Ters türev tablosunun değerleri. İlkel. Kolay örnekleri çözme
ters türev fonksiyonunun tanımı
- İşlev y=F(x) fonksiyonun antitürevi denir y=f(x) belirli bir aralıkta X, eğer herkes için X ∈X eşitlik tutar: F'(x) = f(x)
İki şekilde okunabilir:
- f fonksiyon türevi F
- F fonksiyon için ters türev f
ters türevlerin özelliği
- Eğer bir F(x)- fonksiyon için ters türev f(x) belirli bir aralıkta, o zaman f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve tüm bu ters türevler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C, burada C keyfi bir sabittir.
geometrik yorumlama
- Belirli bir fonksiyonun tüm ters türevlerinin grafikleri f(x) O ekseni boyunca paralel transferlerle herhangi bir ters türevin grafiğinden elde edilir de.
Ters türevleri hesaplama kuralları
- Toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşittir. Eğer bir F(x)- için ilkel f(x), ve G(x) için ters türev g(x), sonra F(x) + G(x)- için ilkel f(x) + g(x).
- Sabit faktör türevin işaretinden alınabilir.. Eğer bir F(x)- için ilkel f(x), ve k sabittir, o zaman kF(x)- için ilkel kf(x).
- Eğer bir F(x)- için ilkel f(x), ve k,b- kalıcı ve k ≠ 0, sonra 1/k F(kx + b)- için ilkel f(kx + b).
Unutma!
herhangi bir işlev F (x) \u003d x 2 + C , burada C keyfi bir sabittir ve yalnızca böyle bir işlev, işlev için bir ters türevdir. f(x) = 2x.
- Örneğin:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x,çünkü F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x,çünkü F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);
Bir fonksiyonun grafikleri ile ters türevi arasındaki ilişki:
- fonksiyonun grafiği ise f(x)>0 aralıkta, daha sonra antitürevinin grafiği F(x) bu aralıkta artar.
- fonksiyonun grafiği ise aralıkta f(x), ardından antitürevinin grafiği F(x) bu aralıkta azalır.
- Eğer bir f(x)=0, sonra onun antitürevinin grafiği F(x) bu noktada artandan azalana doğru değişir (veya tam tersi).
Ters türevi belirtmek için belirsiz integralin işareti, yani integralin sınırlarını belirtmeden integral kullanılır.
belirsiz integral
Tanım:
- f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali, F(x) + C ifadesidir, yani verilen f(x) fonksiyonunun tüm ters türevleri kümesidir. Belirsiz integral şu şekilde gösterilir: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) integral denir;
- f(x)dx- integral denir;
- x- entegrasyon değişkeni olarak adlandırılır;
- F(x)- f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri;
- İTİBAREN keyfi bir sabittir.
Belirsiz integralin özellikleri
- Belirsiz integralin türevi, integrale eşittir: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- İntegralin sabit çarpanı integral işaretinden alınabilir: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Eğer bir k,b sabitlerdir ve k ≠ 0, o zaman \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.
Ters türevler ve belirsiz integraller tablosu
| İşlev f(x) | ters türev F(x) + C | belirsiz integraller \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\değil =-1 | F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C | \int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( x ) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e ( ^x ) dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac ( a^x ) ( lna ) + C | \int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x)=\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x ) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x ) | F(x) = \tg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt ( x ) | F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C | |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) ) | F(x) =2\sqrt ( x ) + C | |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) | F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) | F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 ) | F(x)=\arctg + C | \int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0) | F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x ) | F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x ) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C |
Newton-Leibniz formülü
İzin vermek f(x) bu fonksiyon, F keyfi ilkel.
\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)
nerede F(x)- için ilkel f(x)
Yani fonksiyonun integrali f(x) aralıktaki noktalardaki ters türevlerin farkına eşittir b ve a.
Eğrisel bir yamuğun alanı
eğrisel yamuk rakam denir sınırlı program fonksiyonun segmentinde negatif olmayan ve sürekli f, eksen Öküz ve düz çizgiler x = bir ve x = b.
