Pravidlá pre násobenie právomocí s rôznymi základmi. Stupeň - vlastnosti, pravidlá, akcie a vzorce Vlastnosti stupňov s rovnakým sčítaním základov

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno sčítať ako iné veličiny , a to tak, že ich pridáte jeden po druhom s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Súčet a 3 - b n a h5 - d4 je a 3 - b n + h5 - d4.

Odds rovnaké mocniny rovnakých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 sa rovná 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmete dve políčka a, alebo tri políčka a, alebo päť políčok a.

Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, musia byť zložené tak, že sa k nim pridajú ich znamienka.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3.

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a sa nerovná dvojnásobku druhej mocniny a, ale dvojnásobku kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znamienka subtrahendov sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie právomocí

Čísla s mocninami je možné násobiť, podobne ako iné veličiny, ich písaním za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je teda a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3.

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa akékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa čiastka stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocninou výsledku násobenia, ktorá sa rovná 2 + 3, súčtu mocnín členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako súčiniteľ toľkokrát, ako je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním mocninných mocnín.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú − negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Rozdelenie právomocí

Čísla s mocninou je možné deliť ako ostatné čísla odpočítaním od dividendy alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia -5 a -3 je -2.
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty o $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty o $\frac$. Odpoveď: $\frac$ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je a -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 alebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

Vlastnosti stupňa

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. Mocniny s racionálnymi exponentmi a ich vlastnosti budú rozoberané na hodinách pre 8. ročník.

Mocnina s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré nám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s mocninami.

Nehnuteľnosť č.1
Súčin síl

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a mocniny sa sčítavajú.

a m a n \u003d a m + n, kde "a" je ľubovoľné číslo a "m", "n" sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín platí aj pre súčin troch a viacerých mocnín.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte ako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte ako diplom.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v zadanej vlastnosti sme hovorili iba o násobení mocnín s rovnakými základmi. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č.2
Čiastočné stupne

Pri delení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

• Napíšte podiel ako mocninu
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Vypočítajte.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame vlastnosť kvocientových mocnín.
38: t = 34

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností exponentov.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nehnuteľnosť č.3
Zvýšenie stupňa na moc

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ mocniny nezmenený a exponenty sa násobia.

(a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.

Ako znásobiť sily

Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno násobiť a ktoré nie? Ako vynásobiť číslo mocninou?

V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:

1) ak majú stupne rovnaké základy;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri násobení mocnín s rovnakým základom musí základ zostať rovnaký a musia sa pridať exponenty:

Pri násobení stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné celkový ukazovateľ vyňať zo zátvoriek:

Pozrime sa na to, ako znásobiť mocniny na konkrétnych príkladoch.

Jednotka sa v exponente nezapisuje, ale pri násobení mocnín sa berú do úvahy:

Pri násobení môže existovať ľubovoľný počet mocnín. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemusíte písať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najprv robí umocňovanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, musíte najprv vykonať umocnenie a až potom - násobenie:

Násobenie mocnín s rovnakými základmi

Tento videonávod je k dispozícii na základe predplatného

Máte už predplatné? Vstúpiť

V tejto lekcii budeme študovať násobenie mocnín s podobnými základňami. Najprv si pripomenieme definíciu stupňa a sformulujeme vetu o platnosti rovnosti . Potom uvedieme príklady jeho aplikácie na konkrétnych číslach a dokážeme to. Vetu použijeme aj na riešenie rôznych problémov.

Téma: Mocnosť s prirodzeným exponentom a jej vlastnosti

Lekcia: Násobenie mocnín s rovnakými základmi (vzorec)

1. Základné definície

Základné definície:

n- exponent,

— n mocnina čísla.

2. Veta 1

Veta 1. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravdivá:

Inými slovami: ak A- ľubovoľné číslo; n A k prirodzené čísla, potom:

Preto pravidlo 1:

3. Výkladové úlohy

Záver:špeciálne prípady potvrdili správnosť vety č.1. Dokážme to vo všeobecnom prípade, teda pre akýkoľvek A a akékoľvek prírodné n A k.

4. Dôkaz vety 1

Dané číslo A- akýkoľvek; čísla n A k – prirodzené. dokázať:

Dôkaz je založený na definícii stupňa.

5. Riešenie príkladov pomocou 1. vety

Príklad 1: Berte to ako titul.

Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 1.

a)

6. Zovšeobecnenie 1. vety

Tu je zovšeobecnenie:

7. Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenia 1. vety

8. Riešenie rôznych problémov pomocou 1. vety

Príklad 2: Vypočítajte (môžete použiť tabuľku základných stupňov).

A) (podľa tabuľky)

b)

Príklad 3: Napíšte ako mocninu so základom 2.

A)

Príklad 4: Určite znamienko čísla:

, A - negatívny, pretože exponent na -13 je nepárny.

Príklad 5: Nahraďte ( ) mocninou so základňou r:

Máme, tzn.

9. Zhrnutie

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a iné.Algebra 7. 6. vydanie. M.: Osveta. 2010

1. Školský asistent (Zdroj).

1. Prezentujte ako moc:

a B C d e)

3. Napíšte ako mocninu so základom 2:

4. Určte znamienko čísla:

A)

5. Nahraďte (·) mocninou čísla so základom r:

a) r4. (·) = r15; b) (·) · r5 = r6

Násobenie a delenie mocnín s rovnakými exponentmi

V tejto lekcii budeme študovať násobenie mocnín s rovnakými exponentmi. Najprv si pripomeňme základné definície a teorémy o násobení a delení mocnín s rovnakými základmi a povýšení mocniny na mocninu. Potom sformulujeme a dokážeme vety o násobení a delení mocnín s rovnakými exponentmi. A potom s ich pomocou vyriešime množstvo typických problémov.

Pripomenutie základných definícií a teorémov

Tu a- základ titulu,

— n mocnina čísla.

Veta 1. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravdivá:

Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa exponenty sčítajú, základ zostáva nezmenený.

Veta 2. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k, také že n > k rovnosť je pravdivá:

Pri delení stupňov s rovnakými základmi sa exponenty odčítajú, ale základ zostáva nezmenený.

Veta 3. Pre akékoľvek číslo A a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravdivá:

Všetky uvedené vety sa týkali mocností s rovnakým dôvodov, táto lekcia bude brať do úvahy stupne s rovnakým ukazovatele.

Príklady na násobenie mocnín s rovnakými exponentmi

Zvážte nasledujúce príklady:

Vypíšme výrazy na určenie stupňa.

Záver: Z príkladov to môžete vidieť , ale to treba ešte dokázať. Sformulujme vetu a dokážme ju vo všeobecnom prípade, teda pre ľubovoľný A A b a akékoľvek prírodné n.

Formulácia a dôkaz 4. vety

Pre akékoľvek čísla A A b a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravdivá:

Dôkaz Veta 4 .

