Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite. Grad - proprietăți, reguli, acțiuni și formule Proprietăți ale puterilor cu aceeași adunare de bază

Adunarea și scăderea puterilor

Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub forma unei fracții.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

proprietăți de grad

Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali si zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.

Proprietatea #1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentă ca diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentă ca diplomă.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea #2
Diplome private

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca putere
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calculati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea #3
Exponentiatie

Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Cum să înmulți puterile

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi produsul puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceeași bază;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza trebuie să rămână aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul total poate fi scos din paranteze:

Luați în considerare cum să înmulțiți puterile, cu exemple specifice.

Unitatea din exponent nu este scrisă, dar la înmulțirea gradelor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, numărul de grade poate fi oricare. Trebuie amintit că nu puteți scrie semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea este efectuată mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi - înmulțirea:

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Ai deja un abonament? A intra

În această lecție, vom învăța cum să înmulțim puteri cu aceeași bază. În primul rând, amintim definiția gradului și formulăm o teoremă asupra validității egalității . Apoi dăm exemple de aplicare a acesteia la anumite numere și o dovedim. De asemenea, vom aplica teorema pentru a rezolva diverse probleme.

Subiect: Grad cu un indicator natural și proprietățile acestuia

Lecția: Înmulțirea puterilor cu aceleași baze (formulă)

1. Definiții de bază

Definitii de baza:

n- exponent,

— n-a-a putere a unui număr.

2. Enunțul teoremei 1

Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k egalitatea este adevărată:

Cu alte cuvinte: dacă A- orice număr; nȘi k numere naturale, atunci:

De aici regula 1:

3. Explicarea sarcinilor

Concluzie: cazuri speciale au confirmat corectitudinea teoremei nr. 1. Să o demonstrăm în cazul general, adică pentru orice Ași orice natural nȘi k.

4. Demonstrarea teoremei 1

Dat un număr A- orice; numere nȘi k- natural. Dovedi:

Dovada se bazează pe definiția gradului.

5. Rezolvarea exemplelor folosind teorema 1

Exemplul 1: Prezentă ca diplomă.

Pentru a rezolva următoarele exemple, folosim teorema 1.

și)

6. Generalizarea teoremei 1

Iată o generalizare:

7. Rezolvarea exemplelor folosind o generalizare a teoremei 1

8. Rezolvarea diverselor probleme folosind teorema 1

Exemplul 2: Calculați (puteți folosi tabelul de grade de bază).

A) (conform tabelului)

b)

Exemplul 3: Scrieți ca putere cu baza 2.

A)

Exemplul 4: Determinați semnul numărului:

, A - negativ deoarece exponentul la -13 este impar.

Exemplul 5:Înlocuiți ( ) cu o putere cu o bază r:

Avem, adică.

9. Rezumând

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al. Algebra 7. Ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010

1. Asistent școlar (Sursa).

1. Exprimați ca grad:

a B C D E)

3. Scrie ca putere cu baza 2:

4. Determinați semnul numărului:

A)

5. Înlocuiți ( ) cu o putere a unui număr cu o bază r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți

În această lecție, vom studia înmulțirea puterilor cu aceiași exponenți. Mai întâi, să ne amintim definițiile și teoremele de bază despre înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze și ridicarea unei puteri la o putere. Apoi formulăm și demonstrăm teoreme privind înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți. Și apoi, cu ajutorul lor, vom rezolva o serie de probleme tipice.

Reamintire a definițiilor și teoremelor de bază

Aici A- baza gradului

— n-a-a putere a unui număr.

Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k egalitatea este adevărată:

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții, baza rămâne neschimbată.

Teorema 2. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k, astfel încât n > k egalitatea este adevărată:

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții sunt scăzuți, iar baza rămâne neschimbată.

Teorema 3. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k egalitatea este adevărată:

Toate teoremele de mai sus au fost despre puteri cu aceeași temeiuri, această lecție va lua în considerare grade cu același indicatori.

Exemple de înmulțire a puterilor cu aceiași exponenți

Luați în considerare următoarele exemple:

Să scriem expresiile pentru determinarea gradului.

Concluzie: Din exemple, puteți vedea asta , dar acest lucru trebuie încă dovedit. Formulăm teorema și o demonstrăm în cazul general, adică pentru oricare AȘi bși orice natural n.

Afirmația și demonstrarea teoremei 4

Pentru orice numere AȘi bși orice natural n egalitatea este adevărată:

Dovada Teorema 4 .

Prin definiția gradului:

Deci am dovedit asta .

Pentru a multiplica puteri cu același exponent, este suficient să înmulțiți bazele și să lăsați exponentul neschimbat.

Afirmația și demonstrarea teoremei 5

Formulăm o teoremă pentru împărțirea puterilor cu aceiași exponenți.

Pentru orice număr AȘi b() și orice natural n egalitatea este adevărată:

Dovada Teorema 5 .

Să scriem și prin definiția gradului:

Enunțarea teoremelor în cuvinte

Deci am dovedit că.

Pentru a împărți grade cu aceiași exponenți unul în celălalt, este suficient să împărțiți o bază la alta și să lăsați exponentul neschimbat.

Rezolvarea problemelor tipice folosind teorema 4

Exemplul 1: Exprimați ca produs al puterilor.

Pentru a rezolva următoarele exemple, folosim teorema 4.

Pentru a rezolva următorul exemplu, amintiți-vă formulele:

Generalizarea teoremei 4

Generalizarea teoremei 4:

Rezolvarea exemplelor folosind teorema generalizată 4

Continuarea rezolvării problemelor tipice

Exemplul 2: Scrieți ca grad de produs.

Exemplul 3: Scrieți ca putere cu un exponent de 2.

