Κανόνες πολλαπλασιασμού δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις. Βαθμός - ιδιότητες, κανόνες, ενέργειες και τύποι Ιδιότητες δυνάμεων με την ίδια βάση βάσης

Πρόσθεση και αφαίρεση δυνάμεων

Προφανώς, οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα ένα προς ένα με τα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι a 3 + b 2 .
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4.

Πιθανότητα τις ίδιες δυνάμεις των ίδιων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.

Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι ίσο με 5a 2 .

Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρουμε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.

Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςΚαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να προστεθούν προσθέτοντάς τα στα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + a 3 .

Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν είναι ούτε διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά διπλάσιο του κύβου του α.

Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια του υπόστρωμα πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.

Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Πολλαπλασιασμός ισχύος

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν όπως και άλλες ποσότητες γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.

Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.

Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας τις ίδιες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3 .

Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με άθροισμαβαθμοί όρων.

Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.

Άρα, a n .a m = a m+n .

Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όσες είναι η ισχύς του n.

Και το a m , λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.

Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες.

Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι − αρνητικός.

1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των τετραγώνων τους.

Αν το άθροισμα και η διαφορά δύο αριθμών αυξηθεί σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμός.

Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Καταμερισμός εξουσιών

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί αφαιρώντας από τον διαιρέτη ή τοποθετώντας τους με τη μορφή κλάσματος.

Άρα ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ένα 3 .

Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac $. Αυτό όμως ισούται με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..

Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Δηλαδή, $\frac = y$.

Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac = a^n$.

Ή:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Ο κανόνας ισχύει και για αριθμούς με αρνητικόςτιμές πτυχίου.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.

Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις

1. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac $ Απάντηση: $\frac $.

2. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac$. Απάντηση: $\frac $ ή 2x.

3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 / a 3 και a -3 / a -4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι ένας πρώτος αριθμητής -2.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι το -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .

4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 / 5a 7 και 5a 5 / 5a 7 ή 2a 3 / 5a 2 και 5/5a 2.

5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.

6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).

7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .

8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.

ιδιότητες βαθμού

Σας υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το μάθημα καταλαβαίνουμε ιδιότητες βαθμούμε φυσικούς δείκτες και μηδέν. Τα πτυχία με ορθολογικούς δείκτες και οι ιδιότητές τους θα συζητηθούν στα μαθήματα για την 8η τάξη.

Ένας εκθέτης με φυσικό εκθέτη έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες που σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε παραδείγματα εκθέτη.

Ακίνητο #1
Προϊόν των δυνάμεων

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες προστίθενται.

a m a n \u003d a m + n, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

Αυτή η ιδιότητα των δυνάμεων επηρεάζει επίσης το γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων.

• Απλοποιήστε την έκφραση.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Παρουσιάστε ως πτυχίο.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Παρουσιάστε ως πτυχίο.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Λάβετε υπόψη ότι στην υποδεικνυόμενη ιδιότητα επρόκειτο μόνο για πολλαπλασιασμό δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις.. Δεν ισχύει για την προσθήκη τους.

Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το άθροισμα (3 3 + 3 2) με 3 5 . Αυτό είναι κατανοητό αν
υπολογίστε (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 και 3 5 = 243

Ακίνητο #2
Ιδιωτικά πτυχία

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.

• Γράψτε το πηλίκο ως δύναμη
  (2β) 5: (2β) 3 = (2β) 5 − 3 = (2β) 2
• Υπολογίζω.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των μερικών μοιρών.
3 8: t = 3 4

Απάντηση: t = 3 4 = 81

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Νο. 1 και Νο. 2, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε εκφράσεις και να εκτελέσετε υπολογισμούς.

Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας ιδιότητες βαθμού.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Λάβετε υπόψη ότι η ιδιοκτησία 2 αφορούσε μόνο την κατανομή εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.

Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαφορά (4 3 −4 2) με 4 1 . Αυτό είναι κατανοητό αν υπολογίσετε (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 και 4 1 = 4

Ακίνητο #3
Εκθεσιμότητα

Κατά την αύξηση μιας ισχύος σε μια ισχύ, η βάση της ισχύος παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

(a n) m \u003d a n m, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

Υπενθυμίζουμε ότι ένα πηλίκο μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Ως εκ τούτου, θα σταθούμε στο θέμα της αύξησης ενός κλάσματος σε μια ισχύ με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη σελίδα.

Πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις

Πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις; Ποιες δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν και ποιες όχι; Πώς πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με μια δύναμη;

Στην άλγεβρα, μπορείτε να βρείτε το γινόμενο των δυνάμεων σε δύο περιπτώσεις:

1) αν τα πτυχία έχουν την ίδια βάση?

2) αν τα πτυχία έχουν τους ίδιους δείκτες.

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση πρέπει να παραμένει η ίδια και οι εκθέτες πρέπει να προστίθενται:

Όταν πολλαπλασιάζονται οι μοίρες με τους ίδιους δείκτες, ο συνολικός δείκτης μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες:

Εξετάστε πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις, με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Η μονάδα στον εκθέτη δεν γράφεται, αλλά κατά τον πολλαπλασιασμό των μοιρών, λαμβάνουν υπόψη:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, ο αριθμός των μοιρών μπορεί να είναι οποιοσδήποτε. Θα πρέπει να θυμάστε ότι δεν μπορείτε να γράψετε το σύμβολο πολλαπλασιασμού πριν από το γράμμα:

Στις εκφράσεις, εκτελείται πρώτα η εκθετικότητα.

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με μια ισχύ, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε εκθετικό ρυθμό και μόνο τότε - πολλαπλασιασμό:

Πολλαπλασιασμός δυνάμεων με την ίδια βάση

Αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο είναι διαθέσιμο με συνδρομή

Έχετε ήδη συνδρομή; Να ερθει μεσα

Σε αυτό το μάθημα, θα μάθουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση. Αρχικά, υπενθυμίζουμε τον ορισμό του βαθμού και διατυπώνουμε ένα θεώρημα για την εγκυρότητα της ισότητας . Στη συνέχεια δίνουμε παραδείγματα εφαρμογής του σε συγκεκριμένους αριθμούς και το αποδεικνύουμε. Θα εφαρμόσουμε επίσης το θεώρημα για να λύσουμε διάφορα προβλήματα.

Θέμα: Πτυχίο με φυσικό δείκτη και τις ιδιότητές του

Μάθημα: Πολλαπλασιασμός δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις (τύπος)

1. Βασικοί ορισμοί

Βασικοί ορισμοί:

n- εκθέτης,

— n-η δύναμη ενός αριθμού.

2. Δήλωση του Θεωρήματος 1

Θεώρημα 1.Για οποιοδήποτε αριθμό ΕΝΑκαι κάθε φυσικό nΚαι κη ισότητα ισχύει:

Με άλλα λόγια: αν ΕΝΑ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ; nΚαι κφυσικοί αριθμοί, τότε:

Εξ ου και ο κανόνας 1:

3. Επεξήγηση εργασιών

Συμπέρασμα:ειδικές περιπτώσεις επιβεβαίωσαν την ορθότητα του Θεωρήματος Νο. 1. Ας το αποδείξουμε στη γενική περίπτωση, δηλαδή για οποιαδήποτε ΕΝΑκαι κάθε φυσικό nΚαι κ.

4. Απόδειξη του Θεωρήματος 1

Δίνεται ένας αριθμός ΕΝΑ- όποιος; αριθμοί nΚαι κ-φυσικός. Αποδεικνύω:

Η απόδειξη βασίζεται στον ορισμό του πτυχίου.

5. Λύση παραδειγμάτων με χρήση του Θεωρήματος 1

Παράδειγμα 1:Παρουσιάστε ως πτυχίο.

Για να λύσουμε τα παρακάτω παραδείγματα, χρησιμοποιούμε το Θεώρημα 1.

και)

6. Γενίκευση του Θεωρήματος 1

Εδώ είναι μια γενίκευση:

7. Επίλυση παραδειγμάτων με χρήση γενίκευσης του Θεωρήματος 1

8. Επίλυση διαφόρων προβλημάτων χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 1

Παράδειγμα 2:Υπολογίστε (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα των βασικών πτυχίων).

ΕΝΑ) (σύμφωνα με τον πίνακα)

σι)

Παράδειγμα 3:Γράψτε ως δύναμη με τη βάση 2.

ΕΝΑ)

Παράδειγμα 4:Προσδιορίστε το πρόσημο του αριθμού:

, ΕΝΑ -αρνητικό γιατί ο εκθέτης στο -13 είναι περιττός.

Παράδειγμα 5:Αντικαταστήστε το ( ) με τροφοδοτικό με βάση r:

Έχουμε , δηλαδή .

9. Συνοψίζοντας

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. κ.ά. Άλγεβρα 7. 6η έκδοση. Μ.: Διαφωτισμός. 2010

1. Σχολικός Βοηθός (Πηγή).

1. Εκφράστε ως πτυχίο:

α Β Γ Δ Ε)

3. Γράψτε ως δύναμη με βάση 2:

4. Προσδιορίστε το πρόσημο του αριθμού:

ΕΝΑ)

5. Αντικαταστήστε το ( ) με δύναμη ενός αριθμού με βάση r:

α) r 4 ( ) = r 15 ; β) ( ) r 5 = r 6

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες

Σε αυτό το μάθημα, θα μελετήσουμε τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες. Αρχικά, ας θυμηθούμε τους βασικούς ορισμούς και τα θεωρήματα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και την αύξηση μιας δύναμης σε δύναμη. Στη συνέχεια διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε θεωρήματα για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες. Και στη συνέχεια με τη βοήθειά τους θα λύσουμε μια σειρά τυπικών προβλημάτων.

Υπενθύμιση βασικών ορισμών και θεωρημάτων

Εδώ ένα- βάση πτυχίου

— n-η δύναμη ενός αριθμού.

Θεώρημα 1.Για οποιοδήποτε αριθμό ΕΝΑκαι κάθε φυσικό nΚαι κη ισότητα ισχύει:

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, προστίθενται οι εκθέτες, η βάση παραμένει αμετάβλητη.

Θεώρημα 2.Για οποιοδήποτε αριθμό ΕΝΑκαι κάθε φυσικό nΚαι κ,τέτοια που n > κη ισότητα ισχύει:

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες αφαιρούνται και η βάση παραμένει αμετάβλητη.

Θεώρημα 3.Για οποιοδήποτε αριθμό ΕΝΑκαι κάθε φυσικό nΚαι κη ισότητα ισχύει:

Όλα τα παραπάνω θεωρήματα αφορούσαν δυνάμεις με το ίδιο λόγους, αυτό το μάθημα θα εξετάσει πτυχία με το ίδιο δείκτες.

Παραδείγματα πολλαπλασιασμού δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες

Εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα:

Ας γράψουμε τις εκφράσεις για τον προσδιορισμό του βαθμού.

Συμπέρασμα:Από τα παραδείγματα, μπορείτε να το δείτε , αλλά αυτό πρέπει ακόμα να αποδειχθεί. Διατυπώνουμε το θεώρημα και το αποδεικνύουμε στη γενική περίπτωση, δηλαδή για οποιαδήποτε ΕΝΑΚαι σικαι κάθε φυσικό n.

Δήλωση και απόδειξη του Θεωρήματος 4

Για τυχόν αριθμούς ΕΝΑΚαι σικαι κάθε φυσικό nη ισότητα ισχύει:

ΑπόδειξηΘεώρημα 4 .

Εξ ορισμού πτυχίου:

Αυτό λοιπόν το έχουμε αποδείξει .

Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις βάσεις και να αφήσουμε τον εκθέτη αμετάβλητο.

Δήλωση και απόδειξη του Θεωρήματος 5

Διατυπώνουμε ένα θεώρημα για τη διαίρεση των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες.

