Πίνακας τιμών αντιπαραγώγων. Αντιπαράγωγο. Επίλυση απλών παραδειγμάτων

Ορισμός αντιπαράγωγης συνάρτησης

• Λειτουργία y=F(x)ονομάζεται αντιπαράγωγος της συνάρτησης y=f(x)σε δεδομένο διάστημα Χ,αν για όλους Χ ∈Χισχύει η ισότητα: F′(x) = f(x)

Μπορεί να διαβαστεί με δύο τρόπους:

1. φά παράγωγο συνάρτησης φά
2. φά αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης φά

Ιδιότητα αντιπαραγώγων

• Αν F(x)- αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης f(x)σε ένα δεδομένο διάστημα, τότε η συνάρτηση f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα αυτά τα αντιπαράγωγα μπορούν να γραφούν με τη μορφή F(x) + C, όπου C είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Γεωμετρική ερμηνεία

• Γραφήματα όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης f(x)λαμβάνονται από τη γραφική παράσταση οποιουδήποτε αντιπαραγώγου με παράλληλες μεταφράσεις κατά μήκος του άξονα Ο στο.

Κανόνες υπολογισμού αντιπαραγώγων

1. Το αντιπαράγωγο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των αντιπαραγώγων. Αν F(x)- αντιπαράγωγο για f(x), και το G(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για g(x), Οτι F(x) + G(x)- αντιπαράγωγο για f(x) + g(x).
2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αν F(x)- αντιπαράγωγο για f(x), Και κ- σταθερά, λοιπόν kF(x)- αντιπαράγωγο για kf(x).
3. Αν F(x)- αντιπαράγωγο για f(x), Και κ,β- σταθερά, και k ≠ 0, Οτι 1/k F(kx + b)- αντιπαράγωγο για f(kx + b).

Θυμάμαι!

Οποιαδήποτε λειτουργία F (x) \u003d x 2 + C , όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά, και μόνο μια τέτοια συνάρτηση είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x) = 2x.

• Για παράδειγμα:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,επειδή F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,επειδή F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Σχέση μεταξύ των γραφημάτων μιας συνάρτησης και της αντιπαράγωγής της:

1. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x)>0στο διάστημα, τότε η γραφική παράσταση του αντιπαραγώγου του F(x)αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
2. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x) στο διάστημα, τότε η γραφική παράσταση της αντιπαραγώγου της F(x)μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
3. Αν f(x)=0, τότε η γραφική παράσταση του αντιπαραγώγου του F(x)σε αυτό το σημείο αλλάζει από αύξουσα σε φθίνουσα (ή αντίστροφα).

Για να δηλώσουμε το αντιπαράγωγο χρησιμοποιείται το πρόσημο του αορίστου ολοκληρώματος, δηλαδή το ολοκλήρωμα χωρίς να δηλώνονται τα όρια ολοκλήρωσης.

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ορισμός:

• Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) είναι η έκφραση F(x) + C, δηλαδή το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης f(x). Το αόριστο ολοκλήρωμα συμβολίζεται ως εξής: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- ονομάζεται η συνάρτηση ολοκλήρωσης.
• f(x) dx- ονομάζεται ολοκλήρωσης.
• Χ- ονομάζεται μεταβλητή ολοκλήρωσης.
• F(x)- ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης f(x);
• ΜΕ- αυθαίρετη σταθερά.

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

1. Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Ο σταθερός παράγοντας του ολοκληρώματος μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ολοκληρώματος: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Αν κ,βείναι σταθερές, και k ≠ 0, τότε \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Πίνακας αντιπαραγώγων και αόριστων ολοκληρωμάτων

Λειτουργία f(x)	Αντιπαράγωγο F(x) + C	Αόριστα ολοκληρώματα \int f(x) dx = F(x) + C
0	ντο	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac (a^x) (l na) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^ 2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt ( x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt ( x) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) )	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac ( x) (a) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2+x^2)	F(x)=\arctg \frac ( x) (a) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac (1) (1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac (dx) (1+x^2) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Τύπος Newton–Leibniz

Αφήνω f(x)αυτή τη λειτουργία φάτο αυθαίρετο αντιπαράγωγό του.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)

Οπου F(x)- αντιπαράγωγο για f(x)

Δηλαδή το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)σε ένα διάστημα ισούται με τη διαφορά των αντιπαραγώγων σε σημεία σιΚαι ένα.

Εμβαδόν κυρτού τραπεζοειδούς

Καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές ονομάζεται φιγούρα περιορισμένη βάσει χρονοδιαγράμματοςμη αρνητική και συνεχής συνάρτηση στο τμήμα φά, άξονας Ox και ευθείες γραμμές x = αΚαι x = β.

