Ktorá rovnica sa nazýva lineárna s jednou premennou. Riešenie lineárnych rovníc s jednou premennou. Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Pri riešení lineárnych rovníc sa snažíme nájsť koreň, teda hodnotu premennej, ktorá prevedie rovnicu do správnej rovnosti.

Ak chcete nájsť koreň rovnice, potrebujete ekvivalentné transformácie prinesú nám danú rovnicu do tvaru

\(x=[číslo]\)

Toto číslo bude koreňom.

To znamená, že rovnicu transformujeme, čím ju zjednodušujeme každým krokom, až kým ju nezredukujeme na úplne primitívnu rovnicu „x = číslo“, kde je koreň zrejmý. Pri riešení lineárnych rovníc sa najčastejšie používajú tieto transformácie:

Napríklad: pridajte \(5\) na obe strany rovnice \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Upozorňujeme, že rovnaký výsledok by sme mohli získať rýchlejšie – jednoducho napísaním päťky na druhú stranu rovnice a zmenou jej znamienka v procese. V skutočnosti sa presne takto robí škola „prestup cez rovný so zmenou znamienka na opačný“.

2. Násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom alebo výrazom.

Napríklad: Vydeľte rovnicu \(-2x=8\) mínus dvoma

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Zvyčajne sa tento krok robí na samom konci, keď už bola rovnica zredukovaná na \(ax=b\), a delíme \(a\), aby sme ju odstránili zľava.

3. Používanie vlastností a zákonov matematiky: otváranie zátvoriek, zmenšovanie podobných pojmov, zmenšovanie zlomkov atď.

Pridajte \(2x\) doľava a doprava

Odčítajte \(24\) od oboch strán rovnice

Opäť uvádzame podobné pojmy

Teraz rovnicu vydelíme \ (-3 \), čím odstránime pred x na ľavej strane.

Odpoveď : \(7\)

Odpoveď sa našla. Poďme si to však overiť. Ak je sedmička naozaj koreň, potom jej dosadením namiesto x v pôvodnej rovnici by mala vzniknúť správna rovnosť – rovnaké čísla vľavo a vpravo. Skúsime.

Vyšetrenie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Dohodnuté. To znamená, že sedem je skutočne koreňom pôvodnej lineárnej rovnice.

Nebuďte leniví skontrolovať odpovede, ktoré ste našli pomocou suplovania, najmä ak riešite rovnicu na teste alebo skúške.

Otázkou zostáva - ako určiť, čo robiť s rovnicou v ďalšom kroku? Ako to presne previesť? Zdieľať niečo? Alebo odčítať? A čo presne odpočítať? Čo zdieľať?

Odpoveď je jednoduchá:

Vaším cieľom je dostať rovnicu do tvaru \(x=[číslo]\), to znamená vľavo x bez koeficientov a čísel a vpravo iba číslo bez premenných. Pozrite sa teda, čo vám bráni a robiť opak toho, čo robí rušivý komponent.

Aby sme to lepšie pochopili, poďme krok za krokom vyriešiť lineárnu rovnicu \(x+3=13-4x\).

Zamyslime sa: ako sa táto rovnica líši od \(x=[číslo]\)? Čo nám v tom bráni? Čo je zle?

No po prvé, trojka prekáža, keďže naľavo by malo byť len osamelé X bez čísel. A čo robí trojka? Pridané do xx. Takže, aby som to odstránil - odčítať rovnaké trio. Ale ak odpočítame trojku zľava, tak ju musíme odpočítať sprava, aby sa neporušila rovnosť.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Dobre. Čo ti v tom bráni? \(4x\) vpravo, pretože by mal obsahovať iba čísla. \(4x\) odpočítané- odstrániť pridávanie.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Teraz dávame rovnaké výrazy vľavo a vpravo.

Už je to skoro hotové. Zostáva odstrániť päťku vľavo. Čo ona robí"? znásobené na x. Tak to odstránime divízie.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Riešenie je hotové, koreň rovnice je dva. Môžete skontrolovať pomocou náhrady.

Všimni si najčastejšie je v lineárnych rovniciach len jeden koreň. Môžu však nastať dva špeciálne prípady.

Špeciálny prípad 1 - v lineárnej rovnici nie sú žiadne korene.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Riešenie :

Odpoveď : bez koreňov.

V skutočnosti to, že k takémuto výsledku dospejeme, bolo vidieť skôr, aj keď sme dostali \(3x-1=3x+6\). Zamyslite sa nad tým: ako sa môže rovnať \(3x\), od ktorého sa \(1\) odpočítalo a \(3x\), ku ktorému bolo pridané \(6\)? Samozrejme, v žiadnom prípade, pretože s tou istou vecou robili rôzne akcie! Je jasné, že výsledky sa budú líšiť.

Špeciálny prípad 2 - lineárna rovnica má nekonečný počet koreňov.

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Riešenie :

Odpoveď : ľubovoľné číslo.

Mimochodom, bolo to badateľné ešte skôr, v štádiu: \(8x+12=8x+12\). Skutočne, ľavá a pravá strana sú rovnaké výrazy. Akékoľvek x dosadíte, tam aj tam bude rovnaké číslo.

Zložitejšie lineárne rovnice.

Pôvodná rovnica nie vždy hneď vyzerá ako lineárna, niekedy je „prezlečená“ za iné, zložitejšie rovnice. V procese transformácie však maskovanie ustupuje.

Príklad . Nájdite koreň rovnice \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Riešenie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Zdá sa, že tu je x ​​na druhú - toto nie je lineárna rovnica! Ale neponáhľajte sa. Poďme sa prihlásiť
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Prečo je výsledok rozšírenia \((x-4)^(2)\) v zátvorke, ale výsledok \((3+x)^(2)\) nie je? Pretože pred prvým štvorcom je mínus, ktorý zmení všetky znamenia. A aby sme na to nezabudli, výsledok berieme do zátvoriek, ktoré teraz otvárame.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dávame podobné podmienky
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opäť sú tu podobné.
		Páči sa ti to. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je celkom lineárna a x na druhú nie je nič iné ako obrazovka, ktorá nás má zmiasť. :) Riešenie dokončíme vydelením rovnice \(2\), a dostaneme odpoveď.

Odpoveď : \(x=5\)

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)

Riešenie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Rovnica nevyzerá ako lineárna, nejaké zlomky ... Zbavme sa však menovateľov tak, že obe časti rovnice vynásobíme spoločným menovateľom všetkých - šiestimi
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Otvorte držiak vľavo
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Teraz zredukujeme menovateľov
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Teraz to vyzerá ako obyčajný lineárny! Poďme to vyriešiť.
		Prevodom cez rovná sa zbierame x vpravo a čísla vľavo
		Vydelením \ (-4 \) pravej a ľavej časti dostaneme odpoveď

Odpoveď : \(x=-1,25\)

Rovnosť s premennou f(x) = g(x) sa nazýva rovnica s jednou premennou x. Akákoľvek hodnota premennej, pri ktorej f(x) a g(x) nadobúdajú rovnaké číselné hodnoty, sa nazýva koreň takejto rovnice. Preto vyriešiť rovnicu znamená nájsť všetky korene rovnice alebo dokázať, že žiadne neexistujú.

Rovnica x 2 + 1 = 0 nemá skutočné korene, ale má imaginárne korene: v tento prípad toto sú korene x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i. V ďalšom nás budú zaujímať len skutočné korene rovnice.

Ak majú rovnice rovnaké korene, potom sa nazývajú ekvivalentné. Rovnice, ktoré nemajú korene, sú ekvivalentné.

Poďme zistiť, či sú rovnice ekvivalentné:

a) x + 2 = 5 a x + 5 = 8

1. Vyriešte prvú rovnicu

2. Vyriešte druhú rovnicu

Korene rovníc sú rovnaké, takže x + 2 = 5 a x + 5 = 8 sú ekvivalentné.

b) x 2 + 1 = 0 a 2 x 2 + 5 = 0

Obe tieto rovnice nemajú skutočné korene, preto sú ekvivalentné.

c) x - 5 \u003d 1 a x 2 \u003d 36

1. Nájdite korene prvej rovnice

2. Nájdite korene druhej rovnice

x 1 = 6, x 2 = -6

Korene rovníc sa nezhodujú, takže x - 5 \u003d 1 a x 2 \u003d 36 nie sú ekvivalentné.

Pri riešení rovnice sa ju snažia nahradiť ekvivalentnou, no jednoduchšou rovnicou. Preto je dôležité vedieť, v dôsledku akých transformácií sa táto rovnica zmení na ekvivalentnú rovnicu.

Veta 1. Ak sa ktorýkoľvek člen v rovnici prenesie z jednej časti do druhej, pričom sa zmení znamienko, získa sa rovnica ekvivalentná danej časti.

Napríklad rovnica x 2 + 2 = 3x je ekvivalentná rovnici x 2 + 2 - 3x = 0.

Veta 2. Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom (nerovná sa nule), dostaneme rovnicu, ktorá je ekvivalentná danej.

Napríklad rovnica (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x je ekvivalentná rovnici x 2 - 1 \u003d 6x. Obe strany prvej rovnice vynásobíme 3.

Lineárna rovnica s jednou premennou je rovnica tvaru ax \u003d b, kde a a b sú reálne čísla a a sa nazýva koeficient premennej a b je voľný člen.

Uvažujme tri prípady pre lineárnu rovnicu ax = b.

1. a ≠ 0. V tomto prípade x \u003d b / a (pretože a je nenulové).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. Rovnica bude mať tvar: 0 ∙ x \u003d 0. Táto rovnica platí pre ľubovoľné x, t.j. koreňom rovnice je akékoľvek reálne číslo.

3. a \u003d 0, b ≠ 0. V tomto prípade rovnica nebude mať korene, pretože delenie nulou je zakázané (0 ∙ x = b).

V dôsledku transformácií sa mnohé rovnice redukujú na lineárne.

Riešenie rovníc

a) (1/5) x + 2/15 = 0

1. Presuňte komponent 2/15 z ľavej strany rovnice na pravú stranu s opačným znamienkom. Takáto transformácia sa riadi vetou 1. Takže rovnica bude mať tvar: (1/5)x = -2/15.

2. Aby sme sa zbavili menovateľa, vynásobíme obe strany rovnice 15. Umožňuje nám to veta 2. Rovnica teda bude mať tvar:

(1/5) x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

Koreň rovnice je teda -2/3.

b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. Aby sme sa zbavili menovateľa, vynásobíme obe časti rovnice dňa 12 (podľa vety 2). Rovnica bude mať tvar:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12 (5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5 x - 12

2. Pomocou vety 1 „zozbierame“ všetky čísla napravo a zložky s x naľavo. Rovnica bude mať tvar:

10 + 12 \u003d 5x - x

Koreňom rovnice je teda 5,5.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Rovnica s jednou neznámou, ktorá po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných pojmov nadobudne tvar

ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou neznámou. Dnes zistíme, ako vyriešiť tieto lineárne rovnice.

Napríklad všetky rovnice:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineárne.

Hodnota neznámej, ktorá mení rovnicu na skutočnú rovnosť, sa nazýva rozhodnutie alebo koreň rovnice .

Napríklad, ak v rovnici 3x + 7 \u003d 13 nahradíme číslo 2 namiesto neznámeho x, potom dostaneme správnu rovnosť 3 2 + 7 \u003d 13. Hodnota x \u003d 2 je teda riešením alebo koreňom rovnice.

A hodnota x \u003d 3 nezmení rovnicu 3x + 7 \u003d 13 na skutočnú rovnosť, pretože 3 2 + 7 ≠ 13. Preto hodnota x \u003d 3 nie je riešením ani koreňom rovnice.

Riešenie ľubovoľných lineárnych rovníc sa redukuje na riešenie rovníc tvaru

ax + b = 0.

Voľný člen prenesieme z ľavej strany rovnice na pravú, pričom znamienko pred b zmeníme na opačné, dostaneme

Ak a ≠ 0, potom x = – b/a .

Príklad 1 Riešte rovnicu 3x + 2 =11.

Prenesieme 2 z ľavej strany rovnice na pravú, pričom zmeníme znamienko pred 2 na opačnú, dostaneme
3x \u003d 11 – 2.

Tak urobme odčítanie
3x = 9.

Ak chcete nájsť x, musíte rozdeliť produkt známym faktorom, tj.
x = 9:3.

Takže hodnota x = 3 je riešením alebo koreňom rovnice.

Odpoveď: x = 3.

Ak a = 0 a b = 0, potom dostaneme rovnicu 0x \u003d 0. Táto rovnica má nekonečne veľa riešení, keďže pri vynásobení ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0, ale b je tiež 0. Riešením tejto rovnice je ľubovoľné číslo.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Rozšírime zátvorky:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Tu sú podobní členovia:
0x = 0.

Odpoveď: x je ľubovoľné číslo.

Ak a = 0 a b ≠ 0, potom dostaneme rovnicu 0x = - b. Táto rovnica nemá riešenia, pretože vynásobením ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0, ale b ≠ 0.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu x + 8 = x + 5.

Zoskupme termíny obsahujúce neznáme na ľavej strane a voľné termíny na pravej strane:
x - x \u003d 5 - 8.

Tu sú podobní členovia:
0x = -3.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Zapnuté postava 1 je znázornená schéma riešenia lineárnej rovnice

Zostavme si všeobecnú schému riešenia rovníc s jednou premennou. Zvážte riešenie z príkladu 4.

Príklad 4 Poďme vyriešiť rovnicu

1) Vynásobte všetky členy rovnice najmenším spoločným násobkom menovateľov, ktorý sa rovná 12.

2) Po zmenšení dostaneme
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Na oddelenie členov obsahujúcich neznámych a voľných členov otvorte zátvorky:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) V jednej časti zoskupujeme výrazy obsahujúce neznáme a v druhej - voľné výrazy:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Tu sú podobní členovia:
-22x = -154.

6) Deliť - 22 , Dostaneme
x = 7.

Ako vidíte, koreň rovnice je sedem.

Vo všeobecnosti také rovnice je možné riešiť nasledovne:

a) priviesť rovnicu do celočíselného tvaru;

b) otvorené zátvorky;

c) zoskupiť členy obsahujúce neznámu v jednej časti rovnice a voľné členy v druhej;

d) priviesť podobných členov;

e) vyriešte rovnicu v tvare aх = b, ktorá bola získaná po získaní podobných členov.

Táto schéma však nie je potrebná pre každú rovnicu. Pri riešení mnohých jednoduchších rovníc treba začať nie od prvej, ale od druhej ( Príklad. 2), tretí ( Príklad. 13) a dokonca aj od piatej fázy, ako v príklade 5.

Príklad 5 Riešte rovnicu 2x = 1/4.

Nájdeme neznáme x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Zvážte riešenie niektorých lineárnych rovníc, s ktorými sa stretnete na hlavnej štátnej skúške.

Príklad 6 Riešte rovnicu 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Odpoveď: - 0,125

Príklad 7 Vyriešte rovnicu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Odpoveď: 2.3

Príklad 8 Vyriešte rovnicu

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Príklad 9 Nájdite f(6), ak f (x + 2) = 3 7

Riešenie

Keďže potrebujeme nájsť f(6) a vieme f (x + 2),
potom x + 2 = 6.

Riešime lineárnu rovnicu x + 2 = 6,
dostaneme x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Ak x = 4, potom
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

odpoveď: 27.

Ak máte ešte otázky, je tu chuť zaoberať sa riešením rovníc dôkladnejšie, prihláste sa na moje hodiny v ROZVRHU. Rád vám pomôžem!

TutorOnline tiež odporúča pozrieť si nový video tutoriál od našej lektorky Olgy Alexandrovny, ktorý vám pomôže pochopiť lineárne rovnice a ďalšie.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

A tak ďalej, je logické zoznámiť sa s rovnicami iných typov. Ďalšie v poradí sú lineárne rovnice, ktorej cieľavedomé štúdium začína na hodinách algebry v 7. ročníku.

Je jasné, že najprv musíte vysvetliť, čo je lineárna rovnica, uviesť definíciu lineárnej rovnice, jej koeficienty, ukázať ju všeobecná forma. Potom môžete zistiť, koľko riešení má lineárna rovnica v závislosti od hodnôt koeficientov a od toho, ako sa nachádzajú korene. To vám umožní prejsť k riešeniu príkladov, a tým upevniť študovanú teóriu. V tomto článku to urobíme: podrobne sa budeme zaoberať všetkými teoretickými a praktickými bodmi týkajúcimi sa lineárnych rovníc a ich riešenia.

Povedzme hneď, že tu budeme brať do úvahy iba lineárne rovnice s jednou premennou a v samostatnom článku budeme študovať princípy riešenia lineárne rovnice v dvoch premenných.

Navigácia na stránke.

Čo je lineárna rovnica?

Definícia lineárnej rovnice je daná formou jej zápisu. Navyše v rôznych učebniciach matematiky a algebry majú formulácie definícií lineárnych rovníc určité rozdiely, ktoré neovplyvňujú podstatu problému.

Napríklad v učebnici algebry pre 7. ročník od Yu. N. Makarycheva a ďalších je lineárna rovnica definovaná takto:

Definícia.

Zadajte rovnicu ax=b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Uveďme príklady lineárnych rovníc zodpovedajúcich znenej definícii. Napríklad 5 x=10 je lineárna rovnica s jednou premennou x , tu je koeficient a 5 a číslo b je 10. Ďalší príklad: −2,3 y=0 je tiež lineárna rovnica, ale s premennou y , kde a=−2,3 a b=0 . A v lineárnych rovniciach x=−2 a −x=3,33 a nie sú explicitne prítomné a sú rovné 1 a −1, zatiaľ čo v prvej rovnici b=−2 a v druhej - b=3,33.

A o rok skôr sa v učebnici matematiky od N. Ya.Vilenkina považovali okrem rovníc tvaru a x = b za rovnice aj lineárne rovnice s jednou neznámou, ktoré je možné do tohto tvaru zredukovať prenesením členov z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom, ako aj redukciou podobných členov. Podľa tejto definície rovnice tvaru 5 x=2 x+6 atď. sú tiež lineárne.

Nasledujúca definícia je uvedená v učebnici algebry pre 7 tried od A. G. Mordkovicha:

Definícia.

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica v tvare a x+b=0, kde a a b sú nejaké čísla, nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Napríklad lineárne rovnice tohto druhu sú 2x−12=0, tu sa koeficient a rovná 2 a b sa rovná −12 a 0,2 y+4,6=0 s koeficientmi a=0,2 a b=4,6. Zároveň však existujú príklady lineárnych rovníc, ktoré nemajú tvar a x+b=0, ale ax=b, napríklad 3 x=12.

Aby sme v budúcnosti nemali nezrovnalosti, pod lineárnou rovnicou s jednou premennou x a koeficientmi a a b budeme chápať rovnicu v tvare a x+b=0 . Tento typ lineárnej rovnice sa zdá byť najoprávnenejší, pretože lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvý stupeň. A všetky ostatné vyššie uvedené rovnice, ako aj rovnice, ktoré sú pomocou ekvivalentných transformácií redukované do tvaru a x+b=0, sa budú nazývať rovnice redukujúce na lineárne rovnice. S týmto prístupom je rovnica 2 x + 6 = 0 lineárna rovnica a 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 atď. sú lineárne rovnice.

Ako riešiť lineárne rovnice?

Teraz je čas zistiť, ako sa riešia lineárne rovnice a x+b=0. Inými slovami, je čas zistiť, či lineárna rovnica má korene, a ak áno, koľko a ako ich nájsť.

Prítomnosť koreňov lineárnej rovnice závisí od hodnôt koeficientov a a b. V tomto prípade má lineárna rovnica a x+b=0

• jediný koreň na a≠0 ,
• nemá korene pre a=0 a b≠0 ,
• má nekonečne veľa koreňov pre a=0 a b=0 , v takom prípade je každé číslo koreňom lineárnej rovnice.

Vysvetlíme, ako sa tieto výsledky dosiahli.

Vieme, že na riešenie rovníc je možné prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentné rovnice, teda na rovnice s rovnakými koreňmi alebo, ako tá pôvodná, bez koreňov. Na tento účel môžete použiť nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom,
• a tiež násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takže v lineárnej rovnici s jednou premennou v tvare a x+b=0 môžeme presunúť člen b z ľavej strany na pravú s opačným znamienkom. V tomto prípade bude mať rovnica tvar a x=−b.

A potom sa navrhne delenie oboch častí rovnice číslom a. Ale je tu jedna vec: číslo a sa môže rovnať nule, v takom prípade je takéto delenie nemožné. Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, najprv budeme predpokladať, že číslo a je iné ako nula, a prípad nuly a zvážime samostatne o niečo neskôr.

Takže, keď sa a nerovná nule, potom môžeme obe časti rovnice a x=−b vydeliť a , potom sa prevedie do tvaru x=(−b):a , tento výsledok môžeme zapísať pomocou plnej čiary ako .

Pre a≠0 je teda lineárna rovnica a·x+b=0 ekvivalentná rovnici , z ktorej je viditeľný jej koreň.

Je ľahké ukázať, že tento koreň je jedinečný, to znamená, že lineárna rovnica nemá žiadne iné korene. To vám umožní urobiť opačnú metódu.

Označme koreň ako x 1 . Predpokladajme, že existuje ďalší koreň lineárnej rovnice, ktorý označíme x 2, a x 2 ≠ x 1, ktorý v dôsledku definície rovnakých čísel cez rozdiel je ekvivalentná podmienke x 1 − x 2 ≠0 . Keďže x 1 a x 2 sú korene lineárnej rovnice a x+b=0, potom nastávajú číselné rovnosti a x 1 +b=0 a a x 2 +b=0. Zodpovedajúce časti týchto rovníc môžeme odčítať, čo nám vlastnosti číselných rovníc umožňujú, máme a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , z čoho a (x 1 −x 2)+(b−b)=0 a potom a (x 1 −x 2)=0 . A táto rovnosť nie je možná, keďže a≠0 aj x 1 − x 2 ≠0. Dostali sme sa teda k rozporu, ktorý dokazuje jedinečnosť koreňa lineárnej rovnice a·x+b=0 pre a≠0 .

Vyriešili sme teda lineárnu rovnicu a x+b=0 s a≠0 . Prvý výsledok uvedený na začiatku tohto pododdielu je opodstatnený. Sú ešte dve, ktoré spĺňajú podmienku a=0 .

Pre a=0 sa lineárna rovnica a·x+b=0 zmení na 0·x+b=0. Z tejto rovnice a vlastnosti násobenia čísel nulou vyplýva, že bez ohľadu na to, aké číslo berieme ako x, keď ho dosadíme do rovnice 0 x+b=0, dostaneme číselnú rovnosť b=0. Táto rovnosť je pravdivá, keď b=0, a v ostatných prípadoch, keď b≠0 je táto rovnosť nepravdivá.

Preto pre a=0 ab=0 je každé číslo koreňom lineárnej rovnice a x+b=0, keďže za týchto podmienok dosadenie ľubovoľného čísla namiesto x dáva správnu číselnú rovnosť 0=0. A pre a=0 a b≠0 lineárna rovnica a x+b=0 nemá korene, pretože za týchto podmienok dosadenie akéhokoľvek čísla namiesto x vedie k nesprávnej číselnej rovnosti b=0.

Vyššie uvedené zdôvodnenia umožňujú vytvoriť postupnosť akcií, ktorá umožňuje vyriešiť akúkoľvek lineárnu rovnicu. takže, Algoritmus na riešenie lineárnej rovnice je:

• Najprv napísaním lineárnej rovnice nájdeme hodnoty koeficientov a a b.
• Ak a=0 a b=0, potom táto rovnica má nekonečne veľa koreňov, konkrétne každé číslo je koreňom tejto lineárnej rovnice.
• Ak je a odlišné od nuly, potom
• koeficient b sa prenesie na pravú stranu s opačným znamienkom, pričom lineárna rovnica sa transformuje do tvaru a x=−b ,
• po ktorom sa obe časti výslednej rovnice vydelia nenulovým číslom a, čím sa získa požadovaný koreň pôvodnej lineárnej rovnice.

Napísaný algoritmus je vyčerpávajúcou odpoveďou na otázku, ako riešiť lineárne rovnice.

Na záver tohto odseku je vhodné povedať, že podobný algoritmus sa používa na riešenie rovníc v tvare a x=b. Jeho rozdiel spočíva v tom, že keď a≠0, obe časti rovnice sa okamžite delia týmto číslom, tu b je už v požadovanej časti rovnice a nie je potrebné ho prenášať.

Na riešenie rovníc tvaru a x=b sa používa nasledujúci algoritmus:

• Ak a=0 a b=0 , potom rovnica má nekonečne veľa koreňov, ktorými sú ľubovoľné čísla.
• Ak a=0 a b≠0 , potom pôvodná rovnica nemá korene.
• Ak a je nenulové, potom sa obe strany rovnice delia nenulovým číslom a, z ktorého sa nájde jediný koreň rovnice rovný b / a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Prejdime k praxi. Poďme analyzovať, ako sa používa algoritmus na riešenie lineárnych rovníc. Uveďme riešenia typických príkladov zodpovedajúcich rôznym hodnotám koeficientov lineárnych rovníc.

Príklad.

Riešte lineárnu rovnicu 0 x−0=0 .

Riešenie.

V tejto lineárnej rovnici a=0 a b=−0 , čo je rovnaké ako b=0 . Preto má táto rovnica nekonečne veľa koreňov, každé číslo je koreňom tejto rovnice.

odpoveď:

x je ľubovoľné číslo.

Príklad.

Má lineárna rovnica 0 x+2,7=0 riešenia?

Riešenie.

V tomto prípade sa koeficient a rovná nule a koeficient b tejto lineárnej rovnice sa rovná 2,7, to znamená, že sa líši od nuly. Preto lineárna rovnica nemá korene.

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sa riešia pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Na začiatok definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá z nich by sa mala nazývať najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba v prvom stupni.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Otvorené zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Preneste podobné výrazy naľavo a napravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$ .

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy sa po všetkých týchto machináciách koeficient premennej $x$ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Napríklad, keď dostanete niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je nenulové číslo. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

A teraz sa pozrime, ako to celé funguje na príklade reálnych problémov.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte otvoriť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom prineste podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. všetko, čo je s premennou spojené – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – sa prenesie na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, sa prenesie na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobnú na každej strane výslednej rovnosti a potom zostáva len rozdeliť koeficientom v "x" a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Zvyčajne sa chyby robia buď pri otváraní zátvoriek, alebo pri počítaní „plusov“ a „mínusov“.

