Koja se jednačina naziva linearnom s jednom promjenljivom. Rješenje linearnih jednadžbi s jednom promjenljivom. Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Prilikom rješavanja linearnih jednadžbi nastojimo pronaći korijen, odnosno vrijednost za varijablu koja će jednadžbu pretvoriti u ispravnu jednakost.

Da biste pronašli korijen jednačine koja vam je potrebna ekvivalentne transformacije dovode jednačinu koja nam je data u formu

\(x=[broj]\)

Ovaj broj će biti korijen.

Odnosno, transformišemo jednačinu, olakšavajući je sa svakim korakom, sve dok je ne svedemo na potpuno primitivnu jednačinu „x = broj“, gde je koren očigledan. U rješavanju linearnih jednadžbi najčešće se koriste sljedeće transformacije:

Na primjer: dodati \(5\) na obje strane jednačine \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Imajte na umu da bismo mogli dobiti isti rezultat brže - jednostavnim pisanjem pet na drugoj strani jednačine i promjenom njenog predznaka u procesu. Zapravo, upravo tako se radi u školi „prelazak kroz jednake sa promjenom predznaka u suprotno”.

2. Množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim brojem ili izrazom.

Na primjer: Podijelite jednačinu \(-2x=8\) sa minus dva

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Obično se ovaj korak radi na samom kraju, kada je jednadžba već svedena na \(ax=b\), i dijelimo sa \(a\) da bismo je uklonili s lijeve strane.

3. Korištenje svojstava i zakona matematike: otvaranje zagrada, smanjenje sličnih članova, smanjenje razlomaka itd.

Dodajte \(2x\) lijevo i desno

Oduzmi \(24\) sa obje strane jednačine

Opet, predstavljamo slične termine

Sada dijelimo jednačinu sa \ (-3 \), čime uklanjamo ispred x na lijevoj strani.

Odgovori : \(7\)

Odgovor pronađen. Međutim, hajde da to proverimo. Ako je sedam zaista korijen, tada bi njegova zamjena umjesto x u originalnoj jednadžbi trebala rezultirati ispravnom jednakošću - istim brojevima lijevo i desno. Trudimo se.

pregled:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Dogovoreno. To znači da je sedam zaista korijen originalne linearne jednadžbe.

Ne budite lijeni provjeriti odgovore koje ste pronašli zamjenom, pogotovo ako rješavate jednačinu na testu ili ispitu.

Ostaje pitanje - kako odrediti šta učiniti s jednačinom u sljedećem koraku? Kako to tačno pretvoriti? Podijeliti nešto? Ili oduzeti? I šta tačno oduzeti? Šta podijeliti?

Odgovor je jednostavan:

Vaš cilj je da jednačinu dovedete u oblik \(x=[broj]\), odnosno na lijevoj strani x bez koeficijenata i brojeva, a na desnoj - samo broj bez varijabli. Pa vidite šta vas sprečava i rade suprotno od onoga što radi ometajuća komponenta.

Da bismo ovo bolje razumjeli, uzmimo korak po korak rješenje linearne jednačine \(x+3=13-4x\).

Razmislimo: kako se ova jednačina razlikuje od \(x=[broj]\)? Šta nas sprečava? Sta nije u redu?

Pa, prvo, trojka ometa, pošto bi na lijevoj strani trebao biti samo usamljeni X, bez brojeva. A šta radi trio? Dodano do xx. Dakle, da ga uklonite - oduzimati isti trio. Ali ako oduzmemo trojku s lijeve strane, onda je moramo oduzeti od desne strane kako se jednakost ne bi narušila.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

U redu. Šta te sada sprečava? \(4x\) na desnoj strani, jer treba da sadrži samo brojeve. \(4x\) oduzeto- ukloniti dodavanje.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sada dajemo slične pojmove lijevo i desno.

Skoro je spreman. Ostaje ukloniti pet s lijeve strane. Šta to ona radi"? umnožava se na x. Zato ga uklanjamo divizije.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Rješenje je potpuno, korijen jednadžbe je dva. Možete provjeriti zamjenom.

primeti, to najčešće postoji samo jedan korijen u linearnim jednačinama. Međutim, mogu se pojaviti dva posebna slučaja.