Για οποιοδήποτε αριθμό ΕΝΑΚαι σι() και κάθε φυσικό nη ισότητα ισχύει:

ΑπόδειξηΘεώρημα 5 .

Ας γράψουμε και εξ ορισμού πτυχίο:

Δήλωση των θεωρημάτων με λέξεις

Το έχουμε αποδείξει λοιπόν.

Για να διαιρέσουμε μοίρες με τους ίδιους εκθέτες μεταξύ τους, αρκεί να διαιρέσουμε τη μία βάση με την άλλη και να αφήσουμε τον εκθέτη αμετάβλητο.

Επίλυση τυπικών προβλημάτων με χρήση του Θεωρήματος 4

Παράδειγμα 1:Εκφραστείτε ως προϊόν δυνάμεων.

Για να λύσουμε τα παρακάτω παραδείγματα, χρησιμοποιούμε το Θεώρημα 4.

Για να λύσετε το ακόλουθο παράδειγμα, θυμηθείτε τους τύπους:

Γενίκευση του Θεωρήματος 4

Γενίκευση του Θεωρήματος 4:

Επίλυση παραδειγμάτων με χρήση γενικευμένου θεωρήματος 4

Συνέχισε την επίλυση τυπικών προβλημάτων

Παράδειγμα 2:Γράψτε ως βαθμό προϊόντος.

Παράδειγμα 3:Γράψτε ως δύναμη με εκθέτη 2.

Παραδείγματα Υπολογισμού

Παράδειγμα 4:Υπολογίστε με τον πιο ορθολογικό τρόπο.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7. Μ.: ΒΕΝΤΑΝΑ-ΓΡΑΦ

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. και άλλα.Άλγεβρα 7 .Μ .: Εκπαίδευση. 2006

2. Σχολική βοηθός (Πηγή).

1. Παρουσιάστε ως προϊόν εξουσιών:

ΕΝΑ) ; β) ; V) ; Ζ) ;

2. Γράψτε ως το βαθμό του προϊόντος:

3. Γράψτε με τη μορφή βαθμού με δείκτη 2:

4. Υπολογίστε με τον πιο ορθολογικό τρόπο.

Μάθημα μαθηματικών με θέμα "Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων"

Ενότητες:Μαθηματικά

Παιδαγωγικός στόχος:

ο μαθητής θα μάθεινα διακρίνει τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με έναν φυσικό εκθέτη. Εφαρμόστε αυτές τις ιδιότητες στην περίπτωση των ίδιων βάσεων.

ο μαθητής θα έχει την ευκαιρίανα μπορεί να εκτελεί μετασχηματισμούς βαθμών με διαφορετικές βάσεις και να μπορεί να εκτελεί μετασχηματισμούς σε συνδυασμένες εργασίες.

Καθήκοντα:

να οργανώσει την εργασία των μαθητών επαναλαμβάνοντας προηγουμένως μελετημένο υλικό.

εξασφαλίστε το επίπεδο αναπαραγωγής εκτελώντας ασκήσεις διαφόρων τύπων.

να οργανώσει την αυτοαξιολόγηση των μαθητών μέσω τεστ.

Ενότητες δραστηριότητας του δόγματος:προσδιορισμός του βαθμού με φυσικό δείκτη. εξαρτήματα βαθμού? ορισμός του ιδιωτικού? συνειρμικός νόμος πολλαπλασιασμού.

Ι. Διοργάνωση επίδειξης κατάκτησης της υπάρχουσας γνώσης από τους μαθητές. (βήμα 1)

α) Επικαιροποίηση γνώσεων:

2) Διατυπώστε έναν ορισμό του βαθμού με φυσικό δείκτη.

a n \u003d a a a a ... a (n φορές)

b k \u003d b b b b a ... b (k φορές) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

II. Οργάνωση αυτοαξιολόγησης του καταρτιζόμενου κατά το βαθμό κατοχής σχετικής εμπειρίας. (βήμα 2)

Τεστ για αυτοεξέταση: (ατομική εργασία σε δύο εκδόσεις.)

Α1) Εκφράστε το γινόμενο 7 7 7 7 x x x ως δύναμη:

Α2) Να εκφράσετε ως γινόμενο τον βαθμό (-3) 3 x 2

Α3) Υπολογίστε: -2 3 2 + 4 5 3

Επιλέγω τον αριθμό των εργασιών στο τεστ σύμφωνα με την προετοιμασία του επιπέδου της τάξης.

Για τη δοκιμή, δίνω ένα κλειδί για αυτοέλεγχο. Κριτήρια: pass-fail.

III. Εκπαιδευτική και πρακτική εργασία (βήμα 3) + βήμα 4. (οι ίδιοι οι μαθητές θα διατυπώσουν τις ιδιότητες)

υπολογίστε: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Απλοποίηση: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

Κατά την επίλυση προβλημάτων 1) και 2), οι μαθητές προτείνουν μια λύση και εγώ, ως δάσκαλος, οργανώνω μια τάξη για να βρω έναν τρόπο να απλοποιήσω τις δυνάμεις κατά τον πολλαπλασιασμό με τις ίδιες βάσεις.

Δάσκαλος: βρείτε έναν τρόπο για να απλοποιήσετε τις δυνάμεις κατά τον πολλαπλασιασμό με την ίδια βάση.

Μια καταχώρηση εμφανίζεται στο σύμπλεγμα:

Διατυπώνεται το θέμα του μαθήματος. Πολλαπλασιασμός δυνάμεων.

Δάσκαλος: βρείτε έναν κανόνα για τη διαίρεση των βαθμών με τις ίδιες βάσεις.

Αιτιολογία: ποια ενέργεια ελέγχει τη διαίρεση; α 5: α 3 = ? ότι a 2 a 3 = a 5

Επιστρέφω στο σχήμα - συστάδα και συμπληρώνω το λήμμα - ..κατά τη διαίρεση αφαιρώ και προσθέτω το θέμα του μαθήματος. ...και διαίρεση πτυχίων.

IV. Επικοινωνία στους μαθητές των ορίων γνώσης (ελάχιστο και μέγιστο).

Δάσκαλος: το καθήκον του ελάχιστου για το σημερινό μάθημα είναι να μάθει πώς να εφαρμόζει τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και το μέγιστο: να εφαρμόζει τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση μαζί.

Γράψε στον πίνακα : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Οργάνωση της μελέτης νέου υλικού. (βήμα 5)

α) Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο: Νο 403 (α, γ, ε) εργασίες με διαφορετική διατύπωση

Νο 404 (α, ε, στ) ανεξάρτητη εργασία, μετά οργανώνω αμοιβαίο έλεγχο, δίνω τα κλειδιά.

β) Για ποια τιμή του m ισχύει η ισότητα; a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Εργασία: βρείτε παρόμοια παραδείγματα για τη διαίρεση.

γ) Αρ. 417(α), Αρ. 418 (α) Παγίδες για μαθητές: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Συνοψίζοντας όσα έχουν μάθει, διεξαγωγή διαγνωστικής εργασίας (που ενθαρρύνει τους μαθητές και όχι τους δασκάλους, να μελετήσουν αυτό το θέμα) (βήμα 6)

διαγνωστική εργασία.

Δοκιμή(τοποθετήστε τα κλειδιά στο πίσω μέρος του τεστ).

Επιλογές εργασιών: παρουσιάστε ως ένα βαθμό το πηλίκο x 15: x 3; παριστάνουν ως δύναμη το γινόμενο (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; για το οποίο m είναι η ισότητα a 16 a m = a 32 true; βρείτε την τιμή της παράστασης h 0: h 2 με h = 0,2; να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (5 2 5 0) : 5 2 .

Περίληψη του μαθήματος. Αντανάκλαση.Χωρίζω την τάξη σε δύο ομάδες.

Βρείτε τα επιχειρήματα της ομάδας I: υπέρ της γνώσης των ιδιοτήτων του πτυχίου και της ομάδας II - επιχειρήματα που θα πουν ότι μπορείτε να κάνετε χωρίς ιδιότητες. Ακούμε όλες τις απαντήσεις, βγάζουμε συμπεράσματα. Στα επόμενα μαθήματα, μπορείτε να προσφέρετε στατιστικά δεδομένα και να ονομάσετε τη ρουμπρίκα "Δεν χωράει στο κεφάλι μου!"

Ο μέσος άνθρωπος τρώει 32 10 2 κιλά αγγούρια κατά τη διάρκεια της ζωής του.

Η σφήκα είναι ικανή να πραγματοποιήσει μια πτήση χωρίς στάση 3,2 10 2 km.

Όταν το γυαλί ραγίζει, η ρωγμή διαδίδεται με ταχύτητα περίπου 5 10 3 km/h.

Ένας βάτραχος τρώει πάνω από 3 τόνους κουνούπια στη διάρκεια της ζωής του. Χρησιμοποιώντας το βαθμό, γράψτε σε κιλά.

Το πιο παραγωγικό είναι το ψάρι του ωκεανού - το φεγγάρι (Mola mola), το οποίο γεννά έως και 300.000.000 αυγά με διάμετρο περίπου 1,3 mm σε μία ωοτοκία. Γράψτε αυτόν τον αριθμό χρησιμοποιώντας ένα βαθμό.

VII. Εργασία για το σπίτι.

Ιστορική αναφορά. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αριθμοί Fermat.

Σελ.19. #403, #408, #417

Μεταχειρισμένα βιβλία:

Σχολικό βιβλίο "Άλγεβρα-7", συγγραφείς Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk και άλλοι.

Διδακτικό υλικό για την τάξη 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Σουβόροφ.

Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών.

Περιοδικό «Quantum».

Ιδιότητες βαθμών, διατυπώσεις, αποδείξεις, παραδείγματα.

Αφού καθοριστεί ο βαθμός του αριθμού, είναι λογικό να μιλάμε ιδιότητες βαθμού. Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε τις βασικές ιδιότητες του βαθμού ενός αριθμού, ενώ θα αγγίξουμε όλους τους πιθανούς εκθέτες. Εδώ θα δώσουμε αποδείξεις για όλες τις ιδιότητες του βαθμού και θα δείξουμε επίσης πώς εφαρμόζονται αυτές οι ιδιότητες κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ιδιότητες βαθμών με φυσικούς δείκτες

Εξ ορισμού μιας δύναμης με φυσικό εκθέτη, η ισχύς ενός n είναι το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a . Με βάση αυτόν τον ορισμό και χρησιμοποιώντας ιδιότητες πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών, μπορούμε να αποκτήσουμε και να δικαιολογήσουμε τα ακόλουθα ιδιότητες βαθμού με φυσικό εκθέτη:

η κύρια ιδιότητα του βαθμού a m ·a n =a m+n , η γενίκευσή της a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

την ιδιότητα των μερικών δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις a m:a n =a m−n ;

ιδιότητα βαθμού προϊόντος (a b) n =a n b n , η επέκτασή του (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

ιδιότητα πηλίκου σε είδος (a:b) n =a n:b n ;

εκθετικότητα (a m) n =a m n , η γενίκευσή του (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

συγκρίνοντας το βαθμό με το μηδέν:

• αν a>0 , τότε a n >0 για οποιοδήποτε φυσικό n ;
• αν a=0 , τότε a n =0 ;
• αν a 2 m >0 , αν a 2 m−1 n ;
• αν m και n είναι φυσικοί αριθμοί έτσι ώστε m>n , τότε για 0m n , και για a>0 η ανίσωση a m >a n είναι αληθής.

Σημειώνουμε αμέσως ότι όλες οι γραπτές ισότητες είναι πανομοιότυπουπό τις καθορισμένες συνθήκες και το δεξί και το αριστερό τους τμήμα μπορούν να εναλλάσσονται. Για παράδειγμα, η κύρια ιδιότητα του κλάσματος a m a n = a m + n με απλοποίηση των εκφράσεωνχρησιμοποιείται συχνά με τη μορφή a m+n = a m a n .