Η περιοχή ενός καμπύλου τραπεζοειδούς βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx

Άμεση ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιπαραγώγων (πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων)

Πίνακας αντιπαραγώγων

Μπορούμε να βρούμε την αντιπαράγωγο από ένα γνωστό διαφορικό μιας συνάρτησης αν χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος. Από τον πίνακα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, χρησιμοποιώντας τις ισότητες ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C και ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x μπορούμε να φτιάξουμε έναν πίνακα αντιπαραγώγων.

Ας γράψουμε τον πίνακα των παραγώγων με τη μορφή διαφορικών.

Σταθερά y = C C" = 0 Συνάρτηση ισχύος y = x p. (x p) " = p x p - 1	Σταθερά y = C d (C) = 0 d x Συνάρτηση ισχύος y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Εκθετική συνάρτηση y = a x. d (a x) = a x ln α d x Συγκεκριμένα, για a = e έχουμε y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Λογαριθμικές συναρτήσεις y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Συγκεκριμένα, για a = e έχουμε y = ln x d (ln x) = d x x
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Ας επεξηγήσουμε τα παραπάνω με ένα παράδειγμα. Ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης ισχύος f (x) = x p.

Σύμφωνα με τον πίνακα των διαφορών d (x p) = p · x p - 1 · d x. Με τις ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος έχουμε ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Επομένως, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Η δεύτερη έκδοση του λήμματος είναι η εξής: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Ας το πάρουμε ίσο με - 1 και ας βρούμε το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης ισχύος f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Τώρα χρειαζόμαστε έναν πίνακα διαφορών για τον φυσικό λογάριθμο d (ln x) = d x x, x > 0, επομένως ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Επομένως ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Πίνακας αντιπαραγώγων (αόριστα ολοκληρώματα)

Η αριστερή στήλη του πίνακα περιέχει τύπους που ονομάζονται βασικά αντιπαράγωγα. Οι τύποι στη δεξιά στήλη δεν είναι βασικοί, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση αόριστων ολοκληρωμάτων. Μπορούν να ελεγχθούν με διαφοροποίηση.

Άμεση ένταξη

Για να πραγματοποιήσουμε άμεση ολοκλήρωση, θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες αντιπαραγώγων, κανόνες ολοκλήρωσης ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, καθώς και ιδιότητες αόριστων ολοκληρωμάτων ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Ο πίνακας των βασικών ολοκληρωμάτων και των ιδιοτήτων των ολοκληρωμάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μετά από έναν εύκολο μετασχηματισμό του ολοκληρωτή.

Παράδειγμα 1

Ας βρούμε το ολοκλήρωμα ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Λύση

Αφαιρούμε τον συντελεστή 3 κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Χρησιμοποιώντας τύπους τριγωνομετρίας, μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + αμαρτία x δ x

Αφού το ολοκλήρωμα του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων, τότε
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα από τον πίνακα των αντιπαραγώγων: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = κενό 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Απάντηση:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να βρεθεί το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Λύση

Χρησιμοποιούμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων για την εκθετική συνάρτηση: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Αυτό σημαίνει ότι ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα ολοκλήρωσης ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Παίρνουμε ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Απάντηση: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων, τις ιδιότητες και τον κανόνα της ολοκλήρωσης, μπορούμε να βρούμε πολλά αόριστα ολοκληρώματα. Αυτό είναι δυνατό σε περιπτώσεις όπου είναι δυνατός ο μετασχηματισμός του ολοκληρωτή.

Για την εύρεση του ολοκληρώματος της λογαριθμικής συνάρτησης, των συναρτήσεων εφαπτομένης και συνεφαπτομένης και ορισμένων άλλων, χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι, τις οποίες θα εξετάσουμε στην ενότητα «Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης».

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε παλαιότερο υλικό εξετάστηκε το θέμα της εύρεσης του παραγώγου και του διάφορες εφαρμογές: υπολογισμός του γωνιακού συντελεστή εφαπτομένης σε γράφημα, επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης, μελέτη συναρτήσεων για μονοτονία και ακρότατα. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nlimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Εικόνα 1.

Το πρόβλημα της εύρεσης της στιγμιαίας ταχύτητας $v(t)$ χρησιμοποιώντας την παράγωγο κατά μήκος μιας προηγουμένως γνωστής διαδρομής που διανύθηκε, που εκφράζεται από τη συνάρτηση $s(t)$, εξετάστηκε επίσης.

Σχήμα 2.