Eğrisel bir yamuğun alanı Newton-Leibniz formülü kullanılarak bulunur:
S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx
Ters türev tablosunu kullanarak doğrudan entegrasyon (belirsiz integral tabloları)
Ters türev tablosu
Belirsiz integralin özelliklerini kullanırsak, bir fonksiyonun bilinen diferansiyeliyle ters türevi bulabiliriz. Temel temel fonksiyonlar tablosundan, ∫ d F (x) = ∫ F "(x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C ve ∫ k f (x) d x = k ∫ f eşitliklerini kullanarak (x) d x bir terstürev tablosu yapabiliriz.
Türev tablosunu diferansiyeller şeklinde yazıyoruz.
|
Sabit y = C Ç" = 0 Güç fonksiyonu y = x p . (x p)" = p x p - 1 |
Sabit y = C d (C) = 0 dx Güç fonksiyonu y = x p . d (x p) = p x p - 1 d x |
|
(a x)" = bir x ln a |
Üstel fonksiyon y = a x . d (a x) = bir x ln α d x Özellikle, a = e için y = e x var d (e x) = e x d x |
|
bir x " = 1 x ln a'yı günlüğe kaydet |
Logaritmik fonksiyonlar y = log a x . d (bir x günlüğü) = d x x ln a Özellikle, a = e için y = ln x'e sahibiz d (ln x) = d x x |
|
trigonometrik fonksiyonlar. günah x "= cos x (cos x)" = - günah x (t g x) "= 1 c o s 2 x (c t g x)" = - 1 günah 2 x |
trigonometrik fonksiyonlar. d günah x = cos x d x d (cos x) = - günah x d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x günah 2 x |
|
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2 |
Ters trigonometrik fonksiyonlar. d a r c günah x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d bir r c t g x = d x 1 + x 2 d bir r cc t g x = - d x 1 + x 2 |
Yukarıdakileri bir örnekle açıklayalım. f (x) = x p güç fonksiyonunun belirsiz integralini bulun.
Diferansiyel tablosuna göre d (x p) = p x p - 1 d x. Belirsiz integralin özelliklerine göre, elimizde ∫ d (x p) = ∫ p x p - 1 d x = p ∫ x p - 1 d x = x p + C var. Bu nedenle, ∫ x p - 1 d x = x p p + C p , p ≠ 0. İkinci gösterim şu şekildedir: ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1.
Bunu - 1'e eşit olarak alalım, f (x) = x p: ∫ x p d x = ∫ x - 1 d x = ∫ d x x güç fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulalım.
Şimdi doğal logaritma d (ln x) = d x x , x > 0 için bir diferansiyel tablosuna ihtiyacımız var, dolayısıyla ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x . Bu nedenle ∫ d x x = ln x , x > 0 .
Ters türev tablosu (belirsiz integraller)
Tablonun sol sütunu, temel ters türevler olarak adlandırılan formülleri içerir. Sağ sütundaki formüller temel değildir, ancak belirsiz integralleri bulmak için kullanılabilir. Farklılaştırma ile kontrol edilebilirler.
Doğrudan Entegrasyon
Doğrudan entegrasyonu gerçekleştirmek için ters türev tablolarını, entegrasyon kurallarını ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C ve belirsiz integrallerin özelliklerini ∫ k f (x) d x = k ∫ kullanacağız. f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
Temel integraller tablosu ve integrallerin özellikleri ancak integralin küçük bir dönüşümünden sonra kullanılabilir.
örnek 1
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x integralini bulalım
Çözüm
3 katsayısını integral işaretinin altından alıyoruz:
∫ 3 günah x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ günah x 2 + cos x 2 2 d x
Trigonometri formüllerini kullanarak integrali dönüştürüyoruz:
3 ∫ günah x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ günah x 2 2 + 2 günah x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 günah x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + günah x d x
Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşit olduğundan, o zaman
3 ∫ 1 + günah x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ günah x d x
Ters türev tablosundaki verileri kullanıyoruz: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x \u003d 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) \u003d \u003d n u t 3 C 1 + C 2 \u003d C \u003d 3 x - 3 çünkü x + C
Cevap:∫ 3 günah x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .
Örnek 2
f(x) = 2 3 4 x - 7 fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulmak gerekir.
Çözüm
Üstel fonksiyon için ters türevler tablosunu kullanıyoruz: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Bu, ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C olduğu anlamına gelir.
Entegrasyon kuralı ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C kullanıyoruz.
∫ 2 3 4 x - 7 d x = 1 3 4 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C elde ederiz.
