異なる基数で累乗を乗算するためのルール。 次数 - プロパティ、ルール、アクション、公式 同じ基数加算を持つべき乗のプロパティ
べき乗の足し算と引き算
明らかに、累乗のある数値は他の数量と同様に加算できます。 、それらを符号とともに 1 つずつ追加することにより、.
したがって、a 3 と b 2 の合計は a 3 + b 2 になります。
a 3 - b n と h 5 -d 4 の合計は、a 3 - b n + h 5 - d 4 となります。
オッズ 同じ変数の同じべき乗加算または減算できます。
したがって、2a 2 と 3a 2 の合計は 5a 2 になります。
また、2 つの正方形 a、または 3 つの正方形 a、または 5 つの正方形 a を取る場合も明らかです。
しかし、度 さまざまな変数そして さまざまな程度 同一の変数、それらを記号に追加して追加する必要があります。
したがって、 a 2 と a 3 の合計は、 a 2 + a 3 の合計になります。
a の 2 乗と a の 3 乗は、a の 2 乗の 2 倍ではなく、a の 3 乗の 2 倍であることは明らかです。
a 3 b n と 3a 5 b 6 の合計は、 a 3 b n + 3a 5 b 6 です。
引き算べき乗は、減数の符号をそれに応じて変更する必要があることを除いて、加算と同じ方法で実行されます。
または：
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
累乗
累乗のある数値は、他の数量と同様に、間に乗算記号を付けても付けなくても、順番に書くことで乗算できます。
したがって、a 3 と b 2 を乗算した結果は、a 3 b 2 または aaabb になります。
または：
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
最後の例の結果は、同じ変数を追加することで順序付けできます。
式は a 5 b 5 y 3 の形式になります。
いくつかの数値 (変数) を累乗で比較すると、そのうちの 2 つを乗算すると、結果は次の累乗に等しい数値 (変数) になることがわかります。 和用語の程度。
したがって、 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 となります。
ここで、5 は乗算結果の累乗であり、項の累乗の合計である 2 + 3 に等しくなります。
したがって、 a n .a m = a m+n となります。
n の場合、 a は n の累乗倍の係数として扱われます。
そして、 a m は、次数 m が等しい回数だけ係数として取られます。
それが理由です、 同じ基数を持つ累乗は、指数を加算することで乗算できます。
したがって、 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 となります。 そして、x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 となります。
または：
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) を掛けます。
答え: x 4 - y 4。
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) を掛けます。
このルールは、指数が次の数値にも当てはまります- ネガティブ.
1. したがって、 a -2 .a -3 = a -5 となります。 これは、(1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa と書くことができます。
2. y-n .y-m = y-n-m 。
3. a -n .a m = a m-n 。
a + b に a - b を掛けると、結果は a 2 - b 2 になります。
2 つの数値の和または差を乗算した結果は、それらの 2 乗の和または差に等しくなります。
2 つの数値の和と差を次のように累乗すると、 四角の場合、結果はこれらの数値の合計または差に等しくなります。 第4程度。
したがって、(a - y).(a + y) = a 2 - y 2 となります。
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 。
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 。
学位の区分
累乗のある数値は、他の数値と同様に、約数から引くか、分数の形に置くことで割り算できます。
したがって、 a 3 b 2 を b 2 で割ると、 a 3 になります。
5 を 3 で割ると、$\frac のようになります。 $。 しかし、これは 2 に等しいです。 一連の数字の中で
a +4 、 a +3 、 a +2 、 a +1 、 a 0 、 a -1 、 a -2 、 a -3 、 a -4 。
任意の数値を別の数値で割ることができ、その指数は次のようになります。 違い割り切れる数を表す指標。
同じ基数でべき乗を割る場合、それらの指数が減算されます。.
したがって、y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 となります。 つまり、$\frac = y$ です。
そして、 a n+1:a = a n+1-1 = a n 。 つまり、$\frac = a^n$ です。
または：
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
このルールは、次の数値にも有効です。 ネガティブ度の値。
-5 を -3 で割った結果は -2 になります。
また、$\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $。
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 または $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
乗算とべき乗の除算は代数学で非常に広く使用されているため、これらの演算を十分に習得する必要があります。
べき乗を含む数を含む分数の例を解く例
1. $\frac $ の指数を減らします。 答え: $\frac $。
2. $\frac$ の指数を減らします。 答え: $\frac $ または 2x。
3. 指数 a 2 / a 3 と a -3 / a -4 を削減し、共通の分母にします。
a 2 .a -4 は -2 の最初の分子です。
a 3 .a -3 は a 0 = 1、2 番目の分子です。
a 3 .a -4 は、共通の分子である a -1 です。
簡略化後: a -2 /a -1 および 1/a -1 。
4. 指数 2a 4 /5a 3 と 2 /a 4 を約定して共通の分母にします。
答え: 2a 3 / 5a 7 および 5a 5 / 5a 7 または 2a 3 / 5a 2 および 5/5a 2。
5. (a 3 + b)/b 4 に (a - b)/3 を掛けます。
6. (a 5 + 1)/x 2 に (b 2 - 1)/(x + a) を掛けます。
7. b 4 /a -2 に h -3 /x と a n /y -3 を掛けます。
8. a 4 /y 3 を a 3 /y 2 で割ります。 答え: はい。
度数のプロパティ
このレッスンでは次のことを理解していることを思い出してください。 度数のプロパティ自然指標とゼロを使用します。 合理的な指標を含む学位とその特性については、8 年生の授業で説明します。
自然指数を持つ指数には、指数の例での計算を簡略化できるいくつかの重要なプロパティがあります。
物件 #1
べき乗の積
同じ底を持つ累乗を乗算する場合、底は変更されず、指数が加算されます。
a m a n \u003d a m + n、「a」は任意の数、「m」、「n」は任意の自然数です。
このべき乗の性質は、3 つ以上のべき乗の積にも影響します。
- 表現を簡略化します。
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - 学位として提示されます。
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - 学位として提示されます。
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - 商をべき乗として書きます
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - 計算してください。
示されたプロパティでは、同じ基数を持つ累乗の乗算についてのみ説明されていることに注意してください。。 それらの追加には適用されません。
合計 (3 3 + 3 2) を 3 5 に置き換えることはできません。 これは理解できます
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 および 3 5 = 243 を計算します。
物件 #2
私立学位
同じ基数で累乗を除算する場合、基数は変更されず、除数の指数が被除数の指数から減算されます。
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
例。 方程式を解きます。 部分次数の性質を利用します。
3 8: t = 3 4
答え: t = 3 4 = 81
プロパティ No.1 とプロパティ No.2 を使用すると、簡単に式を簡略化し、計算を行うことができます。
例。 表現を簡略化します。
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
例。 次数プロパティを使用して式の値を見つけます。
2 11 − 5 = 2 6 = 64
プロパティ 2 は、同じ根拠を持つ権力の分割のみを扱っていることに注意してください。
差 (4 3 −4 2) を 4 1 に置き換えることはできません。 (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48、および 4 1 = 4 を計算すると、これは理解できます。
物件 #3
べき乗
べき乗をべき乗する場合、べき乗の底は変更されず、指数が乗算されます。
(a n) m \u003d a n m、「a」は任意の数、「m」、「n」は任意の自然数です。
商は分数で表すことができることに注意してください。 したがって、分数の累乗については、次のページで詳しく説明します。
力を何倍にするか
どうやって力を倍増させるのか？ どの力を倍増でき、どの力を倍増できないでしょうか? 数値に累乗を掛けるにはどうすればよいですか?