Τώρα ας δούμε κάθε ένα από αυτά λεπτομερώς.

Ας ξεκινήσουμε με την ιδιότητα του γινομένου δύο δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, που λέγεται η κύρια ιδιότητα του πτυχίου: για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a και οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n, η ισότητα a m ·a n =a m+n είναι αληθής.

Ας αποδείξουμε την κύρια ιδιότητα του πτυχίου. Με τον ορισμό ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, το γινόμενο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις της μορφής a m a n μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο . Λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού, η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως , και αυτό το γινόμενο είναι η ισχύς του a με φυσικό εκθέτη m+n , δηλαδή a m+n . Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που επιβεβαιώνει την κύρια ιδιότητα του πτυχίου. Ας πάρουμε μοίρες με τις ίδιες βάσεις 2 και φυσικές δυνάμεις 2 και 3, σύμφωνα με την κύρια ιδιότητα του βαθμού, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Ας ελέγξουμε την εγκυρότητά του, για την οποία υπολογίζουμε τις τιμές των παραστάσεων 2 2 · 2 3 και 2 5 . Εκτελώντας εκθετικότητα, έχουμε 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 και 2 5 =2 2 2 2 2=32 , αφού παίρνουμε ίσες τιμές, τότε η ισότητα 2 2 2 3 = Το 2 5 είναι αληθές και επιβεβαιώνει την κύρια ιδιότητα του πτυχίου.

Η κύρια ιδιότητα ενός βαθμού που βασίζεται στις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο τριών ή περισσότερων μοιρών με τις ίδιες βάσεις και φυσικούς εκθέτες. Άρα για οποιονδήποτε αριθμό k φυσικών αριθμών n 1 , n 2 , …, n k ισχύει η ισότητα a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Για παράδειγμα, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Μπορείτε να προχωρήσετε στην επόμενη ιδιότητα των μοιρών με έναν φυσικό δείκτη - την ιδιότητα των μερικών εξουσιών με τις ίδιες βάσεις: για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό a και αυθαίρετους φυσικούς αριθμούς m και n που ικανοποιούν τη συνθήκη m>n , η ισότητα a m:a n =a m−n είναι αληθής.

Πριν δώσουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας, ας συζητήσουμε την έννοια των πρόσθετων συνθηκών στη διατύπωση. Η συνθήκη a≠0 είναι απαραίτητη για να αποφευχθεί η διαίρεση με το μηδέν, αφού 0 n =0, και όταν γνωρίσαμε τη διαίρεση, συμφωνήσαμε ότι είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν. Εισάγεται η συνθήκη m>n για να μην υπερβούμε τους φυσικούς εκθέτες. Πράγματι, για m>n, ο εκθέτης a m−n είναι ένας φυσικός αριθμός, διαφορετικά θα είναι είτε μηδέν (που συμβαίνει όταν m−n) είτε αρνητικός αριθμός (που συμβαίνει όταν m m−n a n =a (m−n) + n = a m Από την ισότητα που προκύπτει a m−n a n = a m και από τη σχέση πολλαπλασιασμού με διαίρεση προκύπτει ότι το m−n είναι μερική δύναμη του m και του a n Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα των μερικών δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε δύο μοίρες με τις ίδιες βάσεις π και τους φυσικούς εκθέτες 5 και 2, η θεωρούμενη ιδιότητα του βαθμού αντιστοιχεί στην ισότητα π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Τώρα σκεφτείτε ιδιότητα βαθμού προϊόντος: ο φυσικός βαθμός n του γινομένου οποιωνδήποτε δύο πραγματικών αριθμών a και b είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών a n και b n , δηλαδή (a b) n =a n b n .

Πράγματι, εξ ορισμού βαθμός με φυσικό εκθέτη, έχουμε . Το τελευταίο γινόμενο, με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, μπορεί να ξαναγραφτεί ως , που ισούται με a n b n .

Εδώ είναι ένα παράδειγμα: .

Αυτή η ιδιότητα εκτείνεται στο βαθμό του γινομένου τριών ή περισσότερων παραγόντων. Δηλαδή, η φυσική ιδιότητα του βαθμού n του γινομένου των k παραγόντων γράφεται ως (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Για λόγους σαφήνειας, δείχνουμε αυτήν την ιδιότητα με ένα παράδειγμα. Για το γινόμενο τριών παραγόντων στη δύναμη του 7, έχουμε .

Το επόμενο ακίνητο είναι φυσική ιδιοκτησία: το πηλίκο των πραγματικών αριθμών a και b , b≠0 στη φυσική δύναμη n ισούται με το πηλίκο των δυνάμεων a n και b n , δηλαδή (a:b) n =a n:b n .

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ιδιότητα. Άρα (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , και από την ισότητα (a:b) n b n =a n προκύπτει ότι (a:b) n είναι πηλίκο του a n προς το b n .

Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα συγκεκριμένων αριθμών: .

Τώρα ας φωνάξουμε ιδιότητα εκθέσεως: για κάθε πραγματικό αριθμό a και οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n, η ισχύς του a m στη δύναμη του n είναι ίση με τη δύναμη του a με εκθέτη m·n , δηλαδή (a m) n =a m·n .

Για παράδειγμα, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Η απόδειξη της ιδιότητας ισχύος σε ένα βαθμό είναι η ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων: .

Η εξεταζόμενη ιδιότητα μπορεί να επεκταθεί σε βαθμό εντός βαθμού και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς p, q, r και s, η ισότητα . Για μεγαλύτερη σαφήνεια, ας δώσουμε ένα παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Μένει να σταθούμε στις ιδιότητες της σύγκρισης βαθμών με έναν φυσικό εκθέτη.

Ας ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας την ιδιότητα της σύγκρισης του μηδενός και του βαθμού με έναν φυσικό εκθέτη.

Αρχικά, ας δικαιολογήσουμε ότι a n >0 για οποιοδήποτε a>0 .

Το γινόμενο δύο θετικών αριθμών είναι ένας θετικός αριθμός, όπως προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού. Αυτό το γεγονός και οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μας επιτρέπουν να ισχυριστούμε ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού θετικών αριθμών θα είναι επίσης ένας θετικός αριθμός. Και η ισχύς του a με φυσικό εκθέτη n είναι, εξ ορισμού, το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Αυτά τα επιχειρήματα μας επιτρέπουν να ισχυριστούμε ότι για κάθε θετική βάση a ο βαθμός του a n είναι θετικός αριθμός. Δυνάμει της αποδεδειγμένης ιδιότητας 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 και .

Είναι προφανές ότι για κάθε φυσικό n με a=0 ο βαθμός του a n είναι μηδέν. Πράγματι, 0 n =0·0·…·0=0 . Για παράδειγμα, 0 3 =0 και 0 762 =0 .

Ας περάσουμε σε αρνητικές βάσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση όταν ο εκθέτης είναι άρτιος αριθμός, συμβολίστε τον ως 2 m , όπου m είναι φυσικός αριθμός. Επειτα . Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των αρνητικών αριθμών, καθένα από τα γινόμενα της μορφής a α ισούται με το γινόμενο των ενοτήτων των αριθμών α και α, που σημαίνει ότι είναι θετικός αριθμός. Επομένως, το προϊόν θα είναι επίσης θετικό. και βαθμό α 2 m . Ακολουθούν παραδείγματα: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 και .

Τέλος, όταν η βάση του a είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης είναι περιττός αριθμός 2 m−1, τότε . Όλα τα γινόμενα a·a είναι θετικοί αριθμοί, το γινόμενο αυτών των θετικών αριθμών είναι επίσης θετικό και ο πολλαπλασιασμός του με τον υπόλοιπο αρνητικό αριθμό a έχει ως αποτέλεσμα αρνητικό αριθμό. Δυνάμει αυτής της ιδιότητας, (−5) 3 17 n n είναι το γινόμενο του αριστερού και του δεξιού μέρους των n αληθινών ανισώσεων a ιδιότητες των ανισώσεων, η ανισότητα που αποδεικνύεται είναι της μορφής a n n . Για παράδειγμα, λόγω αυτής της ιδιότητας, οι ανισώσεις 3 7 7 και .

Μένει να αποδειχθεί η τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες. Ας το διατυπώσουμε. Από τους δύο βαθμούς με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες θετικές βάσεις, μικρότερος από έναν, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, ο δείκτης του οποίου είναι μικρότερος. και δύο μοιρών με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες βάσεις μεγαλύτερους του ενός, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, ο δείκτης του οποίου είναι μεγαλύτερος. Στρέφουμε στην απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Ας αποδείξουμε ότι για m>n και 0m n . Για να γίνει αυτό, γράφουμε τη διαφορά a m − a n και τη συγκρίνουμε με το μηδέν. Η γραπτή διαφορά μετά την αφαίρεση ενός n από αγκύλες θα πάρει τη μορφή a n ·(a m−n −1) . Το γινόμενο που προκύπτει είναι αρνητικό ως το γινόμενο ενός θετικού αριθμού a n και ενός αρνητικού αριθμού a m−n −1 (a n είναι θετική ως φυσική δύναμη ενός θετικού αριθμού και η διαφορά a m−n −1 είναι αρνητική, αφού m−n >0 λόγω της αρχικής συνθήκης m>n , από όπου προκύπτει ότι για 0m−n είναι μικρότερο από ένα). Επομένως, a m − a n m n , που έπρεπε να αποδειχθεί. Για παράδειγμα, δίνουμε τη σωστή ανισότητα.

Μένει να αποδειχθεί το δεύτερο μέρος του ακινήτου. Ας αποδείξουμε ότι για m>n και a>1, a m >a n είναι αληθές. Η διαφορά a m −a n μετά την αφαίρεση του n από αγκύλες παίρνει τη μορφή a n ·(a m−n −1) . Αυτό το γινόμενο είναι θετικό, αφού για a>1 ο βαθμός του a n είναι θετικός αριθμός και η διαφορά a m−n −1 είναι θετικός αριθμός, αφού m−n>0 λόγω της αρχικής συνθήκης, και για a>1, ο βαθμός ενός m−n είναι μεγαλύτερος από ένα . Επομένως, a m − a n >0 και a m >a n , που έπρεπε να αποδειχθεί. Αυτή η ιδιότητα απεικονίζεται από την ανισότητα 3 7 >3 2 .

Ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες

Εφόσον οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί, τότε όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με θετικούς ακέραιους εκθέτες συμπίπτουν ακριβώς με τις ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες που αναφέρονται και αποδείχθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο.

Ορίσαμε έναν βαθμό με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, καθώς και έναν βαθμό με μηδενικό εκθέτη, έτσι ώστε όλες οι ιδιότητες των μοιρών με φυσικούς εκθέτες που εκφράζονται με ισότητες να παραμένουν έγκυρες. Επομένως, όλες αυτές οι ιδιότητες ισχύουν τόσο για μηδενικούς εκθέτες όσο και για αρνητικούς εκθέτες, ενώ, φυσικά, οι βάσεις των μοιρών είναι μη μηδενικές.

Άρα, για οποιουσδήποτε πραγματικούς και μη μηδενικούς αριθμούς a και b, καθώς και για οποιονδήποτε ακέραιο m και n, ισχύουν τα ακόλουθα ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a β) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• αν το n είναι θετικός ακέραιος, ο a και ο b είναι θετικοί αριθμοί και ο a n n και a−n>b−n ;
• αν m και n είναι ακέραιοι, και m>n , τότε για 0m n , και για a>1, η ανισότητα a m >a n ικανοποιείται.

Για a=0, οι δυνάμεις a m και a n έχουν νόημα μόνο όταν και οι δύο m και n είναι θετικοί ακέραιοι, δηλαδή φυσικοί αριθμοί. Έτσι, οι ιδιότητες που μόλις γράφτηκαν ισχύουν και για τις περιπτώσεις που a=0 και οι αριθμοί m και n είναι θετικοί ακέραιοι.

Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε καθεμία από αυτές τις ιδιότητες, για αυτό αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς του βαθμού με φυσικό και ακέραιο εκθέτη, καθώς και τις ιδιότητες των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι η ιδιότητα ισχύος ισχύει τόσο για θετικούς ακέραιους όσο και για μη θετικούς ακέραιους. Για να γίνει αυτό, πρέπει να δείξουμε ότι αν το p είναι μηδέν ή ένας φυσικός αριθμός και το q είναι μηδέν ή ένας φυσικός αριθμός, τότε οι ισότητες (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) και (a −p) −q =a (−p) (−q) . Ας το κάνουμε.

Για τα θετικά p και q, η ισότητα (a p) q =a p·q αποδείχθηκε στην προηγούμενη υποενότητα. Αν p=0 , τότε έχουμε (a 0) q =1 q =1 και a 0 q =a 0 =1 , από όπου (a 0) q =a 0 q . Ομοίως, αν q=0 , τότε (a p) 0 =1 και a p 0 =a 0 =1 , από όπου (a p) 0 =a p 0 . Αν και τα δύο p=0 και q=0 , τότε (a 0) 0 =1 0 =1 και a 0 0 =a 0 =1 , από όπου (a 0) 0 =a 0 0 .

Ας αποδείξουμε τώρα ότι (a −p) q =a (−p) q . Εξ ορισμού ενός βαθμού με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, τότε . Με την ιδιότητα του πηλίκου στον βαθμό, έχουμε . Αφού 1 p =1·1·…·1=1 και , τότε . Η τελευταία έκφραση είναι, εξ ορισμού, μια δύναμη της μορφής a −(p q) , η οποία, δυνάμει των κανόνων πολλαπλασιασμού, μπορεί να γραφτεί ως (−p) q .

Ομοίως .

ΚΑΙ .

Με την ίδια αρχή, μπορεί κανείς να αποδείξει όλες τις άλλες ιδιότητες ενός βαθμού με έναν ακέραιο εκθέτη, γραμμένο με τη μορφή ισοτήτων.

Στην προτελευταία από τις καταγεγραμμένες ιδιότητες, αξίζει να σταθούμε στην απόδειξη της ανισότητας a −n >b −n , η οποία ισχύει για κάθε αρνητικό ακέραιο −n και κάθε θετικό a και b για το οποίο η συνθήκη a . Γράφουμε και μετασχηματίζουμε τη διαφορά μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους αυτής της ανισότητας: . Εφόσον από την προϋπόθεση α n n , επομένως, b n − a n >0 . Το γινόμενο a n ·b n είναι επίσης θετικό ως το γινόμενο των θετικών αριθμών a n και b n . Τότε το κλάσμα που προκύπτει είναι θετικό ως πηλίκο θετικών αριθμών b n − a n και a n b n . Ως εκ τούτου, από όπου ένα −n >b −n , το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Η τελευταία ιδιότητα των μοιρών με ακέραιους εκθέτες αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως η ανάλογη ιδιότητα των μοιρών με φυσικούς εκθέτες.

Ιδιότητες δυνάμεων με λογικούς εκθέτες

Ορίσαμε τον βαθμό με κλασματικό εκθέτη επεκτείνοντας τις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη σε αυτόν. Με άλλα λόγια, οι μοίρες με κλασματικούς εκθέτες έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τις μοίρες με ακέραιους εκθέτες. Και συγκεκριμένα:

1. ιδιότητα του γινομένου δυνάμεων με την ίδια βάση για a>0 , και αν και , τότε για a≥0 ;
2. ιδιοκτησία μερικών εξουσιών με τις ίδιες βάσεις για a>0 ;
3. κλασματική ιδιότητα προϊόντος για a>0 και b>0 , και αν και , τότε για a≥0 και (ή) b≥0 ;
4. ιδιότητα πηλίκου σε κλασματική ισχύ για a>0 και b>0 , και αν , τότε για a≥0 και b>0 ;
5. πτυχίο ιδιοκτησίας σε βαθμό για a>0 , και αν και , τότε για a≥0 ;
6. η ιδιότητα της σύγκρισης δυνάμεων με ίσους ρητούς εκθέτες: για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a και b, a 0 ισχύει η ανισότητα a p p και για p p >b p ;
7. την ιδιότητα της σύγκρισης δυνάμεων με ρητούς εκθέτες και ίσες βάσεις: για ρητούς αριθμούς p και q, p>q για 0p q, και για a>0, η ανισότητα a p >a q .

Η απόδειξη των ιδιοτήτων των μοιρών με κλασματικούς εκθέτες βασίζεται στον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, στις ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας του nου βαθμού και στις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη. Ας δώσουμε απόδειξη.

Εξ ορισμού του βαθμού με κλασματικό εκθέτη και , τότε . Οι ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας μας επιτρέπουν να γράψουμε τις παρακάτω ισότητες. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του βαθμού με έναν ακέραιο εκθέτη, λαμβάνουμε , από όπου, με τον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, έχουμε , και ο εκθέτης του βαθμού που προκύπτει μπορεί να μετατραπεί ως εξής: . Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.

Η δεύτερη ιδιότητα των δυνάμεων με κλασματικούς εκθέτες αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο:


Οι υπόλοιπες ισότητες αποδεικνύονται από παρόμοιες αρχές:


Περνάμε στην απόδειξη της επόμενης ιδιοκτησίας. Ας αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό a και b , a 0 ισχύει η ανισότητα a p p και για p p >b p . Γράφουμε τον ρητό αριθμό p ως m/n , όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Οι συνθήκες p 0 σε αυτή την περίπτωση θα είναι ισοδύναμες με τις συνθήκες m 0, αντίστοιχα. Για m>0 και am m . Από αυτή την ανισότητα, από την ιδιότητα των ριζών, έχουμε , και εφόσον τα a και b είναι θετικοί αριθμοί, τότε, με βάση τον ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη, η προκύπτουσα ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως , δηλαδή a p p .

Ομοίως, όταν m m >b m , από πού , δηλαδή, και a p >b p .

Μένει να αποδείξουμε το τελευταίο από τα αναγραφόμενα ακίνητα. Ας αποδείξουμε ότι για τους ρητούς αριθμούς p και q , p>q για 0p q , και για a>0 η ανίσωση a p >a q . Μπορούμε πάντα να ανάγουμε τους ρητούς αριθμούς p και q σε έναν κοινό παρονομαστή, ας πάρουμε συνηθισμένα κλάσματα και , όπου m 1 και m 2 είναι ακέραιοι και n είναι φυσικός αριθμός. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη p>q θα αντιστοιχεί στη συνθήκη m 1 >m 2, η οποία προκύπτει από τον κανόνα για τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Στη συνέχεια, με την ιδιότητα της σύγκρισης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και φυσικούς εκθέτες, για 0m 1 m 2 , και για a>1, την ανίσωση a m 1 >a m 2 . Αυτές οι ανισότητες ως προς τις ιδιότητες των ριζών μπορούν να ξαναγραφτούν, αντίστοιχα, όπως Και . Και ο ορισμός ενός βαθμού με λογικό εκθέτη μας επιτρέπει να περάσουμε στις ανισότητες και, αντίστοιχα. Από εδώ βγάζουμε το τελικό συμπέρασμα: για p>q και 0p q , και για a>0, την ανίσωση a p >a q .

Ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες

Από το πώς ορίζεται ένας βαθμός με παράλογο εκθέτη, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι έχει όλες τις ιδιότητες των βαθμών με λογικούς εκθέτες. Άρα για οποιουσδήποτε αριθμούς a>0 , b>0 και άρρητους αριθμούς p και q ισχύουν τα ακόλουθα ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (α β) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. για τυχόν θετικούς αριθμούς a και b , a 0 ισχύει η ανισότητα a p p και για p p >b p ;
7. για άρρητους αριθμούς p και q , p>q για 0p q , και για a>0 την ανίσωση a p >a q .

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι δυνάμεις με οποιουσδήποτε πραγματικούς εκθέτες p και q για a>0 έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

• Άλγεβρα - 10η τάξη. Τριγωνομετρικές εξισώσεις Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: «Λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων» Πρόσθετα υλικά Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά […]
• Ανοιχτός διαγωνισμός για τη θέση "ΠΩΛΗΤΗΣ - ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ": Αρμοδιότητες: πώληση κινητών τηλεφώνων και αξεσουάρ για υπηρεσία κινητής επικοινωνίας για συνδρομητές Beeline, Tele2, MTS σύνδεση των τιμολογιακών προγραμμάτων και υπηρεσιών Beeline και Tele2, συμβουλευτική MTS […]
• Ένα παραλληλεπίπεδο του τύπου Παραλληλεπίπεδο είναι ένα πολύεδρο με 6 όψεις, καθεμία από τις οποίες είναι παραλληλόγραμμο. Ένα κυβοειδές είναι ένα κυβοειδές του οποίου η κάθε όψη είναι ένα ορθογώνιο. Κάθε παραλληλεπίπεδο χαρακτηρίζεται από 3 […]
• Society for the Protection of Consumer Rights Astana Για να λάβετε έναν κωδικό pin για την πρόσβαση σε αυτό το έγγραφο στον ιστότοπό μας, στείλτε ένα μήνυμα SMS με το κείμενο zan στον αριθμό Συνδρομητές παρόχων GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) στέλνοντας ένα SMS στον αριθμό, […]
• ΟΡΘΟΓΡΑΦΙΑ Н ΚΑΙ НН ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ 2. Ονομάστε τις εξαιρέσεις από αυτούς τους κανόνες. 3. Πώς να ξεχωρίσετε ένα λεκτικό επίθετο με την κατάληξη -n- από μια μετοχή με […]
• Υιοθέτηση νόμου για τα Kin's Homesteads Υιοθετήστε έναν ομοσπονδιακό νόμο για τη δωρεάν παραχώρηση ενός τεμαχίου γης σε κάθε πολίτη της Ρωσικής Ομοσπονδίας ή σε μια οικογένεια πολιτών που επιθυμεί να αναπτύξει ένα Kin's Homestead σε αυτό με τους ακόλουθους όρους: 1. Η γη είναι διατίθεται για […]
• ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ GOSTEKHNADZOR ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ BRYANSK Απόδειξη πληρωμής κρατικού δασμού (Λήψη-12,2 kb) Αιτήσεις εγγραφής για φυσικά πρόσωπα (Λήψη-12 kb) Αιτήσεις εγγραφής για νομικά πρόσωπα (Λήψη-11,4 kb) 1. Κατά την εγγραφή νέου αυτοκινήτου 1.αίτηση 2.διαβατήριο […]
• Δεν έχουμε παίξει τουρνουά 1x1 για πολύ καιρό. Και ήρθε η ώρα να ξαναρχίσουμε αυτή την παράδοση. Μέχρι να μπορέσουμε να οργανώσουμε ξεχωριστό ladder και τουρνουά για παίκτες 1v1, προτείνουμε να χρησιμοποιήσετε τα προφίλ της ομάδας σας στον ιστότοπο. Αφαιρέστε ή προσθέστε πόντους για παιχνίδια σε αγώνες [...]

Νωρίτερα μιλήσαμε για το τι είναι η δύναμη ενός αριθμού. Έχει ορισμένες ιδιότητες που είναι χρήσιμες στην επίλυση προβλημάτων: είναι αυτές και όλοι οι πιθανοί εκθέτες που θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Θα δείξουμε επίσης με παραδείγματα πώς μπορούν να αποδειχθούν και να εφαρμοστούν σωστά στην πράξη.