Exemple de calcul

Exemplul 4: Calculați în cel mai rațional mod.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. si altele.Algebra 7 .M .: Educatie. 2006

2. Asistent școlar (Sursa).

1. Prezentă ca produs al puterilor:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Notați ca gradul produsului:

3. Scrieți sub forma unui grad cu indicatorul 2:

4. Calculați în cel mai rațional mod.

Lecție de matematică pe tema „Înmulțirea și împărțirea puterilor”

Secțiuni: Matematică

Scopul pedagogic:

elevul va învăța să facă distincția între proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu un exponent natural; aplica aceste proprietati in cazul acelorasi baze;

studentul va avea ocazia să poată efectua transformări de grade cu baze diferite și să poată efectua transformări în sarcini combinate.

Sarcini:

organizează munca elevilor prin repetarea materialului studiat anterior;

asigura nivelul de reproducere prin efectuarea de exercitii de diverse tipuri;

organizarea autoevaluării elevilor prin testare.

Unitățile de activitate ale doctrinei: determinarea gradului cu un indicator natural; componente ale gradului; definiția privat; legea asociativă a înmulțirii.

I. Organizarea unei demonstraţii de însuşire a cunoştinţelor existente de către elevi. (pasul 1)

a) Actualizarea cunoștințelor:

2) Formulați o definiție a gradului cu un indicator natural.

a n \u003d a a a a ... a (n ori)

b k \u003d b b b b a ... b (de k ori) Justificați-vă răspunsul.

II. Organizarea autoevaluării stagiarului după gradul de deținere a experienței relevante. (pasul 2)

Test pentru autoexaminare: (lucrare individuală în două versiuni.)

A1) Exprimați produsul 7 7 7 7 x x x ca putere:

A2) Exprimați ca produs gradul (-3) 3 x 2

A3) Calculați: -2 3 2 + 4 5 3

Selectez numărul de sarcini din test în conformitate cu pregătirea nivelului clasei.

Pentru test, dau o cheie pentru autotestare. Criterii: trece-nu.

III. Sarcină educațională și practică (pasul 3) + pasul 4. (elevii înșiși vor formula proprietățile)

calculați: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Simplificați: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

În cursul rezolvării problemelor 1) și 2), elevii propun o soluție, iar eu, ca profesor, organizez o clasă pentru a găsi o modalitate de simplificare a puterilor la înmulțirea cu aceleași baze.

Profesor: găsiți o modalitate de a simplifica puterile atunci când înmulțiți cu aceeași bază.

Pe cluster apare o intrare:

Se formulează tema lecției. Înmulțirea puterilor.

Profesor: veniți cu o regulă pentru împărțirea gradelor cu aceleași baze.

Raționament: ce acțiune verifică diviziunea? a 5: a 3 = ? că a 2 a 3 = a 5

Revin la schema - un grup și suplimentez intrarea - ..la împărțire, scădem și adaugă subiectul lecției. ...și împărțirea gradelor.

IV. Comunicarea către studenți a limitelor cunoștințelor (ca minim și maxim).

Profesor: sarcina minimului pentru lecția de astăzi este să înveți cum să aplici proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceleași baze, iar maximul: să aplici înmulțirea și împărțirea împreună.

Scrie pe tabla : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organizarea studiului de material nou. (pasul 5)

a) Conform manualului: Nr. 403 (a, c, e) sarcini cu redactare diferită

Nr 404 (a, e, f) muncă independentă, apoi organizez o verificare reciprocă, dau cheile.

b) Pentru ce valoare a lui m este valabilă egalitatea? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Sarcină: veniți cu exemple similare pentru împărțire.

c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Capcane pentru elevi: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Rezumarea a ceea ce s-a învățat, efectuarea lucrărilor de diagnosticare (care încurajează studenții, nu profesorii, să studieze acest subiect) (pasul 6)

munca de diagnosticare.

Test(așezați cheile pe spatele testului).

Opțiuni de sarcină: prezentați ca grad coeficientul x 15: x 3; reprezintă ca putere produsul (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pentru care m este egalitatea a 16 a m = a 32 adevărat; aflați valoarea expresiei h 0: h 2 cu h = 0,2; se calculează valoarea expresiei (5 2 5 0) : 5 2 .

Rezumatul lecției. Reflecţie.Împărțim clasa în două grupe.

Găsiți argumentele grupei I: în favoarea cunoașterii proprietăților gradului, iar grupa II - argumente care vor spune că vă puteți descurca fără proprietăți. Ascultăm toate răspunsurile, tragem concluzii. În lecțiile ulterioare, puteți oferi date statistice și puteți denumi rubrica „Nu se potrivește în capul meu!”

O persoană obișnuită mănâncă 32 10 2 kg de castraveți în timpul vieții.

Viespa este capabilă să efectueze un zbor non-stop de 3,2 10 2 km.

Când sticla crapă, fisura se propagă cu o viteză de aproximativ 5 10 3 km/h.

O broasca mananca peste 3 tone de tantari in timpul vietii sale. Folosind gradul, scrieți în kg.

Cel mai prolific este peștele oceanic - luna (Mola mola), care depune până la 300.000.000 de ouă cu un diametru de aproximativ 1,3 mm într-o singură depunere. Scrieți acest număr folosind o diplomă.

VII. Teme pentru acasă.

Referință istorică. Ce numere se numesc numere Fermat.

P.19. #403, #408, #417

Cărți folosite:

Manual „Algebra-7”, autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și alții.

Material didactic pentru clasa a VII-a, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavici, S.B. Suvorov.

Enciclopedia de matematică.

Jurnalul „Quantum”.

Proprietăți ale gradelor, formulări, dovezi, exemple.