Το αντίστροφο πρόβλημα είναι επίσης πολύ κοινό, όταν πρέπει να βρείτε τη διαδρομή $s(t)$ που διανύεται από ένα χρονικό σημείο $t$, γνωρίζοντας την ταχύτητα του σημείου $v(t)$. Αν θυμηθούμε, η στιγμιαία ταχύτητα $v(t)$ βρίσκεται ως η παράγωγος της συνάρτησης διαδρομής $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Αυτό σημαίνει ότι για να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή να υπολογίσετε τη διαδρομή, πρέπει να βρείτε μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος θα είναι ίση με τη συνάρτηση ταχύτητας. Ξέρουμε όμως ότι η παράγωγος της διαδρομής είναι η ταχύτητα, δηλαδή: $s’(t) = v(t)$. Η ταχύτητα ισούται με τον χρόνο επιτάχυνσης: $v=at$. Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι η επιθυμητή συνάρτηση διαδρομής θα έχει τη μορφή: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Αλλά αυτή δεν είναι μια εντελώς ολοκληρωμένη λύση. Η πλήρης λύση θα έχει τη μορφή: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, όπου η $C$ είναι κάποια σταθερά. Το γιατί συμβαίνει αυτό θα συζητηθεί περαιτέρω. Προς το παρόν, ας ελέγξουμε την ορθότητα της λύσης που βρέθηκε: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η εύρεση μιας διαδρομής με βάση την ταχύτητα είναι η φυσική έννοια ενός αντιπαραγώγου.

Η συνάρτηση $s(t)$ που προκύπτει ονομάζεται αντιπαράγωγος του $v(t)$. Πολύ ενδιαφέρον και ασυνήθιστο όνομα, έτσι δεν είναι. Περιέχει ένα μεγάλο νόημα που εξηγεί την ουσία αυτής της έννοιας και οδηγεί στην κατανόησή της. Φαίνεται ότι περιέχει δύο λέξεις «πρώτη» και «εικόνα». Μιλούν από μόνα τους. Δηλαδή αυτή είναι η συνάρτηση που είναι η αρχική για την παράγωγο που έχουμε. Και χρησιμοποιώντας αυτήν την παράγωγο αναζητούμε τη συνάρτηση που ήταν στην αρχή, ήταν «πρώτη», «πρώτη εικόνα», δηλαδή αντιπαράγωγο. Μερικές φορές ονομάζεται επίσης πρωταρχική συνάρτηση ή αντι-παράγωγο.

Όπως ήδη γνωρίζουμε, η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Και η διαδικασία εύρεσης του αντιπαραγώγου ονομάζεται ολοκλήρωση. Η πράξη ολοκλήρωσης είναι το αντίστροφο της πράξης διαφοροποίησης. Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια.

Ορισμός.Ένα αντιπαράγωγο για μια συνάρτηση $f(x)$ σε ένα συγκεκριμένο διάστημα είναι μια συνάρτηση $F(x)$ της οποίας η παράγωγος είναι ίση με αυτή τη συνάρτηση $f(x)$ για όλα τα $x$ από το καθορισμένο διάστημα: $F' (x)=f (x)$.

Κάποιος μπορεί να έχει μια ερώτηση: από πού προήλθαν τα $F(x)$ και $f(x)$ στον ορισμό, αν αρχικά μιλούσαμε για $s(t)$ και $v(t)$. Το θέμα είναι ότι τα $s(t)$ και τα $v(t)$ είναι ειδικές περιπτώσεις σημειώσεων συναρτήσεων που έχουν σε αυτήν την περίπτωσησυγκεκριμένη έννοια, δηλαδή είναι συνάρτηση χρόνου και συνάρτηση ταχύτητας αντίστοιχα. Είναι το ίδιο με τη μεταβλητή $t$ - υποδηλώνει χρόνο. Και τα $f$ και $x$ είναι η παραδοσιακή παραλλαγή του γενικού χαρακτηρισμού μιας συνάρτησης και μιας μεταβλητής, αντίστοιχα. Αξίζει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στη σημείωση του αντιπαραγώγου $F(x)$. Πρώτα απ 'όλα, το $F$ είναι κεφάλαιο. Τα αντιπαράγωγα υποδεικνύονται με κεφαλαία γράμματα. Δεύτερον, τα γράμματα είναι τα ίδια: $F$ και $f$. Δηλαδή, για τη συνάρτηση $g(x)$ το αντιπαράγωγο θα συμβολίζεται με $G(x)$, για το $z(x)$ – με $Z(x)$. Ανεξάρτητα από τη σημείωση, οι κανόνες για την εύρεση μιας αντιπαράγωγης συνάρτησης είναι πάντα οι ίδιοι.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησης $f(x)=\cos5x$.

Για να το αποδείξουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό, ή μάλλον το γεγονός ότι $F'(x)=f(x)$, και θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Αυτό σημαίνει ότι το $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ είναι το αντιπαράγωγο του $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Παράδειγμα 2.Βρείτε ποιες συναρτήσεις αντιστοιχούν στα ακόλουθα αντιπαράγωγα: α) $F(z)=\tg z$; β) $G(l) = \sin l$.