Ας θυμηθούμε την έννοια του βαθμού με φυσικό εκθέτη που έχουμε ήδη διατυπώσει προηγουμένως: αυτή είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Πρέπει επίσης να θυμόμαστε πώς να πολλαπλασιάζουμε σωστά τους πραγματικούς αριθμούς. Όλα αυτά θα μας βοηθήσουν να διατυπώσουμε τις ακόλουθες ιδιότητες για ένα πτυχίο με φυσικό δείκτη:

Ορισμός 1

1. Η κύρια ιδιότητα του βαθμού: a m a n = a m + n

Μπορεί να γενικευτεί σε: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Η ιδιότητα πηλίκου για δυνάμεις που έχουν την ίδια βάση: a m: a n = a m − n

3. Ιδιότητα βαθμού προϊόντος: (a b) n = a n b n

Η ισότητα μπορεί να επεκταθεί σε: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

4. Ιδιότητα φυσικού βαθμού: (a: b) n = a n: b n

5. Ανεβάζουμε την ισχύ στην ισχύ: (a m) n = a m n ,

Μπορεί να γενικευτεί σε: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. Συγκρίνετε το βαθμό με το μηδέν:

• Εάν a > 0, τότε για οποιοδήποτε φυσικό n, το a n θα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
• με ίσο με 0, ένα n θα είναι επίσης ίσο με μηδέν.
• για ένα< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• για ένα< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Ισότητα α ν< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Η ανίσωση a m > a n θα είναι αληθής με την προϋπόθεση ότι m και n είναι φυσικοί αριθμοί, ο m είναι μεγαλύτερος από n και ο a είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και όχι μικρότερος από ένα.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε αρκετές ισότητες. εάν πληροίτε όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παραπάνω, τότε θα είναι πανομοιότυπες. Για καθεμία από τις ισότητες, για παράδειγμα, για την κύρια ιδιότητα, μπορείτε να ανταλλάξετε το δεξί και το αριστερό μέρος: a m · a n = a m + n - το ίδιο με το a m + n = a m · a n . Σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιείται συχνά κατά την απλοποίηση εκφράσεων.

1. Ας ξεκινήσουμε με την κύρια ιδιότητα του βαθμού: η ισότητα a m · a n = a m + n θα ισχύει για κάθε φυσικό m και n και πραγματικό a . Πώς να αποδείξετε αυτή τη δήλωση;

Ο βασικός ορισμός των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες θα μας επιτρέψει να μετατρέψουμε την ισότητα σε προϊόν παραγόντων. Θα λάβουμε μια καταχώριση όπως αυτή:

Αυτό μπορεί να συντομευτεί σε (θυμηθείτε τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού). Ως αποτέλεσμα, πήραμε το βαθμό του αριθμού a με φυσικό εκθέτη m + n. Έτσι, a m + n , που σημαίνει ότι αποδεικνύεται η κύρια ιδιότητα του βαθμού.

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα για να το αποδείξουμε αυτό.

Παράδειγμα 1

Άρα έχουμε δύο δυνάμεις με βάση 2. Οι φυσικοί τους δείκτες είναι 2 και 3, αντίστοιχα. Πήραμε την ισότητα: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Ας υπολογίσουμε τις τιμές για να ελέγξουμε την ορθότητα αυτής της ισότητας.

Ας εκτελέσουμε τις απαραίτητες μαθηματικές πράξεις: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 και 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ως αποτέλεσμα, πήραμε: 2 2 2 3 = 2 5 . Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να γενικεύσουμε την ιδιότητα διατυπώνοντάς την με τη μορφή τριών ή περισσότερων δυνάμεων, για τις οποίες οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί και οι βάσεις είναι ίδιες. Αν συμβολίσουμε τον αριθμό των φυσικών αριθμών n 1, n 2 κ.λπ. με το γράμμα k, παίρνουμε τη σωστή ισότητα:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Παράδειγμα 2

2. Στη συνέχεια, πρέπει να αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα, η οποία ονομάζεται ιδιότητα πηλίκου και είναι εγγενής σε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις: αυτή είναι η ισότητα a m: a n = a m − n , η οποία ισχύει για κάθε φυσικό m και n (και m είναι μεγαλύτερο από n)) και κάθε μη μηδενικό πραγματικό a .

Αρχικά, ας εξηγήσουμε ποια ακριβώς είναι η έννοια των συνθηκών που αναφέρονται στη διατύπωση. Αν πάρουμε ένα ίσο με το μηδέν, τότε στο τέλος θα πάρουμε μια διαίρεση με το μηδέν, η οποία δεν μπορεί να γίνει (εξάλλου, 0 n = 0). Η προϋπόθεση ότι ο αριθμός m πρέπει να είναι μεγαλύτερος από n είναι απαραίτητη για να μπορούμε να μείνουμε εντός των φυσικών εκθετών: αφαιρώντας το n από το m, παίρνουμε έναν φυσικό αριθμό. Εάν δεν πληρούται η προϋπόθεση, θα πάρουμε αρνητικό αριθμό ή μηδέν και πάλι θα υπερβούμε τη μελέτη των πτυχίων με φυσικούς δείκτες.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απόδειξη. Από τα προηγούμενα μελετημένα, υπενθυμίζουμε τις βασικές ιδιότητες των κλασμάτων και διατυπώνουμε την ισότητα ως εξής:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε: a m − n a n = a m

Θυμηθείτε τη σύνδεση μεταξύ διαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Από αυτό προκύπτει ότι a m − n είναι ένα πηλίκο των δυνάμεων a m και a n . Αυτή είναι η απόδειξη της ιδιότητας δεύτερου βαθμού.

Παράδειγμα 3

Αντικαταστήστε συγκεκριμένους αριθμούς για τη σαφήνεια στους δείκτες και υποδηλώστε τη βάση του βαθμού π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε την ιδιότητα του βαθμού του γινομένου: (a · b) n = a n · b n για κάθε πραγματικό a και b και φυσικό n .

Σύμφωνα με τον βασικό ορισμό ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε την ισότητα ως εξής:

Θυμόμαστε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, γράφουμε: . Σημαίνει το ίδιο με ένα n · b n .

Παράδειγμα 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Αν έχουμε τρεις ή περισσότερους παράγοντες, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει και για αυτήν την περίπτωση. Εισάγουμε τον συμβολισμό k για τον αριθμό των παραγόντων και γράφουμε:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Παράδειγμα 5

Με συγκεκριμένους αριθμούς, παίρνουμε την ακόλουθη σωστή ισότητα: (2 (- 2 , 3) ​​α) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Μετά από αυτό, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την ιδιότητα του πηλίκου: (a: b) n = a n: b n για κάθε πραγματικό a και b εάν το b δεν είναι ίσο με 0 και το n είναι φυσικός αριθμός.

Για την απόδειξη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη ιδιότητα πτυχίου. Αν (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , και (a: b) n b n = a n , τότε προκύπτει ότι (a: b) n είναι πηλίκο διαίρεσης του a n με το b n .

Παράδειγμα 6

Ας μετρήσουμε το παράδειγμα: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Παράδειγμα 7

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Και τώρα διατυπώνουμε μια αλυσίδα ισοτήτων που θα μας αποδείξουν την ορθότητα της ισότητας:

Αν έχουμε βαθμούς μοιρών στο παράδειγμα, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει και για αυτούς. Αν έχουμε φυσικούς αριθμούς p, q, r, s, τότε θα ισχύει:

a p q y s = a p q y s

Παράδειγμα 8

Ας προσθέσουμε συγκεκριμένα: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Μια άλλη ιδιότητα των μοιρών με φυσικό εκθέτη που πρέπει να αποδείξουμε είναι η ιδιότητα σύγκρισης.

Αρχικά, ας συγκρίνουμε τον εκθέτη με το μηδέν. Γιατί a n > 0 με την προϋπόθεση ότι το a είναι μεγαλύτερο από 0;

Αν πολλαπλασιάσουμε έναν θετικό αριθμό με έναν άλλο, θα πάρουμε και έναν θετικό αριθμό. Γνωρίζοντας αυτό το γεγονός, μπορούμε να πούμε ότι αυτό δεν εξαρτάται από τον αριθμό των παραγόντων - το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού θετικών αριθμών είναι ένας θετικός αριθμός. Και τι είναι ένας βαθμός, αν όχι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών; Τότε για οποιαδήποτε δύναμη a n με θετική βάση και φυσικό εκθέτη, αυτό θα ισχύει.

Παράδειγμα 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 και 34 9 13 51 > 0

Είναι επίσης προφανές ότι μια ισχύς με βάση ίση με μηδέν είναι η ίδια μηδέν. Σε όποια δύναμη ανεβάζουμε το μηδέν, έτσι θα παραμείνει.

Παράδειγμα 10

0 3 = 0 και 0 762 = 0

Εάν η βάση του βαθμού είναι αρνητικός αριθμός, τότε η απόδειξη είναι λίγο πιο περίπλοκη, αφού η έννοια του άρτιου / περιττού εκθέτη γίνεται σημαντική. Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση που ο εκθέτης είναι άρτιος και να τον συμβολίσουμε με 2 · m , όπου m είναι φυσικός αριθμός.

Ας θυμηθούμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αρνητικούς αριθμούς: το γινόμενο a · a είναι ίσο με το γινόμενο των μονάδων και, επομένως, θα είναι θετικός αριθμός. Επειτα και ο βαθμός a 2 · m είναι επίσης θετικοί.

Παράδειγμα 11

Για παράδειγμα, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 και - 2 9 6 > 0

Τι γίνεται αν ο εκθέτης με αρνητική βάση είναι περιττός αριθμός; Ας το συμβολίσουμε 2 · m − 1 .

Επειτα

Όλα τα γινόμενα a · a , σύμφωνα με τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, είναι θετικά, το ίδιο και το γινόμενο τους. Αλλά αν το πολλαπλασιάσουμε με τον μόνο αριθμό που απομένει a , τότε το τελικό αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Τότε παίρνουμε: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Πώς να το αποδείξετε;

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Παράδειγμα 12

Για παράδειγμα, οι ανισότητες είναι αληθείς: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Μένει να αποδείξουμε την τελευταία ιδιότητα: αν έχουμε δύο μοίρες, οι βάσεις των οποίων είναι ίδιες και θετικές, και οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί, τότε ο ένας από αυτούς είναι μεγαλύτερος, ο εκθέτης του οποίου είναι μικρότερος. και δύο μοιρών με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες βάσεις μεγαλύτερους του ενός, ο βαθμός του οποίου ο δείκτης είναι μεγαλύτερος είναι μεγαλύτερος.

Ας αποδείξουμε αυτούς τους ισχυρισμούς.

Πρώτα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ένα m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Βγάζουμε ένα n από αγκύλες, μετά το οποίο η διαφορά μας θα πάρει τη μορφή a n · (am − n − 1) . Το αποτέλεσμά του θα είναι αρνητικό (αφού το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό είναι αρνητικό). Πράγματι, σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες, m − n > 0, τότε a m − n − 1 είναι αρνητικό και ο πρώτος παράγοντας είναι θετικός, όπως κάθε φυσική δύναμη με θετική βάση.

Αποδείχθηκε ότι a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Απομένει να αποδειχθεί το δεύτερο μέρος της δήλωσης που διατυπώθηκε παραπάνω: a m > a ισχύει για m > n και a > 1 . Δείχνουμε τη διαφορά και βγάζουμε ένα n από αγκύλες: (a m - n - 1) Η ισχύς ενός n με μεγαλύτερο από ένα θα δώσει θετικό αποτέλεσμα. και η ίδια η διαφορά θα αποδειχθεί επίσης θετική λόγω των αρχικών συνθηκών, και για a > 1 ο βαθμός του a m − n είναι μεγαλύτερος από ένα. Αποδεικνύεται ότι a m − a n > 0 και a m > a n , το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Παράδειγμα 13

Παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: 3 7 > 3 2

Βασικές ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες

Για βαθμούς με θετικούς ακέραιους εκθέτες, οι ιδιότητες θα είναι παρόμοιες, επειδή οι θετικοί ακέραιοι είναι φυσικοί αριθμοί, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι ισότητες που αποδείχθηκαν παραπάνω ισχύουν και για αυτούς. Είναι επίσης κατάλληλα για περιπτώσεις όπου οι εκθέτες είναι αρνητικοί ή ίσοι με μηδέν (με την προϋπόθεση ότι η βάση του ίδιου του βαθμού είναι μη μηδενική).