代数学では、次の 2 つのケースでべき乗の積を求めることができます。
1) 学位の根拠が同じである場合。
2) 度数が同じ指標を持つ場合。
同じ底を持つ累乗を乗算する場合、底は同じままであり、指数を加算する必要があります。
同じインジケーターで度数を乗算する場合、合計インジケーターを括弧から取り出すことができます。
具体的な例を挙げて、べき乗を増やす方法を考えます。
指数の単位は書かれていませんが、度数を乗算する際には次のことが考慮されます。
乗算する場合、次数は任意です。 文字の前に乗算記号を書くことはできないことに注意してください。
式では、べき乗が最初に実行されます。
数値に累乗を掛ける必要がある場合は、まず累乗を実行し、その後で乗算を実行する必要があります。
同じ底を持つべき乗の乗算
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このレッスンでは、同じ基数でべき乗を乗算する方法を学びます。 まず、次数の定義を思い出し、等式の妥当性に関する定理を定式化します。 。 次に、特定の数値への適用例を示し、それを証明します。 また、この定理を応用してさまざまな問題を解決していきます。
トピック: 自然指標による度数とその特性
レッスン: 同じ底を持つべき乗の計算 (公式)
1. 基本的な定義
基本的な定義:
n- 指数、
— n数値の - 乗。
2. 定理 1 の記述
定理1.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして k等価性は真です:
言い換えれば: あ- いずれかの番号; nそして k自然数の場合、次のようになります。
したがって、ルール 1:
3. タスクの説明
結論：特殊な場合により、定理 1 の正しさが確認されました。 一般的な場合、つまりあらゆる場合にそれを証明してみましょう。 あそしてどんな自然のものでも nそして k.
4. 定理1の証明
数値を与える あ- どれでも; 数字 nそして k-自然。 証明する：
証明は学位の定義に基づいています。
5. 定理 1 を使用した例の解法
例 1:学位として提示されます。
次の例を解くには、定理 1 を使用します。
そして） 
6. 定理 1 の一般化
一般化すると次のようになります。
7. 定理 1 の一般化を使用した例の解決
8. 定理 1 を使ってさまざまな問題を解く
例 2:計算します（基本度数表を使用できます）。
A) 
(表によると)
b) 
例 3:基数 2 のべき乗として書きます。
A) 
例 4:数値の符号を決定します。
、A --13 の指数が奇数であるため、負になります。
例 5:( ) を塩基のあるべき乗に置き換えます r:
私たちは 、つまり を持っています。
9. まとめ
1. ドロフェエフ G.V.、スヴォロヴァ S.B.、ブニモビッチ E.A. et al. Algebra 7. 第 6 版。 M.: 啓蒙です。 2010年
1. スクールアシスタント (出典)。
1. 度数として表現します。
a B C D E) 
3. 基数 2 の累乗として書きます。
4. 数値の符号を決定します。
A) 
5. ( ) を基数の累乗に置き換えます r:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
同じ指数を持つ累乗の乗算と除算
このレッスンでは、同じ指数による累乗の乗算を学習します。 まず、同じ基底を持つ累乗の乗算と除算、および累乗の累乗に関する基本的な定義と定理を思い出してみましょう。 次に、同じ指数を持つ累乗の乗算と除算に関する定理を定式化して証明します。 そして、彼らの助けを借りて、いくつかの典型的な問題を解決していきます。
基本的な定義と定理の再確認
ここ ある- 学位の基礎
— n数値の - 乗。
定理1.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして k等価性は真です:
同じ底を持つ累乗を乗算する場合、指数は加算されますが、底は変更されません。
定理2.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして ｋ、そのような n > k等価性は真です:
同じ底を使用してべき乗を割る場合、指数は減算され、底は変更されません。
定理3.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして k等価性は真です:
上記の定理はすべて、同じべき乗に関するものでした。 根拠、このレッスンでは同じ学位を考慮します 指標.
同じ指数を持つべき乗の例
次の例を考えてみましょう。
程度を判断する式を書いてみましょう。
結論：例からわかるように、 
、しかしこれはまだ証明される必要があります。 定理を定式化し、一般的な場合、つまりあらゆる場合にそれを証明します。 あそして bそしてどんな自然のものでも n.
定理 4 の記述と証明
あらゆる数字に対して あそして bそしてどんな自然のものでも n等価性は真です:
証拠定理4 .
程度の定義によると、
それで私たちはそれを証明しました .
同じ指数を持つべき乗を乗算するには、底を乗算し、指数を変更しないままにするだけで十分です。
定理 5 の記述と証明
同じ指数でべき乗を分割するための定理を定式化します。
任意の番号に対して あそして b() そしてどんな自然のものでも n等価性は真です:
証拠定理5 .
程度の定義を書き留めてみましょう。
定理を言葉で表現する
したがって、私たちはそれを証明しました。
同じ指数を持つ次数を互いに分割するには、ある基数を別の基数で除算し、指数を変更しないままにするだけで十分です。
定理 4 を使用した典型的な問題の解決
例 1:べき乗の積として表現します。
次の例を解くために、定理 4 を使用します。
次の例を解くには、次の式を思い出してください。
定理 4 の一般化
定理 4 の一般化:
一般化定理 4 を使用した例の解決
典型的な問題を解決し続ける
例 2:製品の程度として書きます。
例 3: 2 のべき乗として書きます。
計算例
例 4:最も合理的な方法で計算します。
2. Merzlyak A.G.、Polonsky V.B.、Yakir M.S. 代数 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M.、Tkacheva M.V.、Fedorova N.E. 代数 7 .M .: 教育。 2006年
2. 学校のアシスタント (出典)。
1. 権力の積として存在する:
A）; b）; V) ; G) ;
2. 製品の程度として次のように書き留めます。
3. 指標 2 を使用して学位の形式で記入します。
4. 最も合理的な方法で計算します。
「累乗と累乗の割り算」をテーマにした数学の授業
セクション:数学
教育目標:
タスク:
教義の活動単位:自然指標による程度の決定。 度数コンポーネント。 プライベートの定義。 乗算の結合法則。
I. 学生による既存の知識の習得に関するデモンストレーションの組織化。 （ステップ1）
a) 知識の更新:
2) 自然指標を使用して度数の定義を定式化します。
a n \u003d a a a a ... a (n 回)
b k \u003d b b b b a ... b（k回） 答えを正当化します。
II. 関連する経験の保有の程度による研修生の自己評価の組織化。 （ステップ2）
自己検査のためのテスト: (2 つのバージョンの個別の作業。)
A1) 積 7 7 7 7 x x x を累乗で表します。
A2) 次数(-3) 3 × 2を積で表します
A3) 計算します: -2 3 2 + 4 5 3
クラスのレベルの準備に応じて、テストのタスクの数を選択します。
テスト用にセルフテスト用のキーを渡します。 基準: 合否。
Ⅲ． 教育的かつ実践的なタスク (ステップ 3) + ステップ 4 (生徒自身がプロパティを定式化します)
1)と2)の問題を解く過程で、生徒が解法を提案し、教師である私が同じ基数で掛け算するときのべき乗を単純化する方法を見つける授業を行います。
先生: 同じ基数で乗算するときの累乗を単純化する方法を考えてください。
クラスターにエントリが表示されます。
授業のテーマが決まります。 力の乗算。
教師: 同じ基底で学位を分割するための規則を考え出します。
推論: 除算をチェックするアクションは何ですか? a 5: a 3 = ? a 2 a 3 = a 5 であること
スキーム - クラスターに戻り、エントリを補足します - 分割するときは、レッスンのトピックを引き算し、追加します。 ...そして学位の分割。
IV. 学生への知識の限界（最小値と最大値）についてのコミュニケーション。
先生: 今日のレッスンの最小の課題は、累乗の乗算と除算の性質を同じ基数で適用する方法を学ぶことであり、最大の課題は、乗算と除算を一緒に適用することです。
ボードに書いてください : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. 新しい資料の研究の組織化。 (ステップ5)
a) 教科書によると: No.403 (a, c, e) 文言が異なる課題
No. 404 (a、e、f) 独立した作業を行った後、相互チェックを組織し、鍵を渡します。
b) m のどの値に対して等式が成り立ちますか? 午前16時\u003d 32; x h x 14 = x 28; ×8(*)＝×14
タスク: 割り算の同様の例を考え出します。
c) No.417(a)、No.418(a) 学生向けの罠: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2。
VI. 学んだことを要約し、診断作業を実施します (教師ではなく生徒にこのトピックを学習するよう促します) (ステップ 6)
診断作業。
テスト(キーをテストの背面に置きます)。