Cevap: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C
Ters türevler, özellikler ve integrasyon kuralı tablosunu kullanarak birçok belirsiz integral bulabiliriz. Bu, integrali dönüştürmenin mümkün olduğu durumlarda mümkündür.
Logaritma fonksiyonunun, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının ve bir dizi diğerinin integralini bulmak için "Temel Entegrasyon Yöntemleri" bölümünde ele alacağımız özel yöntemler kullanılır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Daha önceki bir materyalde, türevi bulma sorusu düşünüldü ve çeşitli uygulamalar: grafiğe teğetin eğimini hesaplama, optimizasyon problemlerini çözme, monotonluk ve ekstrema için fonksiyonları inceleme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Resim 1.
$s(t)$ fonksiyonu ile ifade edilen, önceden bilinen bir katedilen mesafeye göre türev kullanılarak $v(t)$ anlık hızını bulma problemi de düşünülmüştür.
Şekil 2.
$s(t)$ zaman içinde bir noktanın kat ettiği $s(t)$ yolunu bulmanız gerektiğinde, $v(t)$ noktasının hızını bilerek ters problem de çok yaygındır. Hatırlarsanız, $v(t)$ anlık hızı, $s(t)$: $v(t)=s’(t)$ yolunun bir türevi olarak bulunur. Bu, ters problemi çözmek, yani yolu hesaplamak için, türevi hız fonksiyonuna eşit olacak bir fonksiyon bulmanız gerektiği anlamına gelir. Ama yolun türevinin hız olduğunu biliyoruz, yani: $s'(t) = v(t)$. Hız, ivme ve zamanın çarpımına eşittir: $v=at$. İstenen yol fonksiyonunun şu forma sahip olacağını belirlemek kolaydır: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ama bu tam bir çözüm değil. Tam çözüm şöyle görünecektir: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, burada $C$ bir miktar sabittir. Bunun neden böyle olduğu daha sonra tartışılacaktır. Bu arada, bulunan çözümün doğruluğunu kontrol edelim: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
Hızla yolu bulmanın terstürevin fiziksel anlamı olduğunu belirtmekte fayda var.
Ortaya çıkan $s(t)$ işlevine $v(t)$'ın ters türevi denir. Oldukça ilginç ve sıradışı bir isim değil mi? İçinde bu kavramın özünü açıklayan ve anlaşılmasına yol açan büyük bir anlam vardır. "First" ve "image" olmak üzere iki kelime içerdiğini görebilirsiniz. Kendileri için konuşuyorlar. Yani, elimizdeki türevin orijinali olan fonksiyon budur. Ve bu türev ile başlangıçtaki fonksiyonu arıyoruz, "ilk", "ilk görüntü", yani terstürev. Bazen ilkel fonksiyon veya anti-türev olarak da adlandırılır.
Bildiğimiz gibi, türevi bulma işlemine türev alma denir. Ve ters türevi bulma sürecine entegrasyon denir. Entegrasyon işlemi, farklılaşma işleminin tersidir. Bunun tersi de doğrudur.
Tanım. Bir aralıktaki $f(x)$ fonksiyonunun ters türevi, türevi belirtilen aralıktaki tüm $x$ için $f(x)$ fonksiyonuna eşit olan bir $F(x)$ fonksiyonudur: $F'( x)=f(x)$.
Birinin bir sorusu olabilir: $F(x)$ ve $f(x)$, başlangıçta yaklaşık $s(t)$ ve $v(t)$ ise, tanımda nereden geldi? Gerçek şu ki, $s(t)$ ve $v(t)$, bu durumda belirli bir anlamı olan işlevlerin atanmasının özel durumlarıdır, yani bunlar sırasıyla zamanın bir işlevi ve hızın bir işlevidir. Aynısı $t$ değişkeni için de geçerlidir - zamanı temsil eder. Ve $f$ ve $x$, sırasıyla bir fonksiyonun ve bir değişkenin genel tanımının geleneksel çeşididir. $F(x)$ terstürevinin gösterimine özellikle dikkat etmeye değer. İlk olarak, $F$ sermayedir. Primitifler büyük harflerle gösterilir. İkincisi, harfler aynıdır: $F$ ve $f$. Yani, $g(x)$ fonksiyonu için antitürev $G(x)$ ile, $z(x)$ için - $Z(x)$ ile gösterilecektir. Notasyondan bağımsız olarak, ters türev fonksiyonunu bulma kuralları her zaman aynıdır.