Έτσι, οι ιδιότητες των δυνάμεων είναι ίδιες για οποιεσδήποτε βάσεις a και b (με την προϋπόθεση ότι αυτοί οι αριθμοί είναι πραγματικοί και όχι ίσοι με 0) και για τυχόν εκθέτες m και n (υπό την προϋπόθεση ότι είναι ακέραιοι). Τα γράφουμε εν συντομία με τη μορφή τύπων:

Ορισμός 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (πμ) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n με θετικό ακέραιο n , θετικό a και b , a< b

7 π.μ< a n , при условии целых m и n , m >n και 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Αν η βάση του βαθμού είναι ίση με μηδέν, τότε τα λήμματα a m και a n έχουν νόημα μόνο στην περίπτωση των φυσικών και θετικών m και n. Ως αποτέλεσμα, διαπιστώνουμε ότι τα παραπάνω σκευάσματα είναι κατάλληλα και για περιπτώσεις με βαθμό με μηδενική βάση, εάν πληρούνται όλες οι άλλες προϋποθέσεις.

Οι αποδείξεις αυτών των ιδιοτήτων σε αυτή την περίπτωση είναι απλές. Θα πρέπει να θυμόμαστε τι είναι ένας βαθμός με φυσικό και ακέραιο εκθέτη, καθώς και τις ιδιότητες των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς.

Ας αναλύσουμε την ιδιότητα του βαθμού στο βαθμό και ας αποδείξουμε ότι ισχύει τόσο για θετικούς ακέραιους όσο και για μη θετικούς ακέραιους. Ξεκινάμε αποδεικνύοντας τις ισότητες (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) και (a − p) − q = a (− p) (−q)

Συνθήκες: p = 0 ή φυσικός αριθμός. q - ομοίως.

Εάν οι τιμές των p και q είναι μεγαλύτερες από 0, τότε παίρνουμε (a p) q = a p · q . Έχουμε ήδη αποδείξει μια παρόμοια ισότητα στο παρελθόν. Αν p = 0 τότε:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Επομένως, (a 0) q = a 0 q

Για q = 0 όλα είναι ακριβώς τα ίδια:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Αποτέλεσμα: (a p) 0 = a p 0 .

Εάν και οι δύο δείκτες είναι μηδέν, τότε (a 0) 0 = 1 0 = 1 και a 0 0 = a 0 = 1, τότε (a 0) 0 = a 0 0 .

Θυμηθείτε την ιδιότητα του πηλίκου στη δύναμη που αποδείχθηκε παραπάνω και γράψτε:

1 a p q = 1 q a p q

Αν 1 p = 1 1 … 1 = 1 και a p q = a p q , τότε 1 q a p q = 1 a p q

Μπορούμε να μετατρέψουμε αυτόν τον συμβολισμό βάσει των βασικών κανόνων πολλαπλασιασμού σε a (− p) · q .

Επίσης: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

ΚΑΙ (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Οι υπόλοιπες ιδιότητες του βαθμού μπορούν να αποδειχθούν με παρόμοιο τρόπο μετασχηματίζοντας τις υπάρχουσες ανισότητες. Δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, θα αναφέρουμε μόνο τα δύσκολα σημεία.

Απόδειξη της προτελευταίας ιδιότητας: υπενθυμίζουμε ότι το a − n > b − n ισχύει για οποιεσδήποτε αρνητικές ακέραιες τιμές του n και κάθε θετικό a και b, με την προϋπόθεση ότι το a είναι μικρότερο από το b .

Τότε η ανισότητα μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

1 a n > 1 b n

Γράφουμε το δεξί και το αριστερό μέρος ως διαφορά και κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Θυμηθείτε ότι στη συνθήκη a είναι μικρότερο από b , τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του βαθμού με φυσικό εκθέτη: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

Το a n · b n καταλήγει να είναι θετικός αριθμός επειδή οι συντελεστές του είναι θετικοί. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα κλάσμα b n - a n a n · b n , το οποίο στο τέλος δίνει και ένα θετικό αποτέλεσμα. Εξ ου και 1 a n > 1 b n από όπου a − n > b − n , που έπρεπε να αποδείξουμε.

Η τελευταία ιδιότητα των μοιρών με ακέραιους εκθέτες αποδεικνύεται παρόμοια με την ιδιότητα των μοιρών με φυσικούς εκθέτες.

Βασικές ιδιότητες μοιρών με λογικούς εκθέτες

Σε προηγούμενα άρθρα, συζητήσαμε τι είναι ένας βαθμός με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη. Οι ιδιότητές τους είναι ίδιες με αυτές των μοιρών με ακέραιους εκθέτες. Ας γράψουμε:

Ορισμός 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 για > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για ≥ 0 (δυνάμεις ιδιοτήτων προϊόντος με την ίδια βάση).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 εάν a > 0 (ιδιότητα πηλίκου).

3. a b m n = a m n b m n για a > 0 και b > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για a ≥ 0 και (ή) b ≥ 0 (ιδιότητα προϊόντος σε κλασματικό βαθμό).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n για a > 0 και b > 0, και αν m n > 0, τότε για a ≥ 0 και b > 0 (ιδιότητα πηλίκου σε κλασματική ισχύ).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 για > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για ≥ 0 (ιδιότητα βαθμού σε βαθμούς).

6.απ< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; αν σελ< 0 - a p >b p (η ιδιότητα της σύγκρισης βαθμών με ίσους ορθολογικούς εκθέτες).

7.απ< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q στο 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Για να αποδείξουμε αυτές τις διατάξεις, πρέπει να θυμόμαστε τι είναι ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη, ποιες είναι οι ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας του nου βαθμού και ποιες είναι οι ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη. Ας ρίξουμε μια ματιά σε κάθε ακίνητο.

Σύμφωνα με το τι είναι ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη, παίρνουμε:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 και a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, επομένως, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Οι ιδιότητες της ρίζας θα μας επιτρέψουν να εξαγάγουμε ισότητες:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Από αυτό παίρνουμε: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ας μεταμορφώσουμε:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ο εκθέτης μπορεί να γραφτεί ως:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Αυτή είναι η απόδειξη. Η δεύτερη ιδιότητα αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Ας γράψουμε την αλυσίδα των ισοτήτων:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Αποδείξεις για τις υπόλοιπες ισότητες:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (α: β) m n = (α: β) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Επόμενη ιδιότητα: ας αποδείξουμε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των a και b μεγαλύτερες από 0 , εάν το a είναι μικρότερο από το b, θα εκτελεστεί ένα p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Ας αναπαραστήσουμε έναν ρητό αριθμό p ως m n . Σε αυτήν την περίπτωση, το m είναι ένας ακέραιος αριθμός, ο n είναι ένας φυσικός αριθμός. Τότε οι προϋποθέσεις σελ< 0 и p >0 θα επεκταθεί σε m< 0 и m >0 . Για m > 0 και a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών και παράγουμε: a m n< b m n

Λαμβάνοντας υπόψη τη θετικότητα των τιμών a και b, ξαναγράφουμε την ανισότητα ως m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Με τον ίδιο τρόπο, για τον μ< 0 имеем a a m >b m , παίρνουμε a m n > b m n άρα a m n > b m n και a p > b p .

Μένει να αποδείξουμε την τελευταία περιουσία. Ας αποδείξουμε ότι για τους ρητούς αριθμούς p και q, p > q για το 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 θα ήταν αληθές a p > a q .

Οι ορθολογικοί αριθμοί p και q μπορούν να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή και να πάρουν κλάσματα m 1 n και m 2 n

Εδώ τα m 1 και m 2 είναι ακέραιοι αριθμοί και το n είναι φυσικός αριθμός. Αν p > q, τότε m 1 > m 2 (λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων). Μετά στο 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – ανισότητα a 1 m > a 2 m .

Μπορούν να ξαναγραφτούν με την ακόλουθη μορφή:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Στη συνέχεια, μπορείτε να κάνετε μετασχηματισμούς και να έχετε ως αποτέλεσμα:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Συνοψίζοντας: για p > q και 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Βασικές ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες

Όλες οι ιδιότητες που περιγράφηκαν παραπάνω που διαθέτει ένας βαθμός με λογικούς εκθέτες μπορούν να επεκταθούν σε τέτοιο βαθμό. Αυτό προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό του, τον οποίο δώσαμε σε ένα από τα προηγούμενα άρθρα. Ας διατυπώσουμε εν συντομία αυτές τις ιδιότητες (συνθήκες: a > 0 , b > 0 , οι δείκτες p και q είναι παράλογοι αριθμοί):

Ορισμός 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (α β) p = a p b p

4. (α: β) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.απ< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.απ< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , μετά a p > a q .

Έτσι, όλες οι δυνάμεις των οποίων οι εκθέτες p και q είναι πραγματικοί αριθμοί, με την προϋπόθεση ότι a > 0, έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ας εξετάσουμε το θέμα του μετασχηματισμού εκφράσεων με δυνάμεις, αλλά πρώτα θα σταθούμε σε έναν αριθμό μετασχηματισμών που μπορούν να πραγματοποιηθούν με οποιεσδήποτε εκφράσεις, συμπεριλαμβανομένων των δυνάμεων. Θα μάθουμε πώς να ανοίγουμε αγκύλες, να δίνουμε παρόμοιους όρους, να δουλεύουμε με τη βάση και τον εκθέτη, να χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των μοιρών.

Τι είναι οι εκφράσεις ισχύος;

Στο μάθημα του σχολείου, λίγοι άνθρωποι χρησιμοποιούν τη φράση "εκφράσεις εξουσίας", αλλά αυτός ο όρος βρίσκεται συνεχώς σε συλλογές για την προετοιμασία για τις εξετάσεις. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η φράση υποδηλώνει εκφράσεις που περιέχουν βαθμούς στις καταχωρήσεις τους. Αυτό θα αντικατοπτρίσουμε στον ορισμό μας.

Ορισμός 1

Έκφραση δύναμηςείναι μια έκφραση που περιέχει βαθμούς.

Δίνουμε πολλά παραδείγματα εκφράσεων δύναμης, ξεκινώντας με βαθμό με φυσικό εκθέτη και τελειώνοντας με βαθμό με πραγματικό εκθέτη.

Οι απλούστερες εκφράσεις ισχύος μπορούν να θεωρηθούν δυνάμεις ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Καθώς και δυνάμεις με μηδενικό εκθέτη: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Και δυνάμεις με αρνητικές ακέραιες δυνάμεις: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Είναι λίγο πιο δύσκολο να δουλέψεις με βαθμό που έχει λογικούς και παράλογους εκθέτες: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Ο δείκτης μπορεί να είναι μια μεταβλητή 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ή ένας λογάριθμος x 2 l g x − 5 x l g x.

Έχουμε ασχοληθεί με το ερώτημα τι είναι οι εκφράσεις δύναμης. Τώρα ας τα μεταμορφώσουμε.

Οι κύριοι τύποι μετασχηματισμών των εκφράσεων δύναμης

Πρώτα απ 'όλα, θα εξετάσουμε τους βασικούς μετασχηματισμούς ταυτότητας των εκφράσεων που μπορούν να εκτελεστούν με εκφράσεις ισχύος.

Παράδειγμα 1

Υπολογισμός τιμής έκφρασης ισχύος 2 3 (4 2 − 12).

