다양한 기준으로 힘을 곱하는 규칙. 학위 - 속성, 규칙, 행동 및 공식 기본 추가가 동일한 힘의 속성
힘의 덧셈과 뺄셈
분명히 거듭제곱이 있는 숫자는 다른 수량처럼 추가될 수 있습니다. , 기호와 함께 하나씩 추가하여.
따라서 a 3 과 b 2 의 합은 a 3 + b 2 입니다.
a 3 - b n과 h 5 -d 4의 합은 a 3 - b n + h 5 - d 4입니다.
승산 동일한 변수의 동일한 거듭제곱더하거나 뺄 수 있습니다.
따라서 2a 2 와 3a 2 의 합은 5a 2 입니다.
두 개의 정사각형 a, 세 개의 정사각형 a 또는 다섯 개의 정사각형 a를 취하는 것도 분명합니다.
하지만 학위 다양한 변수그리고 다양한 학위 동일한 변수, 기호에 추가하여 추가해야 합니다.
따라서 a 2와 a 3의 합은 a 2 + a 3 의 합입니다.
a의 제곱과 a의 세제곱은 a의 제곱의 두 배가 아니라 a의 세제곱의 두 배라는 것이 분명합니다.
a 3 b n 과 3a 5 b 6 의 합은 a 3 b n + 3a 5 b 6 입니다.
빼기거듭제곱은 덧셈과 동일한 방식으로 수행됩니다. 단, 감수의 부호는 이에 따라 변경되어야 합니다.
또는:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
거듭제곱
거듭제곱이 있는 숫자는 곱셈 기호를 사용하거나 사용하지 않고 하나씩 쓰면 다른 수량처럼 곱할 수 있습니다.
따라서 a 3에 b 2를 곱한 결과는 a 3 b 2 또는 aaabb입니다.
또는:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2b 3 y 2 a 3 b 2 y
마지막 예의 결과는 동일한 변수를 추가하여 정렬할 수 있습니다.
표현식은 a 5 b 5 y 3 형식을 취합니다.
여러 숫자(변수)를 거듭제곱과 비교하면 그 중 두 개를 곱하면 결과는 다음과 같은 거듭제곱을 갖는 숫자(변수)가 된다는 것을 알 수 있습니다. 합집합용어의 정도.
따라서 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 입니다.
여기서 5는 곱셈 결과의 거듭제곱으로, 항의 거듭제곱의 합인 2 + 3과 같습니다.
따라서 a n .am = a m+n 입니다.
n의 경우, a는 n의 거듭제곱만큼 인수로 사용됩니다.
그리고 a m 은 m 차수만큼 인수로 취해진다.
그렇기 때문에, 동일한 밑수를 가진 거듭제곱은 지수를 추가하여 곱할 수 있습니다.
따라서 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 입니다. 그리고 x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
또는:
4an ⋅ 2an = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)를 곱합니다.
답: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)을 곱합니다.
이 규칙은 지수가 −인 숫자에도 적용됩니다. 부정적인.
1. 따라서 a -2 .a -3 = a -5 입니다. 이는 (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa로 쓸 수 있습니다.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .am = a m-n .
a + b에 a - b를 곱하면 결과는 a 2 - b 2가 됩니다.
두 숫자의 합이나 차이를 곱한 결과는 두 숫자의 제곱의 합이나 차이와 같습니다.
두 숫자의 합과 차이를 다음과 같이 올리면 정사각형, 결과는 다음 숫자의 합 또는 차이와 같습니다. 네번째도.
따라서 (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 입니다.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
권한분할
거듭제곱이 있는 숫자는 제수에서 빼거나 분수 형태로 배치하여 다른 숫자처럼 나눌 수 있습니다.
따라서 a 3b 2 나누기 b 2 는 a 3 입니다.
5를 3으로 나눈 값은 $\frac처럼 보입니다. $. 그러나 이것은 2 와 같습니다. 일련의 숫자에서
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
모든 숫자는 다른 숫자로 나눌 수 있으며 지수는 다음과 같습니다. 차이점나눌 수 있는 숫자의 표시기.
동일한 밑수로 거듭제곱을 나눌 때 해당 지수가 뺍니다..
따라서 y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 입니다. 즉, $\frac = y$입니다.
그리고 n+1:a = a n+1-1 = a n 입니다. 즉, $\frac = a^n$입니다.
또는:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
이 규칙은 다음과 같은 숫자에도 유효합니다. 부정적인학위 값.
-5를 -3으로 나눈 결과는 -2입니다.
또한, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 또는 $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
이러한 연산은 대수학에서 매우 널리 사용되기 때문에 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈을 잘 익힐 필요가 있습니다.
거듭제곱이 있는 숫자를 포함하는 분수로 예제를 푸는 예
1. $\frac $에서 지수를 줄입니다. 답: $\frac $.
2. $\frac$의 지수를 줄입니다. 답: $\frac $ 또는 2x.
3. 지수 a 2 / a 3 및 a -3 / a -4를 줄이고 공통 분모로 가져옵니다.
a 2 .a -4는 -2의 첫 번째 분자입니다.
a 3 .a -3은 a 0 = 1, 두 번째 분자입니다.
a 3 .a -4 는 공통분자인 -1 입니다.
단순화 후: a -2 /a -1 및 1/a -1 .
4. 지수 2a 4 /5a 3 및 2 /a 4를 줄여 공통 분모로 가져옵니다.
답: 2a 3 / 5a 7 및 5a 5 / 5a 7 또는 2a 3 / 5a 2 및 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4에 (a - b)/3을 곱합니다.
6. (a 5 + 1)/x 2에 (b 2 - 1)/(x + a)를 곱합니다.
7. b 4 /a -2 에 h -3 /x 및 a n /y -3 을 곱합니다.
8. 4 /y 3 을 3 /y 2 로 나눕니다. 답: a/y.
학위 속성
이번 강의에서 우리는 학위 속성자연 지표와 0이 있습니다. 합리적인 지표를 갖춘 학위와 그 속성은 8학년 수업에서 논의됩니다.
자연 지수가 있는 지수에는 지수 예제에서 계산을 단순화할 수 있는 몇 가지 중요한 속성이 있습니다.
속성 #1
권력의 산물
동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하면 밑수는 변경되지 않고 지수가 더해집니다.
a m a n \u003d a m + n, 여기서 "a"는 임의의 숫자이고 "m", "n"은 자연수입니다.
이러한 거듭제곱의 속성은 세 개 이상의 거듭제곱의 곱에도 영향을 미칩니다.
- 표현을 단순화하세요.
ㄴ 2 ㄴ 3 ㄴ 4 ㄴ 5 = ㄴ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ㄴ 15 - 학위로 제시하세요.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - 학위로 제시하세요.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - 몫을 거듭제곱으로 쓰세요
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - 계산하다.
표시된 속성에서는 동일한 기준으로 거듭제곱을 곱하는 것에 대해서만 설명했습니다.. 추가에는 적용되지 않습니다.
합 (3 3 + 3 2)을 3 5 로 바꿀 수 없습니다. 이것은 이해할 수 있습니다
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 및 3 5 = 243을 계산합니다.
속성 #2
사립 학위
동일한 밑수로 거듭제곱을 나누는 경우 밑수는 변경되지 않고 그대로 유지되며 피제수 지수에서 제수의 지수를 뺍니다.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
예. 방정식을 풀어보세요. 우리는 부분 학위의 속성을 사용합니다.
3 8: 티 = 3 4
답: t = 3 4 = 81
속성 1번과 2번을 사용하면 표현식을 쉽게 단순화하고 계산을 수행할 수 있습니다.
예. 표현을 단순화하세요.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
예. 학위 속성을 사용하여 표현식의 값을 찾습니다.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
속성 2는 동일한 기반을 가진 권력 분할만을 다루었습니다.
차이(4 3 −4 2)를 4 1 로 바꿀 수 없습니다. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, 4 1 = 4를 계산하면 이해할 수 있습니다.
속성 #3
지수화
거듭제곱을 거듭제곱할 때 거듭제곱의 밑수는 변하지 않고 지수는 곱해집니다.
(an) m \u003d a n m, 여기서 "a"는 임의의 숫자이고 "m", "n"은 자연수입니다.
몫은 분수로 표현될 수 있다는 점을 상기시켜 드립니다. 따라서 다음 페이지에서 분수를 거듭제곱하는 주제에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.
힘을 곱하는 방법
힘을 곱하는 방법? 어떤 힘은 증폭될 수 있고 어떤 힘은 증폭될 수 없습니까? 숫자에 거듭제곱을 어떻게 곱하나요?