タスクのオプション: 商 x 15: x 3 を次数として表示します。 乗として積 (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 を表します。 ここで、m は等価 a 16 a m = a 32 true です。 h = 0.2 の式 h 0: h 2 の値を求めます。 式 (5 2 5 0) : 5 2 の値を計算します。
レッスンの概要。 反射。私はクラスを 2 つのグループに分けます。
グループ I の議論を見つけてください。次数の特性に関する知識を支持し、グループ II の議論は特性がなくても大丈夫であると主張します。 私たちはすべての答えに耳を傾け、結論を導き出します。 後続のレッスンでは、統計データを提供し、ルーブリックに「頭に収まりません!」という名前を付けることができます。
VII. 宿題。
歴史的な参考資料。 フェルマー数と呼ばれる数。
P.19. #403、#408、#417
中古本:
次数の性質、定式化、証明、例。
数の次数が決定された後、次のことを話すのが論理的です 度数のプロパティ。 この記事では、考えられるすべての指数に触れながら、数値の次数の基本的な性質を示します。 ここでは、次数のすべての特性の証明を示し、例を解くときにこれらの特性がどのように適用されるかも示します。
ページナビゲーション。
自然指標を使用した度数のプロパティ
自然指数による累乗の定義により、 a n の累乗は n 個の因数の積であり、それぞれの因数は a に等しくなります。 この定義に基づいて、 実数乗算のプロパティ、次のことを取得して正当化できます。 自然指数を伴う次数の特性:
- a>0 の場合、任意の自然な n に対して a n >0 になります。
- a=0 の場合、 a n =0 。
- a 2 m >0 の場合、a 2 m−1 n の場合。
- m と n が m>n のような自然数の場合、 0m n 、および a>0 の場合、不等式 a m >a n が真になります。
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- n が正の整数、a と b が正の数、および a n n および a−n>b−n ;
- m と n が整数で、 m>n の場合、 0m n 、および a>1 の場合、不等式 a m >a n が満たされます。
書かれたすべての等価性は次のとおりであることがすぐにわかります。 同一規定の条件下で左右を入れ替えることができます。 たとえば、分数 a m a n = a m + n の主な性質は次のようになります。 表現の簡略化多くの場合、 a m+n = a m a n の形式で使用されます。
それでは、それぞれを詳しく見てみましょう。
同じ底を持つ 2 つのべき乗の積の性質から始めましょう。 学位の主な性質: 任意の実数 a と任意の自然数 m および n に対して、等式 a m ·a n =a m+n が成り立ちます。
学位の主な性質を証明しましょう。 自然指数を使用した次数の定義により、a m a n の形式の同じ基底を持つ累乗の積は次の積として書くことができます。 
。 乗算の特性により、結果の式は次のように書くことができます。 
、この積は、自然指数 m+n をもつ a のべき乗、つまり a m+n です。 これで証明は完了です。
学位の主な性質を確認する例をあげてみましょう。 同じ基数 2 と自然累乗 2 と 3 を持つ次数を考えてみましょう。次数の主な性質に従って、等式 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 を書くことができます。 式 2 2 ・2 3 および 2 5 の値を計算して、その妥当性を確認してみましょう。 べき乗を実行すると、 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 と 2 5 =2 2 2 2 2=32 が得られます。等しい値が得られるため、等価性 2 2 2 3 = 2 5 は true であり、次数の主な特性が確認されます。
乗算の特性に基づく次数の主な特性は、同じ基数と自然指数を持つ 3 つ以上の次数の積に一般化できます。 したがって、自然数 n 1 , n 2 , …, n k の任意の数 k に対して、等価 a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k が真になります。
たとえば、 (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 です。
自然指標を使用して、度の次の特性に進むことができます。 同じ基底を持つ部分権力の性質: 条件 m>n を満たす非ゼロの実数 a と任意の自然数 m および n について、等式 a m:a n =a m−n が真です。
この性質の証明を行う前に、定式化における追加条件の意味について議論しましょう。 0 n =0 であるため、ゼロ除算を避けるためには、条件 a≠0 が必要です。そして、除算に慣れたとき、ゼロ除算は不可能であることに同意しました。 条件 m>n は、自然指数を超えないように導入されています。 確かに、m>n の場合、指数 a m−n は自然数ですが、それ以外の場合は、ゼロ (m−n の場合に発生) または負の数 (m m−n a n =a (m−n) + の場合に発生します) になります。 n = a m 得られた等式 a m−n a n = a m と、乗算と除算の関係から、a m−n は a m と a n の部分べき乗であることがわかります。これは、同じ底を持つ部分べき乗の性質を証明します。
例を挙げてみましょう。 同じ基底 π と自然指数 5 および 2 を持つ 2 つの次数を考えてみましょう。考慮された次数の特性は等価性 π 5 に対応します: π 2 = π 5−3 = π 3。
ここで考えてみましょう 製品度特性: 任意の 2 つの実数 a と b の積の自然次数 n は、次数 a n と b n の積に等しい、つまり (a b) n =a n b n です。
実際、自然指数による次数の定義により、次のようになります。 
。 最後の積は、乗算の特性に基づいて次のように書き換えることができます。 
、これは a n b n に等しい。
以下に例を示します。 
.
この特性は、3 つ以上の因子の積の次数まで拡張されます。 つまり、k 因数の積の自然次数プロパティ n は、 (a 1 ·a 2 ·… · a k) n =a 1 n ·a 2 n ·… · a k n と書かれます。
わかりやすくするために、このプロパティを例で示します。 3 つの因数の 7 乗の積については、次のようになります。
次の物件は、 自然財産: 実数 a と b 、 b≠0 の自然べき乗 n の商は、 a n と b n のべき乗の商に等しい、つまり、 (a:b) n =a n:b n 。
証明は前の性質を使用して実行できます。 したがって、 (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n となり、等式 (a:b) n b n =a n から、 (a:b) n は a n の b n に対する商であることがわかります。
具体的な数値の例を使用して、このプロパティを書いてみましょう。 
.
さあ、声を出してみましょう べき乗プロパティ: 任意の実数 a と任意の自然数 m および n について、a m の n 乗は、指数 m・n による a の乗に等しい、つまり (am) n =a m・n です。
たとえば、 (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 です。
度数におけるべき乗特性の証明は、次の等式の連鎖です。 
.
考慮されたプロパティは、次数内の次数内の次数などに拡張できます。 たとえば、任意の自然数 p、q、r、および s について、次の等式は次のようになります。 
。 より明確にするために、具体的な数値を使用した例を示します: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 。
次数を自然指数と比較する特性については、まだ詳しく説明する必要があります。
ゼロと次数を自然指数と比較する性質を証明することから始めましょう。
まず、任意の a>0 に対して a n >0 であることを正当化しましょう。
乗算の定義からわかるように、2 つの正の数の積は正の数です。 この事実と乗算の性質により、任意の数の正の数を乗算した結果も正の数になると主張できます。 そして、自然指数 n を持つ a の累乗は、定義により、それぞれが a に等しい n 個の因数の積です。 これらの議論により、任意の正の基数 a について、n の次数が正の数であると主張できるようになります。 証明された特性により、 3 5 >0 、 (0.00201) 2 >0 および 
.
a=0 の自然な n については、a n の次数が 0 であることは明らかです。 確かに、 0 n =0・0・…・0=0 です。 たとえば、 0 3 =0 および 0 762 =0 です。
マイナスのベースに移りましょう。
指数が偶数である場合から始めましょう。これを 2 m と表します。ここで、m は自然数です。 それから 
。 負の数の乗算の規則によれば、a a の形式の各積は、数値 a と a のモジュールの積に等しく、これは正の数であることを意味します。 したがって、製品もプラスになります。 
および度a 2 m 。 以下に例を示します: (−6) 4 >0 、 (−2,2) 12 >0 および 。
最後に、a の底が負の数で、指数が奇数 2 m−1 の場合、次のようになります。 
。 すべての積 a・a は正の数であり、これらの正の数の積も正であり、その積に残りの負の数 a を乗算すると負の数になります。 この性質により、 (−5) 3 17 n n は、n 個の真の不等式 a の左部分と右部分の積です。 不等式の性質。証明される不等式は a n n の形式です。 たとえば、この性質により、不等式 3 7 7 と 
.