Birkaç örneğe bakalım.
örnek 1$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ işlevinin, $f(x)=\cos5x$ işlevinin ters türevi olduğunu kanıtlayın.
Bunu kanıtlamak için, tanımı veya daha doğrusu $F'(x)=f(x)$ olgusunu kullanırız ve $F(x)$: $F'(x)=(\) fonksiyonunun türevini buluruz. frac(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Yani $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$, $f(x)=\cos5x$'ın ters türevidir. Q.E.D.
Örnek 2 Aşağıdaki ters türevlerin hangi fonksiyonlara karşılık geldiğini bulun: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
İstenen fonksiyonları bulmak için türevlerini hesaplıyoruz:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Örnek 3$f(x)=0$ için ters türev ne olacak?
tanımını kullanalım. Hangi fonksiyonun $0$'a eşit bir türevi olabileceğini düşünelim. Türev tablosunu hatırlayarak, herhangi bir sabitin böyle bir türevi olacağını anlarız. Aradığımız ters türevi elde ederiz: $F(x)= C$.
Ortaya çıkan çözüm geometrik ve fiziksel olarak açıklanabilir. Geometrik olarak, $y=F(x)$ grafiğine teğetin bu grafiğin her noktasında yatay olduğu ve dolayısıyla $Ox$ ekseniyle çakıştığı anlamına gelir. Sıfıra eşit bir hıza sahip bir noktanın yerinde kalması, yani geçtiği yolun değişmemesi gerçeğiyle fiziksel olarak açıklanır. Buna dayanarak, aşağıdaki teoremi formüle edebiliriz.
Teorem. (İşlev sabitliği işareti). Bir aralıkta $F'(x) = 0$ ise, $F(x)$ işlevi bu aralıkta sabittir.
Örnek 4 Fonksiyonların ters türevlerini belirleyin a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, burada $a$ bir sayıdır.
Terstürev tanımını kullanarak, bu görevi çözmek için bize verilen terstürev fonksiyonlarının türevlerini hesaplamamız gerektiği sonucuna varıyoruz. Hesaplarken, bir sabitin, yani herhangi bir sayının türevinin sıfıra eşit olduğunu unutmayın.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\sol(\frac(x^7)(7) – 3\sağ)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.
Ne görüyoruz? Birkaç farklı fonksiyon, aynı fonksiyonun ters türevleridir. Bu, herhangi bir fonksiyonun sonsuz sayıda ters türevi olduğu ve $F(x) + C$ formuna sahip oldukları anlamına gelir, burada $C$ isteğe bağlı bir sabittir. Yani, entegrasyon işlemi, farklılaşma işleminin aksine çok değerlidir. Buna dayanarak, ters türevlerin ana özelliğini tanımlayan bir teorem formüle ediyoruz.
Teorem. (İlkellerin ana özelliği). $F_1$ ve $F_2$ işlevleri, belirli bir aralıkta $f(x)$ işlevinin ters türevleri olsun. O zaman aşağıdaki eşitlik bu aralıktaki tüm değerler için geçerlidir: $F_2=F_1+C$, burada $C$ bir miktar sabittir.
Sonsuz bir ters türev kümesinin varlığı gerçeği geometrik olarak yorumlanabilir. $Oy$ ekseni boyunca paralel öteleme yardımıyla, birbirinden $f(x)$ için herhangi iki terstürevin grafiği elde edilebilir. Ters türevinin geometrik anlamı budur.
$C$ sabitini seçerek terstürevin grafiğini belirli bir noktadan geçirmenin mümkün olduğuna dikkat etmek çok önemlidir.
Figür 3
Örnek 5 Grafiği $(3; 1)$ noktasından geçen $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ fonksiyonunun ters türevini bulun.
Önce $f(x)$ için tüm ters türevleri bulalım: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Sonra, $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ grafiğinin $(3; 1)$ noktasından geçeceği bir C sayısı buluruz. Bunu yapmak için, noktanın koordinatlarını grafiğin denkleminde yerine koyarız ve $C$'a göre çözeriz:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$y=\frac(x^3)(9)+x-5$ grafiğini aldık, bu, $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ ters türevine karşılık gelir.