Λύση

Θα πραγματοποιήσουμε όλους τους μετασχηματισμούς σύμφωνα με τη σειρά των ενεργειών. Σε αυτήν την περίπτωση, θα ξεκινήσουμε εκτελώντας τις ενέργειες σε αγκύλες: θα αντικαταστήσουμε το βαθμό με μια ψηφιακή τιμή και θα υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των δύο αριθμών. Εχουμε 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Μένει να αντικαταστήσουμε το πτυχίο 2 3 το νόημά του 8 και υπολογίστε το γινόμενο 8 4 = 32. Εδώ είναι η απάντησή μας.

Απάντηση: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Παράδειγμα 2

Απλοποιήστε την έκφραση με δυνάμεις 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Λύση

Η έκφραση που μας δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος περιέχει παρόμοιους όρους, τους οποίους μπορούμε να φέρουμε: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Απάντηση: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Παράδειγμα 3

Εκφράστε μια παράσταση με δυνάμεις 9 - b 3 · π - 1 2 ως γινόμενο.

Λύση

Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 9 ως δύναμη 3 2 και εφαρμόστε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Απάντηση: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Και τώρα ας προχωρήσουμε στην ανάλυση των πανομοιότυπων μετασχηματισμών που μπορούν να εφαρμοστούν ειδικά σε εκφράσεις ισχύος.

Εργασία με βάση και εκθέτη

Ο βαθμός στη βάση ή τον εκθέτη μπορεί να έχει αριθμούς, μεταβλητές και μερικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7Και . Είναι δύσκολο να δουλέψεις με τέτοιους δίσκους. Είναι πολύ πιο εύκολο να αντικαταστήσετε την έκφραση στη βάση του βαθμού ή την έκφραση στον εκθέτη με μια πανομοιότυπα ίση έκφραση.

Οι μετασχηματισμοί του βαθμού και του δείκτη πραγματοποιούνται σύμφωνα με τους γνωστούς σε εμάς κανόνες χωριστά ο ένας από τον άλλο. Το πιο σημαντικό είναι ότι ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, προκύπτει μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με την αρχική.

Ο σκοπός των μετασχηματισμών είναι η απλοποίηση της αρχικής έκφρασης ή η απόκτηση λύσης στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα που δώσαμε παραπάνω, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις για να πάτε στο βαθμό 4 , 1 1 , 3 . Ανοίγοντας τις αγκύλες, μπορούμε να φέρουμε παρόμοιους όρους στη βάση του βαθμού (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)και λάβετε μια έκφραση δύναμης μιας απλούστερης μορφής a 2 (x + 1).

Χρήση Ιδιοτήτων Power

Οι ιδιότητες των μοιρών, που γράφονται ως ισότητες, είναι ένα από τα κύρια εργαλεία μετασχηματισμού εκφράσεων με μοίρες. Παραθέτουμε εδώ τα κυριότερα, λαμβάνοντας υπόψη αυτό έναΚαι σιείναι τυχόν θετικοί αριθμοί, και rΚαι μικρό- αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί:

Ορισμός 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (α β) r = a r b r ;
• (α: β) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Σε περιπτώσεις που έχουμε να κάνουμε με φυσικούς, ακέραιους, θετικούς εκθέτες, οι περιορισμοί στους αριθμούς a και b μπορεί να είναι πολύ λιγότερο αυστηροί. Έτσι, για παράδειγμα, αν αναλογιστούμε την ισότητα a m a n = a m + n, Οπου ΜΚαι nείναι φυσικοί αριθμοί, τότε θα ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές του a, τόσο θετικές όσο και αρνητικές, καθώς και για a = 0.

Μπορείτε να εφαρμόσετε τις ιδιότητες των βαθμών χωρίς περιορισμούς σε περιπτώσεις όπου οι βάσεις των βαθμών είναι θετικές ή περιέχουν μεταβλητές των οποίων το εύρος αποδεκτών τιμών είναι τέτοιο ώστε οι βάσεις να λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές σε αυτό. Μάλιστα, στα πλαίσια του σχολικού προγράμματος στα μαθηματικά, καθήκον του μαθητή είναι να επιλέξει την κατάλληλη ιδιότητα και να την εφαρμόσει σωστά.

Κατά την προετοιμασία για εισαγωγή στα πανεπιστήμια, ενδέχεται να υπάρξουν εργασίες στις οποίες η ανακριβής εφαρμογή των ιδιοτήτων θα οδηγήσει σε περιορισμό του ODZ και άλλες δυσκολίες με τη λύση. Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε μόνο δύο τέτοιες περιπτώσεις. Περισσότερες πληροφορίες για το θέμα μπορείτε να βρείτε στο θέμα «Μετασχηματισμός παραστάσεων με χρήση ιδιοτήτων εκθέτη».

Παράδειγμα 4

Αντιπροσωπεύστε την έκφραση α 2, 5 (α 2) - 3: α - 5, 5ως πτυχίο με βάση ένα.

Λύση

Αρχικά, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα εκθέσεως και μετατρέπουμε τον δεύτερο παράγοντα χρησιμοποιώντας την (α 2) − 3. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = α 2 .

Απάντηση: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Ο μετασχηματισμός των εκφράσεων ισχύος σύμφωνα με την ιδιότητα των μοιρών μπορεί να γίνει τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 5

Βρείτε την τιμή της έκφρασης δύναμης 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Λύση

Αν εφαρμόσουμε την ισότητα (α β) r = a r b r, από δεξιά προς τα αριστερά, τότε παίρνουμε ένα γινόμενο της μορφής 3 7 1 3 21 2 3 και μετά 21 1 3 21 2 3 . Ας προσθέσουμε τους εκθέτες όταν πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κάνετε μετασχηματισμούς:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Απάντηση: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Παράδειγμα 6

Δίνεται μια έκφραση δύναμης a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, εισάγετε μια νέα μεταβλητή t = a 0, 5.

Λύση

Φανταστείτε το πτυχίο ένα 1, 5Πως α 0, 5 3. Χρήση της ιδιότητας πτυχίου σε βαθμό (a r) s = a r sαπό δεξιά προς τα αριστερά και πάρτε (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Στην έκφραση που προκύπτει, μπορείτε εύκολα να εισάγετε μια νέα μεταβλητή t = a 0, 5: πάρε t 3 − t − 6.

Απάντηση: t 3 − t − 6 .

Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις

Συνήθως ασχολούμαστε με δύο παραλλαγές εκφράσεων ισχύος με κλάσματα: η έκφραση είναι ένα κλάσμα με βαθμό ή περιέχει ένα τέτοιο κλάσμα. Όλοι οι βασικοί μετασχηματισμοί κλασμάτων είναι εφαρμόσιμοι σε τέτοιες εκφράσεις χωρίς περιορισμούς. Μπορούν να μειωθούν, να μεταφερθούν σε νέο παρονομαστή, να εργαστούν χωριστά με τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Ας το επεξηγήσουμε αυτό με παραδείγματα.

Παράδειγμα 7

Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Λύση

Έχουμε να κάνουμε με ένα κλάσμα, οπότε θα πραγματοποιήσουμε μετασχηματισμούς και στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Βάλτε ένα μείον μπροστά από το κλάσμα για να αλλάξετε το πρόσημο του παρονομαστή: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Απάντηση: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Τα κλάσματα που περιέχουν δυνάμεις ανάγονται σε νέο παρονομαστή με τον ίδιο τρόπο όπως τα ρητά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα και να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν. Είναι απαραίτητο να επιλέξετε έναν πρόσθετο παράγοντα με τέτοιο τρόπο ώστε να μην εξαφανίζεται για καμία τιμή των μεταβλητών από τις μεταβλητές ODZ για την αρχική έκφραση.

Παράδειγμα 8

Φέρτε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή: α) a + 1 a 0, 7 στον παρονομαστή ένα, β) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 στον παρονομαστή x + 8 y 1 2 .

Λύση

α) Επιλέγουμε έναν παράγοντα που θα μας επιτρέψει να μειώσουμε σε νέο παρονομαστή. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,επομένως ως πρόσθετο παράγοντα παίρνουμε α 0, 3. Το εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής α περιλαμβάνει το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών. Σε αυτόν τον τομέα το πτυχίο α 0, 3δεν πάει στο μηδέν.

Ας πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με α 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

β) Προσοχή στον παρονομαστή:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Πολλαπλασιάστε αυτήν την παράσταση με x 1 3 + 2 · y 1 6 , παίρνουμε το άθροισμα των κύβων x 1 3 και 2 · y 1 6 , δηλ. x + 8 · y 1 2 . Αυτός είναι ο νέος μας παρονομαστής, στον οποίο πρέπει να φέρουμε το αρχικό κλάσμα.

Βρήκαμε λοιπόν έναν επιπλέον παράγοντα x 1 3 + 2 · y 1 6 . Στο εύρος των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών ΧΚαι yη παράσταση x 1 3 + 2 y 1 6 δεν εξαφανίζεται, οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτήν:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Απάντηση:α) α + 1 α 0, 7 = α + 1 α 0, 3 α, β) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Παράδειγμα 9

Μειώστε το κλάσμα: α) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, β) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Λύση

α) Χρησιμοποιήστε τον μεγαλύτερο κοινό παρονομαστή (GCD) με τον οποίο μπορούν να μειωθούν ο αριθμητής και ο παρονομαστής. Για τους αριθμούς 30 και 45, αυτό είναι 15. Μπορούμε επίσης να μειώσουμε x 0, 5 + 1και σε x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Παίρνουμε:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

β) Εδώ η παρουσία πανομοιότυπων παραγόντων δεν είναι εμφανής. Θα πρέπει να εκτελέσετε μερικούς μετασχηματισμούς για να λάβετε τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, επεκτείνουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Απάντηση:α) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , β) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Οι βασικές πράξεις με τα κλάσματα περιλαμβάνουν αναγωγή σε νέο παρονομαστή και αναγωγή κλασμάτων. Και οι δύο ενέργειες εκτελούνται σύμφωνα με έναν αριθμό κανόνων. Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων, τα κλάσματα αρχικά ανάγεται σε έναν κοινό παρονομαστή, μετά τον οποίο οι ενέργειες (πρόσθεση ή αφαίρεση) εκτελούνται με αριθμητές. Ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Το αποτέλεσμα των ενεργειών μας είναι ένα νέο κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών.

Παράδειγμα 10

Εκτελέστε τα βήματα x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Λύση

Ας ξεκινήσουμε αφαιρώντας τα κλάσματα που βρίσκονται σε αγκύλες. Ας τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Ας αφαιρέσουμε τους αριθμητές:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Ας μειώσουμε κατά ένα βαθμό x 1 2, παίρνουμε 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Επιπλέον, μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση ισχύος στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων: τετράγωνα: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Απάντηση: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Παράδειγμα 11

Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Λύση

Μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα κατά (x 2 , 7 + 1) 2. Παίρνουμε ένα κλάσμα x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ας συνεχίσουμε τους μετασχηματισμούς x δυνάμεων x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα διαίρεσης ισχύος με τις ίδιες βάσεις: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Περνάμε από το τελευταίο γινόμενο στο κλάσμα x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Απάντηση: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να μεταφέρετε πολλαπλασιαστές με αρνητικούς εκθέτες από τον αριθμητή στον παρονομαστή και αντίστροφα αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Αυτή η ενέργεια απλοποιεί την περαιτέρω απόφαση. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα: η έκφραση ισχύος (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 μπορεί να αντικατασταθεί από x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Μετατροπή εκφράσεων με ρίζες και δυνάμεις

Στις εργασίες, υπάρχουν εκφράσεις ισχύος που περιέχουν όχι μόνο μοίρες με κλασματικούς εκθέτες, αλλά και ρίζες. Είναι επιθυμητό να περιοριστούν τέτοιες εκφράσεις μόνο σε ρίζες ή μόνο σε εξουσίες. Η μετάβαση σε πτυχία είναι προτιμότερη, αφού είναι πιο εύκολη η εργασία μαζί τους. Μια τέτοια μετάβαση είναι ιδιαίτερα πλεονεκτική όταν το DPV των μεταβλητών για την αρχική έκφραση σάς επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις ρίζες με δυνάμεις χωρίς να χρειάζεται να έχετε πρόσβαση στο συντελεστή ή να χωρίσετε το DPV σε πολλά διαστήματα.