După ce gradul numărului este determinat, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol, vom oferi proprietățile de bază ale gradului unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradului și, de asemenea, vom arăta cum aceste proprietăți sunt aplicate atunci când rezolvăm exemple.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali

Prin definiția unei puteri cu un exponent natural, puterea lui n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a . Pe baza acestei definiții și folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n , generalizarea lui a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze a m:a n =a m−n ;

proprietatea gradului produsului (a b) n =a n b n , extensia sa (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

proprietatea coeficientului in natura (a:b) n =a n:b n ;

exponentiația (a m) n =a m n , generalizarea ei (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

compararea gradului cu zero:

• dacă a>0, atunci a n >0 pentru orice n natural;
• dacă a=0, atunci a n =0;
• dacă a 2 m >0 , dacă a 2 m−1 n ;
• dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci pentru 0m n , iar pentru a>0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, iar părțile lor din dreapta și din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m a n = a m + n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n = a m a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unui grad cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m a n poate fi scris ca produs . Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este puterea lui a cu exponent natural m+n , adică a m+n . Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, conform proprietății principale a gradului, putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Să verificăm validitatea acestuia, pentru care calculăm valorile expresiilor 2 2 ·2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiația, avem 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 și 2 5 =2 2 2 2 2=32 , deoarece obținem valori egale, atunci egalitatea 2 2 2 3 = 2 5 este adevărat și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea principală a unui grad bazată pe proprietățile înmulțirii poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe grade cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1 , n 2 , …, n k egalitatea a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k este adevărată.

De exemplu, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Puteți trece la următoarea proprietate a grade cu un indicator natural - proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n , egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a face dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din enunț. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că este imposibil să împărțim la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n, exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă când m−n) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă când m m−n a n =a (m−n) + n = a m Din egalitatea obținută a m−n a n = a m și din relația de înmulțire cu împărțire rezultă că a m−n este o putere parțială a a m și a n Aceasta dovedește proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze.

Să luăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, proprietatea considerată a gradului corespunde egalității π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Acum luați în considerare proprietatea gradului de produs: gradul natural n al produsului a oricăror două numere reale a și b este egal cu produsul gradelor a n și b n , adică (a b) n =a n b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural, avem . Ultimul produs, bazat pe proprietățile înmulțirii, poate fi rescris ca , care este egal cu a n b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la gradul de produs a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Pentru claritate, arătăm această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7, avem .

Următoarea proprietate este proprietate naturală: câtul numerelor reale a și b , b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n , adică (a:b) n =a n:b n .

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Deci (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , iar din egalitatea (a:b) n b n =a n rezultă că (a:b) n este un coeficient de a n la b n .

Să scriem această proprietate folosind exemplul unor numere specifice: .

Acum hai să ne dăm voce proprietatea de exponentiare: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea lui a cu exponent m·n , adică (a m) n =a m·n .

De exemplu, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dovada proprietății puterii într-un grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea considerată poate fi extinsă la grad în grad în grad și așa mai departe. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, să dăm un exemplu cu numere specifice: ((((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Începem prin a demonstra proprietatea de comparație a zero și putere cu un exponent natural.

Mai întâi, să justificăm că a n >0 pentru orice a>0 .

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii ne permit să afirmăm că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Și puterea lui a cu exponent natural n este, prin definiție, produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a gradul lui n este un număr pozitiv. În virtutea proprietății dovedite 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice n natural cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0 .

Să trecem la baze negative.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, notăm-l ca 2 m , unde m este un număr natural. Apoi . Conform regulii de înmulțire a numerelor negative, fiecare dintre produsele formei a a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv. iar gradul a 2 m . Iată exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza lui a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. În virtutea acestei proprietăți, (−5) 3 17 n n este produsul părților din stânga și din dreapta ale n inegalități adevărate a proprietăți ale inegalităților, inegalitatea fiind demonstrată este de forma a n n . De exemplu, datorită acestei proprietăți, inegalitățile 3 7 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre cele două grade cu indicatori naturali și aceleași baze pozitive, mai puțin de unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mare. Ne întoarcem la dovada acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0m n . Pentru a face acest lucru, scriem diferența a m − a n și o comparăm cu zero. Diferența scrisă după scoaterea a n din paranteze va lua forma a n ·(a m−n −1) . Produsul rezultat este negativ ca produsul dintre un număr pozitiv a n și un număr negativ a m−n −1 (a n este pozitiv ca putere naturală a unui număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este negativă, deoarece m−n >0 datorita conditiei initiale m>n , de unde rezulta ca pentru 0m−n este mai mica decat unu). Prin urmare, a m − a n m n , care trebuia demonstrat. De exemplu, dăm inegalitatea corectă.

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1, a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul lui n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1, gradul unui m−n este mai mare decât unu . Prin urmare, a m − a n >0 și a m >a n , ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2 .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, astfel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali exprimate prin egalități rămân valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele gradelor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și nenule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate proprietățile gradelor cu exponenți întregi:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a n n și a−n>b−n ;
• dacă m și n sunt numere întregi, și m>n , atunci pentru 0m n , iar pentru a>1, inegalitatea a m >a n este satisfăcută.

Pentru a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Nu este greu de demonstrat fiecare dintre aceste proprietăți, pentru aceasta este suficient să folosiți definițiile gradului cu exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale. De exemplu, să demonstrăm că proprietatea puterii este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) și (a −p) −q =a (−p) (−q) . Hai să o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost demonstrată în subsecțiunea anterioară. Dacă p=0 , atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0 q =a 0 =1 , de unde (a 0) q =a 0 q . În mod similar, dacă q=0 , atunci (a p) 0 =1 și a p 0 =a 0 =1 , de unde (a p) 0 =a p 0 . Dacă ambele p=0 și q=0 , atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0 0 =a 0 =1 , de unde (a 0) 0 =a 0 0 .

Să demonstrăm acum că (a −p) q =a (−p) q . Prin definiția unui grad cu un exponent întreg negativ , atunci . După proprietatea coeficientului în grad, avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie este, prin definiție, o putere de forma a −(p q) , care, în virtutea regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p) q .

În mod similar .

ȘI .