Ters türev tablosu
Ters türevleri bulmak için bir formül tablosu, türevleri bulmak için formüller kullanılarak derlenebilir.
| Fonksiyonlar | ters türevler |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $balta+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\görüntüleme stili \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cos x$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\görüntüleme stili \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\görüntüleme stili -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
Tablonun doğruluğunu aşağıdaki gibi kontrol edebilirsiniz: sağ sütunda bulunan her bir ters türev kümesi için, sol sütundaki karşılık gelen fonksiyonların elde edileceği bir türevi bulun.
Ters türevleri bulmak için bazı kurallar
Bildiğiniz gibi, birçok fonksiyon ters türev tablosunda belirtilenlerden daha karmaşık bir forma sahiptir ve bu tablodaki fonksiyonların toplamlarının ve ürünlerinin herhangi bir keyfi kombinasyonu olabilir. Ve burada benzer fonksiyonların ters türevlerinin nasıl hesaplanacağı sorusu ortaya çıkıyor. Örneğin, tablodan $x^3$, $\sin x$ ve $10$ ters türevlerini nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz. Ama örneğin, $x^3-10\sin x$ ters türevi nasıl hesaplanır? İleriye baktığımızda, $\frac(x^4)(4)+10\cos x$'a eşit olacağını belirtmekte fayda var.
1. $F(x)$, $f(x)$ için bir ters türev ise, $G(x)$ $g(x)$ içindir, o zaman $f(x)+g(x)$ için ters türev $ F(x)+G(x)$'a eşit olacaktır.
2. $F(x)$, $f(x)$ için bir ters türev ise ve $a$ bir sabitse, o zaman $af(x)$ için ters türev $aF(x)$'dir.
3. $f(x)$ için ters türev $F(x)$ ise, $a$ ve $b$ sabit ise, o zaman $\frac(1)(a) F(ax+b)$ için ters türevdir $f (balta+b)$.
Elde edilen kuralları kullanarak terstürev tablosunu genişletebiliriz.
| Fonksiyonlar | ters türevler |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Örnek 5 Karşıt türevleri bulun:
a) $\görüntüleme stili 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\görüntüleme stili \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Ters türevler tablosu ("integraller"). İntegral tablosu. Tablosal belirsiz integraller. (Basit integraller ve parametreli integraller). Parçalara göre entegrasyon formülleri. Newton-Leibniz formülü.
|
Ters türevler tablosu ("integraller"). Tablosal belirsiz integraller. (Basit integraller ve parametreli integraller). |
|
|
Güç fonksiyonu integrali. |
Güç fonksiyonu integrali. |
|
x diferansiyelin işareti altında sürülürse, bir güç fonksiyonunun integraline indirgenen bir integral. |
|
|
|
a'nın sabit bir sayı olduğu üstel integral. |
|
Karmaşık bir üstel fonksiyonun integrali. |
Üstel fonksiyonun integrali. |
|
Doğal logaritmaya eşit bir integral. |
İntegral: "Uzun logaritma". |
|
İntegral: "Uzun logaritma". |
|
|
İntegral: "Yüksek logaritma". |
Paydaki x'in diferansiyelin işaretinin altına getirildiği (işaretin altındaki sabit hem toplanabilir hem de çıkarılabilir), sonuç olarak doğal logaritmaya eşit integrale benzer. |
|
İntegral: "Yüksek logaritma". |
|
|
Kosinüs integrali. |
Sinüs integrali. |
|
Tanjanta eşit bir integral. |
Kotanjanta eşit bir integral. |
|
Hem arksinüs hem de arksinüs'e eşit integral |
|
|
Hem ters sinüse hem de ters kosinüs'e eşit bir integral. |
Hem ark tanjantına hem de ark kotanjantına eşit bir integral. |
|
İntegral kosekant'a eşittir. |
İntegral, sekant'a eşittir. |
|
Arsekant'a eşit bir integral. |
Ark kosekantına eşit bir integral. |
|
Arsekant'a eşit bir integral. |
Arsekant'a eşit bir integral. |
|
Hiperbolik sinüse eşit bir integral. |
Hiperbolik kosinüs değerine eşit bir integral. |
|
|
|
|
Sinhx'in İngilizce'de hiperbolik sinüs olduğu hiperbolik sinüse eşit bir integral. |
İngilizce versiyonunda sinhx'in hiperbolik sinüs olduğu hiperbolik kosinüs'e eşit bir integral. |
|
Hiperbolik tanjanta eşit bir integral. |
Hiperbolik kotanjanta eşit bir integral. |
|
Hiperbolik sekanta eşit bir integral. |
Hiperbolik kosekanta eşit bir integral. |
Parçalara göre entegrasyon formülleri. Entegrasyon kuralları.