Για να βρούμε τις απαιτούμενες συναρτήσεις, ας υπολογίσουμε τις παράγωγές τους:
α) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
β) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Παράδειγμα 3.Ποιο θα είναι το αντιπαράγωγο για $f(x)=0$;
Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό. Ας σκεφτούμε ποια συνάρτηση μπορεί να έχει παράγωγο ίση με $0$. Ανακαλώντας τον πίνακα των παραγώγων, βρίσκουμε ότι οποιαδήποτε σταθερά θα έχει μια τέτοια παράγωγο. Διαπιστώνουμε ότι το αντιπαράγωγο που αναζητούμε είναι: $F(x)= C$.

Η λύση που προκύπτει μπορεί να εξηγηθεί γεωμετρικά και φυσικά. Γεωμετρικά, σημαίνει ότι η εφαπτομένη στο γράφημα $y=F(x)$ είναι οριζόντια σε κάθε σημείο αυτού του γραφήματος και, επομένως, συμπίπτει με τον άξονα $Ox$. Φυσικά εξηγείται από το γεγονός ότι ένα σημείο με ταχύτητα ίση με το μηδέν παραμένει στη θέση του, δηλαδή η διαδρομή που έχει διανύσει είναι αμετάβλητη. Με βάση αυτό, μπορούμε να διατυπώσουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. (Σημάδι σταθερότητας λειτουργιών). Αν σε κάποιο διάστημα $F’(x) = 0$, τότε η συνάρτηση $F(x)$ σε αυτό το διάστημα είναι σταθερή.

Παράδειγμα 4.Προσδιορίστε ποιες συναρτήσεις είναι αντιπαράγωγα του a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; β) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; γ) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; δ) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, όπου το $a$ είναι κάποιος αριθμός.
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας αντιπαράγωγης, συμπεραίνουμε ότι για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα πρέπει να υπολογίσουμε τις παραγώγους των αντιπαραγώγων συναρτήσεων που μας δίνονται. Κατά τον υπολογισμό, να θυμάστε ότι η παράγωγος μιας σταθεράς, δηλαδή οποιουδήποτε αριθμού, είναι ίση με μηδέν.
α) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
β) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
γ) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
δ) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Τι βλέπουμε; Πολλές διαφορετικές συναρτήσεις είναι πρωτόγονες της ίδιας συνάρτησης. Αυτό υποδηλώνει ότι οποιαδήποτε συνάρτηση έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και έχουν τη μορφή $F(x) + C$, όπου η $C$ είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Δηλαδή, η λειτουργία της ολοκλήρωσης είναι πολυτιμή, σε αντίθεση με τη λειτουργία της διαφοροποίησης. Με βάση αυτό, ας διατυπώσουμε ένα θεώρημα που περιγράφει την κύρια ιδιότητα των αντιπαραγώγων.

Θεώρημα. (Η κύρια ιδιότητα των αντιπαραγώγων). Ας είναι οι συναρτήσεις $F_1$ και $F_2$ αντιπαράγωγα της συνάρτησης $f(x)$ σε κάποιο διάστημα. Τότε για όλες τις τιμές από αυτό το διάστημα ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $F_2=F_1+C$, όπου το $C$ είναι κάποια σταθερά.

Το γεγονός της παρουσίας ενός άπειρου αριθμού αντιπαραγώγων μπορεί να ερμηνευτεί γεωμετρικά. Χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση κατά μήκος του άξονα $Oy$, μπορεί κανείς να λάβει το ένα από το άλλο τα γραφήματα οποιωνδήποτε δύο αντιπαραγώγων για $f(x)$. Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία του αντιπαραγώγου.

Είναι πολύ σημαντικό να προσέξετε το γεγονός ότι επιλέγοντας τη σταθερά $C$ μπορείτε να διασφαλίσετε ότι το γράφημα του αντιπαραγώγου διέρχεται από ένα συγκεκριμένο σημείο.

Εικόνα 3.

Παράδειγμα 5.Βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο $(3; 1)$.
Ας βρούμε πρώτα όλα τα αντιπαράγωγα για $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Στη συνέχεια, θα βρούμε έναν αριθμό C για τον οποίο το γράφημα $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ θα περάσει από το σημείο $(3; 1)$. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση γραφήματος και τη λύνουμε με $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Λάβαμε ένα γράφημα $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, το οποίο αντιστοιχεί στο αντιπαράγωγο $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Πίνακας αντιπαραγώγων

Ένας πίνακας τύπων για την εύρεση αντιπαραγώγων μπορεί να καταρτιστεί χρησιμοποιώντας τύπους για την εύρεση παραγώγων.