列挙されたべき乗の最後の特性を自然指数で証明することはまだ残っています。 それを定式化しましょう。 自然指標と同じ正の基数を持つ 2 つの度数のうち、1 未満の場合、度数は大きく、指標は小さくなります。 そして、自然指標と同じ基底を持つ 2 つの度数が 1 よりも大きい場合、度数は大きく、指標もより大きくなります。 この性質の証明に移ります。
m>n および 0m n について証明してみましょう。 これを行うには、差 a m − a n を書き込み、それをゼロと比較します。 括弧から n を取り出した後の差分は、 a n ·(a m−n −1) の形式になります。 結果として得られる積は、正の数 a n と負の数 a m−n −1 の積として負になります (a n は正の数の自然べき乗として正であり、m−n であるため、差 a m−n −1 は負になります)初期条件 m>n により >0 であるため、0m−n の場合は 1 未満になります)。 したがって、 a m − a n m n が証明されることになります。 たとえば、正しい不等式を与えます。
プロパティの 2 番目の部分を証明する必要があります。 m>n および a>1 の場合、a m >a n が真であることを証明しましょう。 n を括弧から外した後の差 a m −a n は、 a n ·(a m−n −1) の形式になります。 a>1 の場合、a n の次数は正の数であり、初期条件により m-n>0 であるため、差 a m-n -1 は正の数であるため、この積は正になります。また、a>1 の場合、 a m−n の次数は 1 より大きくなります。 したがって、 a m − a n >0 および a m >a n であり、これは証明されるべきでした。 この特性は、不等式 3 7 >3 2 で示されます。
整数の指数をもつ度数のプロパティ
正の整数は自然数であるため、正の整数の指数を持つべき乗のすべての性質は、前の段落でリストされ証明された自然指数を持つべき乗の性質と正確に一致します。
等式で表される自然指数を持つ度数のすべてのプロパティが有効なままとなるように、負の整数指数を持つ度数とゼロの指数を持つ度数を定義しました。 したがって、これらのプロパティはすべて、ゼロ指数と負の指数の両方に対して有効ですが、当然、次数の基数は非ゼロになります。
したがって、任意の実数とゼロ以外の数値 a と b、および整数 m と n については、次のことが当てはまります。 整数の指数を持つ度数のプロパティ:
a=0 の場合、べき乗 a m と a n は、m と n が両方とも正の整数、つまり自然数である場合にのみ意味を持ちます。 したがって、ここで記述したプロパティは、a=0 で数値 m と n が正の整数の場合にも有効です。
これらの各特性を証明することは難しくありません。これには、自然指数と整数指数を使用した次数の定義と、実数を使用したアクションの特性を使用するだけで十分です。 例として、累乗特性が正の整数と非正の整数の両方に当てはまることを証明してみましょう。 これを行うには、p が 0 または自然数、q が 0 または自然数の場合、等式 (a p) q =a p q 、 (a − p) q =a (−p) q 、 (a p ) −q =a p (−q) および (a −p) −q =a (−p) (−q) 。 やりましょう。
正の p と q については、等式 (a p) q =a p・q が前のサブセクションで証明されました。 p=0 の場合、 (a 0) q =1 q =1 および a 0 q =a 0 =1 となり、 (a 0) q =a 0 q となります。 同様に、q=0 の場合、(a p) 0 =1 および a p 0 =a 0 =1 となるため、(a p) 0 =a p 0 となります。 p=0 と q=0 の両方の場合、 (a 0) 0 =1 0 =1 および a 0 0 =a 0 =1 となり、 (a 0) 0 =a 0 0 となります。
ここで、 (a −p) q =a (−p) q であることを証明しましょう。 負の整数指数をもつ次数の定義により、次のようになります。 
。 次数の商の性質により、次のようになります。 
。 1 p =1·1·…·1=1 であり、 なので、 です。 最後の式は、定義上、 a −(p q) の形式のべき乗であり、乗算規則により、 a (−p) q と書くことができます。
同様に 
.
そして 
.
同じ原理により、等式の形で書かれた整数指数を使用して次数の他のすべての特性を証明できます。
記録されたプロパティの最後から 2 番目では、不等式 a −n >b −n の証明に注目する価値があります。これは、条件 a が満たされる任意の負の整数 −n と任意の正の a および b に当てはまります。 。 この不等式の左部分と右部分の差を次のように書いて変換します。 
。 条件aなので n n であるため、 b n − a n >0 となります。 積 a n ·b n も、正の数 a n と b n の積として正です。 結果として得られる分数は、正の数 b n − a n と a n b n の商として正になります。 したがって、どこから a -n >b -n であるかが証明されることになります。
整数指数を使用した次数の最後の特性は、自然指数を使用した次数の同様の特性と同じ方法で証明されます。
有理指数をもつべき乗の性質
整数指数を使用して次数のプロパティを拡張することにより、分数指数を使用して次数を定義しました。 言い換えれば、分数の指数をもつ度数は、整数の指数をもつ度数と同じ特性を持ちます。 つまり:
- 同じ底を持つべき乗の積の性質
a>0 の場合、および の場合、 a≥0 の場合。 - 同じ基底を持つ部分べき乗の性質
a>0の場合; - 分数積のプロパティ
a>0 および b>0 の場合、および の場合、 a≥0 および (または) b≥0 の場合。 - 分数乗に対する商の性質
a>0 および b>0 の場合、および if 、a≥0 および b>0 の場合。 - 次数の次数プロパティ
a>0 の場合、および の場合、 a≥0 の場合。 - べき乗を等しい有理指数と比較する性質: 任意の正の数 a と b の場合、a 0 の場合、不等式 a p p は有効であり、p p >b p の場合、
- べき乗を有理指数と等しい基数と比較する性質: 有理数 p と q の場合、0p q の場合は p>q、a>0 の場合は不等式 a p >a q 。
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- 任意の正の数 a および b の場合、 a 0 の場合、不等式 a p p は有効であり、p p >b p の場合、
- 無理数 p と q の場合、0p q の場合は p>q、a>0 の場合は不等式 a p >a q です。
小数指数を使用した次数の特性の証明は、小数指数を使用した次数の定義、n 次の算術根の特性、および整数指数を使用した次数の特性に基づいています。 証拠をあげましょう。
小数指数と を使用した次数の定義により、 
。 算術根の特性により、次の等式を書くことができます。 さらに、整数指数を伴う次数の性質を使用すると、 が得られます。ここから、分数指数を伴う次数の定義により、次のようになります。 
、得られた次数の指数は次のように変換できます。 これで証明は完了です。
分数指数を含むべき乗の 2 番目の特性は、まったく同じ方法で証明されます。 
残りの等式は同様の原理によって証明されます。 
次の性質の証明に移ります。 任意の正の a と b について、 a が 0 の場合、不等式 a p p が有効であり、p p >b p の場合。 有理数 p は m/n と書きます。ここで、m は整数、n は自然数です。 この場合の条件 p 0 は、それぞれ条件 m 0 と等価になります。 m>0 および am m の場合。 この不等式から、根の性質により、 が得られます。 a と b は正の数であるため、分数指数を使用した次数の定義に基づいて、結果の不等式は 、つまり a p p として書き直すことができます。
同様に、 m m >b m 、 whence 、つまり a p >b p のとき。
リストされた特性の最後のものを証明することはまだ残っています。 有理数 p と q について、0p q の場合は p>q であり、a>0 の場合は不等式 a p >a q であることを証明しましょう。 有理数 p と q はいつでも公分母に減らすことができます。普通の分数と を求めてみましょう。ここで、m 1 と m 2 は整数、n は自然数です。 この場合、条件 p>q は条件 m 1 >m 2 に対応します。これは、同じ分母を持つ普通の分数を比較するための規則から導き出されます。 次に、同じ底数と自然指数を持つべき乗を比較する性質により、0m 1 m 2 および a>1 の場合、不等式 a m 1 >a m 2 になります。 根の性質に関するこれらの不等式は、それぞれ次のように書き直すことができます。 
そして 
。 そして、有理指数による次数の定義により、不等式とそれぞれに進むことができます。 ここから、最終的な結論を導き出します。p>q および 0p q の場合、および a>0 の場合、不等式 a p >a q です。
無理指数を伴う次数の特性
無理数指数をもつ次数がどのように定義されるかから、それは有理指数をもつ次数の特性をすべて備えていると結論付けることができます。 したがって、任意の a>0 、 b>0 および無理数 p および q に対して、次のことが当てはまります。 無理指数を伴う次数の特性:
このことから、a>0 の実数指数 p と q のべき乗は同じ特性を持つと結論付けることができます。
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先ほど、数値のべき乗とは何かについてすでに説明しました。 これには、問題の解決に役立つ特定の特性があります。この記事では、それらと考えられるすべての指数を分析します。 また、それらを実際にどのように証明し、正しく適用できるかを例を挙げて説明します。
前にすでに定式化した自然指数を伴う次数の概念を思い出してください。これは、それぞれが a に等しい、n 番目の因子の積です。 実数を正しく掛ける方法も覚えておく必要があります。 これらすべては、自然指標を使用して学位の次の特性を定式化するのに役立ちます。
定義 1
1. 次数の主な性質: a m a n = a m + n
次のように一般化できます: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k 。
2. 同じ基数を持つべき乗の商の性質: a m: a n = a m − n
3. 積度特性: (a b) n = a n b n
この等式は次のように拡張できます: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. 自然次数の性質: (a: b) n = a n: b n
5. 累乗します: (a m) n = a m n 、
次のように一般化できます: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. 次数をゼロと比較します。
- a > 0 の場合、任意の自然な n について、a n は 0 より大きくなります。
- a が 0 に等しい場合、n も 0 に等しくなります。
- のために< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- のために< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. 平等と平等< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. m と n が自然数であり、m が n より大きく、a が 0 より大きく 1 以上である場合、不等式 a m > a n が成り立ちます。
その結果、いくつかの等式が得られました。 上記の条件をすべて満たしている場合、それらは同一になります。 たとえば、メイン プロパティの各等式について、右側と左側の部分を交換できます。 a m · a n = a m + n - a m + n = a m · a n と同じです。 この形式は、式を簡略化するときによく使用されます。
1. 次数の主な性質から始めましょう。等式 a m · a n = a m + n は、任意の自然な m と n および実数の a に当てはまります。 この発言を証明するにはどうすればよいでしょうか?