|
Parçalara göre entegrasyon formülleri. Newton-Leibniz formülü İntegrasyon kuralları. |
|
|
Bir ürünün (fonksiyonun) bir sabit ile entegrasyonu: |
|
|
Fonksiyonların toplamının entegrasyonu: |
|
|
belirsiz integraller: |
|
|
Parça formülü ile entegrasyon belirli integraller: |
|
|
Newton-Leibniz formülü belirli integraller: |
Burada F(a),F(b), sırasıyla b ve a noktalarındaki ters türevlerin değerleridir. |
Türev tablosu. Tablo türevleri. Ürünün türevi. Özel türevi. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
x bağımsız bir değişken ise, o zaman:
|
Türev tablosu. Tablo türevleri "tablo türevi" - evet, ne yazık ki, internette bu şekilde aranıyorlar |
|
|
Güç fonksiyonu türevi |
|
|
|
Üssün türevi |
|
|
Üstel fonksiyonun türevi |
|
Logaritmik bir fonksiyonun türevi |
|
|
Bir fonksiyonun doğal logaritmasının türevi |
|
|
|
|
|
kosekant türevi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ters tanjantın türevi |
|
|
|
|
|
ark kosekantının türevi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bir bileşik üstel fonksiyonun türevi
Doğal logaritmanın türevi
sinüs türevi
kosinüs türevi
sekant türevi
arksinüs türevi
ark kosinüs türevi
arksinüs türevi
ark kosinüs türevi
teğet türevi
kotanjant türevi
ark tanjant türevi
Ters tanjantın türevi
ark tanjant türevi
Arcsekant türevi
ark kosekantının türevi
Arcsekant türevi
Hiperbolik sinüsün türevi
İngilizce versiyonunda hiperbolik sinüsün türevi
hiperbolik kosinüs türevi
İngilizce versiyonunda hiperbolik kosinüsün türevi
Hiperbolik tanjantın türevi
Hiperbolik kotanjantın türevi
Hiperbolik sekantın türevi
Hiperbolik kosekantın türevi|
Farklılaşma kuralları. Ürünün türevi. Özel türevi. Karmaşık bir fonksiyonun türevi. |
|
|
Bir ürünün (fonksiyon) bir sabit tarafından türevi: |
|
|
Toplamın türevi (fonksiyonlar): |
|
|
Ürünün türevi (fonksiyonların): |
|
|
Bölümün (fonksiyonların) türevi: |
|
|
Karmaşık bir fonksiyonun türevi: |
|
Logaritmaların özellikleri. Logaritmaların temel formülleri. Ondalık (lg) ve doğal logaritmalar (ln).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Temel logaritmik kimlik |
|
|
a b biçimindeki herhangi bir fonksiyonun nasıl üstel hale getirilebileceğini gösterelim. e x biçiminde bir fonksiyon üstel olarak adlandırıldığından, |
|
|
a b biçimindeki herhangi bir işlev, on'un kuvveti olarak temsil edilebilir. |
|
Doğal logaritma ln (logaritma tabanı e = 2.718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0
Taylor serisi. Taylor serisinde bir fonksiyonun açılımı.
Görünüşe göre çoğu pratikte meydana gelen matematiksel fonksiyonlar, değişkenin güçlerini artan düzende içeren güç serileri şeklinde belirli bir noktanın yakınında herhangi bir doğrulukla temsil edilebilir. Örneğin, x=1 noktasının yakınında:
Çağrılan satırları kullanırken taylor satırları,örneğin cebirsel, trigonometrik ve üstel fonksiyonları içeren karma fonksiyonlar, tamamen cebirsel fonksiyonlar olarak ifade edilebilir. Serilerin yardımıyla farklılaşma ve entegrasyon genellikle hızlı bir şekilde gerçekleştirilebilir.
a noktasının çevresindeki Taylor serisi aşağıdaki formlara sahiptir:
1)
, burada f(x), x=a'daki tüm derecelerin türevlerine sahip bir fonksiyondur. R n - Taylor serisinde kalan terim ifade ile belirlenir 
2)
serinin k-inci katsayısı (x k'de) formülle belirlenir
3) Taylor serisinin özel bir durumu Maclaurin serisidir (=McLaren) (ayrışma a=0 noktası etrafında gerçekleşir)
a=0 için 
serinin üyeleri formülle belirlenir
Taylor serilerinin uygulama koşulları.