Πίνακας αντιπαραγώγων

Λειτουργίες	Αντιπαράγωγα
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\σε R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα του πίνακα με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σύνολο αντιπαραγώγων που βρίσκεται στη δεξιά στήλη, βρείτε την παράγωγο, η οποία θα έχει ως αποτέλεσμα τις αντίστοιχες συναρτήσεις στην αριστερή στήλη.

Μερικοί κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων

Όπως είναι γνωστό, πολλές συναρτήσεις έχουν πιο σύνθετη μορφή από αυτές που υποδεικνύονται στον πίνακα των αντιπαραγώγων και μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αυθαίρετος συνδυασμός αθροισμάτων και προϊόντων συναρτήσεων από αυτόν τον πίνακα. Και εδώ τίθεται το ερώτημα: πώς να υπολογίσετε τα αντιπαράγωγα τέτοιων συναρτήσεων. Για παράδειγμα, από τον πίνακα ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε τα αντιπαράγωγα των $x^3$, $\sin x$ και $10$. Πώς, για παράδειγμα, μπορεί κανείς να υπολογίσει το αντιπαράγωγο $x^3-10\sin x$; Κοιτάζοντας μπροστά, αξίζει να σημειωθεί ότι θα είναι ίσο με $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Εάν το $F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για το $f(x)$, το $G(x)$ για το $g(x)$, τότε για το $f(x)+g(x)$ το αντιπαράγωγο θα είναι ίσο με $ F(x)+G(x)$.
2. Εάν το $F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για το $f(x)$ και το $a$ είναι σταθερά, τότε για το $af(x)$ το αντιπαράγωγο είναι $aF(x)$.
3. Εάν για το $f(x)$ το αντιπαράγωγο είναι $F(x)$, το $a$ και το $b$ είναι σταθερές, τότε το $\frac(1)(a) F(ax+b)$ είναι το αντιπαράγωγο για $f (ax+b)$.
Χρησιμοποιώντας τους λαμβανόμενους κανόνες μπορούμε να επεκτείνουμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων.

Λειτουργίες	Αντιπαράγωγα
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Παράδειγμα 5.Βρείτε αντιπαράγωγα για:

α) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

β) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

γ) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

δ) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

α) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

β) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

γ) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

δ) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Πίνακας αντιπαραγώγων ("ολοκληρώματα"). Πίνακας ολοκληρωμάτων. Πινακοποιημένα αόριστα ολοκληρώματα. (Τα πιο απλά ολοκληρώματα και ολοκληρώματα με παράμετρο). Φόρμουλες για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα. Τύπος Newton-Leibniz.

Πίνακας αντιπαραγώγων ("ολοκληρώματα"). Πινακοποιημένα αόριστα ολοκληρώματα. (Τα πιο απλά ολοκληρώματα και ολοκληρώματα με παράμετρο).
Αναπόσπαστο συνάρτησης ισχύος.	Αναπόσπαστο συνάρτησης ισχύος.
Ένα ολοκλήρωμα που ανάγεται στο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ισχύος αν το x οδηγείται κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
	Ολοκλήρωμα μιας εκθετικής, όπου a είναι ένας σταθερός αριθμός.
Ολοκλήρωμα μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης.	Ολοκλήρωμα εκθετικής συνάρτησης.
Ολόκληρο ίσο με τον φυσικό λογάριθμο.	Ολοκληρωμένο: «Μακρύς λογάριθμος».
	Ολοκληρωμένο: «Μακρύς λογάριθμος».
Ολοκλήρωμα: «Υψηλός λογάριθμος».	Ένα ολοκλήρωμα, όπου το x στον αριθμητή τοποθετείται κάτω από το διαφορικό πρόσημο (η σταθερά κάτω από το πρόσημο μπορεί είτε να προστεθεί είτε να αφαιρεθεί), είναι τελικά παρόμοιο με ένα ολοκλήρωμα ίσο με τον φυσικό λογάριθμο.
Ολοκλήρωμα: «Υψηλός λογάριθμος».
Συνημίτονο ολοκλήρωμα.	Ημιτονικό ολοκλήρωμα.
Ολοκληρωμένο ίσο με την εφαπτομένη.	Ολοκληρωμένο ίσο με συνεφαπτομένη.
Ολοκληρωτικό ίσο και με το αρξίνη και με την αρκοσίνη
Ένα ολοκλήρωμα ίσο και με το αρξίνη και το αρκοσίνη.	Ένα ολοκλήρωμα ίσο με τόξο και εφαπτομενικό.
Ολοκληρωτικό ίσο με συνοδική.	Ολοκλήρωμα ίσο με τομή.
Ολοκληρωμένο ίσο με τόξο.	Ολοκληρωμένο ίσο με τόξο.
Ολοκληρωμένο ίσο με τόξο.	Ολοκληρωμένο ίσο με τόξο.
Ολοκληρωμένο ίσο με το υπερβολικό ημίτονο.	Ολοκληρωμένο ίσο με υπερβολικό συνημίτονο.
Ολοκληρωμένο ίσο με το υπερβολικό ημίτονο, όπου sinhx είναι το υπερβολικό ημίτονο στην αγγλική έκδοση.	Ολοκληρωμένο ίσο με το υπερβολικό συνημίτονο, όπου sinhx είναι το υπερβολικό ημίτονο στην αγγλική έκδοση.
Ολοκληρωμένο ίσο με την υπερβολική εφαπτομένη.	Ολοκληρωμένο ίσο με την υπερβολική συνεφαπτομένη.
Ένα ολοκλήρωμα ίσο με την υπερβολική τομή.	Ένα ολοκλήρωμα ίσο με την υπερβολική συνέκταση.