Podľa definície stupňa:

Takže sme to dokázali .

Na vynásobenie mocnín s rovnakými exponentmi stačí vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený.

Formulácia a dôkaz 5. vety

Sformulujme vetu na delenie mocnín s rovnakými exponentmi.

Pre akékoľvek číslo A A b() a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravdivá:

Dôkaz Veta 5 .

Zapíšme si definíciu stupňa:

Výrok viet v slovách

Takže sme to dokázali.

Na vzájomné rozdelenie mocnín s rovnakými exponentmi stačí rozdeliť jeden základ druhým a exponent ponechať nezmenený.

Riešenie typických problémov pomocou vety 4

Príklad 1: Prítomný ako produkt síl.

Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 4.

Ak chcete vyriešiť nasledujúci príklad, zapamätajte si vzorce:

Zovšeobecnenie vety 4

Zovšeobecnenie vety 4:

Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenej vety 4

Pokračovanie v riešení typických problémov

Príklad 2: Napíšte to ako silu produktu.

Príklad 3: Napíšte to ako mocninu s exponentom 2.

Príklady výpočtov

Príklad 4: Počítajte tým najracionálnejším spôsobom.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. a iné Algebra 7 .M .: Vzdelávanie. 2006

2. Školský asistent (Zdroj).

1. Prítomný ako súčin síl:

A); b) ; V); G);

2. Napíšte ako mocninu súčinu:

3. Napíšte ako mocninu s exponentom 2:

4. Počítajte čo najracionálnejším spôsobom.

Hodina matematiky na tému „Násobenie a rozdelenie právomocí“

Sekcie: Matematika

Pedagogický cieľ:

žiak sa naučí rozlišovať medzi vlastnosťami násobenia a delenia mocnín s prirodzenými exponentmi; uplatniť tieto vlastnosti v prípade rovnakých základov;

študent bude mať príležitosť vedieť vykonávať transformácie stupňov s rôznymi základmi a vedieť vykonávať transformácie v kombinovaných úlohách.

Úlohy:

organizovať prácu študentov opakovaním predtým preštudovaného materiálu;

zabezpečiť úroveň reprodukcie vykonávaním rôznych typov cvičení;

organizovať kontrolu sebahodnotenia študentov prostredníctvom testovania.

Vyučovacie jednotky: určenie stupňa s prirodzeným indikátorom; zložky stupňa; definícia súkromného; kombinačný zákon násobenia.

I. Organizovanie ukážky, ako žiaci ovládajú existujúce vedomosti. (krok 1)

a) Aktualizácia vedomostí:

2) Formulujte definíciu stupňa s prirodzeným exponentom.

a n =a a a a … a (n-krát)

b k =b b b b a… b (k-krát) Odpoveď zdôvodnite.

II. Organizácia sebahodnotenia stupňa znalosti študenta v aktuálnych skúsenostiach. (Krok 2)

Autotest: (individuálna práca v dvoch verziách.)

A1) Prezentujte produkt 7 7 7 7 x x x ako silu:

A2) Predstavte výkon (-3) 3 x 2 ako produkt

A3) Vypočítajte: -2 3 2 + 4 5 3

Počet úloh v teste vyberám v súlade s prípravou úrovne triedy.

Dám vám kľúč k testu na autotest. Kritériá: vyhovieť – neprijať.

III. Edukačná a praktická úloha (3. krok) + krok 4. (vlastnosti si žiaci sformulujú sami)

vypočítajte: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Zjednodušte: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

V priebehu riešenia úloh 1) a 2) žiaci navrhujú riešenie a ja ako učiteľ organizujem hodinu, aby som našiel spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakými základmi.

Učiteľ: vymyslite spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakým základom.

Na klastri sa zobrazí záznam:

Téma hodiny je formulovaná. Násobenie právomocí.

Učiteľ: vymyslite pravidlo na delenie mocností s rovnakými základmi.

Zdôvodnenie: aká akcia sa používa na kontrolu delenia? a 5: a 3 =? že a 2 a 3 = a 5

Vraciam sa k schéme - zhluk a dopĺňam zápis - ..pri delení odčítajte a dopĺňajte tému hodiny. ...a delenie stupňov.

IV. Komunikovať študentom hranice vedomostí (ako minimum a maximum).

Učiteľ: úlohou minima pre dnešnú hodinu je naučiť sa aplikovať vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakými základmi a maxima: aplikovať násobenie a delenie spolu.

Píšeme na tabuľu am a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Organizácia štúdia nového materiálu. (krok 5)

a) Podľa učebnice: č. 403 (a, c, e) úlohy s rôznym znením

č. 404 (a, d, f) samostatná práca, potom zorganizujem vzájomnú kontrolu, dám kľúče.

b) Pre akú hodnotu m platí rovnosť? a 16 do m \u003d do 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Zadanie: vymyslite podobné príklady na delenie.

c) č. 417 písm. a), č. 418 písm. Pasce na študentov: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Zhrnutie toho, čo sa naučili, vykonanie diagnostickej práce (ktorá povzbudzuje študentov, nie učiteľov, aby si túto tému preštudovali) (krok 6)

Diagnostické práce.

Test(umiestnite kľúče na zadnú stranu cesta).

Možnosti úlohy: reprezentujte podiel x 15 ako mocninu: x 3; predstavujú ako mocninu súčin (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pre ktoré m je rovnosť a 16 a m = a 32 pravda; nájdite hodnotu výrazu h 0: h 2 s h = 0,2; vypočítajte hodnotu výrazu (5 2 5 0) : 5 2 .

Zhrnutie lekcie. Reflexia. Triedu rozdelím na dve skupiny.

Nájdite argumenty v skupine I: v prospech poznania vlastností stupňa a skupine II - argumenty, ktoré povedia, že sa bez vlastností zaobídete. Vypočujeme si všetky odpovede a vyvodíme závery. V nasledujúcich lekciách môžete ponúknuť štatistické údaje a nazvať rubriku „To je neuveriteľné!“

Priemerný človek zje počas života 32 10 2 kg uhoriek.

Osa je schopná vykonať nepretržitý let 3,2 10 2 km.

Pri praskaní skla sa trhlina šíri rýchlosťou asi 5 10 3 km/h.

Žaba za svoj život zožerie viac ako 3 tony komárov. Pomocou stupňa napíšte v kg.

Za najplodnejšiu sa považuje oceánska ryba – mesiac (Mola mola), ktorý na jeden výter nakladie až 300 000 000 ikier s priemerom okolo 1,3 mm. Napíšte toto číslo pomocou mocniny.

VII. Domáca úloha.

Historický odkaz. Aké čísla sa nazývajú Fermatove čísla.

S.19. č. 403, č. 408, č. 417

Použité knihy:

Učebnica "Algebra-7", autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a kol.