1. f(x) fonksiyonunun bir Taylor serisinde (-R;R) aralığında genişletilebilmesi için Taylor formülünde kalan terimin (Maclaurin (=McLaren)) bunun için gerekli ve yeterlidir. fonksiyonu belirtilen aralıkta (-R;R) k →∞'de sıfır olma eğilimindedir.
2. Yakınında bir Taylor serisi oluşturacağımız noktada bu fonksiyonun türevlerinin olması gerekir.
Taylor serisinin özellikleri.
Eğer f bir analitik fonksiyon ise, o zaman onun Taylor serisi f'nin herhangi bir a noktasında a'nın bir komşuluğunda f'ye yakınsar.
Taylor serisi yakınsayan, ancak a'nın herhangi bir komşuluğundaki fonksiyondan farklı olan sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar vardır. Örneğin:
Taylor serileri, polinomlarla yaklaşıklık (bir yaklaşım, bazı nesnelerin başkalarıyla, şu veya bu anlamda orijinaline yakın, ancak daha basit olarak değiştirilmesinden oluşan bilimsel bir yöntemdir) işlevler için kullanılır. Özellikle, doğrusal olmayan bir sistemin çalışmasının, orijinaline eşdeğer bir anlamda doğrusal bir sistemin analizi ile değiştirildiği, kapalı doğrusal olmayan sistemlerin yaklaşık temsili yöntemlerinden biri olan doğrusallaştırma ((linearis - doğrusaldan) .) denklemleri, bir Taylor serisine genişletilerek ve birinci dereceden yukarıdaki tüm terimler kesilerek oluşur.
Böylece, hemen hemen her fonksiyon, belirli bir doğrulukla bir polinom olarak temsil edilebilir.
Maclaurin serilerinde (=McLaren,Taylor 0 noktası civarında) ve Taylor 1 noktası civarında güç fonksiyonlarının bazı yaygın açılımlarına örnekler. Taylor ve MacLaren serilerindeki ana fonksiyonların açılımlarının ilk terimleri.
Maclaurin serisindeki güç fonksiyonlarının bazı yaygın açılımlarına örnekler (= 0 noktası civarında MacLaren, Taylor)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. nokta etrafındaki bazı yaygın Taylor serisi açılımlarına örnekler
|
|
|
|
|
|
Her Öğrencinin Bilmesi Gereken Temel İntegraller
Listelenen integraller temel, temellerin temelidir. Bu formüller elbette hatırlanmalıdır. Daha karmaşık integralleri hesaplarken bunları sürekli kullanmanız gerekecektir.
(5), (7), (9), (12), (13), (17) ve (19) formüllerine özellikle dikkat edin. Entegrasyon yaparken cevaba isteğe bağlı bir C sabiti eklemeyi unutmayın!
Bir sabitin integrali
∫ A d x = A x + C (1)Güç fonksiyonu entegrasyonu
Aslında, kişi kendini formül (5) ve (7) ile sınırlayabilir, ancak bu gruptaki integrallerin geri kalanı o kadar yaygındır ki, onlara biraz dikkat etmeye değer.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = günlük | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Üstel fonksiyonun ve hiperbolik fonksiyonların integralleri
Elbette formül (8) (belki de hatırlaması en kolayı), formül (9)'un özel bir hali olarak düşünülebilir. Hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüs integralleri için formüller (10) ve (11) formül (8)'den kolayca türetilir, ancak bu ilişkileri hatırlamak daha iyidir.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonometrik fonksiyonların temel integralleri
Öğrencilerin sıklıkla yaptığı bir hata: (12) ve (13) formüllerindeki işaretleri karıştırıyorlar. Sinüs türevinin kosinüsüne eşit olduğunu hatırlayarak, birçok kişi nedense sinx fonksiyonunun integralinin cosx'e eşit olduğuna inanır. Bu doğru değil! Sinüs'ün integrali "eksi kosinüs"tür, ancak cosx'in integrali "sadece sinüs"tür:
∫ günah x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = günah x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 günah 2 x d x = − c t g x + C (15)
Ters Trigonometrik Fonksiyonları Azaltan İntegraller
Ark tanjantına giden formül (16), doğal olarak a=1 için formül (17)'nin özel bir durumudur. Benzer şekilde (18), (19)'un özel bir durumudur.