대수학에서는 두 가지 경우에 거듭제곱의 곱을 찾을 수 있습니다.
1) 학위의 근거가 동일한 경우
2) 학위의 지표가 동일한 경우.
동일한 밑수로 거듭제곱을 곱할 때 밑수는 동일하게 유지되어야 하며 지수는 추가되어야 합니다.
동일한 표시기로 도를 곱할 때 총 표시기를 괄호에서 꺼낼 수 있습니다.
구체적인 예를 통해 거듭제곱을 곱하는 방법을 생각해 보세요.
지수의 단위는 기록되지 않지만 각도를 곱할 때 다음을 고려합니다.
곱할 때 각도는 무엇이든 될 수 있습니다. 문자 앞에 곱셈 기호를 쓸 수 없다는 점을 기억해야 합니다.
표현식에서는 지수화가 먼저 수행됩니다.
숫자에 거듭제곱을 곱해야 하는 경우 먼저 거듭제곱을 수행한 다음 곱셈을 수행해야 합니다.
동일한 밑수로 거듭제곱하기
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이번 단원에서는 같은 밑수로 거듭제곱을 곱하는 방법을 배웁니다. 먼저, 정도의 정의를 상기하고 평등의 타당성에 관한 정리를 공식화합니다. . 그런 다음 특정 숫자에 적용하는 예를 제시하고 이를 증명합니다. 우리는 또한 다양한 문제를 해결하기 위해 정리를 적용할 것입니다.
주제 : 자연지표를 이용한 학위와 그 특성
Lesson: 동일한 밑수로 거듭제곱 곱하기(공식)
1. 기본 정의
기본 정의:
N- 지수,
— N-숫자의 거듭제곱.
2. 정리 1의 진술
정리 1.어떤 숫자에도 ㅏ그리고 어떤 자연적인 N그리고 케이평등은 사실입니다:
즉, 만약 ㅏ- 임의의 숫자; N그리고 케이자연수 다음:
따라서 규칙 1:
3. 업무 설명
결론:특별한 경우에 의해 정리 1의 정확성이 확인되었습니다. 일반적인 경우, 즉 어떤 경우에도 이를 증명해 보겠습니다. ㅏ그리고 어떤 자연적인 N그리고 케이.
4. 정리 1의 증명
숫자가 주어지면 ㅏ- 어느; 숫자 N그리고 케이-자연스러운. 입증하다:
증명은 학위의 정의를 기반으로 합니다.
5. 정리 1을 사용한 예의 해
예시 1:학위로 제시하세요.
다음 예를 해결하기 위해 정리 1을 사용합니다.
그리고) 
6. 정리 1의 일반화
일반화는 다음과 같습니다.
7. 정리 1의 일반화를 사용한 예의 해
8. 정리 1을 이용한 다양한 문제 해결
예 2:계산합니다(기본 각도 표를 사용할 수 있음).
ㅏ) 
(표에 따르면)
비) 
예시 3: 2를 밑으로 하는 거듭제곱으로 씁니다.
ㅏ) 
예시 4:숫자의 부호를 결정합니다.
, ㅏ --13의 지수가 홀수이기 때문에 음수입니다.
예시 5:( )를 베이스가 있는 전원으로 교체 아르 자형:
우리는 , 즉 .
9. 요약
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. 외 대수학 7. 6판. M.: 깨달음. 2010
1. 학교 조교(출처).
1. 학위로 표현:
에이 비 씨 디이) 
3. 밑이 2인 거듭제곱으로 작성합니다.
4. 숫자의 부호를 결정합니다.
ㅏ) 
5. ( )를 밑이 있는 숫자의 거듭제곱으로 바꾸세요. 아르 자형:
a) r4( ) = r15; b) ( ) r 5 = r 6
동일한 지수를 사용한 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈
이번 단원에서는 동일한 지수를 갖는 거듭제곱의 곱셈을 공부하겠습니다. 먼저, 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하고 나누는 것과 거듭제곱을 거듭제곱하는 것에 대한 기본 정의와 정리를 기억해 봅시다. 그런 다음 동일한 지수를 사용하여 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈에 대한 정리를 공식화하고 증명합니다. 그런 다음 그들의 도움으로 우리는 여러 가지 일반적인 문제를 해결할 것입니다.
기본 정의 및 정리를 상기시켜줍니다.
여기 ㅏ- 학위 기반
— N-숫자의 거듭제곱.
정리 1.어떤 숫자에도 ㅏ그리고 어떤 자연적인 N그리고 케이평등은 사실입니다:
동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하면 지수가 추가되고 밑수는 변경되지 않습니다.
정리 2.어떤 숫자에도 ㅏ그리고 어떤 자연적인 N그리고 케이,그렇게 N > 케이평등은 사실입니다:
동일한 밑수로 거듭제곱을 나누면 지수가 차감되고 밑수는 변경되지 않습니다.
정리 3.어떤 숫자에도 ㅏ그리고 어떤 자연적인 N그리고 케이평등은 사실입니다:
위의 모든 정리는 동일한 거듭제곱에 관한 것입니다. 근거, 이번 수업에서는 동일한 학위를 고려할 것입니다. 지표.
동일한 지수로 거듭제곱을 곱하는 예
다음 예를 고려하십시오.
정도를 결정하는 표현을 써 봅시다.
결론:예제를 보면 알 수 있습니다. 
, 그러나 이는 여전히 입증이 필요합니다. 우리는 정리를 공식화하고 이를 일반적인 경우, 즉 어떤 경우에도 증명합니다. ㅏ그리고 비그리고 어떤 자연적인 N.
정리 4의 진술 및 증명
모든 숫자에 대해 ㅏ그리고 비그리고 어떤 자연적인 N평등은 사실입니다:
증거정리 4 .
학위의 정의에 따르면:
그래서 우리는 그것을 증명했습니다. .
동일한 지수로 거듭제곱을 곱하려면 밑수를 곱하고 지수를 변경하지 않고 그대로 두는 것으로 충분합니다.
정리 5의 진술 및 증명
우리는 동일한 지수로 거듭제곱을 나누는 정리를 공식화합니다.
어떤 숫자에도 ㅏ그리고 비() 그리고 어떤 자연적인 N평등은 사실입니다:
증거정리 5 .
정도를 정의하여 적어 보겠습니다.
정리를 말로 표현
그래서 우리는 그것을 증명했습니다.
동일한 지수를 가진 각도를 서로 나누려면 한 밑을 다른 밑으로 나누고 지수를 변경하지 않고 그대로 두는 것으로 충분합니다.
정리 4를 사용한 일반적인 문제의 해결
예시 1:거듭제곱의 산물로 표현합니다.
다음 예를 풀기 위해 정리 4를 사용합니다.
다음 예를 풀려면 공식을 기억해 보세요.
정리 4의 일반화
정리 4의 일반화:
일반화 정리 4를 사용하여 예제 풀기
일반적인 문제를 지속적으로 해결
예 2:제품의 등급으로 씁니다.
예시 3:지수가 2인 거듭제곱으로 씁니다.
계산 예
예시 4:가장 합리적인 방법으로 계산해 보세요.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. 대수학 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. 및 기타 대수학 7.M .: 교육. 2006년
2. 학교 조교(출처).
1. 권력의 산물로 제시됨:
ㅏ) ; b) ; V) ; G) ;
2. 제품의 정도를 적어주세요.
3. 표시가 2인 학위 형식으로 작성합니다.
4. 가장 합리적인 방법으로 계산하세요.
"제곱의 곱셈과 분할"이라는 주제에 대한 수학 수업
섹션:수학
교육적 목표:
작업:
교리의 활동 단위:자연 지표로 정도 결정; 학위 구성 요소; 개인의 정의; 곱셈의 결합 법칙.
I. 학생들의 기존 지식 습득 시연 조직. (1 단계)
a) 지식 업데이트:
2) 자연 지표를 사용하여 정도의 정의를 공식화합니다.
a n \u003d a a a a ... a (n 회)
b k \u003d b b b b a ... b (k 회) 대답을 정당화하십시오.
II. 관련 경험 보유 정도에 따라 연수생의 자체 평가를 구성합니다. (2 단계)
자체 검토 테스트: (개별 작업은 두 가지 버전으로 진행됩니다.)
A1) 곱 7 7 7 7 x x x를 거듭제곱으로 표현하면 다음과 같습니다.
A2) 차수(-3) 3 x 2를 제품으로 표현합니다.
A3) 계산: -2 3 2 + 4 5 3
나는 수업 수준의 준비에 따라 시험 과제 수를 선택합니다.