Φόρμουλες για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα. Κανόνες ενσωμάτωσης.

Φόρμουλες για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα. Τύπος Newton-Leibniz Κανόνες ολοκλήρωσης.
Ολοκλήρωση προϊόντος (συνάρτησης) με σταθερά:
Ενσωμάτωση του αθροίσματος των συναρτήσεων:
αόριστα ολοκληρώματα:
Φόρμουλα για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα οριστικά ολοκληρώματα:
Τύπος Newton-Leibniz οριστικά ολοκληρώματα:	Όπου F(a), F(b) είναι οι τιμές των αντιπαραγώγων στα σημεία b και a, αντίστοιχα.

Πίνακας παραγώγων. Πίνακες παράγωγα. Παράγωγο του προϊόντος. Παράγωγος του πηλίκου. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Αν το x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε:

Πίνακας παραγώγων. Παράγωγα πίνακα"παράγωγο πίνακα" - ναι, δυστυχώς, έτσι ακριβώς γίνεται η αναζήτηση στο Διαδίκτυο
	Παράγωγος συνάρτησης ισχύος
	Παράγωγος του εκθέτη
Παράγωγος μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης	Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης	Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου
	Παράγωγος φυσικού λογάριθμου συνάρτησης
Παράγωγο ημιτόνου	Παράγωγο συνημίτονου
Παράγωγο συνοδευτικής	Παράγωγο τμήματος
Παράγωγο αρκσινίου	Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
Παράγωγο αρκσινίου	Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
Εφαπτομένη παράγωγος	Παράγωγο συνεφαπτομένης
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο arccosecant
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο arccosecant
Παράγωγο του υπερβολικού ημιτόνου Παράγωγο του υπερβολικού ημιτόνου στην αγγλική έκδοση	Παράγωγο υπερβολικού συνημιτόνου Παράγωγο υπερβολικού συνημιτόνου στην αγγλική έκδοση
Παράγωγος υπερβολικής εφαπτομένης	Παράγωγο υπερβολικής συνεφαπτομένης
Παράγωγο της υπερβολικής τομής	Παράγωγο της υπερβολικής συνέκτασης

Κανόνες διαφοροποίησης. Παράγωγο του προϊόντος. Παράγωγος του πηλίκου. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
Παράγωγος προϊόντος (συνάρτησης) από σταθερά:
Παράγωγο αθροίσματος (συναρτήσεις):
Παράγωγο προϊόντος (συναρτήσεις):
Παράγωγος του πηλίκου (συναρτήσεων):
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Ιδιότητες λογαρίθμων. Βασικοί τύποι για λογάριθμους. Δεκαδικοί (lg) και φυσικοί λογάριθμοι (ln).

Βασική λογαριθμική ταυτότητα
Ας δείξουμε πώς οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής a b μπορεί να γίνει εκθετική. Αφού μια συνάρτηση της μορφής e x ονομάζεται εκθετική, τότε
Οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής a b μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του δέκα

Φυσικός λογάριθμος ln (λογάριθμος στη βάση e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Σειρά Taylor. Επέκταση της σειράς Taylor μιας συνάρτησης.

Αποδεικνύεται ότι η πλειοψηφία πρακτικά συναντάταιΟι μαθηματικές συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με οποιαδήποτε ακρίβεια κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο με τη μορφή σειρών ισχύος που περιέχουν δυνάμεις μιας μεταβλητής σε αύξουσα σειρά. Για παράδειγμα, κοντά στο σημείο x=1:

Όταν χρησιμοποιείτε τη σειρά που ονομάζεται Οι σειρές του TaylorΟι μικτές συναρτήσεις που περιέχουν, ας πούμε, αλγεβρικές, τριγωνομετρικές και εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν ως καθαρά αλγεβρικές συναρτήσεις. Χρησιμοποιώντας σειρές, μπορείτε συχνά να εκτελέσετε γρήγορα τη διαφοροποίηση και την ολοκλήρωση.