Παράδειγμα 12

Εκφράστε την έκφραση x 1 9 x x 3 6 ως δύναμη.

Λύση

Έγκυρο εύρος μεταβλητής Χκαθορίζεται από δύο ανισότητες x ≥ 0και x · x 3 ≥ 0 , που ορίζουν το σύνολο [ 0 , + ∞) .

Σε αυτό το σετ, έχουμε το δικαίωμα να μετακινηθούμε από τις ρίζες στις δυνάμεις:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών, απλοποιούμε την προκύπτουσα έκφραση ισχύος.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Απάντηση: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Μετατροπή δυνάμεων με μεταβλητές στον εκθέτη

Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι αρκετά απλός να γίνουν αν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητες του βαθμού. Για παράδειγμα, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το γινόμενο του βαθμού, ως προς τον οποίο βρίσκεται το άθροισμα κάποιας μεταβλητής και ενός αριθμού. Στην αριστερή πλευρά, αυτό μπορεί να γίνει με τον πρώτο και τον τελευταίο όρο στην αριστερή πλευρά της έκφρασης:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Τώρα ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 7 2 x. Αυτή η έκφραση στο ODZ της μεταβλητής x παίρνει μόνο θετικές τιμές:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Ας μειώσουμε τα κλάσματα με δυνάμεις, παίρνουμε: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Τέλος, ο λόγος των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες αντικαθίσταται από δυνάμεις λόγων, που οδηγεί στην εξίσωση 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , που ισοδυναμεί με 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή t = 5 7 x , η οποία ανάγει τη λύση της αρχικής εκθετικής εξίσωσης στη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις και λογάριθμους

Εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις και λογάριθμους βρίσκονται επίσης στα προβλήματα. Παραδείγματα τέτοιων εκφράσεων είναι: 1 4 1 - 5 log 2 3 ή log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Ο μετασχηματισμός τέτοιων εκφράσεων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις που συζητήθηκαν παραπάνω και τις ιδιότητες των λογαρίθμων, τις οποίες έχουμε αναλύσει λεπτομερώς στο θέμα "Μετασχηματισμός λογαριθμικών παραστάσεων".

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στο τελευταίο εκπαιδευτικό βίντεο, μάθαμε ότι ο βαθμός μιας ορισμένης βάσης είναι μια έκφραση που είναι το γινόμενο της βάσης και της ίδιας, που λαμβάνεται σε ποσότητα ίση με τον εκθέτη. Ας μελετήσουμε τώρα μερικές από τις πιο σημαντικές ιδιότητες και λειτουργίες των δυνάμεων.

Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε δύο διαφορετικές δυνάμεις με την ίδια βάση:

Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό το κομμάτι στο σύνολό του:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Υπολογίζοντας την τιμή αυτής της παράστασης, παίρνουμε τον αριθμό 32. Από την άλλη πλευρά, όπως φαίνεται από το ίδιο παράδειγμα, το 32 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο της ίδιας βάσης (δύο), που λαμβάνεται 5 φορές. Και πράγματι, αν μετρήσετε, τότε:

Έτσι, μπορεί να συναχθεί με ασφάλεια ότι:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Αυτός ο κανόνας λειτουργεί με επιτυχία για οποιουσδήποτε δείκτες και οποιονδήποτε λόγο. Αυτή η ιδιότητα πολλαπλασιασμού του βαθμού προκύπτει από τον κανόνα διατήρησης της σημασίας των εκφράσεων κατά τους μετασχηματισμούς στο γινόμενο. Για οποιαδήποτε βάση a, το γινόμενο δύο παραστάσεων (a) x και (a) y είναι ίσο με a (x + y). Με άλλα λόγια, όταν παράγονται οποιεσδήποτε εκφράσεις με την ίδια βάση, το τελικό μονώνυμο έχει έναν συνολικό βαθμό που σχηματίζεται με την προσθήκη του βαθμού της πρώτης και της δεύτερης έκφρασης.

Ο παρουσιαζόμενος κανόνας λειτουργεί επίσης εξαιρετικά κατά τον πολλαπλασιασμό πολλών εκφράσεων. Η βασική προϋπόθεση είναι οι βάσεις για όλους να είναι ίδιες. Για παράδειγμα:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Είναι αδύνατο να προσθέσετε μοίρες και γενικά να πραγματοποιήσετε οποιεσδήποτε ενέργειες αρθρώσεων ισχύος με δύο στοιχεία της έκφρασης, εάν οι βάσεις τους είναι διαφορετικές.
Όπως δείχνει το βίντεό μας, λόγω της ομοιότητας των διαδικασιών πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, οι κανόνες για την προσθήκη δυνάμεων κατά τη διάρκεια ενός γινόμενου μεταφέρονται τέλεια στη διαδικασία διαίρεσης. Εξετάστε αυτό το παράδειγμα:

Ας κάνουμε έναν όρο προς όρο μετασχηματισμό της έκφρασης σε πλήρη μορφή και ας μειώσουμε τα ίδια στοιχεία στο μέρισμα και στο διαιρέτη:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Το τελικό αποτέλεσμα αυτού του παραδείγματος δεν είναι τόσο ενδιαφέρον, γιατί ήδη κατά τη διάρκεια της επίλυσής του είναι σαφές ότι η τιμή της έκφρασης είναι ίση με το τετράγωνο του δύο. Και είναι το δίδυμο που προκύπτει αφαιρώντας το βαθμό της δεύτερης έκφρασης από το βαθμό της πρώτης.

Για τον προσδιορισμό του βαθμού του πηλίκου, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον βαθμό του διαιρέτη από τον βαθμό του μερίσματος. Ο κανόνας λειτουργεί με την ίδια βάση για όλες τις αξίες του και για όλες τις φυσικές δυνάμεις. Σε αφηρημένη μορφή έχουμε:

(α) x / (a) y = (α) x - y

Ο ορισμός για τον μηδενικό βαθμό προκύπτει από τον κανόνα για τη διαίρεση πανομοιότυπων βάσεων με δυνάμεις. Προφανώς, η ακόλουθη έκφραση είναι:

(α) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Από την άλλη πλευρά, αν διαιρέσουμε με πιο οπτικό τρόπο, παίρνουμε:

(α) 2 / (α) 2 = (α) (α) / (α) (α) = 1

Κατά την αναγωγή όλων των ορατών στοιχείων ενός κλάσματος, λαμβάνεται πάντα η έκφραση 1/1, δηλαδή ένα. Ως εκ τούτου, είναι γενικά αποδεκτό ότι οποιαδήποτε βάση ανυψώνεται στη μηδενική ισχύ είναι ίση με ένα:

Ανεξάρτητα από την τιμή του α.

Ωστόσο, θα ήταν παράλογο εάν το 0 (το οποίο εξακολουθεί να δίνει 0 για κάθε πολλαπλασιασμό) είναι κατά κάποιο τρόπο ίσο με ένα, επομένως μια έκφραση όπως (0) 0 (μηδέν έως το μηδέν βαθμό) απλά δεν έχει νόημα και στον τύπο (α) 0 \u003d 1 προσθέστε μια συνθήκη: "αν το a δεν είναι ίσο με 0".

Ας κάνουμε την άσκηση. Ας βρούμε την τιμή της έκφρασης:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Δεδομένου ότι η βάση είναι η ίδια παντού και ισούται με 34, η τελική τιμή θα έχει την ίδια βάση με ένα βαθμό (σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες):

Με άλλα λόγια:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Απάντηση: Η έκφραση ισούται με ένα.

Σας υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το μάθημα καταλαβαίνουμε ιδιότητες βαθμούμε φυσικούς δείκτες και μηδέν. Τα πτυχία με ορθολογικούς δείκτες και οι ιδιότητές τους θα συζητηθούν στα μαθήματα για την 8η τάξη.

Ένας εκθέτης με φυσικό εκθέτη έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες που σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε παραδείγματα εκθέτη.

Ακίνητο #1
Προϊόν των δυνάμεων

Θυμάμαι!

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες προστίθενται.

a m a n \u003d a m + n, όπου "a"- οποιοσδήποτε αριθμός και" m", "n" - οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

Αυτή η ιδιότητα των δυνάμεων επηρεάζει επίσης το γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων.

• Απλοποιήστε την έκφραση.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Παρουσιάστε ως πτυχίο.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Παρουσιάστε ως πτυχίο.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Σπουδαίος!

Λάβετε υπόψη ότι στην υποδεικνυόμενη ιδιότητα αφορούσε μόνο τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με τους ίδιους λόγους . Δεν ισχύει για την προσθήκη τους.

Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το άθροισμα (3 3 + 3 2) με 3 5 . Αυτό είναι κατανοητό αν
υπολογίστε (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 και 3 5 = 243

Ακίνητο #2
Ιδιωτικά πτυχία

Θυμάμαι!

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των μερικών μοιρών.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Απάντηση: t = 3 4 = 81

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Νο. 1 και Νο. 2, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε εκφράσεις και να εκτελέσετε υπολογισμούς.

• Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας ιδιότητες βαθμού.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Σπουδαίος!

  Λάβετε υπόψη ότι η ιδιοκτησία 2 αφορούσε μόνο την κατανομή εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.

  Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαφορά (4 3 −4 2) με 4 1 . Αυτό είναι κατανοητό αν αναλογιστούμε (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 και 4 1 = 4

  Πρόσεχε!

  Ακίνητο #3
  Εκθεσιμότητα

  Θυμάμαι!

  Κατά την αύξηση μιας ισχύος σε μια ισχύ, η βάση της ισχύος παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

  (a n) m \u003d a n m, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

  
  

  Ιδιότητες 4
  Πτυχίο προϊόντος

  Θυμάμαι!

  Όταν ανεβάζετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, κάθε ένας από τους παράγοντες αυξάνεται σε μια ισχύ. Τα αποτελέσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται.

  (α β) n \u003d a n b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητικοί αριθμοί. "n" - οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

  • Παράδειγμα 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Παράδειγμα 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Σπουδαίος!

  Σημειώστε ότι η ιδιότητα Νο. 4, όπως και άλλες ιδιότητες πτυχίων, εφαρμόζεται επίσης με αντίστροφη σειρά.

  (a n b n)= (a b) n

  Δηλαδή, για να πολλαπλασιάσετε μοίρες με τους ίδιους εκθέτες, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις και να αφήσετε τον εκθέτη αμετάβλητο.

  • Παράδειγμα. Υπολογίζω.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Παράδειγμα. Υπολογίζω.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Σε πιο σύνθετα παραδείγματα, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πρέπει να εκτελεστούν σε δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις και διαφορετικούς εκθέτες. Σε αυτή την περίπτωση, σας συμβουλεύουμε να κάνετε τα εξής.

  Για παράδειγμα, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Παράδειγμα εκθέσεως δεκαδικού κλάσματος.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Ιδιότητες 5
  Δύναμη του πηλίκου (κλάσματα)

  Θυμάμαι!

  Για να αυξήσετε ένα πηλίκο σε μια δύναμη, μπορείτε να αυξήσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη ξεχωριστά σε αυτήν την ισχύ και να διαιρέσετε το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο.

  (α: β) n \u003d a n: b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητός αριθμός, b ≠ 0, n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

  • Παράδειγμα. Εκφράστε την έκφραση ως μερικές δυνάμεις.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Υπενθυμίζουμε ότι ένα πηλίκο μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Ως εκ τούτου, θα σταθούμε στο θέμα της αύξησης ενός κλάσματος σε μια ισχύ με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη σελίδα.