테스트를 위해 셀프 테스트를 위한 키를 제공합니다. 기준: 합격-실패.
III. 교육적이고 실용적인 과제(3단계) + 4단계. (학생 스스로 속성을 공식화합니다)
1)과 2)의 문제를 푸는 과정에서 학생들은 해결책을 제시하고, 나는 교사로서 같은 밑수로 곱셈을 할 때 거듭제곱을 단순화하는 방법을 찾기 위해 수업을 편성한다.
선생님: 같은 밑수를 곱할 때 거듭제곱을 단순화하는 방법을 생각해 보세요.
클러스터에 다음 항목이 나타납니다.
공과의 주제가 공식화되었습니다. 권력의 증식.
선생님: 같은 기준으로 학위를 나누는 규칙을 생각해 보세요.
추론: 분할을 확인하는 조치는 무엇입니까? 5: 3 = ? 즉 a 2 a 3 = a 5
나는 계획으로 돌아갑니다 - 클러스터 및 항목 보충 - ..나누고 공과의 주제를 빼고 추가합니다. ...그리고 학위 구분.
IV. 지식의 한계(최소 및 최대)를 학생들에게 전달합니다.
교사: 오늘 수업의 최소 작업은 동일한 기반을 사용하여 곱셈과 거듭제곱의 속성을 적용하는 방법을 배우는 것이고, 최대: 곱셈과 나눗셈을 함께 적용하는 방법을 배우는 것입니다.
칠판에 쓰다 : a m a n = a m + n ; am: ann = am-n
V. 신소재 연구 조직. (5단계)
a) 교과서에 따르면: 403번 (a, c, e) 단어가 다른 작업
404 (a, e, f) 독립 작업 후 상호 점검을 구성하고 열쇠를 제공합니다.
b) m의 어떤 값에 대해 동등성이 유지됩니까? 오전 16시 = 오전 32시; x 높이 x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
과제: 나눗셈에 대한 유사한 예를 생각해 보세요.
c) 417(a)호, 418(a)호 학생들을 위한 함정: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: 8 \u003d 2.
6. 배운 내용을 요약하고 진단 작업을 수행합니다(교사가 아닌 학생이 이 주제를 공부하도록 장려)(6단계).
진단 작업.
시험(테스트 뒷면에 키를 놓습니다.)
작업 옵션: 몫 x 15: x 3; 곱셈을 거듭제곱으로 표현합니다. (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; m은 평등 a 16 a m = a 32 true입니다. h 0: h 2, h = 0.2라는 표현식의 값을 찾습니다. 식 (5 2 5 0) : 5 2 의 값을 계산합니다.
수업 요약. 반사.저는 수업을 두 그룹으로 나눕니다.
그룹 I의 주장을 찾으십시오. 학위 속성에 대한 지식에 찬성하고 그룹 II - 속성 없이도 할 수 있다고 말하는 주장을 찾으십시오. 우리는 모든 답변을 듣고 결론을 내립니다. 후속 수업에서는 통계 데이터를 제공하고 루브릭의 이름을 "내 머리에 맞지 않습니다!"로 지정할 수 있습니다.
Ⅶ. 숙제.
역사적 참고자료. 페르마 수라고 불리는 숫자는 무엇입니까?
19페이지. #403, #408, #417
중고 도서:
학위, 공식, 증명, 예의 속성.
수의 정도가 결정된 후에 이야기하는 것이 논리적입니다. 학위 속성. 이 기사에서는 가능한 모든 지수를 다루면서 숫자의 기본 속성을 설명합니다. 여기에서는 학위의 모든 속성에 대한 증명을 제공하고 예제를 풀 때 이러한 속성이 어떻게 적용되는지 보여줍니다.
페이지 탐색.
자연 지표를 사용한 학위 속성
자연 지수를 갖는 거듭제곱의 정의에 따르면 n의 거듭제곱은 n 요소의 곱이며 각 요소는 a와 같습니다. 이 정의를 바탕으로 다음을 사용합니다. 실수 곱셈 속성, 우리는 다음을 얻고 정당화할 수 있습니다 자연 지수를 사용한 차수의 속성:
- a>0이면 임의의 자연 n에 대해 n >0입니다.
- a=0이면 a n =0입니다.
- a가 2m >0이면, a가 2m−1n이면;
- m과 n이 m>n인 자연수이면 0m n에 대해, 그리고 a>0에 대해 부등식 a m >an은 참입니다.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (am) n = a m n ;
- n이 양의 정수이면 a와 b는 양수이고 a는 양의 정수입니다. n n 및 a−n>b−n ;
- m과 n이 정수이고 m>n이면 0m n에 대해, a>1에 대해 부등식 a m >an이 충족됩니다.
우리는 모든 서면 평등이 동일한지정된 조건에서 오른쪽과 왼쪽 부분을 교체할 수 있습니다. 예를 들어, 분수 a m a n = a m + n의 주요 속성은 다음과 같습니다. 표현의 단순화종종 a m+n = a m a n 형식으로 사용됩니다.
이제 각각을 자세히 살펴보겠습니다.
동일한 염기를 갖는 두 거듭제곱의 곱의 속성부터 시작하겠습니다. 학위의 주요 속성: 임의의 실수 a와 임의의 자연수 m 및 n에 대해 평등 a m ·an =a m+n이 참입니다.
학위의 주요 속성을 증명해 보겠습니다. 자연 지수를 갖는 차수의 정의에 의해 a m a n 형식의 동일한 밑수를 갖는 거듭제곱의 곱은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
. 곱셈의 특성으로 인해 결과 표현식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
, 그리고 이 곱은 자연 지수 m+n을 갖는 a의 거듭제곱, 즉 a m+n입니다. 이로써 증명이 완료되었습니다.
학위의 주요 속성을 확인하는 예를 들어 보겠습니다. 동일한 밑수 2와 자연 거듭제곱 2와 3을 사용하여 차수의 주요 속성에 따라 등식 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 를 쓸 수 있습니다. 2 2 ·2 3 및 2 5 표현식의 값을 계산하여 유효성을 확인해 보겠습니다. 지수화를 수행하면 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 및 2 5 =2 2 2 2 2=32 가 됩니다. 동일한 값을 얻으므로 평등 2 2 2 3 = 2 5는 참이며, 이는 학위의 주요 속성을 확인합니다.
곱셈의 성질에 기초한 차수의 주요 성질은 동일한 밑수와 자연지수를 갖는 3차 이상의 곱으로 일반화될 수 있습니다. 따라서 자연수 n 1 , n 2 , …, n k 중 임의의 수 k에 대해 평등 a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k는 참입니다.
예를 들어 (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 입니다.
자연 지표를 사용하여 다음 각도 속성으로 넘어갈 수 있습니다. 동일한 기반을 가진 부분 권력의 속성: 0이 아닌 실수 a와 조건 m>n을 만족하는 임의의 자연수 m 및 n에 대해 평등 a m:an =a m−n이 참입니다.
이 속성을 증명하기 전에 진술에 있는 추가 조건의 의미를 논의해 보겠습니다. 0 n =0이므로 0으로 나누는 것을 피하기 위해서는 조건 a≠0이 필요하며, 나눗셈에 대해 알게 되었을 때 우리는 0으로 나누는 것이 불가능하다는 데 동의했습니다. m>n 조건은 자연 지수를 넘어서지 않도록 도입되었습니다. 실제로 m>n의 경우 지수 a m−n은 자연수입니다. 그렇지 않으면 0(m−n일 때 발생) 또는 음수(m m−n a n =a (m−n) + n = a m 얻은 평등 a m−n a n = a m과 나눗셈과 곱셈의 관계로부터 a m−n은 a m과 an n의 부분 거듭제곱입니다. 이는 동일한 밑수를 갖는 부분 거듭제곱의 속성을 증명합니다.
예를 들어 보겠습니다. 동일한 밑수 π와 자연 지수 5와 2를 사용하여 2도를 취합시다. 고려된 정도의 속성은 평등 π 5에 해당합니다: π 2 = π 5−3 = π 3.
이제 고려해보세요 제품 등급 속성: 임의의 두 실수 a와 b의 곱의 자연 차수 n은 a n 차와 b n 차의 곱과 같습니다. 즉, (a b) n =a n b n 입니다.
실제로, 자연지수를 갖는 학위의 정의에 따르면, 우리는 
. 곱셈의 속성을 기반으로 한 마지막 곱은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 
, 이는 a n b n 과 같습니다.
예는 다음과 같습니다. 
.
