Care ecuație se numește liniară cu o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor liniare cu o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Când rezolvăm ecuații liniare, ne străduim să găsim o rădăcină, adică o valoare pentru o variabilă care va transforma ecuația într-o egalitate corectă.

Pentru a găsi rădăcina ecuației de care aveți nevoie transformările echivalente aduc ecuația dată nouă la forma

\(x=[număr]\)

Acest număr va fi rădăcina.

Adică transformăm ecuația, ușurând-o cu fiecare pas, până când o reducem la o ecuație complet primitivă „x = număr”, unde rădăcina este evidentă. Cele mai utilizate în rezolvarea ecuațiilor liniare sunt următoarele transformări:

De exemplu: adăugați \(5\) la ambele părți ale ecuației \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Vă rugăm să rețineți că am putea obține același rezultat mai rapid - pur și simplu scriind cele cinci de cealaltă parte a ecuației și schimbându-i semnul în acest proces. De fapt, exact așa se face școala „transfer prin egali cu schimbare de semn la opus”.

2. Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu același număr sau expresie.

De exemplu: Împărțiți ecuația \(-2x=8\) la minus doi

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

De obicei, acest pas se face chiar la sfârșit, când ecuația a fost deja redusă la \(ax=b\), și împărțim la \(a\) pentru a o elimina din stânga.

3. Folosirea proprietăților și legilor matematicii: deschiderea parantezelor, reducerea termenilor similari, reducerea fracțiilor etc.

Adăugați \(2x\) la stânga și la dreapta

Scădeți \(24\) din ambele părți ale ecuației

Din nou, prezentăm termeni similari

Acum împărțim ecuația la \ (-3 \), eliminând astfel înainte de x din partea stângă.

Răspuns : \(7\)

Răspuns găsit. Totuși, să verificăm. Dacă șapte este într-adevăr o rădăcină, atunci înlocuirea lui în loc de x în ecuația originală ar trebui să aibă ca rezultat egalitatea corectă - aceleași numere în stânga și în dreapta. Noi incercam.

Examinare:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

De acord. Aceasta înseamnă că șapte este într-adevăr rădăcina ecuației liniare originale.

Nu fi leneș să verifici răspunsurile pe care le-ai găsit prin înlocuire, mai ales dacă rezolvi o ecuație la un test sau un examen.

Întrebarea rămâne - cum să determinați ce să faceți cu ecuația la pasul următor? Cum să-l convertesc mai exact? Distribuie ceva? Sau scade? Și ce să scadă mai exact? Ce să împărtășesc?

Raspunsul este simplu:

Scopul tău este să aduci ecuația la forma \(x=[număr]\), adică în stânga x fără coeficienți și numere, iar în dreapta - doar un număr fără variabile. Așa că vezi ce te oprește și faceți opusul a ceea ce face componenta care interferează.

Pentru a înțelege mai bine acest lucru, să luăm o soluție pas cu pas a ecuației liniare \(x+3=13-4x\).

Să ne gândim: cum diferă această ecuație de \(x=[număr]\)? Ce ne oprește? Ce s-a întâmplat?

Ei bine, în primul rând, triplul interferează, deoarece ar trebui să existe doar un X singur în stânga, fără numere. Și ce face trio-ul? Adăugat la xx. Deci, pentru a-l elimina - scădea acelasi trio. Dar dacă scădem un triplu din stânga, atunci trebuie să-l scădem din dreapta pentru ca egalitatea să nu fie încălcată.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Amenda. Acum ce te oprește? \(4x\) în dreapta, deoarece ar trebui să conțină numai numere. \(4x\) scăzut- elimina adăugând.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Acum dăm termeni similari în stânga și în dreapta.

Este aproape gata. Rămâne să eliminați cele cinci din stânga. Ce face ea"? se inmulteste pe x. Așa că îl eliminăm Divizia.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Soluția este completă, rădăcina ecuației este două. Puteți verifica prin înlocuire.

observa asta cel mai adesea există o singură rădăcină în ecuațiile liniare. Cu toate acestea, pot apărea două cazuri speciale.

Cazul special 1 - nu există rădăcini într-o ecuație liniară.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(3x-1=2(x+3)+x\)

Soluţie :

Răspuns : fără rădăcini.

De fapt, faptul că vom ajunge la un astfel de rezultat a fost văzut mai devreme, chiar și atunci când am obținut \(3x-1=3x+6\). Gândiți-vă: cum poate fi \(3x\) egal, din care a fost scăzut \(1\) și \(3x\) la care a fost adăugat \(6\)? Evident, în niciun caz, pentru că au făcut acțiuni diferite cu același lucru! Este clar că rezultatele vor varia.

Cazul special 2 - o ecuație liniară are un număr infinit de rădăcini.

Exemplu . Rezolvați ecuația liniară \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Soluţie :

Răspuns : orice număr.

Apropo, acest lucru s-a observat și mai devreme, la etapa: \(8x+12=8x+12\). Într-adevăr, stânga și dreapta sunt aceleași expresii. Indiferent de x ai înlocui, va fi același număr atât acolo, cât și acolo.

Ecuații liniare mai complexe.

Ecuația originală nu arată întotdeauna imediat ca una liniară, uneori este „deghizată” ca alte ecuații, mai complexe. Cu toate acestea, în procesul de transformare, mascarea dispare.

Exemplu . Aflați rădăcina ecuației \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Soluţie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		S-ar părea că aici există un x pătrat - aceasta nu este o ecuație liniară! Dar nu te grăbi. Să aplicăm
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		De ce rezultatul expansiunii \((x-4)^(2)\) este între paranteze, dar rezultatul \((3+x)^(2)\) nu este? Pentru că există un minus înainte de primul pătrat, care va schimba toate semnele. Și pentru a nu uita de asta, luăm rezultatul între paranteze, pe care acum îl deschidem.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dăm condiții asemănătoare
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Din nou, aici sunt altele asemănătoare.
		Ca aceasta. Se pare că ecuația inițială este destul de liniară, iar x pătratul nu este altceva decât un ecran care să ne încurce. :) Completam solutia impartind ecuatia la \(2\), si obtinem raspunsul.

Răspuns : \(x=5\)

Exemplu . Rezolvați ecuația liniară \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Soluţie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Ecuația nu arată ca una liniară, unele fracții ... Totuși, să scăpăm de numitori înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul comun al tuturor - șase
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Deschideți suportul din stânga
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Acum reducem numitorii
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Acum arată ca unul liniar obișnuit! Să rezolvăm.
		Prin transferul prin egali, colectăm x în dreapta și numere în stânga
		Ei bine, împărțind la \ (-4 \) părțile din dreapta și din stânga, obținem răspunsul

Răspuns : \(x=-1,25\)

Egalitatea cu variabila f(x) = g(x) se numește ecuație cu o variabilă x. Orice valoare a variabilei la care f(x) și g(x) iau valori numerice egale se numește rădăcina unei astfel de ecuații. Prin urmare, a rezolva o ecuație înseamnă a găsi toate rădăcinile ecuației sau a demonstra că nu există.

Ecuația x 2 + 1 = 0 nu are rădăcini reale, dar are rădăcini imaginare: în acest caz acestea sunt rădăcinile x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i. În cele ce urmează, ne vor interesa doar rădăcinile reale ale ecuației.

Dacă ecuațiile au aceleași rădăcini, atunci ele se numesc echivalente. Acele ecuații care nu au rădăcini sunt echivalente.

Să determinăm dacă ecuațiile sunt echivalente:

a) x + 2 = 5 și x + 5 = 8

1. Rezolvați prima ecuație

2. Rezolvați a doua ecuație

Rădăcinile ecuațiilor sunt aceleași, deci x + 2 = 5 și x + 5 = 8 sunt echivalente.

b) x 2 + 1 = 0 și 2x 2 + 5 = 0

Ambele ecuații nu au rădăcini reale, prin urmare sunt echivalente.

c) x - 5 \u003d 1 și x 2 \u003d 36

1. Aflați rădăcinile primei ecuații

2. Aflați rădăcinile celei de-a doua ecuații

x 1 = 6, x 2 = -6

Rădăcinile ecuațiilor nu se potrivesc, deci x - 5 \u003d 1 și x 2 \u003d 36 nu sunt echivalente.

Când rezolvă o ecuație, încearcă să o înlocuiască cu o ecuație echivalentă, dar mai simplă. Prin urmare, este important să știm, ca urmare a ce transformări, această ecuație se transformă într-o ecuație echivalentă cu ea.

Teorema 1. Dacă orice termen dintr-o ecuație este transferat dintr-o parte în alta, schimbând semnul, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

De exemplu, ecuația x 2 + 2 = 3x este echivalentă cu ecuația x 2 + 2 - 3x = 0.

Teorema 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr (nu egal cu zero), atunci se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

De exemplu, ecuația (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x este echivalentă cu ecuația x 2 - 1 \u003d 6x. Înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu 3.

O ecuație liniară cu o variabilă este o ecuație de forma ax \u003d b, unde a și b sunt numere reale, iar a se numește coeficientul variabilei, iar b este termenul liber.

Luați în considerare trei cazuri pentru ecuația liniară ax = b.

1. a ≠ 0. În acest caz, x \u003d b / a (deoarece a este diferit de zero).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. Ecuația va lua forma: 0 ∙ x \u003d 0. Această ecuație este adevărată pentru orice x, adică. rădăcina ecuației este orice număr real.

3. a \u003d 0, b ≠ 0. În acest caz, ecuația nu va avea rădăcini, deoarece împărțirea la zero este interzisă (0 ∙ x = b).

Ca rezultat al transformărilor, multe ecuații sunt reduse la ecuații liniare.

Rezolvarea ecuațiilor

a) (1/5) x + 2/15 = 0

1. Mutați componenta 2/15 din partea stângă a ecuației în partea dreaptă cu semnul opus. O astfel de transformare este guvernată de teorema 1. Deci, ecuația va lua forma: (1/5)x = -2/15.

2. Pentru a scăpa de numitor, înmulțim ambele părți ale ecuației cu 15. Teorema 2 ne permite să facem acest lucru.Deci, ecuația va lua forma:

(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

Astfel, rădăcina ecuației este -2/3.

b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. Pentru a scăpa de numitor, înmulțim ambele părți ale ecuației pe 12 (prin teorema 2). Ecuația va lua forma:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. Folosind teorema 1, „colectăm” toate numerele din dreapta, iar componentele cu x în stânga. Ecuația va lua forma:

10 +12 \u003d 5x - x

Astfel, rădăcina ecuației este 5,5.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 înlocuim numărul 2 în loc de necunoscutul x, atunci obținem egalitatea corectă 3 2 + 7 \u003d 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 + 7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la soluția ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = – b/a .

Exemplul 1 Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Transferăm 2 din partea stângă a ecuației în partea dreaptă, în timp ce schimbăm semnul din fața lui 2 la opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Deci valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b este, de asemenea, 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată membri similari:
0x = 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată membri similari:
0x = - 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 se arată schema de rezolvare a ecuaţiei liniare

Să compunem o schemă generală pentru rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă. Luați în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4 Să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, deschideți paranteze:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată membri similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la - 22 , obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate după cum urmează:

a) aduceți ecuația într-o formă întreagă;

b) paranteze deschise;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Găsim necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare întâlnite la examenul de stat principal.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7 Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8 Rezolvați ecuația

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemplul 9 Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a trata mai amănunțit soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

De asemenea, TutorOnline vă recomandă să vizionați un nou tutorial video de la tutorele noastre Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Și așa mai departe, este logic să te familiarizezi cu ecuații de alte tipuri. Următorii în rând sunt ecuatii lineare, al cărui studiu intenționat începe la lecțiile de algebră din clasa a VII-a.

Este clar că mai întâi trebuie să explicați ce este o ecuație liniară, să dați o definiție a unei ecuații liniare, coeficienții ei, să o arătați forma generala. Apoi vă puteți da seama câte soluții are o ecuație liniară în funcție de valorile coeficienților și de cum se găsesc rădăcinile. Acest lucru vă va permite să treceți la rezolvarea exemplelor și, astfel, să consolidați teoria studiată. În acest articol vom face acest lucru: ne vom opri în detaliu asupra tuturor punctelor teoretice și practice privind ecuațiile liniare și soluția acestora.

Să spunem imediat că aici vom lua în considerare doar ecuații liniare cu o variabilă, iar într-un articol separat vom studia principiile rezolvării ecuații liniare în două variabile.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație liniară?

Definiția unei ecuații liniare este dată de forma notației sale. Mai mult, în diferite manuale de matematică și algebră, formulările definițiilor ecuațiilor liniare au unele diferențe care nu afectează esența problemei.

De exemplu, într-un manual de algebră pentru clasa a 7-a de Yu. N. Makarycheva și alții, o ecuație liniară este definită după cum urmează:

Definiție.

Tip ecuație ax=b, unde x este o variabilă, a și b sunt niște numere, se numește ecuație liniară cu o variabilă.

Să dăm exemple de ecuații liniare corespunzătoare definiției vocale. De exemplu, 5 x=10 este o ecuație liniară cu o variabilă x , aici coeficientul a este 5 , iar numărul b este 10 . Un alt exemplu: −2.3 y=0 este de asemenea o ecuație liniară, dar cu variabila y , unde a=−2.3 și b=0 . Și în ecuațiile liniare x=−2 și −x=3,33 a nu sunt prezente în mod explicit și sunt egale cu 1 și, respectiv, −1, în timp ce în prima ecuație b=−2 și în a doua - b=3,33 .

Cu un an mai devreme, în manualul de matematică al lui N. Ya. Vilenkin, ecuațiile liniare cu o necunoscută, pe lângă ecuațiile de forma a x = b, erau considerate și ecuații care pot fi reduse la această formă prin transferul de termeni dintr-o parte. a ecuației la alta cu semnul opus, precum și prin reducerea termenilor similari. Conform acestei definiții, ecuațiile de forma 5 x=2 x+6 , etc. sunt de asemenea liniare.

La rândul său, următoarea definiție este dată în manualul de algebră pentru 7 clase de A. G. Mordkovich:

Definiție.

Ecuație liniară cu o variabilă x este o ecuație de forma a x+b=0 , unde a și b sunt niște numere, numite coeficienți ai ecuației liniare.

De exemplu, ecuațiile liniare de acest fel sunt 2 x−12=0, aici coeficientul a este egal cu 2, iar b este egal cu −12 și 0,2 y+4,6=0 cu coeficienții a=0,2 și b =4,6. Dar, în același timp, există exemple de ecuații liniare care au forma nu a x+b=0 , ci a x=b , de exemplu, 3 x=12 .

Să nu avem discrepanțe în viitor, sub o ecuație liniară cu o variabilă x și coeficienți a și b vom înțelege o ecuație de forma a x+b=0 . Acest tip de ecuație liniară pare să fie cel mai justificat, deoarece ecuațiile liniare sunt ecuații algebrice primul grad. Și toate celelalte ecuații indicate mai sus, precum și ecuațiile care se reduc la forma a x+b=0 cu ajutorul transformărilor echivalente, se vor numi ecuații reducându-se la ecuații liniare. Cu această abordare, ecuația 2 x+6=0 este o ecuație liniară, iar 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 etc. sunt ecuații liniare.

Cum se rezolvă ecuații liniare?

Acum este timpul să ne dăm seama cum se rezolvă ecuațiile liniare a x+b=0. Cu alte cuvinte, este timpul să aflăm dacă ecuația liniară are rădăcini și, dacă da, câte și cum să le găsim.

Prezența rădăcinilor unei ecuații liniare depinde de valorile coeficienților a și b. În acest caz, ecuația liniară a x+b=0 are

• singura rădăcină la a≠0 ,
• nu are rădăcini pentru a=0 și b≠0 ,
• are infinit de rădăcini pentru a=0 și b=0, caz în care orice număr este o rădăcină a unei ecuații liniare.

Să explicăm cum au fost obținute aceste rezultate.

Știm că pentru a rezolva ecuații se poate trece de la ecuația inițială la ecuații echivalente, adică la ecuații cu aceleași rădăcini sau, ca și cea inițială, fără rădăcini. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarele transformări echivalente:

• transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus,
• și, de asemenea, înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale ecuației cu același număr diferit de zero.

Deci, într-o ecuație liniară cu o variabilă de forma a x+b=0, putem muta termenul b din partea stângă în partea dreaptă cu semnul opus. În acest caz, ecuația va lua forma a x=−b.

Și apoi împărțirea ambelor părți ale ecuației cu numărul a sugerează ea însăși. Dar există un lucru: numărul a poate fi egal cu zero, caz în care o astfel de împărțire este imposibilă. Pentru a rezolva această problemă, vom presupune mai întâi că numărul a este diferit de zero și vom lua în considerare cazul lui zero a separat puțin mai târziu.

Deci, când a nu este egal cu zero, atunci putem împărți ambele părți ale ecuației a x=−b la a , după care este convertită la forma x=(−b):a , acest rezultat poate fi scris folosind un linie continuă ca .

Astfel, pentru a≠0, ecuația liniară a·x+b=0 este echivalentă cu ecuația , din care este vizibilă rădăcina sa.

Este ușor de arătat că această rădăcină este unică, adică ecuația liniară nu are alte rădăcini. Acest lucru vă permite să faceți metoda opusă.

Să notăm rădăcina ca x 1 . Să presupunem că există o altă rădăcină a ecuației liniare, pe care o notăm x 2 și x 2 ≠ x 1, care, datorită definițiile numerelor egale prin diferență este echivalentă cu condiția x 1 − x 2 ≠0 . Deoarece x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației liniare a x+b=0, atunci au loc egalitățile numerice a x 1 +b=0 și a x 2 +b=0. Putem scădea părțile corespunzătoare acestor egalități, ceea ce ne permit proprietățile egalităților numerice, avem a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , de unde a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 și apoi a (x 1 − x 2)=0 . Și această egalitate este imposibilă, deoarece atât a≠0, cât și x 1 − x 2 ≠0. Deci am ajuns la o contradicție, care demonstrează unicitatea rădăcinii ecuației liniare a·x+b=0 pentru a≠0 .

Deci am rezolvat ecuația liniară a x+b=0 cu a≠0 . Primul rezultat dat la începutul acestei subsecțiuni este justificat. Mai sunt două care îndeplinesc condiția a=0 .

Pentru a=0 ecuația liniară a·x+b=0 devine 0·x+b=0 . Din această ecuație și proprietatea de a înmulți numerele cu zero, rezultă că indiferent de ce număr luăm ca x, atunci când îl substituim în ecuația 0 x+b=0, obținem egalitatea numerică b=0. Această egalitate este adevărată când b=0 , iar în alte cazuri când b≠0 această egalitate este falsă.

Prin urmare, pentru a=0 și b=0, orice număr este rădăcina ecuației liniare a x+b=0, deoarece în aceste condiții, înlocuirea oricărui număr în loc de x dă egalitatea numerică corectă 0=0. Iar pentru a=0 și b≠0, ecuația liniară a x+b=0 nu are rădăcini, deoarece în aceste condiții, înlocuirea oricărui număr în loc de x duce la o egalitate numerică incorectă b=0.

Justificările de mai sus fac posibilă formarea unei secvențe de acțiuni care să permită rezolvarea oricărei ecuații liniare. Asa de, algoritm pentru rezolvarea unei ecuații liniare este:

• În primul rând, scriind o ecuație liniară, găsim valorile coeficienților a și b.
• Dacă a=0 și b=0 , atunci această ecuație are infinit de rădăcini, și anume, orice număr este o rădăcină a acestei ecuații liniare.
• Dacă a este diferit de zero, atunci
• coeficientul b este transferat în partea dreaptă cu semnul opus, în timp ce ecuația liniară este transformată în forma a x=−b ,
• după care ambele părți ale ecuației rezultate sunt împărțite la un număr diferit de zero a, care dă rădăcina dorită a ecuației liniare inițiale.

Algoritmul scris este un răspuns exhaustiv la întrebarea cum se rezolvă ecuațiile liniare.

În încheierea acestui paragraf, merită să spunem că un algoritm similar este utilizat pentru a rezolva ecuații de forma a x=b. Diferența sa constă în faptul că, atunci când a≠0, ambele părți ale ecuației sunt imediat împărțite la acest număr, aici b este deja în partea dorită a ecuației și nu trebuie transferat.

Pentru a rezolva ecuații de forma a x=b, se folosește următorul algoritm:

• Dacă a=0 și b=0, atunci ecuația are infinite rădăcini, care sunt orice numere.
• Dacă a=0 și b≠0 , atunci ecuația inițială nu are rădăcini.
• Dacă a este diferit de zero, atunci ambele părți ale ecuației sunt împărțite la un număr diferit de zero a, din care se găsește singura rădăcină a ecuației egală cu b / a.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare

Să trecem la practică. Să analizăm modul în care se aplică algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare. Să prezentăm soluții de exemple tipice corespunzătoare diferitelor valori ale coeficienților ecuațiilor liniare.

Exemplu.

Rezolvați ecuația liniară 0 x−0=0 .

Soluţie.

În această ecuație liniară, a=0 și b=−0 , care este același cu b=0 . Prin urmare, această ecuație are infinit de rădăcini, orice număr este rădăcina acestei ecuații.

Răspuns:

x este orice număr.

Exemplu.

Ecuația liniară 0 x+2.7=0 are soluții?

Soluţie.

În acest caz, coeficientul a este egal cu zero, iar coeficientul b al acestei ecuații liniare este egal cu 2,7, adică este diferit de zero. Prin urmare, ecuația liniară nu are rădăcini.

În acest videoclip, vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care dintre ele ar trebui să fie numită cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai de gradul I.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Deschideți paranteze, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Aduceți termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$ .

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori, după toate aceste mașinațiuni, coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când obțineți ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un număr diferit de zero. În videoclipul de mai jos, vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Și acum să vedem cum funcționează totul pe exemplul problemelor reale.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi ne ocupăm de ecuații liniare și doar de cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi aduceți similare
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - este transferat într-o parte, iar tot ceea ce rămâne fără ea este transferat pe cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți similar de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea rămâne doar să împărțiți cu coeficientul de la "x", și vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la numărarea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții, sau astfel încât soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Pentru început, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Seclude variabile, de ex. tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte, iar fără „x” - pe cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul de la „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, are anumite subtilități și trucuri, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina 1

În primul pas, ni se cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă, trebuie să izolăm variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai să scriem:

Dăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțim la un factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Aici avem răspunsul.

Sarcina #2

În această sarcină, putem observa parantezele, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ aceeasi constructie, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. variabile sechester:

Iată câteva de genul:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina #3

A treia ecuație liniară este deja mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Sunt mai multe paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, doar au semne diferite în fața lor. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Să calculăm:

Realizam ultimul pas- împărțiți totul la coeficientul de la "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcini prea simple, atunci aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, zero poate intra printre ele - nu este nimic rău în asta.

Zero este același număr cu restul, nu ar trebui să-l discriminezi cumva sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.

O altă caracteristică este legată de extinderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide conform algoritmilor standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui fapt simplu te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de acțiuni este considerat de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complicate și o funcție pătratică va apărea la efectuarea diferitelor transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie teamă de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar reduse.

Exemplul #1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să luăm confidențialitate:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva de genul:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că în răspuns scriem după cum urmează:

\[\varietate \]

sau fără rădăcini.

Exemplul #2

Facem aceiași pași. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva de genul:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o scriem astfel:

\[\varnothing\],

sau fără rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Pe exemplul acestor două expresii, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate fi fie unul, fie niciunul, fie infinit. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le extindeți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „x”. Vă rugăm să rețineți: înmulțiți fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și se înmulțește.

Și abia după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, paranteza poate fi deschisă din punctul de vedere că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt făcute, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt doar se schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mici, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Bineînțeles, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să faci atâtea transformări de fiecare dată, vei scrie totul într-un singur rând. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem o retragere:

Iată câteva de genul:

Să facem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, totuși, ei s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.

Sarcina #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem primul pas cu atenție: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. În total, după transformări ar trebui obținute patru termeni noi:

Și acum efectuați cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Am primit un răspuns definitiv.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă remarcă despre aceste două ecuații este aceasta: de îndată ce începem să înmulțim paranteze în care există mai mult de un termen, atunci aceasta se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element. din a doua; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.

Pe suma algebrică

Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădem șapte din unu. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Această sumă algebrică diferă de suma aritmetică obișnuită.

De îndată ce efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare cu cele descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În concluzie, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și, pentru a le rezolva, va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va mai trebui adăugat un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, voi aminti algoritmul nostru:

1. Deschideți paranteze.
2. Variabile separate.
3. Aduceți similare.
4. Împărțiți cu un factor.

Din păcate, acest minunat algoritm, cu toată eficiența lui, nu este pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi efectuat atât înainte de prima acțiune, cât și după aceasta, și anume, pentru a scăpa de fracții. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți paranteze.
3. Variabile separate.
4. Aduceți similare.
5. Împărțiți cu un factor.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce este posibil să faceți acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice în ceea ce privește numitorul, adică. peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci vom scăpa de fracții.

Exemplul #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să înmulți fiecare dintre ele cu „patru”. Hai să scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să-l deschidem:

Efectuăm izolarea unei variabile:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, trecem la a doua ecuație.

Exemplul #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema rezolvata.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să spun astăzi.

Puncte cheie

Principalele constatări sunt următoarele:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă aveți funcții pătratice undeva, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare, acestea vor fi reduse.
• Rădăcinile din ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există deloc rădăcini.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site, rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, sunt multe alte lucruri interesante care vă așteaptă!