Specijalni slučaj 1 - nema korijena u linearnoj jednadžbi.

Primjer . Riješite jednačinu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Rješenje :

Odgovori : bez korijena.

Zapravo, činjenica da ćemo doći do takvog rezultata vidjelo se i ranije, čak i kada smo dobili \(3x-1=3x+6\). Razmislite o tome: kako \(3x\) može biti jednako, od čega je \(1\) oduzeto, a \(3x\) kojem je dodano \(6\)? Očigledno, nema šanse, jer su radili različite akcije sa istom stvari! Jasno je da će rezultati varirati.

Specijalni slučaj 2 - linearna jednačina ima beskonačan broj korijena.

Primjer . Riješite linearnu jednačinu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Rješenje :

Odgovori : bilo koji broj.

Inače, to je bilo primjetno još ranije, u fazi: \(8x+12=8x+12\). Zaista, lijevo i desno su isti izrazi. Koji god x da zamenite, postojaće isti broj i tamo i tamo.

Složenije linearne jednadžbe.

Originalna jednačina ne izgleda uvijek odmah kao linearna, ponekad je „prikrivena“ u druge, složenije jednačine. Međutim, u procesu transformacije, maskiranje jenjava.

Primjer . Pronađite korijen jednadžbe \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Rješenje :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Čini se da ovdje postoji x na kvadrat - ovo nije linearna jednadžba! Ali ne žuri. Prijavite se
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Zašto je rezultat proširenja \((x-4)^(2)\) u zagradama, a rezultat \((3+x)^(2)\) nije? Jer ispred prvog kvadrata postoji minus, koji će promijeniti sve znakove. A kako ne bismo zaboravili na to, rezultat uzimamo u zagrade, koje sada otvaramo.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dajemo slične uslove
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opet, evo sličnih.
		Volim ovo. Ispostavilo se da je originalna jednadžba prilično linearna, a x na kvadrat nije ništa drugo do ekran koji nas zbunjuje. :) Rješenje kompletiramo dijeljenjem jednačine sa \(2\), i dobijamo odgovor.

Odgovori : \(x=5\)

Primjer . Riješite linearnu jednačinu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Rješenje :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Jednačina ne liči na linearnu, neki razlomci... Međutim, riješimo se imenilaca tako što ćemo oba dijela jednačine pomnožiti sa zajedničkim nazivnikom svih - šest
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Otvorena zagrada na lijevoj strani
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sada smanjujemo nazivnike
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sada izgleda kao obična linearna! Hajde da to rešimo.
		Prenošenjem kroz jednake, skupljamo x na desnoj strani, a brojeve na lijevoj strani
		Pa, dijeleći sa \ (-4 \) desni i lijevi dio, dobijamo odgovor

Odgovori : \(x=-1,25\)

Jednakost sa varijablom f(x) = g(x) naziva se jednadžba s jednom varijablom x. Svaka vrijednost varijable pri kojoj f(x) i g(x) imaju jednake numeričke vrijednosti naziva se korijen takve jednadžbe. Stoga, riješiti jednačinu znači pronaći sve korijene jednačine ili dokazati da ih nema.

Jednadžba x 2 + 1 = 0 nema stvarne korijene, ali ima imaginarne korijene: u ovom slučaju, to su korijeni x 1 = i, x 2 = -i. U nastavku će nas zanimati samo pravi korijeni jednačine.

Ako jednačine imaju iste korijene, onda se nazivaju ekvivalentnim. One jednačine koje nemaju korijene su ekvivalentne.

Odredimo da li su jednadžbe ekvivalentne:

a) x + 2 = 5 i x + 5 = 8

1. Riješite prvu jednačinu

2. Riješite drugu jednačinu

Korijeni jednadžbi su isti, pa su x + 2 = 5 i x + 5 = 8 ekvivalentni.

b) x 2 + 1 = 0 i 2x 2 + 5 = 0

Obje ove jednadžbe nemaju realne korijene, stoga su ekvivalentne.

c) x - 5 = 1 i x 2 = 36

1. Pronađite korijene prve jednadžbe

2. Pronađite korijene druge jednačine

x 1 = 6, x 2 = -6

Korijeni jednadžbi se ne podudaraju, tako da x - 5 = 1 i x 2 = 36 nisu ekvivalentni.