이 속성은 세 가지 이상의 요소를 곱한 정도까지 확장됩니다. 즉, k 인자의 곱의 자연차수 속성 n은 (a 1 ·a 2 ·...·ak)n =a 1n ·a 2n ·...·ak n 으로 표기됩니다.
명확성을 위해 이 속성을 예와 함께 보여줍니다. 세 가지 요소를 7제곱으로 곱하면 가 됩니다.
다음 부동산은 자연 재산: 실수 a와 b의 몫, b≠0의 자연 거듭제곱 n은 a n과 bn의 거듭제곱의 몫, 즉 (a:b) n =a n:bn 과 같습니다.
증명은 이전 속성을 사용하여 수행할 수 있습니다. 따라서 (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n 이고, 등식 (a:b) n b n =a n 에서 (a:b) n 은 a n 에서 b n 의 몫이 됩니다.
특정 숫자의 예를 사용하여 이 속성을 작성해 보겠습니다. 
.
이제 목소리를 내자 지수 속성: 임의의 실수 a와 임의의 자연수 m 및 n에 대해 m의 n 거듭제곱은 지수 m·n을 갖는 a의 거듭제곱과 같습니다. 즉, (am) n =a m·n입니다.
예를 들어 (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 입니다.
어느 정도 권력 속성을 증명하는 것은 다음과 같은 등식 체인입니다. 
.
고려된 속성은 정도 내 정도 등으로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 임의의 자연수 p, q, r 및 s에 대해 등식은 다음과 같습니다. 
. 더 명확하게 하기 위해 특정 숫자를 사용하여 예를 들어 보겠습니다. (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
자연지수와 각도를 비교하는 속성에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
자연 지수를 사용하여 0과 차수를 비교하는 속성을 증명하는 것부터 시작하겠습니다.
먼저, 모든 a>0에 대해 n >0이라는 것을 정당화해 보겠습니다.
곱셈의 정의에 따르면 두 양수의 곱은 양수입니다. 이 사실과 곱셈의 속성을 통해 우리는 임의의 수의 양수를 곱한 결과도 양수가 될 것이라고 주장할 수 있습니다. 그리고 자연 지수 n을 갖는 a의 거듭제곱은 정의에 따라 n 인자의 곱이며, 각 인자는 a와 같습니다. 이러한 주장을 통해 우리는 양의 밑수 a에 대해 n의 차수는 양수라고 주장할 수 있습니다. 입증된 특성 덕분에 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 및 
.
a=0인 임의의 자연 n에 대해 n의 차수는 0이라는 것이 매우 명백합니다. 실제로 0n =0·0·…·0=0 입니다. 예를 들어 0 3 =0 및 0 762 =0 입니다.
부정적인 근거로 넘어 갑시다.
지수가 짝수인 경우부터 시작하여 2m 으로 표시합니다. 여기서 m은 자연수입니다. 그 다음에 
. 음수의 곱셈 규칙에 따르면 a a 형식의 각 곱은 숫자 a와 a 모듈의 곱과 동일하며 이는 양수임을 의미합니다. 따라서 제품도 긍정적일 것입니다. 
그리고 학위는 2m 입니다. 예는 다음과 같습니다: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 및 .
마지막으로, a의 밑이 음수이고 지수가 홀수인 2m−1일 때, 
. 모든 곱 a·a는 양수이고, 이 양수의 곱도 양수이며, 나머지 음수 a를 곱하면 음수가 됩니다. 이 속성으로 인해 (−5) 3 17 n n은 n 참 부등식 a의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분의 곱입니다. 부등식의 속성에서 증명되는 부등식은 an n n 형식입니다. 예를 들어, 이 속성으로 인해 부등식 3 7 7 및 
.
자연 지수를 사용하여 나열된 거듭제곱의 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 그것을 공식화합시다. 자연 지표와 동일한 양의 염기가 있는 두 등급 중에서 1보다 작은 등급은 더 크고 지표는 더 적습니다. 자연 지표와 동일한 염기가 1보다 큰 2도의 지표가 더 큰 정도가 더 큽니다. 우리는 이 속성의 증거를 살펴보겠습니다.
m>n 및 0m n에 대해 이를 증명해 보겠습니다. 이를 위해 차이 a m − a n을 쓰고 이를 0과 비교합니다. 괄호에서 n을 빼낸 후의 차이는 a n ·(a m−n −1) 형식을 취합니다. 결과 곱은 양수 an과 음수 a m−n −1의 곱으로서 음수입니다. (an은 양수의 자연 거듭제곱으로서 양수이고 차이 a m−n −1은 음수입니다. 왜냐하면 m−n이기 때문입니다. >0 초기 조건 m>n으로 인해 0m−n의 경우 1보다 작습니다. 그러므로 a m − a n m n 이 증명되어야 했습니다. 예를 들어, 올바른 부등식을 제공합니다.
재산의 두 번째 부분을 증명하는 것이 남아 있습니다. m>n이고 a>1인 경우 a m >an이 참임을 증명해 보겠습니다. 괄호에서 n을 빼낸 후의 차이 a m −an은 a n ·(a m−n −1) 형식을 취합니다. 이 곱은 양수입니다. a>1의 경우 a n의 차수는 양수이고, 초기 조건으로 인해 m−n>0이고 a>1의 경우 a m−n −1의 차이는 양수이므로 다음과 같습니다. m−n의 차수는 1보다 큽니다. 그러므로 a m − a n >0이고 a m >an 이며 이는 증명되어야 합니다. 이 속성은 부등식 3 7 >3 2 로 설명됩니다.
정수 지수를 사용한 도의 속성
양의 정수는 자연수이므로 양의 정수 지수를 갖는 거듭제곱의 모든 속성은 이전 단락에서 나열하고 증명한 자연 지수를 갖는 거듭제곱의 속성과 정확히 일치합니다.
우리는 음의 정수 지수를 갖는 등급과 지수가 0인 등급을 정의하여 등식으로 표현되는 자연 지수를 갖는 등급의 모든 속성이 유효하게 유지되도록 했습니다. 따라서 이러한 모든 속성은 0 지수와 음수 지수 모두에 유효하지만, 물론 도의 밑은 0이 아닙니다.
따라서 모든 실수 및 0이 아닌 숫자 a와 b, 정수 m과 n에 대해 다음은 참입니다. 정수 지수를 사용한 도의 속성:
a=0인 경우, a m과 an n의 거듭제곱은 m과 n이 모두 양의 정수, 즉 자연수인 경우에만 의미가 있습니다. 따라서 방금 작성한 속성은 a=0이고 숫자 m과 n이 양의 정수인 경우에도 유효합니다.
이러한 각 속성을 증명하는 것은 어렵지 않습니다. 왜냐하면 자연 지수와 정수 지수로 정도의 정의와 실수로 동작의 속성을 사용하는 것으로 충분하기 때문입니다. 예를 들어, 양의 정수와 양이 아닌 정수 모두에 대해 거듭제곱 속성이 유지된다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 p가 0 또는 자연수이고 q가 0 또는 자연수인 경우 등식 (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) 및 (a −p) −q =a (−p) (−q) . 해보자.
양수 p와 q에 대해 동등성(a p) q =a p·q는 이전 하위 섹션에서 증명되었습니다. p=0 이면 (a 0) q =1 q =1 이고 a 0 q =a 0 =1 입니다. 여기서 (a 0) q =a 0 q 입니다. 마찬가지로, q=0 이면 (a p) 0 =1 이고 a p 0 =a 0 =1 이면 (a p) 0 =a p 0 입니다. p=0 과 q=0 이면 (a 0) 0 =1 0 =1 이고 a 0 0 =a 0 =1 이고, 여기서 (a 0) 0 =a 0 0 입니다.
이제 (a −p) q =a (−p) q 임을 증명해 보겠습니다. 음의 정수 지수를 갖는 학위의 정의에 따르면, 
. 정도의 몫의 속성에 의해 우리는 
. 1 p =1·1·…·1=1이고 이므로 . 마지막 표현은 정의에 따라 a −(p q) 형식의 거듭제곱이며 곱셈 규칙에 따라 a (−p) q 로 쓸 수 있습니다.
비슷하게 
.
그리고 
.
같은 원리로 등식의 형태로 작성된 정수 지수를 사용하여 차수의 다른 모든 속성을 증명할 수 있습니다.
기록된 속성의 두 번째 끝에서, 부등식 a −n >b −n 의 증명에 대해 깊이 생각해 볼 가치가 있습니다. 이는 임의의 음의 정수 −n 및 조건 a에 대한 임의의 양의 a 및 b에 대해 참입니다. . 우리는 이 부등식의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분의 차이를 작성하고 변환합니다. 
. 조건에 따라 a n n 이므로 b n − a n >0 입니다. a n·b n 곱은 양수 a n 과 bn 의 곱으로서 양수이기도 합니다. 그런 다음 결과 분수는 양수 bn − an 및 anbn의 몫으로 양수입니다. 따라서, a −n >b −n 이 증명되어야 합니다.
정수 지수를 갖는 도의 마지막 속성은 자연 지수를 갖는 도의 유사한 속성과 동일한 방식으로 증명됩니다.
유리수 지수를 갖는 거듭제곱의 속성
우리는 정수 지수로 학위의 속성을 확장하여 분수 지수로 학위를 정의했습니다. 즉, 분수 지수가 있는 도는 정수 지수가 있는 도와 동일한 속성을 갖습니다. 즉:
- 동일한 기반을 가진 권력의 산물의 속성
a>0인 경우, 그리고 이면 a≥0인 경우; - 동일한 기반을 가진 부분 권력의 속성
a>0인 경우; - 분수 제품 속성
a>0 및 b>0인 경우, 그리고 이면 a≥0 및(또는) b≥0인 경우; - 분수 거듭제곱에 대한 몫 속성
a>0 및 b>0의 경우, 그리고 이면 a≥0 및 b>0의 경우; - 학위 속성(도)
a>0인 경우, 그리고 이면 a≥0인 경우; - 동일한 유리수로 거듭제곱을 비교하는 속성: 임의의 양수 a와 b에 대해, a 0 부등식 a p p는 유효하며, p p >b p의 경우;
- 유리수 p와 q의 경우, 0p q의 경우 p>q이고, a>0의 경우 부등식 a p >a q 입니다.
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- 임의의 양수 a 및 b에 대해, a 0 부등식 a p p는 유효하며, p p >b p의 경우;
- 무리수 p와 q의 경우, 0p q의 경우 p>q이고, a>0의 경우 부등식 a p >a q 입니다.
분수 지수를 사용한 도의 속성 증명은 분수 지수를 사용한 도의 정의, n차 산술근의 속성 및 정수 지수를 사용한 도의 속성을 기반으로 합니다. 증거를 제시합시다.
분수 지수를 사용하여 정도를 정의하면 다음과 같습니다. 
. 산술근의 속성을 사용하면 다음과 같은 등식을 작성할 수 있습니다. 또한, 정수 지수를 갖는 도의 속성을 사용하여, 분수 지수를 갖는 도의 정의에 의해, 우리는 다음을 얻습니다: 
, 그리고 얻은 정도의 지수는 다음과 같이 변환될 수 있습니다. 이로써 증명이 완료되었습니다.
분수 지수가 있는 거듭제곱의 두 번째 속성은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다. 
나머지 평등은 비슷한 원칙으로 증명됩니다. 
다음 속성의 증명을 살펴보겠습니다. 임의의 양수 a와 b에 대해 다음을 증명해 보겠습니다. 0 부등식 a p p는 유효하고 p p >b p에 대해서는 유효합니다. 유리수 p를 m/n으로 씁니다. 여기서 m은 정수이고 n은 자연수입니다. 이 경우 조건 p 0은 각각 조건 m 0과 동일합니다. m>0이고 m인 경우. 이 불평등으로부터 근의 속성에 따라 , a와 b는 양수이므로 분수 지수를 사용한 정도의 정의에 따라 결과 불평등을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 즉, a p p .
마찬가지로, m m >b m 일 때, whichce , 즉 a p >b p 입니다.
나열된 속성 중 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 유리수 p와 q에 대해 0p q에 대해 p>q이고, a>0에 대해 부등식 a p >a q임을 증명해 보겠습니다. 우리는 항상 유리수 p와 q를 공통 분모로 줄일 수 있습니다. 일반 분수와 를 얻습니다. 여기서 m 1과 m 2는 정수이고 n은 자연수입니다. 이 경우 p>q 조건은 m 1 >m 2 조건에 해당하며, 이는 동일한 분모를 가진 일반 분수를 비교하는 규칙을 따릅니다. 그런 다음 동일한 밑수와 자연 지수를 사용하여 거듭제곱을 비교하는 특성에 의해 0m 1 m 2 에 대해, 그리고 a>1에 대해 부등식 a m 1 >am 2 입니다. 근의 속성 측면에서 이러한 불평등은 각각 다음과 같이 다시 작성될 수 있습니다. 
그리고 
. 그리고 합리적인 지수를 갖는 학위의 정의를 통해 우리는 각각 부등식을 전달할 수 있습니다. 여기서 우리는 최종 결론을 도출합니다: p>q 및 0p q 에 대해서는, 그리고 a>0에 대해서는 부등식 a p >a q 입니다.
무리수 지수가 있는 각도의 속성
무리수 지수를 갖는 차수가 어떻게 정의되는지로부터 우리는 그것이 유리수 지수를 갖는 차수의 모든 속성을 갖는다는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 a>0, b>0 및 무리수 p 및 q에 대해 다음은 참입니다. 무리수 지수가 있는 도의 속성:
이것으로부터 우리는 a>0에 대한 실수 지수 p와 q를 갖는 거듭제곱이 동일한 속성을 갖는다는 결론을 내릴 수 있습니다.
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앞서 우리는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지에 대해 이미 이야기했습니다. 문제를 해결하는 데 유용한 특정 속성이 있습니다. 이 기사에서 분석할 것은 바로 이러한 속성과 가능한 모든 지수입니다. 또한 실제로 어떻게 증명하고 올바르게 적용할 수 있는지 사례를 통해 보여드리겠습니다.
이전에 이미 공식화한 자연 지수가 있는 학위 개념을 떠올려 보겠습니다. 이는 n번째 요소 수의 곱이며 각 요소는 a와 같습니다. 또한 실수를 올바르게 곱하는 방법도 기억해야 합니다. 이 모든 것은 자연 지표를 사용하여 학위에 대해 다음 속성을 공식화하는 데 도움이 될 것입니다.
정의 1
1. 학위의 주요 속성 : a m a n = a m + n
다음과 같이 일반화할 수 있습니다: a n 1 · an n 2 · … · an n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. 동일한 밑수를 갖는 거듭제곱의 몫 속성: a m: a n = a m − n
3. 제품 등급 특성: (a b) n = a n b n
동등성은 다음과 같이 확장될 수 있습니다: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. 자연도의 성질: (a: b) n = a n: b n
5. 거듭제곱을 거듭제곱합니다: (am) n = a m n ,
다음과 같이 일반화될 수 있습니다: (((an 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. 정도를 0과 비교합니다.
- a > 0이면 임의의 자연 n에 대해 n은 0보다 클 것입니다.
- a가 0이면 n도 0과 같습니다.
- 한 동안< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- 한 동안< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. 평등< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. 부등식 a m > an n은 m과 n이 자연수이고 m이 n보다 크고 a가 0보다 크고 1보다 작지 않은 경우 참입니다.
그 결과 우리는 몇 가지 평등을 얻었습니다. 위에 표시된 모든 조건을 충족하면 동일하게 됩니다. 예를 들어, 주요 속성의 각 등식에 대해 오른쪽과 왼쪽 부분을 바꿀 수 있습니다. a m · an = a m + n - a m + n = a m · a n과 동일합니다. 이 형태에서는 표현을 단순화할 때 자주 사용됩니다.
1. 차수의 주요 속성부터 시작해 보겠습니다. 평등 a m · a n = a m + n은 모든 자연 m 및 n 및 실수 a에 대해 참입니다. 이 진술을 어떻게 증명할 수 있습니까?
자연 지수를 사용한 거듭제곱의 기본 정의를 통해 평등을 요소의 곱으로 변환할 수 있습니다. 다음과 같은 항목이 표시됩니다.
이는 다음과 같이 단축될 수 있습니다. 
(곱셈의 기본 속성을 기억하세요). 결과적으로 우리는 자연 지수 m + n을 사용하여 숫자 a의 차수를 얻었습니다. 따라서 a m + n 은 차수의 주요 속성이 증명되었음을 의미합니다.
이를 증명하기 위해 구체적인 예를 들어보자.
실시예 1
따라서 우리는 2진법으로 두 가지 거듭제곱을 가집니다. 그들의 자연 지표는 각각 2와 3입니다. 우리는 평등을 얻었습니다: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 이 평등의 정확성을 확인하기 위해 값을 계산해 봅시다.
필요한 수학적 연산을 수행해 보겠습니다. 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 및 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
결과적으로 우리는 2 2 2 3 = 2 5 를 얻었습니다. 속성이 입증되었습니다.
곱셈의 성질로 인해, 지수는 자연수이고 밑은 동일한 3승 이상의 형태로 공식화함으로써 그 성질을 일반화할 수 있습니다. 자연수 n 1, n 2 등의 수를 문자 k로 표시하면 올바른 평등을 얻습니다.
an 1 an 2 … an k = an 1 + n 2 + … + n k .
실시예 2
2. 다음으로, 우리는 몫 속성(quotient property)이라고 불리며 동일한 밑수를 가진 거듭제곱에 내재된 다음 속성을 증명해야 합니다. 이것은 a m의 동등성입니다: a n = a m − n, 이는 모든 자연 m과 n(그리고 m에 대해 유효합니다. n))보다 크고 0이 아닌 실수 a 입니다.
우선, 공식에 언급된 조건의 의미가 정확히 무엇인지 설명하겠습니다. 0과 같은 값을 취하면 결국에는 0으로 나누는 것이 되는데, 이는 수행할 수 없습니다(결국 0n = 0). 자연 지수 내에 머물 수 있으려면 숫자 m이 n보다 커야 한다는 조건이 필요합니다. 즉, m에서 n을 빼면 자연수가 됩니다. 조건이 충족되지 않으면 음수 또는 0을 얻게 되며 다시 자연 지표를 사용하여 학위 연구를 넘어설 것입니다.
이제 우리는 증명으로 넘어갈 수 있습니다. 이전 연구에서 우리는 분수의 기본 속성을 기억하고 다음과 같이 평등을 공식화합니다.
a m − n an = a (m − n) + n = a m
그것으로부터 우리는 다음을 추론할 수 있습니다: a m − n a n = a m
나눗셈과 곱셈의 관계를 기억해 보세요. a m − n은 a m과 an n의 거듭제곱의 몫입니다. 이는 2급 속성의 증명입니다.
실시예 3
지표의 명확성을 위해 특정 숫자를 대체하고 π의 밑수를 나타냅니다: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. 다음으로, 곱의 정도에 대한 속성을 분석하겠습니다. (a · b) n = a n · b n 임의의 실수 a 및 b 및 자연 n 에 대해.
자연지수를 갖는 차수의 기본 정의에 따르면, 우리는 다음과 같이 동등성을 다시 공식화할 수 있습니다:
곱셈의 속성을 기억하면서 다음과 같이 씁니다. 
. a n · bn 과 같은 의미입니다.
실시예 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
세 개 이상의 요인이 있는 경우 이 속성은 이 경우에도 적용됩니다. 요인 수에 대한 표기법 k를 도입하고 다음과 같이 씁니다.
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
실시예 5
특정 숫자를 사용하면 다음과 같은 올바른 평등을 얻습니다. (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. 그 후, 우리는 몫 속성을 증명하려고 시도할 것입니다: (a: b) n = a n: b b가 0이 아니고 n이 자연수인 경우 실수 a와 b에 대해 n입니다.
증명을 위해 이전 학위 속성을 사용할 수 있습니다. (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n 이고 (a: b) n b n = a n 이면 (a: b) n은 a n을 b n으로 나눈 몫입니다.
실시예 6
예를 들어 보겠습니다: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
실시예 7
예를 들어 바로 시작해 보겠습니다. (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
이제 우리는 평등의 정확성을 증명할 평등 체인을 공식화합니다. 
예에 각도가 있는 경우 이 속성은 해당 속성에도 적용됩니다. 자연수 p, q, r, s가 있으면 이는 참입니다.
a p q y s = a p q y s
실시예 8
구체적인 내용을 추가해 보겠습니다. (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. 우리가 증명해야 하는 자연지수를 갖는 도의 또 다른 속성은 비교 속성입니다.
먼저 지수를 0과 비교해 보겠습니다. a가 0보다 큰 경우 왜 n > 0인가요?
하나의 양수에 다른 양수를 곱하면 역시 양수를 얻게 됩니다. 이 사실을 알면 이것이 요소의 수에 의존하지 않는다고 말할 수 있습니다. 양수를 곱한 결과는 양수입니다. 그리고 숫자를 곱한 결과가 아니라면 학위란 무엇입니까? 그러면 양의 밑수와 자연지수를 갖는 임의의 거듭제곱 a n에 대해 이는 참이 됩니다.
실시예 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 및 34 9 13 51 > 0
밑이 0인 거듭제곱은 그 자체로 0이라는 것도 분명합니다. 어떤 거듭제곱을 0으로 올리더라도 0으로 유지됩니다.
실시예 10
0 3 = 0 및 0 762 = 0
차수의 밑이 음수이면 짝수/홀수 지수의 개념이 중요해지기 때문에 증명이 좀 더 복잡해집니다. 지수가 짝수인 경우부터 시작하여 2·m으로 표시해 보겠습니다. 여기서 m은 자연수입니다.
음수를 올바르게 곱하는 방법을 기억해 봅시다. 곱 a · a는 모듈의 곱과 같으므로 양수가 됩니다. 그 다음에 
그리고 a 2 · m 정도도 양수입니다.
실시예 11
예를 들어, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 및 - 2 9 6 > 0
음수 밑을 갖는 지수가 홀수라면 어떻게 될까요? 이를 2·m − 1 로 표시하겠습니다.
그 다음에 
곱셈의 속성에 따르면 모든 곱 a · a 는 양수이고 그 곱도 마찬가지입니다. 그러나 여기에 남은 유일한 숫자 a를 곱하면 최종 결과는 음수가 됩니다.
그러면 우리는 다음을 얻습니다: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
그것을 증명하는 방법?
앤< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
실시예 12
예를 들어, 부등식은 참입니다: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. 마지막 속성을 증명하는 것은 우리에게 남아 있습니다. 두 개의 각도가 있고 그 밑이 동일하고 양수이고 지수가 자연수인 경우 그 중 하나가 더 크고 지수가 더 작습니다. 자연 지표와 동일한 염기가 1보다 큰 2도의 지표가 더 큰 정도가 더 큽니다.
이러한 주장을 증명해 봅시다.
먼저 우리는 m이 맞는지 확인해야 합니다.< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
괄호에서 n을 빼면 그 차이는 a n · (am − n − 1) 형식이 됩니다. 그 결과는 음수입니다(양수에 음수를 곱한 결과는 음수이므로). 실제로 초기 조건 m − n > 0에 따르면 a m − n − 1은 음수이고 첫 번째 요소는 양수를 기반으로 하는 모든 자연 전력과 마찬가지로 양수입니다.
a m − an n이라는 것이 밝혀졌습니다< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
위에 공식화된 진술의 두 번째 부분을 증명하는 것이 남아 있습니다. a m > a는 m > n 및 a > 1에 대해 참입니다. 우리는 차이를 표시하고 대괄호에서 n을 꺼냅니다: (a m - n - 1) 1보다 큰 n의 거듭제곱은 긍정적인 결과를 제공합니다. 그리고 차이 자체도 초기 조건으로 인해 양수로 판명될 것이며, a > 1의 경우 a m − n의 차수는 1보다 큽니다. a m − a n > 0이고 a m > a n이라는 것이 밝혀졌습니다. 이것이 우리가 증명해야 했던 것입니다.
실시예 13
특정 숫자의 예: 3 7 > 3 2
정수 지수를 포함한 도의 기본 속성
양의 정수 지수가 있는 도의 경우 양의 정수는 자연수이므로 위에서 증명된 모든 등식이 자연수에도 유효하므로 속성이 유사합니다. 또한 지수가 음수이거나 0인 경우에도 적합합니다(도 자체의 밑이 0이 아닌 경우).
따라서 거듭제곱의 속성은 모든 밑수 a와 b(이 숫자가 실수이고 0이 아닌 경우)와 모든 지수 m과 n(정수인 경우)에 대해 동일합니다. 우리는 공식 형태로 간략하게 작성합니다.
정의 2
1. a m a n = a m + n
2. 오전: an = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a:b) n = a n: b n
5. (오전) n = a m n
6. 앤< b n и a − n >b − n, 양의 정수 n, 양의 a 및 b, a< b
오전 7시< a n , при условии целых m и n , m >n과 0< a < 1 , при a >오전 1시 > AN .
차수 기준이 0이면 항목 a m과 an n은 자연 및 양수 m과 n의 경우에만 의미가 있습니다. 결과적으로 위의 공식은 다른 모든 조건이 충족되면 염기가 0인 경우에도 적합하다는 것을 알 수 있습니다.
이 경우 이러한 속성의 증명은 간단합니다. 우리는 자연 지수와 정수 지수가 있는 정도와 실수가 있는 동작의 속성을 기억해야 합니다.
정도의 속성을 분석하여 양의 정수와 양이 아닌 정수 모두에 대해 사실임을 증명해 보겠습니다. 우리는 등식 (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) 및 (a − p) − q = a (− p) (-q)
조건: p = 0 또는 자연수; q - 마찬가지로.
p와 q의 값이 0보다 크면 (a p) q = a p · q 를 얻습니다. 우리는 이전에도 비슷한 동등성을 이미 증명했습니다. p = 0이면:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
그러므로 (a 0) q = a 0 q
q = 0의 경우 모든 것이 정확히 동일합니다.
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
결과: (ap) 0 = a p 0 .
두 지표가 모두 0이면 (a 0) 0 = 1 0 = 1이고 a 0 0 = a 0 = 1이면 (a 0) 0 = a 0 0 입니다.
위에서 증명된 거듭제곱의 몫의 속성을 기억하고 다음과 같이 쓰십시오.
1qapq = 1qapq
1 p = 1 1 … 1 = 1이고 a p q = a p q 이면 1 q a p q = 1 a p q
기본 곱셈 규칙을 사용하여 이 표기법을 a (− p) · q 로 변환할 수 있습니다.
또한: a p - q = 1 (ap) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
차수의 나머지 속성은 기존 부등식을 변환하여 비슷한 방식으로 증명할 수 있습니다. 이에 대해서는 자세히 다루지 않고 어려운 점만 언급하겠습니다.
두 번째 속성 증명: a가 b보다 작다면 a − n > b − n은 n의 음의 정수 값과 양의 a 및 b에 대해 참이라는 것을 기억하세요.
그러면 불평등은 다음과 같이 변환될 수 있습니다.
1년 > 1십억
오른쪽과 왼쪽 부분을 차이로 작성하고 필요한 변환을 수행합니다.
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
a가 b보다 작은 조건에서 자연지수를 갖는 차수의 정의에 따르면: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · bn은 인수가 양수이기 때문에 결국 양수가 됩니다. 결과적으로 우리는 분수 b n - a n a n · bn 을 얻었고, 이는 결국 긍정적인 결과를 제공합니다. 그러므로 1 a n > 1 b n이면 a − n > b − n 이며, 이를 증명해야 합니다.
정수 지수를 갖는 도의 마지막 속성은 자연 지수를 갖는 도의 속성과 유사하게 증명됩니다.
유리수 지수를 사용한 도의 기본 속성
이전 기사에서 우리는 유리수(분수) 지수를 갖는 학위가 무엇인지 논의했습니다. 해당 속성은 정수 지수를 갖는 각도의 속성과 동일합니다. 글을 쓰자:
정의 3
1. a > 0인 경우 a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2이고 m 1 n 1 > 0이고 m 2 n 2 > 0이면 a ≥ 0인 경우(제품 특성 거듭제곱 동일한 베이스로).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 if a > 0 (몫 속성).
3. a > 0이고 b > 0인 경우 a b m n = a m n b m n이고, m 1 n 1 > 0이고 m 2 n 2 > 0이면 a ≥ 0 및 (또는) b ≥ 0(분수 단위의 제품 특성)입니다.
4. a: b m n \u003d a m n: a > 0이고 b > 0인 경우 b m n이고, m n > 0인 경우 a ≥ 0이고 b > 0인 경우(분수 거듭제곱에 대한 몫의 속성).
5. a > 0인 경우 a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2이고 m 1 n 1 > 0이고 m 2 n 2 > 0인 경우 a ≥ 0(도 속성의 경우) 학위).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; 만약 p라면< 0 - a p >b p(동등한 유리수와 차수를 비교하는 속성).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0의 q< a < 1 ; если a >0 - a p > a q
이러한 조항을 증명하려면 분수 지수가 있는 도가 무엇인지, n차 산술근의 속성이 무엇인지, 정수 지수가 있는 도의 속성이 무엇인지 기억해야 합니다. 각 부동산을 살펴보겠습니다.
분수 지수가 있는 정도에 따라 다음을 얻습니다.
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 및 a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2이므로 a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
루트의 속성을 통해 우리는 등식을 도출할 수 있습니다.
오전 1m 2n 1n 2 오전 2m 1n 2n 1 = 오전 1n 2 오전 2n 1n 1n 2
이것으로부터 우리는 다음을 얻습니다: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
변환해보자:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
지수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
이것이 증거입니다. 두 번째 속성은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다. 평등의 사슬을 적어 보겠습니다.
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
나머지 평등의 증명:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2n 2n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
다음 속성: a와 b의 값이 0보다 큰 경우 a가 b보다 작으면 a p가 실행된다는 것을 증명해 보겠습니다.< b p , а для p больше 0 - a p >bp
유리수 p를 mn으로 표현해 보겠습니다. 이 경우 m은 정수, n은 자연수이다. 그러면 조건 p< 0 и p >0은 m으로 확장됩니다.< 0 и m >0 . m > 0이고 a인 경우< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
우리는 뿌리의 속성을 사용하여 다음을 도출합니다: a m n< b m n
a와 b 값의 긍정성을 고려하여 불평등을 다음과 같이 다시 씁니다.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
같은 방법으로 m에 대해서도< 0 имеем a a m >b m , 우리는 a m n > b m n 을 얻습니다. 따라서 a m n > b m n 및 a p > b p 입니다.
마지막 속성을 증명하는 것은 우리에게 남아 있습니다. 유리수 p와 q에 대해 0에서 p > q임을 증명해 보겠습니다.< a < 1 a p < a q , а при a >0은 참 a p > a q 입니다.
유리수 p와 q는 공통 분모로 줄어들 수 있고 분수 m 1 n 및 m 2 n을 얻을 수 있습니다.
여기서 m 1 과 m 2 는 정수이고, n은 자연수이다. p > q이면 m 1 > m 2입니다(분수 비교 규칙을 고려함). 그럼 0시에< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – 불평등 a 1m > a 2m .
다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.
오전 1시< a m 2 n a m 1 n >오전 2시
그런 다음 변환을 수행하고 결과를 얻을 수 있습니다.
오전 1시< a m 2 n a m 1 n >오전 2시
요약하자면: p > q 및 0인 경우< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
무리수 지수가 있는 도의 기본 속성
유리수 지수를 갖는 정도가 갖는 위에서 설명한 모든 속성은 그러한 정도로 확장될 수 있습니다. 이는 우리가 이전 기사 중 하나에서 제시한 바로 그 정의에서 나온 것입니다. 이러한 속성을 간략하게 공식화해 보겠습니다(조건: a > 0 , b > 0 , 표시기 p 및 q는 무리수입니다).
정의 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a:b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , 그 다음 a p > a q .
따라서 a > 0인 경우 지수 p와 q가 실수인 모든 거듭제곱은 동일한 속성을 갖습니다.
텍스트에 실수가 있는 경우 해당 부분을 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.
거듭제곱을 사용하여 표현을 변환하는 주제를 고려해 보겠습니다. 먼저 거듭제곱을 포함하여 모든 표현으로 수행할 수 있는 여러 가지 변환에 대해 살펴보겠습니다. 우리는 괄호를 여는 방법, 같은 용어를 제공하는 방법, 밑수와 지수를 사용하는 방법, 거듭제곱의 속성을 사용하는 방법을 배울 것입니다.
강력한 표현이란 무엇입니까?
학교 과정에서는 "힘의 표현"이라는 표현을 사용하는 사람이 거의 없지만, 이 용어는 시험 준비를 위한 모음집에서 끊임없이 발견됩니다. 대부분의 경우 이 문구는 항목에 학위가 포함된 표현을 나타냅니다. 이것이 우리의 정의에 반영될 것입니다.
정의 1
힘의 표현도를 포함하는 표현입니다.
우리는 자연 지수가 있는 도에서 시작하여 실수 지수가 있는 도로 끝나는 거듭제곱 표현의 몇 가지 예를 제공합니다.
가장 간단한 거듭제곱 표현은 자연지수를 갖는 숫자의 거듭제곱으로 간주될 수 있습니다: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . 지수가 0인 거듭제곱: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . 그리고 음의 정수 거듭제곱을 갖는 거듭제곱: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
유리수와 무리수 지수가 있는 학위로 작업하는 것은 조금 더 어렵습니다. 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
표시기는 변수 3 x - 54 - 7 3 x - 58 또는 로그일 수 있습니다. x 2 l g x − 5 x l g x.
우리는 권력 표현이 무엇인지에 대한 질문을 다루었습니다. 이제 그것들을 변형시켜 보겠습니다.