Prin același principiu, se pot dovedi toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scrise sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra demonstrației inegalității a −n >b −n , care este adevărată pentru orice număr întreg negativ −n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a . Scriem și transformăm diferența dintre părțile din stânga și din dreapta acestei inegalități: . Întrucât prin condiția a n n , prin urmare, b n − a n >0 . Produsul a n ·b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca un cât de numere pozitive b n − a n și a n b n . De unde a −n >b −n , care trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în același mod ca proprietatea analogă a gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit gradul cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, grade cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și grade cu exponenți întregi. Și anume:

1. proprietatea produsului de puteri cu aceeași bază pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
2. proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze pentru a>0;
3. proprietatea produsului fracționat pentru a>0 și b>0 și dacă și , atunci pentru a≥0 și (sau) b≥0;
4. proprietatea coeficientului la o putere fracționară pentru a>0 și b>0 și dacă , atunci pentru a≥0 și b>0;
5. grad proprietate în grad pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
6. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali egali: pentru orice numere pozitive a și b, a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p ;
7. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali și baze egale: pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0, inegalitatea a p >a q .

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar, pe proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să dăm dovada.

Prin definiția gradului cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea gradului cu exponent întreg, obținem , de unde, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar exponentul gradului obținut poate fi convertit astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari se demonstrează exact în același mod:


Restul egalităților sunt dovedite prin principii similare:


Ne întoarcem la dovada următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice pozitiv a și b , a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p . Scriem numărul rațional p ca m/n , unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condițiile p 0 în acest caz vor fi echivalente cu condițiile m 0, respectiv. Pentru m>0 și am m . Din această inegalitate, prin proprietatea rădăcinilor, avem , și întrucât a și b sunt numere pozitive, atunci, pe baza definiției gradului cu exponent fracționar, inegalitatea rezultată poate fi rescrisă ca , adică a p p .

În mod similar, când m m >b m , de unde , adică și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p>q pentru 0p q , iar pentru a>0 inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, să obținem fracțiile obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiția p>q va corespunde condiției m 1 >m 2, care rezultă din regula de comparare a fracțiilor ordinare cu aceiași numitori. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali, pentru 0m 1 m 2 , iar pentru a>1, inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în ceea ce privește proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise, respectiv, ca Și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, respectiv. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0p q , iar pentru a>0, inegalitatea a p >a q .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu un exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponenți raționali. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b , a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q , p>q pentru 0p q , iar pentru a>0 inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

• Algebră - clasa a X-a. Ecuații trigonometrice Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice” Materiale suplimentare Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentarii, feedback, sugestii! Toate materialele […]
• Este deschis un concurs pentru postul de „VÂNZĂTOR – CONSULTANT”: Responsabilități: vânzarea de telefoane mobile și accesorii pentru serviciul de comunicații mobile pentru abonații Beeline, Tele2, MTS conectarea planurilor tarifare și a serviciilor Beeline și Tele2, consultanță MTS […]
• Un paralelipiped cu formula Un paralelipiped este un poliedru cu 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un paralelogram. Un cuboid este un cuboid a cărui față este un dreptunghi. Orice paralelipiped este caracterizat de 3 […]
• Societatea pentru Protecția Drepturilor Consumatorului Astana Pentru a primi un cod PIN pentru accesarea acestui document pe site-ul nostru, trimiteți un mesaj SMS cu textul zan la numărul Abonaților operatorilor GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) prin trimiterea unui SMS la numărul, […]
• ORTOGRAFIA Н ȘI НН ÎN DIFERITE PĂRȚI DE VORBA 2. Numiți excepțiile de la aceste reguli. 3. Cum să distingem un adjectiv verbal cu sufixul -n- de un participiu cu […]
• Adoptarea unei legi cu privire la gospodăria rudelor Adoptarea unei legi federale privind alocarea gratuită a unui teren fiecărui cetățean al Federației Ruse sau unei familii de cetățeni care dorește să dezvolte o gospodărie a rudelor pe aceasta în următoarele condiții: 1. Terenul este alocate pentru […]
• INSPECȚIA GOSTEKHNADZOR AL REGIUNII BRYANSK Chitanța plății taxei de stat (Descărcare-12,2 kb) Cereri de înmatriculare pentru persoane fizice (Descărcare-12 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane juridice (Descărcare-11,4 kb) 1. La înmatricularea unei mașini noi: 1.cerere 2.pașaport […]
• Nu am mai jucat turnee 1x1 de mult timp. Și este timpul să reluăm această tradiție. Până când vom putea organiza o scară separată și turnee pentru jucătorii 1v1, vă sugerăm să folosiți profilurile echipei dvs. de pe site. Scădeți sau adăugați puncte pentru jocurile din meciuri [...]

Mai devreme am vorbit deja despre ce este o putere a unui număr. Are anumite proprietăți care sunt utile în rezolvarea problemelor: acestea și toți exponenții posibili îi vom analiza în acest articol. De asemenea, vom demonstra prin exemple cum pot fi dovedite și aplicate corect în practică.

Să ne amintim conceptul de grad cu exponent natural, pe care l-am formulat deja mai devreme: acesta este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. De asemenea, trebuie să ne amintim cum să înmulțim corect numerele reale. Toate acestea ne vor ajuta să formulăm următoarele proprietăți pentru un grad cu un indicator natural:

Definiția 1

1. Proprietatea principală a gradului: a m a n = a m + n

Poate fi generalizat la: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Proprietatea coeficientului pentru puteri care au aceeași bază: a m: a n = a m − n

3. Proprietatea gradului de produs: (a b) n = a n b n

Egalitatea poate fi extinsă la: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Proprietatea unui grad natural: (a: b) n = a n: b n

5. Ridicam puterea la putere: (a m) n = a m n ,

Poate fi generalizat la: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Comparați gradul cu zero:

• dacă a > 0, atunci pentru orice n natural, a n va fi mai mare decât zero;
• cu a egal cu 0, a n va fi de asemenea egal cu zero;
• Pentru o< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• Pentru o< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Egalitatea a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Inegalitatea a m > a n va fi adevărată cu condiția ca m și n să fie numere naturale, m este mai mare decât n și a este mai mare decât zero și nu mai mic decât unu.