Prilikom rješavanja jednačine pokušavaju je zamijeniti ekvivalentnom, ali jednostavnijom jednačinom. Stoga je važno znati, kao rezultat kakvih transformacija, ova jednačina se pretvara u njoj ekvivalentnu jednačinu.

Teorema 1. Ako se bilo koji član u jednačini prenese iz jednog dijela u drugi, mijenjajući predznak, onda će se dobiti jednačina ekvivalentna datoj.

Na primjer, jednačina x 2 + 2 = 3x je ekvivalentna jednačini x 2 + 2 - 3x = 0.

Teorema 2. Ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem (nije jednak nuli), onda se dobija jednačina koja je ekvivalentna datoj.

Na primjer, jednadžba (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x je ekvivalentna jednadžbi x 2 - 1 = 6x. Obe strane prve jednačine množimo sa 3.

Linearna jednadžba s jednom varijablom je jednadžba oblika ax \u003d b, gdje su a i b realni brojevi, a a se naziva koeficijent varijable, a b je slobodni član.

Razmotrimo tri slučaja za linearnu jednačinu ax = b.

1. a ≠ 0. U ovom slučaju, x \u003d b / a (jer a nije nula).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. Jednačina će imati oblik: 0 ∙ x = 0. Ova jednačina vrijedi za bilo koji x, tj. korijen jednadžbe je bilo koji realan broj.

3. a \u003d 0, b ≠ 0. U ovom slučaju, jednadžba neće imati korijene, jer dijeljenje nulom je zabranjeno (0 ∙ x = b).

Kao rezultat transformacija, mnoge jednadžbe se svode na linearne.

Rješavanje jednačina

a) (1/5) x + 2/15 = 0

1. Premjestite komponentu 2/15 s lijeve strane jednačine na desnu stranu sa suprotnim predznakom. Takva transformacija je vođena teoremom 1. Dakle, jednačina će imati oblik: (1/5)x = -2/15.

2. Da bismo se riješili nazivnika, pomnožimo obje strane jednačine sa 15. Teorema 2 nam to omogućava. Dakle, jednačina će imati oblik:

(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

Dakle, korijen jednadžbe je -2/3.

b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. Da bismo se riješili nazivnika, pomnožimo oba dijela jednačine na 12 (prema teoremi 2). Jednačina će poprimiti oblik:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. Koristeći teoremu 1, "sakupljamo" sve brojeve na desnoj strani, a komponente sa x na lijevoj strani. Jednačina će poprimiti oblik:

10 +12 \u003d 5x - x

Dakle, korijen jednačine je 5,5.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Jednačina s jednom nepoznatom, koja nakon otvaranja zagrada i svođenja sličnih članova, poprima oblik

ax + b = 0, gdje su a i b proizvoljni brojevi, se zove linearna jednačina sa jednom nepoznatom. Danas ćemo shvatiti kako riješiti ove linearne jednačine.

Na primjer, sve jednadžbe:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linearno.

Vrijednost nepoznate koja pretvara jednačinu u pravu jednakost naziva se odluka ili korijen jednačine .

Na primjer, ako u jednadžbi 3x + 7 \u003d 13 zamijenimo broj 2 umjesto nepoznatog x, tada ćemo dobiti tačnu jednakost 3 2 + 7 = 13. Dakle, vrijednost x = 2 je rješenje ili korijen jednačine.

A vrijednost x = 3 ne pretvara jednadžbu 3x + 7 = 13 u pravu jednakost, budući da je 3 2 + 7 ≠ 13. Dakle, vrijednost x = 3 nije rješenje ili korijen jednadžbe.

Rješenje bilo koje linearne jednadžbe svodi se na rješenje jednačina oblika

ax + b = 0.

Prenosimo slobodni član sa leve strane jednačine na desnu, dok menjamo predznak ispred b u suprotan, dobijamo

Ako je a ≠ 0, tada je x = – b/a .