Didaktický materiál pre 7. ročník, L.V. Kuznecovová, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyklopédia matematiky.

Časopis "Kvant".

Vlastnosti stupňov, formulácie, dôkazy, príklady.

Po určení sily čísla je logické o tom hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti mocniny čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu poskytneme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňov a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti používajú pri riešení príkladov.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi

Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Na základe tejto definície a tiež pomocou vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:

hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n, jeho zovšeobecnenie a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

vlastnosť kvocientových mocnín so zhodnými základmi a m:a n =a m−n ;

vlastnosť stupňa produktu (a·b) n =a n ·b n , jeho rozšírenie (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n ;

vlastnosť kvocientu k prirodzenému stupňu (a:b) n =a n:b n ;

zvýšenie stupňa na mocninu (a m) n =a m·n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

porovnanie stupňa s nulou:

• ak a>0, potom a n>0 pre ľubovoľné prirodzené číslo n;
• ak a=0, potom an=0;
• ak a 2·m >0, ak a 2·m−1 n ;
• ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n, potom pre 0m n a pre a>0 platí nerovnosť a m >a n.

Hneď si všimnime, že všetky písané rovnosti sú identické za stanovených podmienok je možné zameniť ich pravú a ľavú časť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m ·a n =a m+n s zjednodušujúce výrazyčasto používané v tvare a m+n =a m ·a n .

Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.

Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.

Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom možno súčin mocnín s rovnakými základmi tvaru a m a n zapísať ako súčin . Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako a tento súčin je mocninou čísla a s prirodzeným exponentom m+n, teda a m+n. Tým je dôkaz hotový.

Uveďme príklad potvrdzujúci hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, pomocou základnej vlastnosti stupňov môžeme zapísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Overme si jeho platnosť výpočtom hodnôt výrazov 2 2 · 2 3 a 2 5 . Po vykonaní umocňovania máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 a 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32, keďže dostaneme rovnaké hodnoty, potom rovnosť 2 2 ·2 3 = 2 5 je správne a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

Základnú vlastnosť stupňa, založenú na vlastnostiach násobenia, možno zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1 , n 2 , …, n k platí rovnosť a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Napríklad (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Môžeme prejsť na ďalšiu vlastnosť mocniny s prirodzeným exponentom – vlastnosť kvocientových mocnín s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.

Pred predložením dôkazu tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo formulácii. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou deliť nemôžeme. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. Pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo sa stane pre m−n) alebo záporné číslo (čo sa stane pre m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m. Z výslednej rovnosti a m−n ·a n =a m a zo súvislosti medzi násobením a delením vyplýva, že a m−n je podiel mocnín a m a an n. To dokazuje vlastnosť podielov mocnin s rovnaké základy.

Vezmime si príklad. Zoberme si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, rovnosť π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 zodpovedá uvažovanej vlastnosti stupňa.

Teraz uvažujme výkonová vlastnosť produktu: prirodzená mocnina n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu mocnín a n a b n , teda (a·b) n =a n ·b n .

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme . Na základe vlastností násobenia možno posledný súčin prepísať ako , čo sa rovná a n · b n .

Tu je príklad: .

Táto vlastnosť sa rozširuje na silu súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n .

Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov na mocninu 7 máme .

Nasledujúca vlastnosť je vlastnosť naturálneho kvocientu: podiel reálnych čísel a a b, b≠0 k prirodzenému mocninu n sa rovná podielu mocnín a n a b n, teda (a:b) n =a n:b n.

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n a z rovnosti (a:b) n ·b n =a n vyplýva, že (a:b) n je kvocient delenie a n na bn.

Napíšme túto vlastnosť pomocou konkrétnych čísel ako príklad: .

Teraz to vyjadrime vlastnosť povýšiť moc na moc: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine čísla a s exponentom m·n, teda (a m) n =a m·n.

Napríklad (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

Dôkazom vlastnosti power-to-degree je nasledujúci reťazec rovnosti: .

Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená zo stupňa na stupeň atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je rovnosť . Pre lepšiu názornosť uveďme príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.

Začnime dôkazom vlastnosti porovnávania nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.

Najprv dokážme, že a n >0 pre ľubovoľné a>0.

Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia naznačujú, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina čísla a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Vzhľadom na preukázanú vlastnosť 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 a .

Je celkom zrejmé, že pre akékoľvek prirodzené číslo n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0.

Prejdime k záporným základom stupňa.

Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2·m, kde m je prirodzené číslo. Potom . Podľa pravidla pre násobenie záporných čísel sa každý zo súčinov tvaru a·a rovná súčinu absolútnych hodnôt čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny a stupeň a 2·m. Uveďme príklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .

Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom . Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) 3 17 n n je súčin ľavej a pravej strany n skutočných nerovností a vlastnosti nerovníc, platí aj dokázateľná nerovnosť tvaru a n n. Napríklad vďaka tejto vlastnosti sú nerovnosti 3 7 7 a .

Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými kladnými základmi menšími ako jedna je tá, ktorej exponent je menší, väčšia; a z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna je tá, ktorej exponent je väčší, väčšia. Prejdime k dôkazu tejto vlastnosti.

Dokážme, že pre m>n a 0m n . Za týmto účelom zapíšeme rozdiel a m − a n a porovnáme ho s nulou. Zaznamenaný rozdiel po vybratí a n zo zátvoriek bude mať tvar a n ·(a m−n−1) . Výsledný súčin je záporný ako súčin kladného čísla a n a záporného čísla a m−n −1 (a n je kladné ako prirodzená mocnina kladného čísla a rozdiel a m−n −1 je záporný, pretože m−n >0 kvôli počiatočnej podmienke m>n, z čoho vyplýva, že keď 0m−n je menšie ako jedna). Preto a m −a n m n , čo bolo potrebné dokázať. Ako príklad uvádzame správnu nerovnosť.

Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 je výsledkom počiatočnej podmienky a pre a>1 je stupeň a m−n je väčšie ako jedna . V dôsledku toho a m −a n > 0 a a m > a n , čo bolo potrebné dokázať. Táto vlastnosť je znázornená nerovnosťou 3 7 > 3 2.

Vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi

Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.

Stupeň s celočíselným záporným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom sme definovali tak, že všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi, vyjadrené rovnosťami, zostali v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia pre nulové aj záporné exponenty, pričom základ mocnin sa samozrejme líši od nuly.

Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné: vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi:

• a m · a n = a m+n;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b)n=an·bn;
• (a:b)n=an:bn;
• (a m) n = a m. n;
• ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a n n a a -n >b -n;
• ak m a n sú celé čísla a m>n, potom pre 0m n a pre a>1 platí nerovnosť a m >a n.

