt{x}-2\sqrt{x}$.
а) $4\frac {x^{3+1}}{3+1}+10\frac{x^{7+1}}{7+1}+C=x^4+\frac{5}{4} x^8+C$;
б) $-\frac{3}{2x^4} -2\ln|x|+C$;
в) $5 \sin x - \frac{1}{3}\cos(3x + 15) + C$;
г) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{3}{2} x\sqrt{x} + C$.
Таблица первообразных ("интегралов"). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
|
Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). |
|
|
Интеграл степенной функции. |
Интеграл степенной функции. |
|
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала. |
|
|
|
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число. |
|
Интеграл сложной экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненциальной функции. |
|
Интеграл, равняющийся натуральному логорифму. |
Интеграл: "Длинный логарифм". |
|
Интеграл: "Длинный логарифм". |
|
|
Интеграл: "Высокий логарифм". |
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала (константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать), в итоге схож с интегралом, равным натуральному логорифму. |
|
Интеграл: "Высокий логарифм". |
|
|
Интеграл косинуса. |
Интеграл синуса. |
|
Интеграл, равный тангенсу. |
Интеграл, равный котангенсу. |
|
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу |
|
|
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу. |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
|
Интеграл равный косекансу. |
Интеграл, равный секансу. |
|
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арккосекансу. |
|
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
|
Интеграл, равный гиперболическому синусу. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу. |
|
|
|
|
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
|
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
|
Интеграл, равный гиперболическому секансу. |
Интеграл, равный гиперболическому косекансу. |
Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.
|
Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.Правила интегрирования. |
|
|
Интегрирование произведения (функции) на постоянную: |
|
|
Интегрирование суммы функций: |
|
|
неопределенные интегралы: |
|
|
Формула интегрирования по частям определенные интегралы: |
|
|
Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы: |
Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно. |
Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.
Если x - независимая переменная, то:
|
Таблица производных. Табличные производные."таблица производный"-да, к сожалению, именно так их и ищут в интернете |
|
|
Производная степенной функции |
|
|
|
Производная экспоненты |
|
|
Производная экспоненциальной функции |
|
Производная логарифмической функции |
|
|
Производная натурального логарифма функции |
|
|
|
|
|
Производная косеканса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная арккотангенса |
|
|
|
|
|
Производная арккосеканса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная
сложной экспоненциальной функции
Производная
натурального логарифма
Производная
синуса
Производная
косинуса
Производная
секанса
Производная
арксинуса
Производная
арккосинуса
Производная
арксинуса
Производная
арккосинуса
Производная
тангенса
Производная
котангенса
Производная
арктангенса
Производная
арккотангенса
Производная
арктангенса
Производная
арксеканса
Производная
арккосеканса
Производная
арксеканса
Производная
гиперболического синуса
Производная
гиперболического синуса в английской
версии
Производная
гиперболического косинуса
Производная
гиперболического косинуса в английской
версии
Производная
гиперболического тангенса
Производная
гиперболического котангенса
Производная
гиперболического секанса
Производная
гиперболического косеканса|
Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции. |
|
|
Производная произведения (функции) на постоянную: |
|
|
Производная суммы (функций): |
|
|
Производная произведения (функций): |
|
|
Производная частного (функций): |
|
|
Производная сложной функции: |
|
Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основное логарифмическое тождество |
|
|
Покажем как можно любую функцию вида a b сделать экспоненциальной. Поскольку функция вида е х называется экспоненциальной, то |
|
|
Любая функция вида a b может быть представлена в виде степени десяти |
|
Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045…) ln(e)=1; ln(1)=0
Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:
При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1)
,
где f(x) - функция, имеющая при х=а производные
всех порядков. R n
- остаточный член в ряде Тейлора
определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при х k) ряда определяется формулой
3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)
при
a=0
члены ряда определяются по формуле
Условия применения рядов Тейлора.
1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.
Свойства рядов Тейлора.
Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации (приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis - линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена(=Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1
|
|
|
|
|
|
Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы - это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫ A d x = A x + C (1)Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫
x d x =
x
2
2
+ C
(2)
∫
x
2
d x =
x
3
3
+ C
(3)
∫
1
x
d x = 2
x
+ C
(4)
∫
1
x
d x = ln | x | + C
(5)
∫
1
x
2
d x = −
1
x
+ C
(6)
∫
x
n
d x =
x
n + 1
n + 1
+ C (n ≠ − 1)
(7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫
e
x
d x =
e
x
+ C
(8)
∫
a
x
d x =
a
x
ln a
+ C (a > 0, a ≠ 1)
(9)
∫
s h x
d x = c h x + C
(10)
∫
c h x
d x = s h x + C
(11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен "минус косинусу", а вот интеграл от cosx равен "просто синусу":
∫
sin x d x = − cos x + C
(12)
∫
cos x d x = sin x + C
(13)
∫
1
cos
2
x
d x = t g x + C
(14)
∫
1
sin
2
x
d x = − c t g x + C
(15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) - частный случай (19).
∫
1
1 +
x
2
d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
(16)
∫
1
x
2
+
a
2
=
1
a
a r c t g
x
a
+ C (a ≠ 0)
(17)
∫
1
1 −
x
2
d x = arcsin x + C = − arccos x + C
(18)
∫
1
a
2
−
x
2
d x = arcsin
x
a
+ C = − arccos
x
a
+ C (a > 0)
(19)
Более сложные интегралы
Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.
∫
1
x
2
+
a
2
d x = ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C
(20)
∫
1
x
2
−
a
2
d x = ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C
(21)
∫
a
2
−
x
2
d x =
x
2
a
2
−
x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C (a > 0)
(22)
∫
x
2
+
a
2
d x =
x
2
x
2
+
a
2
+
a
2
2
ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C (a > 0)
(23)
∫
x
2
−
a
2
d x =
x
2
x
2
−
a
2
−
a
2
2
ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C (a > 0)
(24)
Общие правила интегрирования
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Легко заметить, что свойство (26) - это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Здесь F(x) - первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫
f (x) g (x)
d x = ?
∫
f (x)
g (x)
d x = ?
(30)
Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ "борьбы" с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже "школьные" формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Пример 1. Найти интеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xВоспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике . Будем решать Ваши проблемы вместе!
Возможно, вас заинтересуют также