Primjer 1 Riješite jednačinu 3x + 2 =11.

Prenosimo 2 s lijeve strane jednačine na desnu, dok mijenjamo predznak ispred 2 u suprotan, dobijamo
3x \u003d 11 - 2.

Onda uradimo oduzimanje
3x = 9.

Da biste pronašli x, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom, tj.
x = 9:3.

Dakle, vrijednost x = 3 je rješenje ili korijen jednadžbe.

Odgovor: x = 3.

Ako je a = 0 i b = 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = 0. Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, jer kada množimo bilo koji broj sa 0, dobivamo 0, ali b je također 0. Rješenje ove jednadžbe je bilo koji broj.

Primjer 2 Riješite jednačinu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Proširimo zagrade:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Evo sličnih članova:
0x = 0.

Odgovor: x je bilo koji broj.

Ako je a = 0 i b ≠ 0, tada dobijamo jednačinu 0x = - b. Ova jednadžba nema rješenja, jer množenjem bilo kojeg broja sa 0 dobijamo 0, ali b ≠ 0.

Primjer 3 Riješite jednačinu x + 8 = x + 5.

Grupirajmo pojmove koji sadrže nepoznate na lijevoj strani, a slobodne na desnoj strani:
x - x \u003d 5 - 8.

Evo sličnih članova:
0x = - 3.

Odgovor: nema rješenja.

On slika 1 prikazana je šema za rješavanje linearne jednačine

Hajde da sastavimo opštu šemu za rešavanje jednačina sa jednom promenljivom. Razmotrimo rješenje primjera 4.

Primjer 4 Hajde da riješimo jednačinu

1) Pomnožite sve članove jednačine najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, jednakim 12.

2) Nakon smanjenja dobijamo
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Da odvojite članove koji sadrže nepoznate i slobodne članove, otvorite zagrade:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupiramo u jednom dijelu pojmove koji sadrže nepoznate, au drugom - slobodne pojmove:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Evo sličnih članova:
- 22x = - 154.

6) Podijelimo sa - 22 , Dobijamo
x = 7.

Kao što vidite, korijen jednačine je sedam.

Općenito, takav jednadžbe se mogu riješiti na sljedeći način:

a) dovesti jednačinu u cjelobrojni oblik;

b) otvorene zagrade;

c) grupirati članove koji sadrže nepoznatu u jednom dijelu jednačine, a slobodne članove u drugom;

d) dovesti slične članove;

e) rešiti jednačinu oblika ah = b, koja je dobijena donošenjem sličnih članova.

Međutim, ova šema nije potrebna za svaku jednačinu. Prilikom rješavanja mnogih jednostavnijih jednadžbi treba poći ne od prve, već od druge ( Primjer. 2), treći ( Primjer. 13) pa čak i od pete faze, kao u primjeru 5.

Primjer 5 Riješite jednačinu 2x = 1/4.

Nalazimo nepoznati x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Razmotrimo rješenje nekih linearnih jednadžbi koje se susreću na glavnom državnom ispitu.

Primjer 6 Riješite jednačinu 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Odgovor: - 0,125

Primjer 7 Riješite jednadžbu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Odgovor: 2.3

Primjer 8 Riješite jednačinu

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Primjer 9 Pronađite f(6) ako je f (x + 2) = 3 7

Rješenje

Pošto moramo pronaći f(6), a znamo f (x + 2),
onda je x + 2 = 6.

Rješavamo linearnu jednačinu x + 2 = 6,
dobijamo x = 6 - 2, x = 4.

Ako je x = 4 onda
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odgovor: 27.

Ako i dalje imate pitanja, postoji želja da se detaljnije bavite rješavanjem jednačina, prijavite se na moje lekcije u RASPORED. Biće mi drago da vam pomognem!

TutorOnline također preporučuje gledanje novog video tutoriala naše tutorice Olge Aleksandrovne, koji će vam pomoći da razumijete i linearne jednačine i druge.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

I tako dalje, logično je upoznati se sa jednadžbama drugih vrsta. Sljedeći na redu su linearne jednačine, čije svrsishodno učenje počinje na časovima algebre u 7. razredu.