∫ 1 1 + x 2 d x = bir r c t g x + C = − bir r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + bir 2 = 1 bir a r c t g x bir + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arksin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arksin x a + C = − arccos x bir + C (a > 0) (19)
Daha karmaşık integraller
Bu formüllerin hatırlanması da arzu edilir. Ayrıca oldukça sık kullanılırlar ve çıktıları oldukça sıkıcıdır.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − bir 2 d x = ln | x + x 2 - bir 2 | +C(21)
∫ 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + 2 2 yaysin x bir + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + bir 2 d x = x 2 x 2 + bir 2 + bir 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − 2 d x = x 2 x 2 − 2 − 2 2 ln | x + x 2 - bir 2 | + C (a > 0) (24)
Genel entegrasyon kuralları
1) İki fonksiyonun toplamının integrali, karşılık gelen integrallerin toplamına eşittir: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) İki fonksiyonun farkının integrali, karşılık gelen integrallerin farkına eşittir: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Sabit integral işaretinden alınabilir: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Özelliğin (26) basitçe özelliklerin (25) ve (27) bir kombinasyonu olduğunu görmek kolaydır.
4) Karmaşık bir fonksiyonun integrali, eğer iç fonksiyon lineer ise: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevidir. Bu formülün yalnızca iç işlev Ax + B olduğunda çalıştığını unutmayın.
Önemli: İki fonksiyonun çarpımının integralinin yanı sıra bir kesrin integrali için evrensel bir formül yoktur:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (otuz)
Bu, elbette, bir kesrin veya ürünün entegre edilemeyeceği anlamına gelmez. Sadece (30) gibi bir integrali her gördüğünüzde, onunla "savaşmanın" bir yolunu bulmanız gerekir. Bazı durumlarda, parçalara göre entegrasyon size yardımcı olacaktır, bir yerde değişken değişikliği yapmanız gerekecek ve bazen "okul" cebir veya trigonometri formülleri bile yardımcı olabilir.
Belirsiz integrali hesaplamak için basit bir örnek
Örnek 1. İntegrali bulun: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x(25) ve (26) formüllerini kullanırız (fonksiyonların toplamının veya farkının integrali, karşılık gelen integrallerin toplamına veya farkına eşittir. Şunu elde ederiz: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 gün
Sabitin integral işaretinden alınabileceğini hatırlayın (formül (27)). İfade forma dönüştürülür
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ günah x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Şimdi sadece temel integral tablosunu kullanalım. (3), (12), (8) ve (1) formüllerini uygulamamız gerekecek. Güç fonksiyonu, sinüs, üs ve sabit 1'i entegre edelim. Sonuna isteğe bağlı bir C sabiti eklemeyi unutmayın:
3 x 3 3 - 2 çünkü x - 7 e x + 12 x + C
Temel dönüşümlerden sonra son cevabı alırız:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Türev alarak kendinizi test edin: ortaya çıkan fonksiyonun türevini alın ve orijinal integrale eşit olduğundan emin olun.
İntegrallerin özet tablosu
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = günlük | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ günah x d x = − çünkü x + C |
| ∫ cos x d x = günah x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 günah 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = bir r c t g x + C = − bir r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + bir 2 = 1 bir a r c t g x bir + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arksin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arksin x a + C = − arccos x bir + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − bir 2 d x = ln | x + x 2 - bir 2 | + C |
| ∫ 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + 2 2 yaysin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + bir 2 d x = x 2 x 2 + bir 2 + bir 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − 2 d x = x 2 x 2 − 2 − 2 2 ln | x + x 2 - bir 2 | + C (a > 0) |
İntegral tablosunu (bölüm II) bu bağlantıdan indirin
Bir üniversitede okuyorsanız, yüksek matematikte (matematiksel analiz, lineer cebir, olasılık teorisi, istatistik) herhangi bir zorluk yaşıyorsanız, nitelikli bir öğretmenin hizmetine ihtiyacınız varsa, bir yüksek matematik öğretmeni sayfasına gidin. Sorunlarınızı birlikte çözelim!
Ayrıca ilginizi çekebilir