Η σειρά Taylor στη γειτονιά του σημείου α έχει τη μορφή:

1) , όπου f(x) είναι μια συνάρτηση που έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε x = a. R n - ο υπόλοιπος όρος στη σειρά Taylor καθορίζεται από την έκφραση

2)

Ο k-ος συντελεστής (στο x k) της σειράς καθορίζεται από τον τύπο

3) Μια ιδιαίτερη περίπτωση της σειράς Taylor είναι η σειρά Maclaurin (=McLaren). (η διαστολή γίνεται γύρω από το σημείο a=0)

σε a=0

τα μέλη της σειράς καθορίζονται από τον τύπο

Προϋποθέσεις χρήσης της σειράς Taylor.

1. Προκειμένου η συνάρτηση f(x) να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor στο διάστημα (-R;R), είναι απαραίτητο και αρκετό ο υπόλοιπος όρος στον τύπο Taylor (Maclaurin (=McLaren)) για αυτό η συνάρτηση τείνει στο μηδέν ως k →∞ στο καθορισμένο διάστημα (-R;R).

2. Είναι απαραίτητο να υπάρχουν παράγωγοι για μια δεδομένη συνάρτηση στο σημείο κοντά στο οποίο θα κατασκευάσουμε τη σειρά Taylor.

Ιδιότητες της σειράς Taylor.

Αν η f είναι αναλυτική συνάρτηση, τότε η σειρά Taylor της σε οποιοδήποτε σημείο a στο πεδίο ορισμού της f συγκλίνει στη f σε κάποια γειτονιά του a.

Υπάρχουν άπειρες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των οποίων η σειρά Taylor συγκλίνει, αλλά ταυτόχρονα διαφέρει από τη συνάρτηση σε οποιαδήποτε γειτονιά του a. Για παράδειγμα:

Οι σειρές Taylor χρησιμοποιούνται σε προσέγγιση (προσέγγιση είναι μια επιστημονική μέθοδος που συνίσταται στην αντικατάσταση ορισμένων αντικειμένων με άλλα, με τη μια ή την άλλη έννοια κοντά στα αρχικά, αλλά πιο απλά) μιας συνάρτησης με πολυώνυμα. Ειδικότερα, η γραμμικοποίηση ((από το linearis - linear), μια από τις μεθόδους προσεγγιστικής αναπαράστασης κλειστών μη γραμμικών συστημάτων, στην οποία η μελέτη ενός μη γραμμικού συστήματος αντικαθίσταται από την ανάλυση ενός γραμμικού συστήματος, κατά κάποιο τρόπο ισοδύναμο με το αρχικό .) οι εξισώσεις προκύπτουν με την επέκταση σε μια σειρά Taylor και την αποκοπή όλων των όρων πάνω από την πρώτη τάξη.

Έτσι, σχεδόν κάθε συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο με δεδομένη ακρίβεια.

Παραδείγματα μερικών κοινών επεκτάσεων συναρτήσεων ισχύος στη σειρά Maclaurin (=McLaren, Taylor στην περιοχή του σημείου 0) και Taylor κοντά στο σημείο 1. Οι πρώτοι όροι επεκτάσεων των κύριων συναρτήσεων στις σειρές Taylor και McLaren.

Παραδείγματα ορισμένων κοινών επεκτάσεων συναρτήσεων ισχύος στη σειρά Maclaurin (=McLaren, Taylor κοντά στο σημείο 0)

Παραδείγματα ορισμένων κοινών επεκτάσεων της σειράς Taylor κοντά στο σημείο 1

Κύρια ολοκληρώματα που πρέπει να γνωρίζει κάθε μαθητής

Τα αναγραφόμενα ολοκληρώματα είναι η βάση, η βάση των θεμελιωδών. Αυτές οι φόρμουλες πρέπει οπωσδήποτε να θυμόμαστε. Όταν υπολογίζετε πιο πολύπλοκα ολοκληρώματα, θα πρέπει να τα χρησιμοποιείτε συνεχώς.

Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στους τύπους (5), (7), (9), (12), (13), (17) και (19). Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μια αυθαίρετη σταθερά C στην απάντησή σας κατά την ενσωμάτωση!