Jasno je da prvo treba objasniti šta je linearna jednačina, dati definiciju linearne jednačine, njene koeficijente, pokazati je opšti oblik. Tada možete shvatiti koliko rješenja linearna jednadžba ima ovisno o vrijednostima koeficijenata i kako se pronalaze korijeni. To će vam omogućiti da prijeđete na rješavanje primjera i na taj način konsolidirate proučavanu teoriju. U ovom članku ćemo učiniti ovo: detaljno ćemo se zadržati na svim teorijskim i praktičnim točkama u vezi s linearnim jednadžbama i njihovim rješenjem.

Recimo odmah da ćemo ovdje razmatrati samo linearne jednadžbe s jednom varijablom, a u posebnom članku proučavat ćemo principe rješavanja linearne jednadžbe u dvije varijable.

Navigacija po stranici.

Šta je linearna jednačina?

Definicija linearne jednačine je data oblikom njene notacije. Štaviše, u različitim udžbenicima matematike i algebre, formulacije definicija linearnih jednačina imaju neke razlike koje ne utiču na suštinu problema.

Na primjer, u udžbeniku algebre za 7. razred Yu. N. Makarycheva i drugih, linearna jednačina je definirana na sljedeći način:

Definicija.

Tipska jednadžba ax=b, gdje je x varijabla, a i b neki brojevi, se poziva linearna jednačina sa jednom promenljivom.

Navedimo primjere linearnih jednadžbi koje odgovaraju glasovnoj definiciji. Na primjer, 5 x=10 je linearna jednadžba s jednom promjenljivom x, ovdje je koeficijent a 5, a broj b je 10. Drugi primjer: −2.3 y=0 je takođe linearna jednačina, ali sa varijablom y, gdje je a=−2.3 i b=0. I u linearnim jednačinama x=−2 i −x=3,33 a nisu eksplicitno prisutne i jednake su 1 i −1, respektivno, dok je u prvoj jednačini b=−2 i u drugoj - b=3,33 .

Godinu dana ranije, u udžbeniku matematike N. Ya. Vilenkina, linearne jednačine sa jednom nepoznatom, pored jednačina oblika a x = b, razmatrane su i jednačine koje se mogu svesti na ovaj oblik prenošenjem članova iz jednog dela jednadžbe na drugu sa suprotnim predznakom, kao i smanjenjem sličnih članova. Prema ovoj definiciji, jednačine oblika 5 x=2 x+6, itd. takođe su linearni.

Zauzvrat, sljedeća definicija je data u udžbeniku algebre za 7 razreda A. G. Mordkovicha:

Definicija.

Linearna jednadžba sa jednom varijablom x je jednadžba oblika a x+b=0, gdje su a i b neki brojevi, koji se nazivaju koeficijenti linearne jednačine.

Na primjer, linearne jednačine ove vrste su 2 x−12=0, ovdje je koeficijent a jednak 2, a b jednako -12 i 0,2 y+4,6=0 sa koeficijentima a=0,2 i b =4,6. Ali u isto vrijeme, postoje primjeri linearnih jednadžbi koje imaju oblik ne a x+b=0, već a x=b, na primjer, 3 x=12.

Hajde da, da ubuduće ne bude bilo kakvih neslaganja, pod linearnom jednačinom sa jednom promenljivom x i koeficijentima a i b razumećemo jednačinu oblika a x+b=0 . Čini se da je ova vrsta linearne jednadžbe najopravdanija, jer linearne jednačine jesu algebarske jednačine prvi stepen. A sve ostale gore navedene jednadžbe, kao i jednadžbe koje se svode na oblik a x+b=0 uz pomoć ekvivalentnih transformacija, zvat će se jednadžbe koje se svode na linearne jednačine. Sa ovim pristupom, jednačina 2 x+6=0 je linearna jednačina, a 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, itd. su linearne jednačine.

Kako riješiti linearne jednačine?

Sada je vrijeme da shvatimo kako se rješavaju linearne jednačine a x+b=0. Drugim riječima, vrijeme je da saznamo da li linearna jednadžba ima korijene, i ako ima, koliko i kako ih pronaći.