自然指数によるべき乗の基本的な定義により、平等を因数の積に変換できるようになります。 次のようなエントリが表示されます。
これは次のように短縮できます。 
(乗算の基本的な性質を思い出してください)。 その結果、自然指数 m + n を持つ数値 a の次数が得られました。 したがって、 a m + n 、これは次数の主な特性が証明されることを意味します。
これを証明するために具体的な例を挙げてみましょう。
例1
したがって、基数 2 の累乗は 2 つあります。 それらの自然指標はそれぞれ 2 と 3 です。 等式が得られました: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 この等式が正しいかどうかを確認するために値を計算してみましょう。
必要な数学演算を実行してみましょう: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 および 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
その結果、 2 2 2 3 = 2 5 が得られました。 性質が証明されました。
乗算の性質により、指数が自然数で底が同じである 3 つ以上のべき乗の形で定式化することで、その性質を一般化できます。 自然数 n 1、n 2 などの数を文字 k で表すと、正しい等式が得られます。
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k 。
例 2
2. 次に、次の性質を証明する必要があります。これは商の性質と呼ばれ、同じ基数を持つ累乗に固有のものです。これは等価 a m: a n = a m − n であり、これは任意の自然な m および n (および m) に対して有効です。は n)) およびゼロ以外の実数 a より大きくなります。
まず、定式化に記載されている条件とは一体何を意味するのかを説明しましょう。 a を 0 に等しいとすると、最終的には 0 による除算が行われますが、これは実行できません (結局のところ、0 n = 0)。 数値 m が n より大きくなければならないという条件は、自然指数の範囲内に収まるために必要です。m から n を減算すると、自然数が得られます。 条件が満たされない場合は、負の数またはゼロが返され、ここでも自然指標を使用した学位の研究を超えたものになります。
さて、証明に移りましょう。 以前に研究したことから、分数の基本的な性質を思い出し、次のように等式を定式化します。
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
そこから次のように推測できます: a m − n a n = a m
割り算と掛け算の関係を思い出してください。 これから、 a m − n は a m と a n のべき乗の商であることがわかります。 これが第二級の性質の証明です。
例 3
指標を明確にするために特定の数値を置き換え、次数の底を示します π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. 次に、積の次数の特性を分析します: (a · b) n = a n · b n 実数 a と b および自然 n について。
自然指数による次数の基本的な定義に従って、等式を次のように再定式化できます。
乗算の性質を思い出して、次のように書きます。 
。 a n ・ b n と同じ意味です。
例 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
3 つ以上の要素がある場合、この特性はこのケースにも当てはまります。 因数の数に k という表記を導入し、次のように書きます。
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
例5
特定の数値を使用すると、次の正しい等式が得られます: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. その後、商の性質を証明してみます: (a: b) n = a n: b n b が 0 に等しくなく、n が自然数の場合、実数 a および b に対して。
証明には、以前の学位プロパティを使用できます。 (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n 、および (a: b) n b n = a n の場合、(a: b) n は a n を b n で割った商になります。
例6
例を数えてみましょう: 3 1 2: - 0 。 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
例 7
早速例から始めましょう: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
そして今度は、等式の正しさを証明する一連の等式を定式化します。 
例に度がある場合、このプロパティはそれらにも当てはまります。 自然数 p、q、r、s がある場合、次のことが当てはまります。
a p q y s = a p q y s
例8
詳細を追加しましょう: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. 証明する必要がある自然指数を伴う次数のもう 1 つの特性は、比較特性です。
まず、指数をゼロと比較してみましょう。 a が 0 より大きいのに、なぜ n > 0 なのでしょうか?
ある正の数と別の正の数を乗算すると、やはり正の数が得られます。 この事実を知れば、これは因数の数には依存しない、つまり任意の数の正の数を乗算した結果は正の数になると言えます。 そして、数字を掛け合わせた結果ではないとしたら、学位とは何でしょうか? この場合、正の基数と自然指数を持つ任意のべき乗 a n について、これが当てはまります。
例9
3 5 > 0 、 (0 、 00201) 2 > 0 および 34 9 13 51 > 0
また、底がゼロに等しいべき乗自体がゼロであることも明らかです。 ゼロを何乗しても、ゼロのままです。
例 10
0 3 = 0 および 0 762 = 0
次数の底が負の数の場合、偶数/奇数の指数の概念が重要になるため、証明は少し複雑になります。 指数が偶数の場合から始めて、それを 2 · m で表します。ここで、m は自然数です。
負の数を正しく乗算する方法を覚えておきましょう。積 a · a はモジュールの積に等しいため、正の数になります。 それから 
および次数 a 2 · m も正です。
例 11
たとえば、(− 6) 4 > 0、(− 2 , 2) 12 > 0、および - 2 9 6 > 0
底が負の指数が奇数の場合はどうなるでしょうか? それを 2 · m − 1 と表します。
それから 
乗算の性質に従って、すべての積 a · a は正であり、その積も正です。 しかし、これに唯一残った数値 a を乗算すると、最終的な結果は負になります。
すると、 (− 5) 3 が得られます。< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
それを証明するにはどうすればよいでしょうか?