Keď a=0, mocniny a m a a n dávajú zmysel iba vtedy, keď m aj n sú kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Dokázanie každej z týchto vlastností nie je ťažké, na to stačí použiť definície stupňov s prirodzenými a celočíselnými exponentmi, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že vlastnosť mocnina platí pre kladné aj záporné celé čísla. Aby ste to dosiahli, musíte ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p) −q =a p·(−q) a (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcom odseku dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0, potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0·q =a 0 =1, odkiaľ (a 0) q =a 0·q. Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p·0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p·0. Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0,0 = a 0 = 1, odkiaľ (a 0) 0 = a 0,0.

Teraz dokážeme, že (a −p) q =a (−p)·q . Podľa definície mocniny so záporným exponentom celého čísla . Vlastnosťou podielov k mocninám, ktoré máme . Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p·q), ktorú možno vzhľadom na pravidlá násobenia zapísať ako (−p)·q.

Podobne .

A .

Pomocou rovnakého princípu môžete dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.

V predposlednej zo zaznamenaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n, ktorý platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré je splnená podmienka a . Zapíšme si a transformujme rozdiel medzi ľavou a pravou stranou tejto nerovnosti: . Keďže podľa podmienky a n n , teda b n −a n >0 . Súčin a n · b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n −a n a a n ·b n . Preto a −n >b −n , čo bolo potrebné dokázať.

Posledná vlastnosť mocnín s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnako ako podobná vlastnosť mocnín s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi

Stupeň s zlomkovým exponentom sme definovali rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, mocniny so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako mocniny s celočíselnými exponentmi. menovite:

1. vlastnosť súčinu mocnín s rovnakými základmi pre a>0, a ak a, potom pre a>0;
2. vlastnosť kvocientových mocnín s rovnakými základmi pre a>0;
3. vlastnosť produktu na zlomkovú mocninu pre a>0 a b>0, a ak a, potom pre a>0 a (alebo) b>0;
4. vlastnosť kvocientu k zlomkovej mocnine pre a>0 a b>0, a ak , potom pre a>0 a b>0;
5. vlastnosť stupňa od stupňa pre a>0, a ak a, potom pre a>0;
6. vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi: pre ľubovoľné kladné čísla a a b platí a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p >b p ;
7. vlastnosť porovnávania mocnín s racionálnymi exponentmi a rovnakými základmi: pre racionálne čísla p a q, p>q pre 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q.

Dôkaz vlastností mocnín so zlomkovými exponentmi je založený na definícii mocniny s zlomkovým exponentom, na vlastnostiach aritmetického odmocniny n-tého stupňa a na vlastnostiach mocniny s celočíselným exponentom. Poskytnime dôkazy.

Podľa definície mocniny so zlomkovým exponentom a , potom . Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom máme , a ukazovateľ získaného stupňa možno transformovať takto: . Tým je dôkaz hotový.

Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje úplne podobným spôsobom:


Zostávajúce rovnosti sú dokázané pomocou podobných princípov:


Prejdime k dokazovaniu ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b, a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p >b p . Napíšme racionálne číslo p ako m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p 0 v tomto prípade budú ekvivalentné podmienkam m 0, resp. Pre m>0 a am m . Z tejto nerovnosti podľa vlastnosti koreňov máme, a keďže a a b sú kladné čísla, potom na základe definície stupňa s zlomkovým exponentom možno výslednú nerovnosť prepísať ako a p p .

Podobne pre m m >b m, odkiaľ, teda ap >bp.

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q. Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, aj keď dostaneme obyčajné zlomky a , kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienke p>q zodpovedať podmienka m 1 >m 2, ktorá vyplýva z pravidla pre porovnávanie obyčajných zlomkov s rovnakými menovateľmi. Potom vlastnosťou porovnania stupňov s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pre 0m 1 m 2 a pre a> 1 nerovnosť a m 1 > a m 2. Tieto nerovnosti vo vlastnostiach koreňov možno podľa toho prepísať ako A . A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam a podľa toho. Odtiaľto vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q .

Vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi

Zo spôsobu, akým je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre akékoľvek a>0, b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi:

1. ap·aq=ap+q;
2. a p:a q =a p-q;
3. (a.b)p=ap.bp;
4. (a:b)p=ap:bp;
5. (ap)q=ap-q;
6. pre všetky kladné čísla a a b, a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p >b p ;
7. pre iracionálne čísla p a q, p>q pre 0p q a pre a>0 – nerovnosť a p >a q.

Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.

• Algebra - 10. ročník. Goniometrické rovnice Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc" Ďalšie materiály Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály […]
• Vyhlásená je súťaž na pozíciu „PREDAJCA – KONZULTANT“: Náplň práce: predaj mobilných telefónov a príslušenstva k mobilnej komunikačnej službe pre účastníkov Beeline, Tele2, MTS pripojenie tarifných plánov a služieb Beeline a Tele2, poradenstvo MTS […]
• Rovnobežník vzorca A je mnohosten so 6 stranami, z ktorých každá je rovnobežník. Kváder je kváder, ktorého každá plocha je obdĺžnik. Každý rovnobežnosten sa vyznačuje 3 […]
• Spoločnosť na ochranu práv spotrebiteľov Astana Ak chcete získať PIN kód pre prístup k tomuto dokumentu na našej webovej stránke, pošlite SMS správu s textom zan na číslo Predplatitelia GSM operátorov (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) odoslaním SMS na číslo, […]
• PRAVOPIS Н A НН V RÔZNYCH ČASŤÁCH REČI 2. Vymenujte výnimky z týchto pravidiel. 3. Ako rozlíšiť slovesné prídavné meno s príponou -n- od príčastia s […]
• Prijať zákon o rodinných domoch Prijať federálny zákon o bezodplatnom pridelení pozemku každému ochotnému občanovi Ruskej federácie alebo rodine občanov na výstavbu rodinného majetku na ňom za týchto podmienok: 1. Pozemok je pridelené na […]
• KONTROLA GOSTEKHNADZOR BRYANSKÉHO KRAJA Potvrdenie o zaplatení štátnej dane (Stiahnuť-12,2 kb) Žiadosti o registráciu pre fyzické osoby (Stiahnuť-12 kb) Žiadosti o registráciu pre právnické osoby (Stiahnuť-11,4 kb) 1. Pri registrácii nového vozidla: 1.žiadosť 2.pas […]
• Už je to nejaký čas, čo sme hrali turnaje 1v1. A pravdepodobne je čas obnoviť túto tradíciu. Aj keď nemôžeme organizovať samostatný rebríček a turnaje pre hráčov 1v1, odporúčame vám použiť profily vášho tímu na stránke. Body za hry v zápasoch je možné odoberať alebo pridávať [...]

Už sme hovorili o tom, čo je mocnina čísla. Má určité vlastnosti, ktoré sú užitočné pri riešení problémov: v tomto článku ich a všetky možné exponenty analyzujeme. Na príkladoch si tiež názorne ukážeme, ako sa dajú dokázať a správne aplikovať v praxi.