Prisustvo korijena linearne jednadžbe ovisi o vrijednostima koeficijenata a i b. U ovom slučaju, linearna jednačina a x+b=0 ima

• jedini korijen na a≠0 ,
• nema korijena za a=0 i b≠0 ,
• ima beskonačno mnogo korijena za a=0 i b=0, u kom slučaju je bilo koji broj korijen linearne jednadžbe.

Objasnimo kako su ovi rezultati dobijeni.

Znamo da je za rješavanje jednadžbi moguće prijeći sa izvorne jednadžbe na ekvivalentne jednačine, odnosno na jednačine s istim korijenima ili, kao i originalna, bez korijena. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeće ekvivalentne transformacije:

• prijenos člana iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotnim predznakom,
• kao i množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim brojem koji nije nula.

Dakle, u linearnoj jednadžbi sa jednom promenljivom oblika a x+b=0, možemo pomeriti pojam b sa leve na desnu stranu sa suprotnim predznakom. U ovom slučaju, jednačina će imati oblik a x=−b.

A onda se naslućuje podjela oba dijela jednačine brojem a. Ali postoji jedna stvar: broj a može biti jednak nuli, u kom slučaju je takva podjela nemoguća. Da bismo se pozabavili ovim problemom, prvo ćemo pretpostaviti da je broj a različit od nule, a malo kasnije ćemo posebno razmotriti slučaj nule a.

Dakle, kada a nije jednako nuli, tada možemo podijeliti oba dijela jednačine a x=−b sa a , nakon čega se pretvara u oblik x=(−b):a , ovaj rezultat se može napisati pomoću puna linija kao .

Dakle, za a≠0, linearna jednačina a·x+b=0 je ekvivalentna jednadžbi , iz koje je vidljiv njen korijen.

Lako je pokazati da je ovaj korijen jedinstven, odnosno da linearna jednadžba nema drugih korijena. Ovo vam omogućava da uradite suprotnu metodu.

Označimo korijen sa x 1 . Pretpostavimo da postoji još jedan korijen linearne jednadžbe, koji označavamo x 2, i x 2 ≠ x 1, koji zbog definicije jednakih brojeva kroz razliku je ekvivalentno uslovu x 1 − x 2 ≠0 . Kako su x 1 i x 2 korijeni linearne jednačine a x+b=0, tada se javljaju numeričke jednakosti a x 1 +b=0 i a x 2 +b=0. Od ovih jednakosti možemo oduzeti odgovarajuće dijelove, što nam svojstva numeričkih jednakosti dozvoljavaju, imamo a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , odakle je a (x 1 −x 2)+( b−b)=0, a zatim a (x 1 − x 2)=0 . A ova jednakost je nemoguća, jer i a≠0 i x 1 − x 2 ≠0. Tako smo došli do kontradikcije, koja dokazuje jedinstvenost korijena linearne jednačine a·x+b=0 za a≠0 .

Dakle, riješili smo linearnu jednačinu a x+b=0 sa a≠0 . Prvi rezultat dat na početku ovog pododjeljka je opravdan. Postoje još dva koja ispunjavaju uslov a=0.

Za a=0 linearna jednačina a·x+b=0 postaje 0·x+b=0. Iz ove jednadžbe i svojstva množenja brojeva sa nulom, slijedi da bez obzira koji broj uzmemo kao x, kada ga zamenimo u jednačinu 0 x+b=0, dobijamo numeričku jednakost b=0. Ova jednakost je tačna kada je b=0, au drugim slučajevima kada je b≠0 ova jednakost je netačna.

Prema tome, za a=0 i b=0, bilo koji broj je korijen linearne jednadžbe a x+b=0, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x daje tačnu numeričku jednakost 0=0. A za a=0 i b≠0, linearna jednadžba a x+b=0 nema korijena, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x dovodi do netačne numeričke jednakosti b=0.