Ολοκλήρωμα σταθεράς

∫ A d x = A x + C (1)

Ενσωμάτωση μιας λειτουργίας ισχύος

Στην πραγματικότητα, ήταν δυνατό να περιοριστούμε μόνο στους τύπους (5) και (7), αλλά τα υπόλοιπα ολοκληρώματα αυτής της ομάδας εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τους δώσουμε λίγη προσοχή.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Ολοκληρώματα εκθετικών συναρτήσεων και υπερβολικών συναρτήσεων

Φυσικά, ο τύπος (8) (ίσως ο πιο βολικός για απομνημόνευση) μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του τύπου (9). Οι τύποι (10) και (11) για τα ολοκληρώματα του υπερβολικού ημιτόνου και του υπερβολικού συνημιτόνου προέρχονται εύκολα από τον τύπο (8), αλλά είναι καλύτερο να θυμόμαστε απλώς αυτές τις σχέσεις.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Βασικά ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ένα λάθος που κάνουν συχνά οι μαθητές είναι ότι συγχέουν τα σημάδια στους τύπους (12) και (13). Αν θυμόμαστε ότι η παράγωγος του ημιτονοειδούς είναι ίση με το συνημίτονο, για κάποιο λόγο πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης sinx είναι ίσο με cosx. Αυτό δεν είναι αληθινό! Το ολοκλήρωμα του ημιτόνου είναι ίσο με το «μείον συνημίτονο», αλλά το ολοκλήρωμα του cosx είναι ίσο με το «απλώς ημίτονο»:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Ολοκληρώματα που ανάγονται σε αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ο τύπος (16), που οδηγεί στην τόξο, είναι φυσικά μια ειδική περίπτωση του τύπου (17) για a=1. Ομοίως, το (18) είναι μια ειδική περίπτωση του (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Πιο πολύπλοκα ολοκληρώματα

Συνιστάται επίσης να θυμάστε αυτούς τους τύπους. Χρησιμοποιούνται επίσης αρκετά συχνά και η απόδοση τους είναι αρκετά κουραστική.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Γενικοί κανόνες ένταξης

1) Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των αντίστοιχων ολοκληρωμάτων: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Το ολοκλήρωμα της διαφοράς δύο συναρτήσεων είναι ίσο με τη διαφορά των αντίστοιχων ολοκληρωμάτων: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ολοκληρώματος: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Είναι εύκολο να δούμε ότι η ιδιότητα (26) είναι απλώς ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων (25) και (27).

4) Ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης αν η εσωτερική συνάρτηση είναι γραμμική: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Εδώ το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Σημείωση: αυτός ο τύπος λειτουργεί μόνο όταν η εσωτερική συνάρτηση είναι Ax + B.

Σημαντικό: δεν υπάρχει καθολικός τύπος για το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο συναρτήσεων, καθώς και για το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (τριάντα)

Αυτό δεν σημαίνει, φυσικά, ότι ένα κλάσμα ή ένα προϊόν δεν μπορεί να ενσωματωθεί. Απλώς, κάθε φορά που βλέπετε ένα ολοκλήρωμα όπως το (30), θα πρέπει να εφεύρετε έναν τρόπο να το «παλέψετε». Σε ορισμένες περιπτώσεις, η ολοκλήρωση ανά μέρη θα σας βοηθήσει, σε άλλες θα πρέπει να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής και μερικές φορές ακόμη και οι τύποι άλγεβρας «σχολικής» ή τριγωνομετρίας μπορούν να βοηθήσουν.

Ένα απλό παράδειγμα υπολογισμού του αόριστου ολοκληρώματος

Παράδειγμα 1. Να βρείτε το ολοκλήρωμα: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους (25) και (26) (το ολοκλήρωμα του αθροίσματος ή της διαφοράς των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των αντίστοιχων ολοκληρωμάτων. Λαμβάνουμε: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Ας θυμηθούμε ότι η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκληρωτικό πρόσημο (τύπος (27)). Η έκφραση μετατρέπεται στη μορφή

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​· x d x + 12 ∫ 1 d x

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε απλώς τον πίνακα των βασικών ολοκληρωμάτων. Θα χρειαστεί να εφαρμόσουμε τους τύπους (3), (12), (8) και (1). Ας ενσωματώσουμε τη συνάρτηση ισχύος, ημιτονοειδή, εκθετική και σταθερά 1. Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μια αυθαίρετη σταθερά C στο τέλος:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς παίρνουμε την τελική απάντηση:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Δοκιμάστε τον εαυτό σας με διαφοροποίηση: πάρτε την παράγωγο της συνάρτησης που προκύπτει και βεβαιωθείτε ότι είναι ίση με την αρχική ολοκλήρωση.

Συνοπτικός πίνακας ολοκληρωμάτων

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 τόξο x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Κατεβάστε τον πίνακα ολοκληρωμάτων (μέρος II) από αυτόν τον σύνδεσμο

Εάν σπουδάζετε σε πανεπιστήμιο, εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με ανώτερα μαθηματικά (μαθηματική ανάλυση, γραμμική άλγεβρα, θεωρία πιθανοτήτων, στατιστικά), εάν χρειάζεστε τις υπηρεσίες ενός ειδικευμένου καθηγητή, μεταβείτε στη σελίδα ενός ανώτερου καθηγητή μαθηματικών. Θα λύσουμε τα προβλήματά σας μαζί!

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει