Zostrojte graf funkcie y=sin2x a y=sin. Graf funkcie y=sin x Graf funkcie y sin 2x

Lekcia a prezentácia na tému: "Funkcia y=sin(x). Definície a vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:

• Vlastnosti funkcie Y=sin(X).
• Funkčný graf.
• Ako zostaviť graf a jeho mierku.
• Príklady.

Vlastnosti sínusu. Y=sin(X)

Chlapci, už sme sa stretli s goniometrickými funkciami numerického argumentu. pamätáte si ich?

Pozrime sa bližšie na funkciu Y=sin(X)

Zapíšme si niektoré vlastnosti tejto funkcie:
1) Definičný obor je množina reálnych čísel.
2) Funkcia je nepárna. Spomeňme si na definíciu nepárnej funkcie. Funkcia sa nazýva nepárna, ak platí rovnosť: y(-x)=-y(x). Ako si pamätáme z duchovných vzorcov: sin(-x)=-sin(x). Definícia je splnená, čo znamená, že Y=sin(X) je nepárna funkcia.
3) Funkcia Y=sin(X) na segmente rastie a na segmente klesá [π/2; π]. Keď sa pohybujeme po prvej štvrtine (proti smeru hodinových ručičiek), ordináta sa zvyšuje a keď sa pohybujeme po druhej štvrtine, klesá.

4) Funkcia Y=sin(X) je obmedzená zdola aj zhora. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmenšia hodnota funkcie je -1 (pri x = - π/2+ πk). Najväčšia hodnota funkcie je 1 (pri x = π/2+ πk).

Použime vlastnosti 1-5 na vykreslenie funkcie Y=sin(X). Náš graf vytvoríme postupne, pričom použijeme naše vlastnosti. Začnime vytvárať graf na segmente.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať mierke. Na zvislej osi je vhodnejšie vziať jeden segment rovný 2 bunkám a na osi x - jeden segment (dve bunky), ktorý sa rovná π / 3 (pozri obrázok).

Vykreslenie funkcie sínus x, y=sin(x)

Vypočítajme hodnoty funkcie v našom segmente:

Zostavme graf pomocou našich bodov, berúc do úvahy tretiu vlastnosť.

Konverzná tabuľka pre duchovné vzorce

Využime druhú vlastnosť, ktorá hovorí, že naša funkcia je nepárna, čo znamená, že sa môže odrážať symetricky okolo pôvodu:

Vieme, že sin(x+ 2π) = sin(x). To znamená, že na intervale [- π; π] graf vyzerá rovnako ako na segmente [π; 3π] alebo alebo [-3π; - π] a tak ďalej. Stačí nám pozorne prekresliť graf na predchádzajúcom obrázku pozdĺž celej osi x.

Graf funkcie Y=sin(X) sa nazýva sínusoida.

Napíšme ešte niekoľko vlastností podľa zostrojeného grafu:
6) Funkcia Y=sin(X) narastá na ľubovoľnom segmente tvaru: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je celé číslo a klesá na ľubovoľnom segmente tvaru: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – celé číslo.
7) Funkcia Y=sin(X) je spojitá funkcia. Pozrime sa na graf funkcie a presvedčíme sa, že naša funkcia nemá žiadne zlomy, to znamená spojitosť.
8) Rozsah hodnôt: segment [- 1; 1]. To je jasne viditeľné aj z grafu funkcie.
9) Funkcia Y=sin(X) je periodická funkcia. Pozrime sa znova na graf a uvidíme, že funkcia nadobúda rovnaké hodnoty v určitých intervaloch.

Príklady problémov so sínusom

1. Vyriešte rovnicu sin(x)= x-π

Riešenie: Zostavme 2 grafy funkcie: y=sin(x) a y=x-π (pozri obrázok).
Naše grafy sa pretínajú v jednom bode A(π; 0), toto je odpoveď: x = π

2. Nakreslite funkciu y=sin(π/6+x)-1

Riešenie: Požadovaný graf získame posunutím grafu funkcie y=sin(x) π/6 jednotiek doľava a o 1 jednotku nadol.

Riešenie: Zostavme graf funkcie a uvažujme náš segment [π/2; 5π/4].
Graf funkcie ukazuje, že najväčšie a najmenšie hodnoty sa dosahujú na koncoch segmentu, v bodoch π/2 a 5π/4.
Odpoveď: hriech(π/2) = 1 – najvyššia hodnota, sin(5π/4) = najmenšia hodnota.

Sínusové problémy pre nezávislé riešenie

• Vyriešte rovnicu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Nakreslite funkciu y=sin(π/3+x)-2
• Nakreslite graf funkcie y=sin(-2π/3+x)+1
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na segmente
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na intervale [- π/3; 5π/6]

Ako znázorniť graf funkcie y=sin x? Najprv sa pozrime na sínusový graf intervalu.

V notebooku vezmeme jeden segment dlhý 2 bunky. Na osi Oy označíme jeden.

Pre pohodlie zaokrúhľujeme číslo π/2 na 1,5 (a nie na 1,6, ako to vyžadujú pravidlá zaokrúhľovania). V tomto prípade segment s dĺžkou π/2 zodpovedá 3 bunkám.

Na osi Ox označujeme nie jednotlivé segmenty, ale segmenty dĺžky π/2 (každé 3 bunky). Podľa toho segment dĺžky π zodpovedá 6 bunkám a segment dĺžky π/6 zodpovedá 1 bunke.

Pri tomto výbere jednotkového segmentu graf zobrazený na hárku zošita v krabici čo najviac zodpovedá grafu funkcie y=sin x.

Urobme tabuľku sínusových hodnôt intervalu:

Výsledné body sú označené na rovine súradníc:

Keďže y=sin x je nepárna funkcia, sínusový graf je symetrický vzhľadom na počiatok - bod O(0;0). Berúc do úvahy túto skutočnosť, pokračujeme v kreslení grafu vľavo, potom body -π:

Funkcia y=sin x je periodická s periódou T=2π. Preto sa graf funkcie na intervale [-π;π] opakuje nekonečne veľakrát doprava a doľava.

Funkcia zostavenia

Ponúkame Vám službu na vytváranie grafov funkcií online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete zadať manuálne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno s grafom, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.

Výhody online grafov

• Vizuálne zobrazenie zadaných funkcií
• Vytváranie veľmi zložitých grafov
• Konštrukcia grafov špecifikovaných implicitne (napríklad elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Možnosť ukladania grafov a získavania odkazu na ne, ktorý bude dostupný pre každého na internete
• Ovládanie mierky, farby čiary
• Možnosť vykresľovania grafov po bodoch, pomocou konštánt
• Vykreslenie niekoľkých funkčných grafov súčasne
• Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))

S nami je jednoduché zostavovať online grafy rôznej zložitosti. Stavba sa vykonáva okamžite. Služba je žiadaná na nájdenie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov na ich ďalšie presúvanie do dokumentu Word ako ilustrácie pri riešení problémov a na analýzu behaviorálnych vlastností funkčných grafov. Optimálnym prehliadačom na prácu s grafmi na tejto webovej stránke je Google Chrome. Pri používaní iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.