Gore navedena opravdanja omogućavaju formiranje niza akcija koje omogućavaju rješavanje bilo koje linearne jednadžbe. dakle, algoritam za rješavanje linearne jednačine je:

• Prvo, pisanjem linearne jednadžbe, nalazimo vrijednosti koeficijenata a i b.
• Ako je a=0 i b=0, onda ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, naime, bilo koji broj je korijen ove linearne jednadžbe.
• Ako je a različito od nule, onda
• koeficijent b se prenosi na desnu stranu sa suprotnim predznakom, dok se linearna jednačina pretvara u oblik a x=−b ,
• nakon čega su oba dijela rezultirajuće jednadžbe podijeljena brojem različitom od nule a, što daje željeni korijen originalne linearne jednačine.

Napisani algoritam je iscrpan odgovor na pitanje kako riješiti linearne jednadžbe.

U zaključku ovog paragrafa, vrijedi reći da se sličan algoritam koristi za rješavanje jednačina oblika a x=b. Njegova razlika je u tome što se kada a≠0 oba dijela jednačine odmah dijele ovim brojem, ovdje je b već u željenom dijelu jednačine i ne treba ga prenositi.

Za rješavanje jednačina oblika a x=b koristi se sljedeći algoritam:

• Ako je a=0 i b=0, onda jednačina ima beskonačno mnogo korijena, koji su bilo koji brojevi.
• Ako je a=0 i b≠0, onda originalna jednadžba nema korijena.
• Ako je a različit od nule, tada su obje strane jednadžbe podijeljene nenultim brojem a, iz kojeg se nalazi jedini korijen jednadžbe jednak b / a.

Primjeri rješavanja linearnih jednačina

Pređimo na praksu. Hajde da analiziramo kako se primenjuje algoritam za rešavanje linearnih jednačina. Predstavimo rješenja tipičnih primjera koji odgovaraju različitim vrijednostima koeficijenata linearnih jednadžbi.

Primjer.

Riješite linearnu jednačinu 0 x−0=0 .

Rješenje.

U ovoj linearnoj jednačini, a=0 i b=−0, što je isto kao i b=0. Dakle, ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, bilo koji broj je korijen ove jednačine.

odgovor:

x je bilo koji broj.

Primjer.

Da li linearna jednadžba 0 x+2.7=0 ima rješenja?

Rješenje.

U ovom slučaju, koeficijent a je jednak nuli, a koeficijent b ove linearne jednačine jednak je 2,7, odnosno različit je od nule. Prema tome, linearna jednadžba nema korijen.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stepenu.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:

1. Otvorene zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Dovedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih mahinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako to sve funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Onda donesi slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. sve što je povezano sa varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom na "x", i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji, ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se greše ili prilikom otvaranja zagrada, ili kod brojanja "plusova" i "minusa".

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Analiziraćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. napišimo:

Slične pojmove dajemo lijevo i desno, ali to je ovdje već urađeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo posmatrati zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, tj. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, samo imaju različite znakove ispred sebe. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo poslednji korak- podijelite sve sa koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, rekao bih sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne treba ga nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za proširenje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve radnje uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija prilikom izvođenja različitih transformacija. Međutim, toga se ne treba bojati, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

A sada da uzmemo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očigledno, ova jednačina nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očigledno, ova linearna jednačina nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "x". Napomena: množite svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada sa stanovišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije obavljene, setimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo menja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da srednjoškolci dolaze kod mene i ponovo uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Uradimo retreat:

Evo nekih poput:

Uradimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što jednačinu čini upravo linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Uradimo prvi korak pažljivo: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno, nakon transformacije treba dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "x" ulevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednadžbe je ova: čim počnemo množiti zagrade u kojima je više od jednog člana, onda se to radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom od drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobijamo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Zadnjim primjerom želim podsjetiti učenike šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzimamo sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbir se razlikuje od uobičajenog aritmetičkog zbira.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Da bismo riješili takve zadatke, našem algoritmu će morati dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

1. Otvorene zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slično.
4. Podijelite sa faktorom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve akcije i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorene zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slično.
5. Podijelite sa faktorom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svuda je imenilac samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku od njih pomnožiti sa "četiri". napišimo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Vršimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih termina:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednačinu.

Primjer #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljnjih transformacija one smanjiti.
• Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijela brojevna prava je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite sa nama, čeka vas još mnogo zanimljivih stvari!