Drept urmare, am obținut mai multe egalități; daca indepliniti toate conditiile indicate mai sus, atunci acestea vor fi identice. Pentru fiecare dintre egalități, de exemplu, pentru proprietatea principală, puteți schimba părțile din dreapta și din stânga: a m · a n = a m + n - la fel ca a m + n = a m · a n . În această formă, este adesea folosit la simplificarea expresiilor.

1. Să începem cu proprietatea principală a gradului: egalitatea a m · a n = a m + n va fi adevărată pentru orice m natural și n și real a . Cum să dovedesc această afirmație?

Definiția de bază a puterilor cu exponenți naturali ne va permite să transformăm egalitatea într-un produs de factori. Vom primi o intrare ca aceasta:

Acesta poate fi scurtat la (amintiți-vă proprietățile de bază ale înmulțirii). Ca rezultat, am obținut gradul numărului a cu exponent natural m + n. Astfel, a m + n , ceea ce înseamnă că proprietatea principală a gradului este dovedită.

Să luăm un exemplu concret pentru a demonstra acest lucru.

Exemplul 1

Deci avem două puteri cu baza 2. Indicatorii lor naturali sunt 2, respectiv 3. Obținem egalitatea: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Să calculăm valorile pentru a verifica corectitudinea acestei egalități.

Să efectuăm operațiile matematice necesare: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 și 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ca rezultat, am obținut: 2 2 2 3 = 2 5 . Proprietatea a fost dovedită.

Datorită proprietăților înmulțirii, putem generaliza proprietatea formulând-o sub forma a trei sau mai multe puteri, pentru care exponenții sunt numere naturale, iar bazele sunt aceleași. Dacă notăm numărul de numere naturale n 1, n 2 etc. cu litera k, obținem egalitatea corectă:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Exemplul 2

2. În continuare, trebuie să demonstrăm următoarea proprietate, care se numește proprietatea coeficientului și este inerentă puterilor cu aceleași baze: aceasta este egalitatea a m: a n = a m − n , care este valabilă pentru orice m și n natural (și m este mai mare decât n)) și orice real diferit de zero a .

Pentru început, să explicăm care este sensul exact al condițiilor care sunt menționate în formulare. Dacă luăm un egal cu zero, atunci în final vom obține o împărțire la zero, ceea ce nu se poate face (la urma urmei, 0 n = 0). Condiția ca numărul m să fie mai mare decât n este necesară pentru a ne rămâne în cadrul exponenților naturali: scăzând n din m, obținem un număr natural. Dacă condiția nu este îndeplinită, vom obține un număr negativ sau zero și din nou vom trece dincolo de studiul grade cu indicatori naturali.

Acum putem trece la dovadă. Din cele studiate anterior, amintim proprietățile de bază ale fracțiilor și formulăm egalitatea după cum urmează:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Din ea putem deduce: a m − n a n = a m

Amintiți-vă legătura dintre împărțire și înmulțire. Din aceasta rezultă că a m − n este un coeficient de puteri a m și a n . Aceasta este dovada proprietății de gradul doi.

Exemplul 3

Înlocuiți numere specifice pentru claritate în indicatori și notați baza gradului π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. În continuare, vom analiza proprietatea gradului produsului: (a · b) n = a n · b n pentru orice a și b real și n natural .

Conform definiției de bază a unui grad cu exponent natural, putem reformula egalitatea după cum urmează:

Reamintindu-ne proprietatile inmultirii, scriem: . Înseamnă la fel ca a n · b n .

Exemplul 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Dacă avem trei sau mai mulți factori, atunci această proprietate se aplică și în acest caz. Introducem notația k pentru numărul de factori și scriem:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Exemplul 5

Cu numere specifice, obținem următoarea egalitate corectă: (2 (- 2 , 3) ​​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. După aceea, vom încerca să demonstrăm proprietatea coeficientului: (a: b) n = a n: b n pentru orice a și b real dacă b nu este egal cu 0 și n este un număr natural.

Pentru demonstrație, putem folosi proprietatea gradului anterior. Dacă (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n și (a: b) n b n = a n , atunci rezultă că (a: b) n este un coeficient de împărțire a a n la b n .

Exemplul 6

Să numărăm exemplul: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Exemplul 7

Să începem imediat cu un exemplu: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Și acum formulăm un lanț de egalități care ne vor dovedi corectitudinea egalității:

Dacă avem grade de grade în exemplu, atunci această proprietate este valabilă și pentru ei. Dacă avem numere naturale p, q, r, s, atunci va fi adevărat:

a p q y s = a p q y s

Exemplul 8

Să adăugăm detalii: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. O altă proprietate a gradelor cu exponent natural pe care trebuie să o dovedim este proprietatea de comparație.

Mai întâi, să comparăm exponentul cu zero. De ce a n > 0 cu condiția ca a să fie mai mare decât 0?

Dacă înmulțim un număr pozitiv cu altul, vom obține și un număr pozitiv. Cunoscând acest fapt, putem spune că acesta nu depinde de numărul de factori - rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive este un număr pozitiv. Și ce este un grad, dacă nu rezultatul înmulțirii numerelor? Atunci pentru orice putere un n cu o bază pozitivă și un exponent natural, acest lucru va fi adevărat.

Exemplul 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 și 34 9 13 51 > 0

De asemenea, este evident că o putere cu o bază egală cu zero este ea însăși zero. La orice putere vom ridica zero, acesta va rămâne zero.

Exemplul 10

0 3 = 0 și 0 762 = 0

Dacă baza gradului este un număr negativ, atunci demonstrația este puțin mai complicată, deoarece conceptul de exponent par / impar devine important. Să începem cu cazul în care exponentul este par și să-l notăm cu 2 · m , unde m este un număr natural.