Pripomeňme si skôr formulovaný pojem stupňa s prirodzeným exponentom: ide o súčin n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Budeme si tiež musieť zapamätať, ako správne násobiť reálne čísla. To všetko nám pomôže sformulovať nasledujúce vlastnosti pre stupeň s prirodzeným indikátorom:

Definícia 1

1. Hlavná vlastnosť stupňa: a m · a n = a m + n

Možno zovšeobecniť na: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Vlastnosť kvocientu pre stupne s rovnakými základmi: a m: a n = a m − n

3. Výkonová vlastnosť produktu: (a · b) n = a n · b n

Rovnosť možno rozšíriť na: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Vlastnosť kvocientu k prirodzenému stupňu: (a: b) n = a n: b n

5. Zvýšte výkon na mocninu: (a m) n = a m n ,

Možno zovšeobecniť na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Porovnajte stupeň s nulou:

• ak a > 0, potom pre ľubovoľné prirodzené číslo n bude a n väčšie ako nula;
• s rovným 0 sa a n bude tiež rovnať nule;
• v a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• v a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Rovnosť a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Nerovnosť a m > a n bude pravdivá za predpokladu, že m a n sú prirodzené čísla, m je väčšie ako n a a je väčšie ako nula a nie menšie ako jedna.

V dôsledku toho sme dostali niekoľko rovností; ak sú splnené všetky vyššie uvedené podmienky, budú totožné. Pre každú z rovnosti, napríklad pre hlavnú vlastnosť, môžete zameniť pravú a ľavú časť: a m · a n = a m + n - to isté ako a m + n = a m · a n . V tejto forme sa často používa na zjednodušenie výrazov.

1. Začnime hlavnou vlastnosťou stupňa: rovnosť a m · a n = a m + n bude platiť pre akékoľvek prirodzené m a n a skutočné a . Ako toto tvrdenie dokázať?

Základná definícia mocnín s prirodzenými exponentmi nám umožní previesť rovnosť na súčin faktorov. Dostaneme takýto záznam:

Toto sa dá skrátiť na (zapamätajte si základné vlastnosti násobenia). Vo výsledku sme dostali mocninu čísla a s prirodzeným exponentom m + n. Teda a m + n, čo znamená, že hlavná vlastnosť stupňa bola dokázaná.

Pozrime sa na konkrétny príklad, ktorý to potvrdzuje.

Príklad 1

Takže máme dve mocniny so základom 2. Ich prirodzené ukazovatele sú 2 a 3. Dostali sme rovnosť: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Vypočítajme hodnoty, aby sme skontrolovali správnosť tejto rovnosti.

Vykonajte potrebné matematické operácie: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 a 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Výsledkom je: 2 2 · 2 3 = 2 5. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Vďaka vlastnostiam násobenia môžeme vlastnosť zovšeobecniť tak, že ju sformulujeme vo forme troch alebo viacerých mocnín, v ktorých sú exponenty prirodzené čísla a základy sú rovnaké. Ak počet prirodzených čísel n 1, n 2 atď. označíme písmenom k, dostaneme správnu rovnosť:

a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k .

Príklad 2

2. Ďalej musíme dokázať nasledujúcu vlastnosť, ktorá sa nazýva kvocientová vlastnosť a je vlastná mocninám s rovnakými základmi: toto je rovnosť a m: a n = a m − n, ktorá platí pre ľubovoľné prirodzené ma n (a m je väčšie ako n)) a akékoľvek nenulové skutočné a .

Na začiatok si ujasnime, čo presne znamenajú podmienky, ktoré sú uvedené vo formulácii. Ak vezmeme a rovná sa nule, skončíme delením nulou, čo nemôžeme urobiť (napokon, 0 n = 0). Podmienka, že číslo m musí byť väčšie ako n, je nevyhnutná, aby sme zostali v medziach prirodzených exponentov: odčítaním n od m dostaneme prirodzené číslo. Ak podmienka nie je splnená, skončíme so záporným číslom alebo nulou a opäť pôjdeme nad rámec štúdia stupňov s prirodzenými exponentmi.

Teraz môžeme prejsť k dôkazu. Z toho, čo sme predtým študovali, si pripomeňme základné vlastnosti zlomkov a formulujme rovnosť takto:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Z toho môžeme odvodiť: a m − n · a n = a m

Pripomeňme si súvislosť medzi delením a násobením. Z neho vyplýva, že a m − n je podiel mocnín a m a a n . Toto je dôkaz druhej vlastnosti stupňa.

Príklad 3

Pre prehľadnosť dosaďte do exponentov konkrétne čísla a označme základ stupňa ako π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Ďalej budeme analyzovať vlastnosť stupňa súčinu: (a · b) n = a n · b n pre ľubovoľné reálne a a b a prirodzené n .

Podľa základnej definície stupňa s prirodzeným exponentom môžeme rovnosť preformulovať takto:

Pripomínajúc si vlastnosti násobenia, píšeme: . To znamená to isté ako a n · b n .

Príklad 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Ak máme tri a viac faktorov, tak táto vlastnosť platí aj pre tento prípad. Zavedme označenie k pre počet faktorov a napíšme:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n

Príklad 5

S konkrétnymi číslami dostaneme nasledujúcu správnu rovnosť: (2 (- 2, 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2, 3) 7 a

4. Potom sa pokúsime dokázať vlastnosť kvocientu: (a: b) n = a n: b n pre ľubovoľné reálne a a b, ak b sa nerovná 0 a n je prirodzené číslo.

Aby ste to dokázali, môžete použiť predchádzajúcu vlastnosť stupňov. Ak (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n, a (a: b) n b n = a n , potom z toho vyplýva, že (a: b) n je podiel delenia a n b n.

Príklad 6

Vypočítajme príklad: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Príklad 7

Začnime hneď príkladom: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

A teraz sformulujeme reťazec rovnosti, ktorý nám dokáže správnosť rovnosti:

Ak máme v príklade stupne stupňov, potom táto vlastnosť platí aj pre nich. Ak máme nejaké prirodzené čísla p, q, r, s, potom to bude pravda:

a p q y s = a p q y s

Príklad 8

Pridajme niektoré špecifiká: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Ďalšou vlastnosťou mocnín s prirodzeným exponentom, ktorú potrebujeme dokázať, je vlastnosť porovnávania.

Najprv porovnajme stupeň s nulou. Prečo je a n > 0 za predpokladu, že a je väčšie ako 0?

Ak vynásobíme jedno kladné číslo druhým, dostaneme aj kladné číslo. Keď poznáme túto skutočnosť, môžeme povedať, že nezávisí od počtu faktorov - výsledkom vynásobenia ľubovoľného počtu kladných čísel je kladné číslo. Aký je stupeň, ak nie výsledok násobenia čísel? Potom to bude platiť pre akúkoľvek mocninu a n s kladným základom a prirodzeným exponentom.

Príklad 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 a 34 9 13 51 > 0

Je tiež zrejmé, že mocnina so základom rovným nule je sama osebe nula. Bez ohľadu na to, na akú silu zvýšime nulu, zostane nula.

Príklad 10

03 = 0 a 0,62 = 0

Ak je základom stupňa záporné číslo, potom je dôkaz o niečo komplikovanejší, pretože pojem párny/nepárny exponent sa stáva dôležitým. Zoberme si najprv prípad, keď je exponent párny, a označme ho 2 · m, kde m je prirodzené číslo.

Pripomeňme si, ako správne vynásobiť záporné čísla: súčin a · a sa rovná súčinu modulov, a preto to bude kladné číslo. Potom a stupeň a 2 m sú tiež pozitívne.

Príklad 11

Napríklad (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 a - 2 9 6 > 0

Čo ak je exponent so záporným základom nepárne číslo? Označme to 2 · m − 1 .

Potom

Všetky súčiny a · a sú podľa vlastností násobenia kladné a ich súčin tiež. Ak ho však vynásobíme jediným zostávajúcim číslom a, konečný výsledok bude záporný.

Potom dostaneme: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Ako to dokázať?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Príklad 12

Napríklad sú pravdivé nasledujúce nerovnosti: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Zostáva nám dokázať poslednú vlastnosť: ak máme dva stupne, ktorých základy sú rovnaké a kladné a exponenty sú prirodzené čísla, potom ten z nich je väčší, ktorého exponent je menší; a dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna, stupeň je väčší, ktorého ukazovateľ je väčší.

Dokážme tieto tvrdenia.

Najprv sa musíme uistiť, že m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Zo zátvoriek vyberme a n, po ktorom bude náš rozdiel mať tvar a n · (a m − n − 1) . Jeho výsledok bude záporný (pretože výsledok vynásobenia kladného čísla záporným číslom je záporný). Podľa počiatočných podmienok je m − n > 0, potom a m − n − 1 záporné a prvý faktor je kladný, ako každá prírodná sila s kladnou bázou.

Ukázalo sa, že a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Zostáva dokázať druhú časť vyššie formulovaného tvrdenia: a m > a platí pre m > n a a > 1 . Označme rozdiel a zo zátvoriek dáme a n: (a m − n − 1) Mocnina a n pre väčšie ako jedna dáva kladný výsledok; a samotný rozdiel sa tiež ukáže ako kladný v dôsledku počiatočných podmienok a pre a > 1 je stupeň a m − n väčší ako jedna. Ukazuje sa, že a m − a n > 0 a a m > a n , čo sme potrebovali dokázať.

Príklad 13

Príklad s konkrétnymi číslami: 3 7 > 3 2

Základné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi

Pre mocniny s kladnými celočíselnými exponentmi budú vlastnosti podobné, pretože kladné celé čísla sú prirodzené čísla, čo znamená, že všetky vyššie dokázané rovnosti platia aj pre ne. Sú vhodné aj pre prípady, keď sú exponenty záporné alebo rovné nule (za predpokladu, že samotný základ stupňa je nenulový).

Vlastnosti mocnin sú teda rovnaké pre všetky bázy a a b (za predpokladu, že tieto čísla sú reálne a nerovnajú sa 0) a pre všetky exponenty m a n (za predpokladu, že ide o celé čísla). Napíšme ich stručne vo forme vzorcov:

Definícia 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n je predmetom kladného celého čísla n, kladné aab, a< b

7:00< a n , при условии целых m и n , m >n a 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ak je základ stupňa nula, potom položky a m a a n majú zmysel iba v prípade prirodzeného a kladného m a n. Výsledkom je, že vyššie uvedené formulácie sú vhodné aj pre prípady s mocnosťou s nulovým základom, ak sú splnené všetky ostatné podmienky.

Dôkazy týchto vlastností sú v tomto prípade jednoduché. Budeme si musieť zapamätať, čo je stupeň s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami.

Pozrime sa na vlastnosť power-to-power a dokážme, že platí pre kladné aj záporné celé čísla. Začnime dôkazom rovnosti (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) a (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Podmienky: p = 0 alebo prirodzené číslo; q – podobné.

Ak sú hodnoty p a q väčšie ako 0, potom dostaneme (a p) q = a p · q. Podobnú rovnosť sme už dokázali. Ak p = 0, potom:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Preto (a 0) q = a 0 q

Pre q = 0 je všetko úplne rovnaké:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Výsledok: (a p) 0 = a p · 0 .

Ak sú oba ukazovatele nula, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 · 0 = a 0 = 1, čo znamená (a 0) 0 = a 0 · 0.

Pripomeňme si vlastnosť kvocientov do vyššie dokázanej miery a napíšme:

1 a p q = 1 q a p q

Ak 1 p = 1 1 … 1 = 1 a a p q = a p q, potom 1 q a p q = 1 a p q

Tento zápis môžeme transformovať na základe základných pravidiel násobenia na a (− p) · q.

Tiež: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

A (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Zostávajúce vlastnosti stupňa sa dajú dokázať podobným spôsobom transformáciou existujúcich nerovností. Nebudeme sa tým podrobne zaoberať, poukážeme len na zložité body.

Dôkaz predposlednej vlastnosti: pripomeňme, že a − n > b − n platí pre všetky záporné celočíselné hodnoty n a akékoľvek kladné hodnoty a a b za predpokladu, že a je menšie ako b .

Potom možno nerovnosť transformovať takto:

1 a n > 1 b n

Pravú a ľavú časť napíšeme ako rozdiel a vykonáme potrebné transformácie:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Pripomeňme, že v podmienke a je menšie ako b , potom podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n je nakoniec kladné číslo, pretože jeho faktory sú kladné. Výsledkom je zlomok b n - a n a n · b n , ktorý nakoniec tiež dáva kladný výsledok. Preto 1 a n > 1 b n, odkiaľ a − n > b − n , čo sme potrebovali dokázať.

Posledná vlastnosť stupňov s celočíselnými exponentmi sa dokazuje podobne ako vlastnosť stupňov s prirodzenými exponentmi.

Základné vlastnosti mocnín s racionálnymi exponentmi

V predchádzajúcich článkoch sme rozoberali, čo je to stupeň s racionálnym (zlomkovým) exponentom. Ich vlastnosti sú rovnaké ako u stupňov s celočíselnými exponentmi. Zapíšme si:

Definícia 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pre a > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 (stupne vlastností produktu s rovnakými základmi).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ak a > 0 (vlastnosť kvocientu).

3. a b m n = a m n b m n pre a > 0 a b > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 a (alebo) b ≥ 0 (vlastnosť produktu v zlomkovej miere).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n pre a > 0 a b > 0, a ak m n > 0, potom pre a ≥ 0 a b > 0 (vlastnosť podielu k zlomkovej mocnine).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d 1 n 1 m 2 n 2 pre a > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 (vlastnosť stupňa v stupne).

6.a str< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ak p< 0 - a p >b p (vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi).

7.a str< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pri 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Aby sme dokázali tieto ustanovenia, musíme si zapamätať, čo je stupeň so zlomkovým exponentom, aké sú vlastnosti aritmetického koreňa n-tého stupňa a aké sú vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom. Pozrime sa na každú nehnuteľnosť.

Podľa toho, aký je stupeň so zlomkovým exponentom, dostaneme:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 a a m 2 n 2 = a m 2 n 2, teda a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Vlastnosti koreňa nám umožnia odvodiť rovnosti:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Z toho dostaneme: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Poďme sa transformovať:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Exponent môže byť napísaný ako:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Toto je dôkaz. Druhá vlastnosť sa dokazuje úplne rovnakým spôsobom. Napíšme reťazec rovnosti:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 - m 2 n 2

Dôkazy o zostávajúcej rovnosti:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) mn = (a: b) mn = am: bmn = = amn: bmn = amn: bmn; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = m = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Ďalšia vlastnosť: dokážme, že pre všetky hodnoty a a b väčšie ako 0, ak a je menšie ako b, bude splnené a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Reprezentujme racionálne číslo p ako m n. V tomto prípade m je celé číslo, n je prirodzené číslo. Potom podmienky p< 0 и p >0 sa rozšíri na m< 0 и m >0 Pre m > 0 a a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Využívame vlastnosť koreňov a výstup: a m n< b m n

Berúc do úvahy kladné hodnoty a a b, prepíšeme nerovnosť ako a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Rovnakým spôsobom pre m< 0 имеем a a m >b m , dostaneme a m n > b m n , čo znamená a m n > b m n a a p > b p .

Zostáva nám predložiť doklad o poslednej nehnuteľnosti. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p > q pri 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 bude pravdivé a p > a q .

Racionálne čísla p a q možno zredukovať na spoločného menovateľa a získať zlomky m 1 n a m 2 n

Tu m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. Ak p > q, potom m 1 > m 2 (berúc do úvahy pravidlo pre porovnávanie zlomkov). Potom o 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nerovnosť a 1 m > a 2 m.

Môžu byť prepísané takto:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Potom môžete vykonávať transformácie a skončiť s:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Aby sme to zhrnuli: pre p > q a 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Základné vlastnosti mocnín s iracionálnymi exponentmi

Všetky vlastnosti opísané vyššie, ktoré má stupeň s racionálnymi exponentmi, môžu byť rozšírené do takej miery. Vyplýva to už z jeho samotnej definície, ktorú sme uviedli v jednom z predchádzajúcich článkov. Stručne sformulujme tieto vlastnosti (podmienky: a > 0 , b > 0 , ukazovatele p a q sú iracionálne čísla):

Definícia 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a str< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a str< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, potom a p > a q.

Teda všetky mocniny, ktorých exponenty p a q sú reálne čísla, za predpokladu, že a > 0, majú rovnaké vlastnosti.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa zastavíme pri množstve transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, dávať podobné pojmy, pracovať so základom a exponentom, používať vlastnosti stupňov.

Čo sú to mocenské prejavy?

V školskom kurze len málo ľudí používa frázu „silové výrazy“, ale tento výraz sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme odrážať v našej definícii.

Definícia 1

Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje stupne.

Uvádzame niekoľko príkladov mocninných výrazov, počnúc stupňom s prirodzeným exponentom a končiac stupňom so skutočným exponentom.

Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. A tiež mocniny s nulovým exponentom: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. A mocniny so zápornými celočíselnými mocninami: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikátorom môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz ich začneme konvertovať.

Hlavné typy transformácií mocninných výrazov

Najprv sa pozrieme na základné transformácie identity výrazov, ktoré je možné vykonať pomocou mocenských výrazov.

Príklad 1

Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 (4 2 − 12).

Riešenie

Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel dvoch čísel. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Jediné, čo musíme urobiť, je nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 84 = 32. Tu je naša odpoveď.

odpoveď: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Príklad 2

Zjednodušte výraz pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Riešenie

Výraz, ktorý sme dostali v probléme, obsahuje podobné výrazy, ktoré môžeme dať: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odpoveď: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Príklad 3

Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.

Riešenie

Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odpoveď: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Teraz prejdime k analýze transformácií identity, ktoré možno aplikovať konkrétne na mocenské výrazy.

Práca so základom a exponentom

Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 A . Práca s takýmito záznamami je náročná. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.

Transformácie stupňa a exponentu sa vykonávajú podľa nám známych pravidiel oddelene od seba. Najdôležitejšie je, aby výsledkom transformácie bol výraz identický s pôvodným.

Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 môžete postupovať podľa krokov a prejsť na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné pojmy ako základ mocniny (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) a získať mocenské vyjadrenie jednoduchšej formy a 2 (x + 1).

Používanie vlastností stupňa

Vlastnosti mocnin, zapísané vo forme rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov s mocninami. Uvádzame tu hlavné, berúc do úvahy to a A b sú nejaké kladné čísla a r A s- ľubovoľné reálne čísla:

Definícia 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = ar · br;
• (a: b) r = a r: br;
• (a r) s = a r · s .

V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m · a n = a m + n, Kde m A n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.

Vlastnosti mocnin možno použiť bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy mocničiek kladné alebo obsahujú premenné, ktorých rozsah prípustných hodnôt je taký, že na nich základy nadobúdajú iba kladné hodnoty. V školských osnovách matematiky je v skutočnosti úlohou žiaka vybrať vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.

Pri príprave na vstup na vysoké školy sa môžete stretnúť s problémami, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu DL a iným ťažkostiam pri riešení. V tejto časti preskúmame iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme „Prevod výrazov pomocou vlastností mocnin“.

Príklad 4

Predstavte si ten výraz a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 vo forme moci so základom a.

Riešenie

Najprv použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Potom použijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakým základom:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.

odpoveď: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformáciu mocenských prejavov podľa vlastnosti mocnin je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.

Príklad 5

Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Riešenie

Ak uplatníme rovnosť (a · b) r = a r · b r, sprava doľava, dostaneme súčin tvaru 3 · 7 1 3 · 21 2 3 a potom 21 1 3 · 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sčítajme exponenty: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Príklad 6

Daný mocenský výraz a 1, 5 − a 0, 5 − 6, zadajte novú premennú t = a 0,5.

Riešenie

Predstavme si stupeň a 1, 5 Ako a 0,5 3. Použitie vlastnosti stupňov na stupne (a r) s = a r · s sprava doľava a dostaneme (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Do výsledného výrazu môžete jednoducho vložiť novú premennú t = a 0,5: dostaneme t 3 − t − 6.

odpoveď: t 3 − t − 6 .

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Väčšinou sa zaoberáme dvoma verziami mocninných výrazov so zlomkami: výraz predstavuje zlomok s mocninou alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky základné transformácie zlomkov sú na takéto výrazy použiteľné bez obmedzení. Možno ich zmenšiť, preniesť na nového menovateľa alebo pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.

Príklad 7

Zjednodušte vyjadrenie moci 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Riešenie

Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, umiestnite pred zlomok znamienko mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Je potrebné vybrať dodatočný faktor tak, aby neklesol na nulu pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad 8

Zlomky zredukujte na nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 na menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 na menovateľ x + 8 · y 1 2 .

Riešenie

a) Vyberme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, preto budeme brať ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. V tejto oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.

Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Venujte pozornosť menovateľovi:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Tento výraz vynásobíme x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.

Našli sme teda ďalší faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . V rozsahu prijateľných hodnôt premenných X A r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Príklad 9

Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Riešenie

a) Používame najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý môžeme čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15 . Môžeme aj znížiť x0,5+1 a na x + 2 x 113-53.

Dostaneme:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Medzi základné operácie so zlomkami patrí prevod zlomkov na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa najprv zlomky zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú operácie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.

Príklad 10

Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Riešenie

Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odčítajme čitateľa:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz vynásobíme zlomky:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Znížime o mocninu x 12, dostaneme 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Okrem toho môžete výraz mocniny v menovateli zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Príklad 11

Zjednodušte mocninné vyjadrenie x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Riešenie

Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Pokračujme v transformácii mocnín x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Prejdeme od posledného produktu k zlomku x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a späť, pričom sa zmení znamienko exponentu. Táto akcia vám umožní zjednodušiť ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 možno nahradiť x 3 · (x + 1) 0, 2.

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

V úlohách sa vyskytujú mocniny, ktoré obsahujú nielen mocniny so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Takéto výrazy je vhodné zredukovať len na odmocniny alebo len na mocniny. Ísť na tituly je vhodnejšie, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Tento prechod je obzvlášť výhodný, keď vám ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez potreby prístupu k modulu alebo rozdelenia ODZ do niekoľkých intervalov.

Príklad 12

Vyjadrite výraz x 1 9 · x · x 3 6 ako mocninu.

Riešenie

Rozsah prípustných premenných hodnôt X je definovaná dvomi nerovnosťami x ≥ 0 a x x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .

V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Pomocou vlastností mocnin výsledné mocninné vyjadrenie zjednodušíme.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odpoveď: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Prevod mocnin s premennými v exponente

Tieto transformácie sa dajú celkom ľahko urobiť, ak správne použijete vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Môžeme nahradiť súčinom mocnín, ktorých exponenty sú súčtom nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom ľavej strany výrazu:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teraz vydeľme obe strany rovnosti 7 2 x. Tento výraz pre premennú x nadobúda iba kladné hodnoty:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zredukujeme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Nakoniec sa pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradí mocninami pomerov, výsledkom čoho je rovnica 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x -2 = 0.

Zaveďme novú premennú t = 5 7 x, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Prevod výrazov s mocninami a logaritmami

V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príkladom takýchto výrazov je: 1 4 1 - 5 · log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne rozobrali v téme „Transformácia logaritmických výrazov“.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V minulej video lekcii sme sa naučili, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý predstavuje súčin samotného základu, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Predstavme si túto prácu celú:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braného 5-krát. A naozaj, ak to spočítate, potom:

Môžeme teda s istotou konštatovať, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia mocniny vyplýva z pravidla, že význam výrazov sa pri transformáciách v súčine zachováva. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a)x a (a)y rovná a(x + y). Inými slovami, keď sa vytvoria akékoľvek výrazy s rovnakým základom, výsledný jednočlen má celkový stupeň vytvorený sčítaním stupňov prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby mali všetci rovnaké základy. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek spoločné akcie založené na moci s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín v produkte dokonale prenášajú do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Transformujme výraz výraz po výraze do jeho plnej podoby a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už v procese jeho riešenia je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné od stupňa dividendy odpočítať stupeň deliteľa. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. Vo forme abstrakcie máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Z pravidla delenia rovnakých základov stupňami vyplýva definícia pre nultý stupeň. Je zrejmé, že nasledujúci výraz vyzerá takto:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Na druhej strane, ak delenie urobíme viac vizuálnym spôsobom, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Bolo by však absurdné, ak by 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) sa nejakým spôsobom rovná jednej, takže vyjadrenie tvaru (0) 0 (nula na nulovú mocninu) jednoducho nedáva zmysel a vzorec ( a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.

Poďme vyriešiť cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: výraz sa rovná jednej.

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. Mocniny s racionálnymi exponentmi a ich vlastnosti budú rozoberané na hodinách pre 8. ročník.

Mocnina s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré nám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s mocninami.

Nehnuteľnosť č.1
Súčin síl

Pamätajte!

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a mocniny sa sčítavajú.

a m · a n = a m + n, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín platí aj pre súčin troch a viacerých mocnín.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte ako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte ako diplom.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Dôležité!

Upozorňujeme, že v označenej vlastnosti sme hovorili iba o násobení síl s z rovnakých dôvodov . Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č.2
Čiastočné stupne

Pamätajte!

Pri delení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame vlastnosť kvocientových mocnín.
38: t = 34

T = 3 8 − 4

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

• Príklad. Zjednodušte výraz.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností exponentov.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Dôležité!

  Upozorňujeme, že v Property 2 sme hovorili iba o delení právomocí s rovnakými základmi.

  Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak počítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4

  Buď opatrný!

  Nehnuteľnosť č.3
  Zvýšenie stupňa na moc

  Pamätajte!

  Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ stupňa nezmenený a exponenty sa násobia.

  (a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

  
  

  Vlastnosti 4
  Výkon produktu

  Pamätajte!

  Pri zvyšovaní výkonu produktu sa zvyšuje každý z faktorov. Získané výsledky sa potom vynásobia.

  (a b) n = a n b n, kde „a“, „b“ sú akékoľvek racionálne čísla; "n" je ľubovoľné prirodzené číslo.

  • Príklad 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Príklad 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Dôležité!

  Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.

  (a n · b n) = (a · b) n

  To znamená, že ak chcete násobiť mocniny s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy, ale exponent ponechajte nezmenený.

  • Príklad. Vypočítajte.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Príklad. Vypočítajte.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať nad mocninami s rôznymi základňami a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.

  Napríklad, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Príklad zvýšenia desatinnej čiarky na mocninu.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Vlastnosti 5
  Mocnina kvocientu (zlomok)

  Pamätajte!

  Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.

  (a: b) n = a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.

  • Príklad. Prezentujte výraz ako podiel mocnin.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.