あ、ん< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
例 12
たとえば、次の不等式は真です: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. 最後の性質を証明することが残っています。2 つの次数があり、その底が同じで正であり、指数が自然数である場合、そのうちの 1 つが大きく、指数は小さいです。 そして、自然指標と同じ基底を持つ 2 つの度数が 1 よりも大きい場合、度数は大きく、指標もより大きくなります。
これらの主張を証明してみましょう。
まず、m であることを確認する必要があります。< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
括弧から n を取り出した後、差は a n · (am − n − 1) の形になります。 その結果は負になります (正の数と負の数を乗算した結果が負になるため)。 実際、初期条件によれば、m − n > 0 の場合、a m − n − 1 は負であり、正の底を持つ自然力と同様に、最初の因子は正になります。
a m − a n であることが判明しました< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
上で定式化したステートメントの 2 番目の部分、つまり a m > a が m > n および a > 1 に対して真であることを証明することが残っています。 差を示し、括弧の外に n を取り出します: (a m - n - 1) . 1 より大きい n の累乗は正の結果を与えます。 また、初期条件により差自体も正になることがわかり、a > 1 の場合、a m − n の次数は 1 より大きくなります。 a m − a n > 0 および a m > a n であることがわかり、これを証明する必要がありました。
例 13
具体的な数字の例: 3 7 > 3 2
整数の指数を使用した度の基本特性
正の整数の指数を持つ次数の場合、正の整数は自然数であるため、プロパティは類似します。これは、上で証明されたすべての等式もそれらに対して有効であることを意味します。 これらは、指数が負またはゼロに等しい場合にも適しています (次数自体の基数がゼロでない場合)。
したがって、累乗の特性は、基数 a および b (これらの数値が実数で 0 に等しくない場合) および指数 m および n (それらが整数である場合) について同じです。 それらを数式の形で簡単に書きます。
定義 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (午前) n = a m n
6. あん< b n и a − n >b − n (正の整数 n 、正の a および b 、a)< b
午前7時< a n , при условии целых m и n , m >nと0< a < 1 , при a >1 午前 > 午前 。
次数の基数が 0 に等しい場合、エントリ a m および a n は、自然で正の m および n の場合にのみ意味を持ちます。 その結果、他のすべての条件が満たされていれば、上記の公式はゼロベースの学位の場合にも適していることがわかります。
この場合のこれらの性質の証明は簡単です。 自然指数と整数指数をもつ次数とは何か、また実数をもつアクションの性質も覚えておく必要があります。
次数の次数の性質を分析し、それが正の整数と非正の整数の両方に当てはまることを証明してみましょう。 まず、等式 (a p) q = a p q 、 (a − p) q = a (− p) q 、 (a p) − q = a p (− q) および (a − p) − q = a (− p) (−q)
条件: p = 0 または自然数。 q - 同様に。
p と q の値が 0 より大きい場合、 (a p) q = a p · q が得られます。 以前にも同様の等価性を証明しました。 p = 0 の場合:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
したがって、(a 0) q = a 0 q
q = 0 の場合、すべてがまったく同じです。
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
結果: (a p) 0 = a p 0 。
両方の指標が 0 の場合、 (a 0) 0 = 1 0 = 1 であり、a 0 0 = a 0 = 1 の場合、 (a 0) 0 = a 0 0 となります。
上で証明したべき乗の商の性質を思い出して、次のように書きます。
1 a p q = 1 q a p q
1 p = 1 1 … 1 = 1 かつ a p q = a p q の場合、1 q a p q = 1 a p q
基本的な乗算規則によって、この表記を a (− p) · q に変換できます。
また、 a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) となります。
AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
次数の残りの特性は、既存の不等式を変換することで同様の方法で証明できます。 これについては詳しくは説明しませんが、難しい点のみを示します。
最後から 2 番目の性質の証明: a が b より小さい場合、 a − n > b − n は n の負の整数値と正の a および b に対して真であることを思い出してください。
次に、不等式は次のように変形できます。
1 a n > 1 b n
右側と左側の部分を差分として書き込み、必要な変換を実行します。
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
条件 a が b より小さいことを思い出してください。自然指数を伴う次数の定義に従って次のようになります。 - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n は、因数が正であるため、最終的には正の数になります。 結果として、分数 b n - a n a n · b n が得られ、これも最終的には正の結果をもたらします。 したがって、 1 a n > 1 b n であるため、 a − n > b − n となり、これを証明する必要がありました。
整数指数をもつ次数の最後の特性は、自然指数をもつ次数の特性と同様に証明されます。
有理指数をもつ次数の基本特性
以前の記事では、有理数 (分数) 指数を持つ学位とは何かについて説明しました。 それらのプロパティは、整数の指数を持つ度数のプロパティと同じです。 かきましょう：
定義 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 (a > 0 の場合)、m 1 n 1 > 0 かつ m 2 n 2 > 0 の場合、a ≥ 0 (積の特性パワー同じベースで）。
2. a > 0 の場合、a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 (商のプロパティ)。
3. a > 0 および b > 0 の場合は a b m n = a m n b m n であり、m 1 n 1 > 0 および m 2 n 2 > 0 の場合は、a ≥ 0 および (または) b ≥ 0 の場合 (分数次数での積の特性)。
4. a：b m n \u003d a m n：a > 0およびb > 0の場合はb m n、m n > 0の場合は、a ≥ 0およびb > 0の場合（分数べき乗に対する商のプロパティ）。
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 (a > 0の場合)、m 1 n 1 > 0かつm 2 n 2 > 0の場合、a ≥ 0の場合(次数プロパティ)度）。
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; もし p< 0 - a p >b p (等しい有理指数と次数を比較する特性)。
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0のq< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
これらの規定を証明するには、分数指数をもつ次数とは何か、n 次の算術根の性質は何か、整数指数をもつ次数の性質は何かを思い出す必要があります。 それぞれの物件を見ていきましょう。
小数指数を伴う学位が何であるかによると、次のようになります。
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 および a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2、したがって、 a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
ルートのプロパティにより、等式を導き出すことができます。
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
これから次のようになります: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
変換しましょう:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
指数は次のように記述できます。
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
これがその証拠です。 2 番目の性質もまったく同じ方法で証明されます。 等式の連鎖を書き留めてみましょう。
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
残りの等式の証明:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
次のプロパティ: a と b の値が 0 より大きい場合、 a が b より小さい場合、 p が実行されることを証明しましょう。< b p , а для p больше 0 - a p >血圧
有理数 p を m n として表しましょう。 この場合、ｍは整数、ｎは自然数である。 次に、条件 p< 0 и p >0はmに拡張されます< 0 и m >0 。 m > 0 および a の場合< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
根の性質を使用して、次のように導き出します。 a m n< b m n
値 a と b の正性を考慮して、不等式を a m n として書き換えます。< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
同様に、m についても、< 0 имеем a a m >b m の場合、 a m n > b m n が得られるため、 a m n > b m n および a p > b p になります。
最後の特性を証明することが私たちに残されています。 有理数 p と q について、0 で p > q であることを証明しましょう。< a < 1 a p < a q , а при a >p > a q の場合、0 が真になります。
有理数 p と q は公分母に還元され、分数 m 1 n と m 2 n が得られます。
ここで、ｍ １ 、ｍ ２ は整数、ｎは自然数である。 p > q の場合、m 1 > m 2 になります (分数を比較する規則を考慮して)。 それから0で< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – 不等式 a 1 m > a 2 m 。
これらは次の形式で書き換えることができます。
アム 1 ン< a m 2 n a m 1 n >am2n
次に、変換を行って結果を得ることができます。
アム 1 ン< a m 2 n a m 1 n >am2n
要約すると、p > q および 0 の場合< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q 。
無理指数を伴う次数の基本特性
有理指数をもつ次数が持つ上記のすべての特性は、そのような程度まで拡張できます。 これは、以前の記事の 1 つで示したその定義そのものに従っています。 これらの性質を簡単に定式化してみましょう (条件: a > 0 、 b > 0 、指標 p と q は無理数):
定義 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >血圧
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 の場合、 a p > a q 。
したがって、a > 0 の場合、指数 p と q が実数であるすべてのべき乗は、同じ性質を持ちます。
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べき乗を使用した式の変換のトピックを考えてみましょう。その前に、べき乗を含む任意の式で実行できるいくつかの変換について説明します。 括弧の開き方、同様の用語の与え方、底と指数の操作方法、べき乗の性質の使い方を学びます。
力表現とは何ですか?
学校の授業では「力表現」という言葉を使う人は少ないですが、試験対策の問題集には必ず出てくる言葉です。 ほとんどの場合、この語句はエントリに度を含む式を指します。 これを定義に反映させます。
定義 1
力の表現力を含む表現です。
べき乗式の例をいくつか示します。自然指数の次数で始まり、実指数の次数で終わります。
最も単純なべき乗式は、自然指数を伴う数値のべき乗と考えることができます: 3 2 、 7 5 + 1 、 (2 + 1) 5 、 (− 0 , 1) 4 、 2 2 3 3 、 3 a 2 − a + a 2 、x 3 − 1 、(a 2) 3 。 指数がゼロの累乗も同様です: 5 0 、 (a + 1) 0 、 3 + 5 2 − 3 、 2 0 。 負の整数べき乗: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 。
合理的指数と非合理的指数を持つ次数を扱うのは少し難しくなります: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 、x π · x 1 - π 、2 3 3 + 5 。
指標には変数 3 x - 54 - 7 3 x - 58 または対数を使用できます。 x 2 l g x − 5 x l g x.
私たちは力表現とは何かという問題を扱ってきました。 では、それらを変換してみましょう。
べき乗表現の主な変換タイプ
まず最初に、べき乗式で実行できる式の基本的な恒等変換について考えます。
例1
べき乗式値の計算 2 3 (4 2 − 12).
解決
私たちは行動の順序に従ってすべての変革を実行します。 この場合、括弧内のアクションを実行することから始めます。次数をデジタル値に置き換え、2 つの数値の差を計算します。 我々は持っています 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
学位を置き換えるのは私たちに残っています 2 3 その意味 8 そして積を計算します 8 4 = 32。 これが私たちの答えです。
答え： 2 3 (4 2 − 12) = 32 。
例 2
累乗を使用して式を簡素化する 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
解決
問題の条件で与えられた表現には、次のような同様の用語が含まれています。 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
答え： 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1
例 3
9 - b 3 · π - 1 2 のべき乗の式を積として表します。
解決
9という数字を累乗で表してみましょう 3 2 そして、省略された乗算公式を適用します。
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
答え： 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 。
次に、特にべき乗式に適用できる同一の変換の分析に移りましょう。
基数と指数の操作
基数または指数の次数には、数値、変数、およびいくつかの式を含めることができます。 例えば、 (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7そして 。 このような記録を扱うのは困難です。 次数の底の式または指数の式を全く同じ式に置き換える方がはるかに簡単です。
度数と指標の変換は、互いに別々に知られているルールに従って実行されます。 最も重要なことは、変換の結果、元の式と同一の式が得られるということです。
変換の目的は、元の式を簡素化すること、または問題の解決策を取得することです。 たとえば、上記の例では、 (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 の次数に進む演算を実行できます。 4 , 1 1 , 3 。 括弧を開けると、次数の基礎に同様の用語を入れることができます (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)より単純な形のべき乗表現を取得します a 2 (x + 1).
電力プロパティの使用
等式として記述される次数のプロパティは、次数を使用して式を変換するための主要なツールの 1 つです。 以下を考慮して、ここでは主なものを紹介します あるそして bは任意の正の数であり、 rそして s- 任意の実数:
定義 2
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (ar) s = a r s 。
自然数、整数、正の指数を扱う場合、数値 a と b に対する制限ははるかに厳しくなりません。 したがって、たとえば、平等性を考慮すると、 a m a n = a m + n、 どこ メートルそして nが自然数の場合、a の任意の値 (正と負の両方) に当てはまります。 a = 0.
度数の基数が正の場合、または基数が正の値のみを取る許容値の範囲の変数が含まれる場合、度数のプロパティを制限なく適用できます。 実際、学校の数学カリキュラムの枠組みの中で、生徒の課題は適切な特性を選択し、それを正しく適用することです。
大学への入学の準備をする場合、プロパティの適用が不正確であると ODZ が狭くなるなど、解決が困難になるタスクが発生する可能性があります。 このセクションでは、そのようなケースを 2 つだけ検討します。 この件についての詳細は、「指数プロパティを使用した式の変換」のトピックを参照してください。
例 4
式を表現する a 2 、 5 (a 2) - 3: a - 5 、 5根拠のある学位として ある.
解決
まず、べき乗プロパティを使用し、それを使用して 2 番目の要素を変換します。 (a2)−3。 次に、同じ底を持つ累乗の乗算と除算の特性を使用します。
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 。
答え： a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 。
次数の特性に応じたべき乗式の変換は、左から右へ、またはその逆の両方で行うことができます。
例5
べき乗式 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 の値を求めます。
解決
等式を適用すると (a b) r = a r b r、右から左に、 3 7 1 3 21 2 3 、次に 21 1 3 21 2 3 の形式の積が得られます。 同じ底を持つ累乗を乗算するときに指数を追加しましょう：21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21。
変換を行う別の方法もあります。
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
答え： 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
例6
力の表現が与えられると a 1 、 5 − a 0 、 5 − 6、新しい変数を入力します t = a 0 , 5.
解決
程度を想像してください 1、5どうやって a 0 、 5 3。 度数での度数プロパティの使用 (ar) s = a r s右から左へ、 (a 0 , 5) 3 を取得します。 a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 です。 結果の式では、新しい変数を簡単に導入できます。 t = a 0 , 5： 得る t 3 − t − 6.
答え： t 3 − t − 6 。
累乗を含む分数の変換
通常、分数を使用したべき乗式の 2 つの変形を扱います。式は次数を伴う分数であるか、またはそのような分数を含みます。 すべての基本的な分数変換は、制限なくこのような式に適用できます。 それらを削減したり、新しい分母にしたり、分子と分母を別々に操作したりすることができます。 これを例を挙げて説明しましょう。
例 7
べき乗式 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 を簡略化します。
解決
分数を扱っているので、分子と分母の両方で変換を実行します。
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
分母の符号を変更するには、分数の前にマイナスを付けます: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
答え： 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
累乗を含む分数は、有理分数と同じ方法で新しい分母に減算されます。 これを行うには、追加の因数を見つけて、分数の分子と分母にそれを掛ける必要があります。 元の式の ODZ 変数から変数の値が消えないように追加の係数を選択する必要があります。
例8
分数を新しい分母にします: a) a + 1 a 0, 7 を分母にします ある, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 を分母 x + 8 y 1 2 に代入します。
解決
a) 新しい分母に減らすことができる係数を選択します。 a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,したがって、追加の要素として、 0、3。 変数 a の許容値の範囲には、すべての正の実数のセットが含まれます。 この分野では、学位は、 0、3ゼロにはなりません。
分数の分子と分母に次の値を掛けてみましょう。 0、3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) 分母に注意してください。
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
この式に x 1 3 + 2 · y 1 6 を乗算すると、立方体 x 1 3 と 2 · y 1 6 の合計が得られます。 x + 8 · y 1 2 。 これが新しい分母であり、元の分数をそこに戻す必要があります。
そこで、追加の因数 x 1 3 + 2 · y 1 6 を見つけました。 変数の許容値の範囲について バツそして y式 x 1 3 + 2 y 1 6 は消えないので、分数の分子と分母にそれを掛けることができます。
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
答え： a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 ｙ１２．
例9
分数を減らす: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3、b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2。
解決
a) 分子と分母を減らすことができる最大公約数 (GCD) を使用します。 数値 30 と 45 の場合、これは 15 です。 削減することもできます × 0 , 5 + 1そして x + 2 x 1 1 3 - 5 3 上で。
我々が得る：
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
b) ここでは、同一の因子の存在は明らかではありません。 分子と分母で同じ係数を取得するには、いくつかの変換を実行する必要があります。 これを行うには、二乗の差の公式を使用して分母を展開します。
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
答え： a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 · 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 。
分数の基本演算には、新しい分母への約分と分数の約分が含まれます。 どちらのアクションも、多くのルールに従って実行されます。 分数の加算と減算を行う場合、まず分数が公分母に減らされ、その後、分子を使用してアクション (加算または減算) が実行されます。 分母は変わりません。 私たちの行動の結果は新しい分数であり、その分子は分子の積であり、分母は分母の積です。
例 10
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 の手順を実行します。
解決
まずは括弧内の分数を引き算してみましょう。 それらの共通点を考えてみましょう。
× 1 2 - 1 × 1 2 + 1
分子を引き算してみましょう。
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1×1 2 + 1 1×1 2
次に、分数を掛けます。
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
ある程度減らしましょう ×12、 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 が得られます。
さらに、平方の差の公式を使用して、分母の累乗式を簡略化できます。平方: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1。
答え： x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
例 11
べき乗式 x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 を簡略化します。
解決
次のようにして端数を減らすことができます (×2、7+1)2。 分数 x 3 4 x - 5 8 x 2、7 + 1 が得られます。
x 乗 x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 の変換を続けてみましょう。 これで、同じ基数でべき乗のプロパティを使用できるようになります: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 、 7 + 1 。
最後の積から分数 x 1 3 8 x 2, 7 + 1 に渡します。
答え： x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 。
ほとんどの場合、負の指数を持つ乗数を分子から分母に、またはその逆に転送するには、指数の符号を変更する方が便利です。 このアクションにより、その後の決定が簡素化されます。 例を示します。べき乗式 (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 は x 3 · (x + 1) 0 , 2 に置き換えることができます。
根と累乗を使用した式の変換
タスクには、小数部の指数を含む次数だけでなく根も含むべき乗式があります。 このような式を根のみ、またはべき乗のみに還元することが望ましい。 学位への移行は扱いやすいため、望ましいです。 このような遷移は、元の式の変数の DPV により、法にアクセスしたり、DPV をいくつかの区間に分割したりすることなく、根をべき乗に置き換えることができる場合に特に有利です。
例 12
x 1 9 x x 3 6 という式を累乗で表します。
解決
変数の有効範囲 バツは 2 つの不等式によって決まります x ≥ 0および x · x 3 ≥ 0 、これらは集合を定義します [ 0 , + ∞) .
このセットでは、私たちはルーツからパワーへ移行する権利を持っています。
× 1 9 × × 3 6 = × 1 9 × × 1 3 1 6
次数の特性を使用して、結果として得られるべき乗式を簡素化します。
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
答え： x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 。
指数に変数を使用してべき乗を変換する
次数のプロパティを正しく使用すれば、これらの変換は非常に簡単に行うことができます。 例えば、 5 2 x + 1 − 3 5 × 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
ある変数と数値の合計を求める次数の積を置き換えることができます。 左側では、式の左側の最初と最後の項を使用してこれを行うことができます。
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 、5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 。
ここで、方程式の両辺を次の式で割ってみましょう。 7 2×。 変数 x の ODZ に関する次の式は、正の値のみを受け取ります。
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 × 7 2 × - 3 5 × 7 × 7 × 7 × - 2 7 2 × 7 2 × = 0
べき乗で分数を約定してみましょう。 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 が得られます。
最後に、同じ指数を持つべき乗の比が比のべき乗に置き換えられ、方程式 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 が得られます。これは 5 5 7 x 2 - 3 5 7 と同等です。 x - 2 = 0 。
新しい変数 t = 5 7 x を導入します。これは、元の指数方程式の解を二次方程式の解 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 に還元します。
累乗と対数を使用した式の変換
べき乗や対数を含む式も問題に含まれます。 このような式の例は、1 4 1 - 5 log 2 3 または log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 です。 このような式の変換は、上で説明したアプローチと対数の特性を使用して実行されます。対数の特性については、「対数式の変換」のトピックで詳細に分析しました。
テキスト内の間違いに気づいた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。
前回のビデオチュートリアルでは、特定の基数の次数が、その基数と指数に等しい量のそれ自体の積である式であることを学びました。 ここで、べき乗の最も重要な性質と作用のいくつかを勉強してみましょう。
たとえば、同じ底を持つ 2 つの異なる累乗を乗算してみましょう。
この作品全体を見てみましょう。
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
この式の値を計算すると、数値 32 が得られます。一方、同じ例からわかるように、32 は同じ基数 (2 つ) を 5 回掛けた積として表すことができます。 そして実際、数えてみると、次のようになります。
したがって、次のように結論付けることができます。
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
このルールは、どのような指標や根拠に対しても正常に機能します。 次数の乗算のこの特性は、積内での変換中に式の意味が保存される規則に従います。 任意の基数 a について、2 つの式 (a) x と (a) y の積は、a (x + y) に等しくなります。 言い換えれば、同じ基数を持つ式を生成する場合、最終的な単項式は、最初と 2 番目の式の次数を加算することによって形成される合計次数を持ちます。
提示されたルールは、複数の式を乗算するときにもうまく機能します。 主な条件は、すべてのベースが同じであることです。 例えば：
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
基底が異なる場合、次数を追加することは不可能であり、一般に、式の 2 つの要素で力の共同作用を実行することは不可能です。
私たちのビデオが示すように、乗算と除算のプロセスが類似しているため、積の際の累乗加算のルールは除算の手順に完全に移されています。 次の例を考えてみましょう。
式を項ごとに完全な形式に変換し、被除数と除数の同じ要素を削減してみましょう。
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
この例の最終結果はそれほど興味深いものではありません。なぜなら、その解の過程ですでに式の値が 2 の 2 乗に等しいことが明らかだからです。 そして、最初の式の次数から 2 番目の式の次数を引くことで得られるデュースです。
商の次数を決定するには、被除数の次数から除数の次数を引く必要があります。 このルールは、そのすべての値とすべての自然の力に対して同じ根拠で機能します。 抽象的な形式では、次のようになります。
(a) x / (a) y = (a) x - y
ゼロ次の定義は、同一の基数をべき乗で割る規則に従います。 明らかに、次の式は次のとおりです。
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
一方、より視覚的な方法で分割すると、次のようになります。
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
分数のすべての可視要素を約分すると、式 1/1、つまり 1 が常に得られます。 したがって、基数のゼロ乗は 1 に等しいことが一般に認められています。
a の値に関係なく。
ただし、0 (どの乗算でも 0 が得られる) が何らかの形で 1 に等しい場合は不合理です。そのため、(0) 0 (ゼロからゼロ度) のような式はまったく意味がありません。また、式 (a) 0 = 1 「a が 0 に等しくない場合」という条件を追加します。
練習をしましょう。 式の値を見つけてみましょう。
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
基数はどこでも同じで 34 に等しいため、最終値は次数を持つ同じ基数になります (上記のルールに従って)。
言い換えると：
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
答え: 式は 1 に等しいです。
このレッスンでは次のことを理解していることを思い出してください。 度数のプロパティ自然指標とゼロを使用します。 合理的な指標を含む学位とその特性については、8 年生の授業で説明します。
自然指数を持つ指数には、指数の例での計算を簡略化できるいくつかの重要なプロパティがあります。
物件 #1
べき乗の積
覚えて！
同じ底を持つ累乗を乗算する場合、底は変更されず、指数が加算されます。
a m a n \u003d a m + n、ここで、「a」-任意の数値、および「m」、「n」-任意の自然数。
このべき乗の性質は、3 つ以上のべき乗の積にも影響します。
- 表現を簡略化します。
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - 学位として提示されます。
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - 学位として提示されます。
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
重要！
示されているプロパティでは、乗算に関するものだけであることに注意してください。 同じ根拠 。 それらの追加には適用されません。
合計 (3 3 + 3 2) を 3 5 に置き換えることはできません。 これは理解できます
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 および 3 5 = 243 を計算します。
物件 #2
私立学位
覚えて！
同じ基数で累乗を除算する場合、基数は変更されず、除数の指数が被除数の指数から減算されます。
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
答え: t = 3 4 = 81プロパティ No.1 とプロパティ No.2 を使用すると、簡単に式を簡略化し、計算を行うことができます。
- 例。 表現を簡略化します。
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - 例。 次数プロパティを使用して式の値を見つけます。
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 重要！
プロパティ 2 は、同じ根拠を持つ権力の分割のみを扱っていることに注意してください。
差 (4 3 −4 2) を 4 1 に置き換えることはできません。 これは考えてみれば理解できます (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 、4 1 = 4
気をつけて！
物件 #3
べき乗覚えて！
べき乗をべき乗する場合、べき乗の底は変更されず、指数が乗算されます。
(a n) m \u003d a n m、「a」は任意の数、「m」、「n」は任意の自然数です。
プロパティ 4
製品の程度覚えて！
積をべき乗する場合、各係数はべき乗されます。 次に、結果が乗算されます。
(a b) n \u003d a n b n、「a」、「b」は任意の有理数です。 「n」 - 任意の自然数。
- 例1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - 例 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
重要！
プロパティ No. 4 は、次数の他のプロパティと同様に、逆の順序で適用されることに注意してください。
(a n b n)= (a b) nつまり、同じ指数で次数を乗算するには、基数を乗算し、指数を変更しないままにすることができます。
- 例。 計算してください。
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000 - 例。 計算してください。
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
より複雑な例では、基数と指数が異なるべき乗に対して乗算と除算を実行する必要がある場合があります。 この場合、次のことを行うことをお勧めします。
例えば、 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
小数のべき乗の例。
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4プロパティ 5
商のべき乗（分数）覚えて！
商を累乗するには、被除数と除数を別々にこの累乗し、最初の結果を 2 番目の結果で割ります。
(a: b) n \u003d a n: b n、「a」、「b」は任意の有理数、b ≠ 0、n は任意の自然数です。
- 例。 式を部分べき乗として表現します。
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
商は分数で表すことができることに注意してください。 したがって、分数の累乗については、次のページで詳しく説明します。
- 例1