Navyše sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo tak, že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Tieto jemnosti budeme analyzovať v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s najjednoduchšími úlohami.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Na začiatok mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Ak existujú, rozbaľte zátvorky.
2. Samostatné premenné, t.j. všetko, čo obsahuje „x“, sa prenesie na jednu stranu a bez „x“ na druhú.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom pri „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, má určité jemnosti a triky a teraz sa s nimi zoznámime.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

V prvom kroku sme povinní otvoriť zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Pozor: hovoríme len o jednotlivých termínoch. Píšme:

Naľavo aj napravo uvádzame podobné výrazy, ale už to tu bolo urobené. Preto pristúpime k štvrtému kroku: rozdelenie faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tu sme dostali odpoveď.

Úloha č. 2

V tejto úlohe môžeme pozorovať zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnakú konštrukciu, ale konajme podľa algoritmu, t.j. sekvestračné premenné:

Tu sú niektoré ako:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č. 3

Tretia lineárna rovnica je už zaujímavejšia:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu viacero, ale nie sú ničím znásobené, len majú pred sebou rôzne znaky. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme počítať:

Vykonávame posledný krok- všetko vydeľte koeficientom v "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže sa medzi nich dostať nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste to nejako rozlišovať alebo predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia vlastnosť súvisí s rozširovaním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znaky na opak. A potom ho môžeme otvoriť podľa štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto konanie považuje za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz sa konštrukcie skomplikujú a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by ste sa toho však báť, pretože ak podľa zámeru autora vyriešime lineárnu rovnicu, v procese transformácie sa nevyhnutne zredukujú všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad #1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré ako:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže v odpovedi píšeme takto:

\[\odroda \]

alebo bez koreňov.

Príklad č. 2

Vykonávame rovnaké kroky. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré ako:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo bez koreňov.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemôže byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, v oboch jednoducho nie sú žiadne korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich rozširovať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením je potrebné všetko vynásobiť „x“. Poznámka: násobte každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva pojmy - respektíve dva pojmy a je znásobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien možno zátvorku otvoriť z toho pohľadu, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie hotové, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie iba mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sled elementárnych transformácií, kde neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché úkony vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a učia sa takéto jednoduché rovnice opäť riešiť.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti zdokonalíte do automatizácie. Už nemusíte zakaždým vykonávať toľko premien, všetko napíšete do jedného riadku. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si ústup:

Tu sú niektoré ako:

Urobme posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica presne lineárna, nie štvorcová.

Úloha č. 2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Urobme prvý krok opatrne: vynásobte každý prvok v prvej zátvorke každým prvkom v druhej zátvorke. Celkovo by sa po transformáciách mali získať štyri nové výrazy:

A teraz opatrne vykonajte násobenie v každom termíne:

Presuňme výrazy s "x" doľava a bez - doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Dostali sme definitívnu odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka k týmto dvom rovniciam je táto: akonáhle začneme násobiť zátvorky, v ktorých je viac ako člen, potom sa to robí podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom od druhého; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. Výsledkom sú štyri termíny.

Na algebraickom súčte

Posledným príkladom by som chcel žiakom pripomenúť, čo je to algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: od jednej odpočítame sedem. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Tento algebraický súčet sa líši od bežného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Na záver sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a aby sme ich vyriešili, budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc zlomkom

Na vyriešenie takýchto úloh bude potrebné do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv však pripomeniem náš algoritmus:

1. Otvorené zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste podobné.
4. Rozdeliť faktorom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus, napriek svojej účinnosti, nie je úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme v oboch rovniciach zlomok vľavo a vpravo.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred prvou akciou aj po nej, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus teda bude nasledovný:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorené zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste podobné.
5. Rozdeliť faktorom.

Čo znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo je to možné urobiť po aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky z hľadiska menovateľa číselné, t.j. všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe časti rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Píšme:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz to otvoríme:

Vykonávame vylúčenie premennej:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdeme k druhej rovnici.

Príklad č. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Hlavné zistenia sú nasledovné:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nebojte sa, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
• Korene v lineárnych rovniciach, dokonca aj tie najjednoduchšie, sú troch typov: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň, neexistujú žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!