Să ne amintim cum să înmulțim corect numerele negative: produsul a · a este egal cu produsul modulelor și, prin urmare, va fi un număr pozitiv. Apoi iar gradul a 2 · m sunt de asemenea pozitive.

Exemplul 11

De exemplu, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 și - 2 9 6 > 0

Ce se întâmplă dacă exponentul cu bază negativă este un număr impar? Să-l notăm 2 · m − 1 .

Apoi

Toate produsele a · a , conform proprietăților înmulțirii, sunt pozitive, la fel și produsul lor. Dar dacă o înmulțim cu singurul număr rămas a , atunci rezultatul final va fi negativ.

Atunci obținem: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Cum să demonstrezi?

un n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Exemplul 12

De exemplu, inegalitățile sunt adevărate: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Rămâne să demonstrăm ultima proprietate: dacă avem două grade, ale căror baze sunt aceleași și pozitive, iar exponenții sunt numere naturale, atunci unul dintre ele este mai mare, al cărui exponent este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul al cărui indicator este mai mare este mai mare.

Să demonstrăm aceste afirmații.

Mai întâi trebuie să ne asigurăm că un m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Scoatem un n din paranteze, după care diferența noastră va lua forma a n · (am − n − 1) . Rezultatul acestuia va fi negativ (deoarece rezultatul înmulțirii unui număr pozitiv cu unul negativ este negativ). Într-adevăr, conform condițiilor inițiale, m − n > 0, atunci a m − n − 1 este negativ, iar primul factor este pozitiv, ca orice putere naturală cu bază pozitivă.

S-a dovedit că a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Rămâne de demonstrat cea de-a doua parte a afirmației formulate mai sus: a m > a este adevărată pentru m > n și a > 1 . Indicăm diferența și scoatem un n din paranteze: (a m - n - 1) Puterea unui n cu un mai mare de unu va da un rezultat pozitiv; iar diferența în sine se va dovedi pozitivă din cauza condițiilor inițiale, iar pentru a > 1 gradul a m − n este mai mare decât unu. Rezultă că a m − a n > 0 și a m > a n , ceea ce trebuia să demonstrăm.

Exemplul 13

Exemplu cu numere specifice: 3 7 > 3 2

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți întregi

Pentru grade cu exponenți întregi pozitivi, proprietățile vor fi similare, deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, ceea ce înseamnă că toate egalitățile dovedite mai sus sunt valabile și pentru ele. Sunt potrivite și pentru cazurile în care exponenții sunt negativi sau egali cu zero (cu condiția ca baza gradului în sine să fie diferită de zero).

Astfel, proprietățile puterilor sunt aceleași pentru orice baze a și b (cu condiția ca aceste numere să fie reale și nu egale cu 0) și orice exponenți m și n (cu condiția ca acestea să fie numere întregi). Le scriem pe scurt sub formă de formule:

Definiția 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n cu întreg pozitiv n , pozitiv a și b , a< b

7 dimineata< a n , при условии целых m и n , m >n și 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Dacă baza gradului este egală cu zero, atunci intrările a m și a n au sens numai în cazul m și n natural și pozitiv. Ca urmare, constatăm că formulările de mai sus sunt potrivite și pentru cazurile cu un grad cu o bază zero, dacă sunt îndeplinite toate celelalte condiții.

Dovezile acestor proprietăți în acest caz sunt simple. Va trebui să ne amintim ce este un grad cu un exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale.

Să analizăm proprietatea gradului în grad și să demonstrăm că este adevărată atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Începem prin a demonstra egalitățile (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) și (a − p) − q = a (− p) (−q)

Condiții: p = 0 sau număr natural; q - la fel.

Dacă valorile lui p și q sunt mai mari decât 0, atunci obținem (a p) q = a p · q . Am demonstrat deja o egalitate similară înainte. Dacă p = 0 atunci:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Prin urmare, (a 0) q = a 0 q

Pentru q = 0 totul este exact la fel:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p 0 .

Dacă ambii indicatori sunt zero, atunci (a 0) 0 = 1 0 = 1 și a 0 0 = a 0 = 1, atunci (a 0) 0 = a 0 0 .

Amintiți-vă proprietatea coeficientului în puterea demonstrată mai sus și scrieți:

1 a p q = 1 q a p q

Dacă 1 p = 1 1 … 1 = 1 și a p q = a p q , atunci 1 q a p q = 1 a p q

Putem transforma această notație în virtutea regulilor de înmulțire de bază în a (− p) · q .

De asemenea: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

ȘI (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Proprietățile rămase ale gradului pot fi demonstrate în mod similar prin transformarea inegalităților existente. Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, vom indica doar punctele dificile.

Dovada penultimei proprietăți: reamintim că a - n > b - n este adevărată pentru orice valori întregi negative ale lui n și orice a și b pozitive, cu condiția ca a să fie mai mic decât b.

Atunci inegalitatea poate fi transformată după cum urmează:

1 a n > 1 b n

Scriem părțile din dreapta și din stânga ca diferență și efectuăm transformările necesare:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Reamintim că în condiția a este mai mică decât b , atunci, conform definiției unui grad cu exponent natural: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ajunge să fie un număr pozitiv deoarece factorii săi sunt pozitivi. Ca rezultat, avem o fracție b n - a n a n · b n , care în final dă și un rezultat pozitiv. De aici 1 a n > 1 b n de unde a − n > b − n , ceea ce a trebuit să dovedim.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în mod similar cu proprietatea gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile de bază ale gradelor cu exponenți raționali

În articolele anterioare, am discutat despre ce este un grad cu un exponent rațional (fracțional). Proprietățile lor sunt aceleași cu cele ale gradelor cu exponenți întregi. Hai să scriem:

Definiția 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (puteri de proprietate a produsului cu aceeași bază).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 dacă a > 0 (proprietatea coeficientului).

3. a b m n = a m n b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 și (sau) b ≥ 0 (proprietatea produsului în grad fracționar).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m n > 0, atunci pentru a ≥ 0 și b > 0 (proprietatea unui coeficient într-un grad fracționar).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (proprietatea gradului în grade).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; dacă p< 0 - a p >b p (proprietatea de a compara grade cu exponenți raționali egali).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q la 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Pentru a demonstra aceste prevederi, trebuie să ne amintim ce este un grad cu un exponent fracționar, care sunt proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și care sunt proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Să aruncăm o privire la fiecare proprietate.

După ce este un grad cu un exponent fracționar, obținem:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 și a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, prin urmare, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Proprietățile rădăcinii ne vor permite să obținem egalități:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Din aceasta obținem: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Să transformăm:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Exponentul poate fi scris astfel:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Aceasta este dovada. A doua proprietate este dovedită exact în același mod. Să scriem lanțul de egalități:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dovezi ale egalităților rămase:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Următoarea proprietate: să demonstrăm că pentru orice valori ale lui a și b mai mari decât 0, dacă a este mai mică decât b, se va executa a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Să reprezentăm un număr rațional p ca m n . În acest caz, m este un număr întreg, n este un număr natural. Apoi condițiile p< 0 и p >0 va fi extins la m< 0 и m >0 . Pentru m > 0 și a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Folosim proprietatea rădăcinilor și derivăm: a m n< b m n

Ținând cont de pozitivitatea valorilor a și b, rescriem inegalitatea ca a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

În același mod, pentru m< 0 имеем a a m >b m , obținem a m n > b m n deci a m n > b m n și a p > b p .

Rămâne să dovedim ultima proprietate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p > q la 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ar fi adevărat a p > a q .

Numerele raționale p și q pot fi reduse la un numitor comun și obțin fracțiile m 1 n și m 2 n

Aici m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. Dacă p > q, atunci m 1 > m 2 (ținând cont de regula de comparare a fracțiilor). Apoi la 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – inegalitatea a 1 m > a 2 m .

Ele pot fi rescrise în următoarea formă:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Apoi puteți face transformări și obțineți ca rezultat:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Pentru a rezuma: pentru p > q și 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți iraționali

Toate proprietățile descrise mai sus pe care le posedă un grad cu exponenți raționali pot fi extinse până la un asemenea grad. Aceasta rezultă din însăși definiția sa, pe care am dat-o într-unul din articolele anterioare. Să formulăm pe scurt aceste proprietăți (condiții: a > 0 , b > 0 , indicatorii p și q sunt numere iraționale):

Definiția 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , apoi a p > a q .

Astfel, toate puterile ai căror exponenți p și q sunt numere reale, cu condiția ca a > 0, au aceleași proprietăți.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi ne vom opri asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem paranteze, să dăm termeni similari, să lucrăm cu baza și cu exponentul, să folosim proprietățile puterilor.

Ce sunt expresiile de putere?

În cursul școlar, puțini oameni folosesc sintagma „expresii de putere”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile de pregătire pentru examen. În cele mai multe cazuri, expresia denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.

Definiția 1

Exprimarea puterii este o expresie care conține grade.

Dăm câteva exemple de expresii de putere, începând cu un grad cu exponent natural și terminând cu un grad cu exponent real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . La fel și puteri cu exponent zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Și puteri cu puteri întregi negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indicatorul poate fi o variabilă 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau un logaritm x 2 l g x − 5 x l g x.

Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

În primul rând, vom lua în considerare transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 (4 2 − 12).

Soluţie

Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. În acest caz, vom începe prin a efectua acțiunile dintre paranteze: vom înlocui gradul cu o valoare digitală și vom calcula diferența dintre cele două numere. Avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Rămâne să înlocuim gradul 2 3 intelesul sau 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Exemplul 2

Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Soluţie

Expresia dată nouă în starea problemei conține termeni similari, pe care îi putem aduce: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Răspuns: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exemplul 3

Exprimați o expresie cu puteri de 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.

Soluţie

Să reprezentăm numărul 9 ca putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Răspuns: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Și acum să trecem la analiza transformărilor identice care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.

Lucrul cu baza și exponent

Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7Și . Este dificil să lucrezi cu astfel de înregistrări. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.

Transformările gradului și ale indicatorului se realizează după regulile cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că în urma transformărilor se obține o expresie identică cu cea originală.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul pe care l-am dat mai sus, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puteți efectua operații pentru a ajunge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem aduce termeni similari în baza gradului (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)și obțineți o expresie a puterii într-o formă mai simplă a 2 (x + 1).

Utilizarea proprietăților puterii

Proprietățile grade, scrise ca egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu grade. Vă prezentăm aici pe cele principale, având în vedere că AȘi b sunt numere pozitive și rȘi s- numere reale arbitrare:

Definiția 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m a n = a m + n, Unde mȘi n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.

Puteți aplica proprietățile gradelor fără restricții în cazurile în care bazele gradelor sunt pozitive sau conțin variabile al căror interval de valori acceptabile este astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el. De fapt, în cadrul curriculumului școlar la matematică, sarcina elevului este să aleagă proprietatea potrivită și să o aplice corect.

Atunci când vă pregătiți pentru admiterea la universități, pot exista sarcini în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a ODZ și la alte dificultăți cu soluția. În această secțiune, vom lua în considerare doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre subiect puteți găsi în subiectul „Transformarea expresiilor folosind proprietățile exponentului”.

Exemplul 4

Reprezentați expresia a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 ca grad cu o bază A.

Soluţie

Pentru început, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Răspuns: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea gradelor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.

Exemplul 5

Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Soluţie

Dacă aplicăm egalitatea (a b) r = a r b r, de la dreapta la stânga, atunci obținem un produs de forma 3 7 1 3 21 2 3 și apoi 21 1 3 21 2 3 . Să adăugăm exponenții atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Există o altă modalitate de a face transformări:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplul 6

Dată o expresie de putere a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0, 5.

Soluţie

Imaginează-ți gradul a 1, 5 Cum a 0, 5 3. Utilizarea proprietății grad într-un grad (a r) s = a r s de la dreapta la stânga și obțineți (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . În expresia rezultată, puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă t = a 0, 5: obține t 3 − t − 6.

Răspuns: t 3 − t − 6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

De obicei avem de-a face cu două variante de expresii de putere cu fracții: expresia este o fracție cu un grad sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de fracții de bază sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor, pot lucra separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.

Exemplul 7

Simplificați expresia puterii 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Soluţie

Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pune un minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar, astfel încât să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplul 8

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 la numitorul x + 8 y 1 2 .

Soluţie

a) Alegem un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , prin urmare, ca factor suplimentar, luăm a 0, 3. Gama de valori admisibile ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. În acest domeniu, gradul a 0, 3 nu merge la zero.

Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Acordați atenție numitorului:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Înmulțiți această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6 , obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6 , adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor, la care trebuie să aducem fracția originală.

Deci am găsit un factor suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori acceptabile ale variabilelor XȘi y expresia x 1 3 + 2 y 1 6 nu dispare, așa că putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Exemplul 9

Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Soluţie

a) Folosiți cel mai mare numitor comun (MCG) cu care numărătorul și numitorul pot fi reduse. Pentru numerele 30 și 45, acesta este 15. De asemenea, putem reduce x 0, 5 + 1 iar pe x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Primim:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operațiile de bază cu fracții includ reducerea la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adunarea și scăderea fracțiilor, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, după care se efectuează acțiuni (adunare sau scădere) cu numărători. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.

Exemplul 10

Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Soluţie

Să începem prin a scădea fracțiile care sunt între paranteze. Să le aducem la un numitor comun:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Să scădem numărătorii:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Acum înmulțim fracțiile:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Să reducem cu un grad x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula pentru diferența de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplul 11

Simplificați expresia puterii x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Soluţie

Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem o fracție x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Să continuăm transformările x puterilor x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Acum puteți utiliza proprietatea diviziunii puterii cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați multiplicatori cu exponenți negativi de la numărător la numitor și invers prin schimbarea semnului exponentului. Această acțiune simplifică decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

În sarcini, există expresii de putere care conțin nu numai grade cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este de dorit să se reducă astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Trecerea la grade este de preferat, deoarece este mai ușor de lucrat cu acestea. O astfel de tranziție este deosebit de avantajoasă atunci când DPV-ul variabilelor pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți DPV-ul în mai multe intervale.

Exemplul 12

Exprimați expresia x 1 9 x x 3 6 ca putere.

Soluţie

Interval valid al unei variabile X este determinată de două inegalități x ≥ 0şi x · x 3 ≥ 0 , care definesc mulţimea [ 0 , + ∞) .

Pe acest set, avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Folosind proprietățile gradelor, simplificăm expresia puterii rezultată.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Răspuns: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Conversia puterilor cu variabile în exponent

Aceste transformări sunt destul de simplu de făcut dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Putem înlocui produsul gradului, în termenii căruia se găsește suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației cu 7 2 x. Această expresie pe ODZ a variabilei x ia numai valori pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Să introducem o nouă variabilă t = 5 7 x , care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi

În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Exemple de astfel de expresii sunt: ​​1 4 1 - 5 log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările discutate mai sus și proprietățile logaritmilor, pe care le-am analizat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În ultimul tutorial video, am aflat că gradul unei anumite baze este o expresie care este produsul bazei și ea însăși, luată într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum unele dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Să aruncăm o privire la această piesă în întregime:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

După ce am calculat valoarea acestei expresii, vom obține numărul 32. Pe de altă parte, așa cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca un produs al aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă numărați, atunci:

Astfel, se poate concluziona cu siguranță că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate de multiplicare a gradului decurge din regula păstrării sensului expresiilor în timpul transformărilor în produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a) x și (a) y este egal cu a (x + y). Cu alte cuvinte, la producerea oricăror expresii cu aceeași bază, monomiul final are un grad total format prin adăugarea gradului primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca bazele pentru toate să fie aceleași. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, în general, să efectuați acțiuni comune de putere cu două elemente ale expresiei, dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor în timpul unui produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:

Să facem o transformare termen cu termen a expresiei într-o formă completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în cursul soluției sale este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este deuce care se obține scăzând gradul celei de-a doua expresii din gradul primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. În formă abstractă, avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definiția gradului zero rezultă din regula împărțirii bazelor identice cu puteri. Evident, următoarea expresie este:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Pe de altă parte, dacă împărțim într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții, se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:

Indiferent de valoarea a.

Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care încă dă 0 pentru orice înmulțire) este într-un fel egal cu unu, așa că o expresie ca (0) 0 (de la zero la gradul zero) pur și simplu nu are sens și la formula (a) 0 \u003d 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.

Hai să facem exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și este egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: Expresia este egală cu unu.

Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali si zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.

Proprietatea #1
Produsul puterilor

Tine minte!

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m a n \u003d a m + n, unde "a" - orice număr și "m", "n" - orice număr natural.

Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentă ca diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentă ca diplomă.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Important!

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași temeiuri . Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea #2
Diplome private

Tine minte!

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

• Exemplu. Simplificați expresia.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Important!

  Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.

  Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă luăm în considerare (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

  Atenție!

  Proprietatea #3
  Exponentiatie

  Tine minte!

  Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

  (a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

  
  

  Proprietăți 4
  Gradul de produs

  Tine minte!

  Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la o putere. Rezultatele sunt apoi multiplicate.

  (a b) n \u003d a n b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; "n" - orice număr natural.

  • Exemplul 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Exemplul 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Important!

  Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

  (a n b n)= (a b) n

  Adică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.

  • Exemplu. Calculati.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Exemplu. Calculati.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

  De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Proprietăți 5
  Puterea coeficientului (fracțiilor)

  Tine minte!

  Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

  (a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.

  • Exemplu. Exprimați expresia ca puteri parțiale.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.