권력 표현의 주요 변환 유형
먼저, 거듭제곱 표현으로 수행할 수 있는 표현의 기본적인 아이덴티티 변환을 살펴보겠습니다.
실시예 1
거듭제곱 표현식 값 계산 2 3 (4 2 − 12).
해결책
우리는 행동 순서에 따라 모든 변화를 수행할 것입니다. 이 경우 괄호 안의 작업을 수행하는 것부터 시작하겠습니다. 각도를 디지털 값으로 바꾸고 두 숫자 간의 차이를 계산합니다. 우리는 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
학위를 교체하는 것은 우리에게 남아 있습니다 2 3 그 의미 8 그리고 제품을 계산해 보세요 8 4 = 32. 여기에 우리의 대답이 있습니다.
답변: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
실시예 2
거듭제곱으로 표현 단순화 3a 4b − 7 − 1 + 2a 4b − 7.
해결책
문제 상황에서 우리에게 주어진 표현에는 비슷한 용어가 포함되어 있는데, 이를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 3a 4b − 7 − 1 + 2a 4b − 7 = 5a 4b − 7 − 1.
답변: 3a 4b − 7 − 1 + 2a 4b − 7 = 5a 4b − 7 − 1 .
실시예 3
9 - b 3 · π - 1 2 의 거듭제곱을 가진 표현식을 곱으로 표현합니다.
해결책
숫자 9를 거듭제곱으로 표현해보자 3 2 축약된 곱셈 공식을 적용합니다.
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
답변: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
이제 거듭제곱 표현에 구체적으로 적용될 수 있는 동일한 변환에 대한 분석으로 넘어가겠습니다.
밑수와 지수로 작업하기
밑수 또는 지수의 차수에는 숫자, 변수 및 일부 표현식이 포함될 수 있습니다. 예를 들어, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7그리고 . 그러한 기록으로 작업하는 것은 어렵습니다. 도의 밑수 표현이나 지수 표현을 동일하게 동일한 표현으로 바꾸는 것이 훨씬 쉽습니다.
정도와 지표의 변환은 우리에게 서로 별도로 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 가장 중요한 것은 변환의 결과로 원래의 표현식과 동일한 표현식이 얻어졌다는 것입니다.
변환의 목적은 원래 표현식을 단순화하거나 문제에 대한 해결책을 얻는 것입니다. 예를 들어, 위에서 제시한 예에서 (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 정도까지 이동하는 작업을 수행할 수 있습니다. 4 , 1 1 , 3 . 괄호를 열면 학위 기본에 같은 용어를 가져올 수 있습니다. (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)더 간단한 형식의 거듭제곱 표현을 얻습니다. 2 (x + 1).
전원 속성 사용
등식으로 작성된 학위 속성은 학위 표현을 변환하는 주요 도구 중 하나입니다. 우리는 다음을 고려하여 여기에 주요 내용을 제시합니다. ㅏ그리고 비임의의 양수이고 아르 자형그리고 에스- 임의의 실수:
정의 2
- a r a s = a r + s;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a r br ;
- (a:b) r = a r: br r ;
- (a r) s = a r s .
자연, 정수, 양의 지수를 다루는 경우 숫자 a와 b에 대한 제한은 훨씬 덜 엄격할 수 있습니다. 예를 들어 평등을 고려한다면 a m a n = a m + n, 어디 중그리고 N자연수이면 양수와 음수 모두 a의 모든 값에 대해 true가 됩니다. a = 0.
도의 기준이 양수이거나 기준이 양수 값만 취하는 허용 값 범위의 변수를 포함하는 경우 제한 없이 도의 속성을 적용할 수 있습니다. 실제로 학교 수학 커리큘럼의 틀 내에서 학생의 임무는 적절한 속성을 선택하고 올바르게 적용하는 것입니다.
대학 입학을 준비할 때 속성을 부정확하게 적용하면 ODZ가 좁아지고 기타 솔루션에 어려움을 겪는 작업이 있을 수 있습니다. 이 섹션에서는 그러한 경우 두 가지만 고려하겠습니다. 주제에 대한 자세한 내용은 "지수 속성을 사용하여 표현식 변환" 항목에서 찾을 수 있습니다.
실시예 4
표현을 표현하다 a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5베이스가 있는 학위로 ㅏ.
해결책
먼저 지수화 속성을 사용하고 이를 사용하여 두 번째 요소를 변환합니다. (a 2) - 3. 그런 다음 동일한 밑수를 사용하여 거듭제곱과 나눗셈의 속성을 사용합니다.
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = 2 .
답변: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
각도의 속성에 따른 거듭제곱 표현의 변환은 왼쪽에서 오른쪽으로, 그리고 반대 방향으로 모두 수행될 수 있습니다.
실시예 5
제곱수식 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 의 값을 구합니다.
해결책
평등을 적용하면 (a b) r = a r br, 오른쪽에서 왼쪽으로 3 7 1 3 21 2 3, 21 1 3 21 2 3 형식의 곱을 얻습니다. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱할 때 지수를 추가해 보겠습니다. 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
변환을 수행하는 또 다른 방법이 있습니다.
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
답변: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
실시예 6
거듭제곱 표현이 주어지면 1, 5 − 0, 5 − 6, 새 변수를 입력하세요 티 = 0 , 5.
해결책
학위를 상상해 보세요 1 , 5어떻게 0, 5 3. 학위에서 학위 속성 사용 (a r) s = a r s오른쪽에서 왼쪽으로 (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 을 얻습니다. 결과 표현식에서 새 변수를 쉽게 도입할 수 있습니다. 티 = 0 , 5: 얻다 티 3 − 티 − 6.
답변: t 3 − t − 6 .
거듭제곱이 포함된 분수 변환하기
우리는 일반적으로 분수를 사용하여 거듭제곱 표현의 두 가지 변형을 다룹니다. 표현식은 각도가 있는 분수이거나 그러한 분수를 포함합니다. 모든 기본 분수 변환은 제한 없이 이러한 표현식에 적용 가능합니다. 이를 줄여서 새 분모로 가져오거나 분자와 분모를 별도로 사용하여 작업할 수 있습니다. 예를 들어 이를 설명해 보겠습니다.
실시예 7
거듭제곱 식을 단순화합니다 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
해결책
우리는 분수를 다루고 있으므로 분자와 분모 모두에서 변환을 수행합니다.
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
분모의 부호를 변경하려면 분수 앞에 빼기를 넣으세요. 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
답변: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
거듭제곱을 포함하는 분수는 유리수 분수와 같은 방식으로 새로운 분모로 축소됩니다. 이렇게하려면 추가 요소를 찾아 분수의 분자와 분모에 곱해야합니다. 원래 표현식의 ODZ 변수에서 변수 값이 사라지지 않도록 추가 요소를 선택해야 합니다.
실시예 8
분수를 새로운 분모로 가져옵니다: a) a + 1 a 0, 7을 분모로 ㅏ, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 을 분모 x + 8 y 1 2 로 계산합니다.
해결책
a) 새로운 분모로 축소할 수 있는 요소를 선택합니다. 0, 7 0, 3 = 0, 7 + 0, 3 = ,따라서 추가 요소로 우리는 0, 3. 변수 a의 허용 가능한 값 범위에는 모든 양의 실수 집합이 포함됩니다. 이 분야에서는 학위 0, 3 0으로 가지 않습니다.
분수의 분자와 분모를 곱해 봅시다. 0, 3:
a + 1a 0, 7 = a + 1a 0, 3a 0, 7a 0, 3 = a + 1a 0, 3a
b) 분모에 주의하세요.
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
이 식에 x 1 3 + 2 · y 1 6 을 곱하면 세제곱 x 1 3 과 2 · y 1 6 의 합을 얻습니다. 즉, x + 8 · y 1 2 . 이것이 원래 분수를 가져와야 하는 새로운 분모입니다.
그래서 우리는 추가 인수 x 1 3 + 2 · y 1 6 을 찾았습니다. 허용되는 변수 값의 범위에 대해 엑스그리고 와이 x 1 3 + 2 y 1 6이라는 표현은 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모에 이를 곱할 수 있습니다.
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
답변: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 와이 1 2 .
실시예 9
분수를 줄이세요: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
해결책
a) 분자와 분모를 줄일 수 있는 최대공통분모(GCD)를 사용합니다. 숫자 30과 45의 경우 이는 15 입니다. 우리도 줄일 수 있어요 x 0 , 5 + 1그리고 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
우리는 다음을 얻습니다:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
b) 여기서는 동일한 요인의 존재가 명확하지 않습니다. 분자와 분모에서 동일한 인수를 얻으려면 몇 가지 변환을 수행해야 합니다. 이를 위해 제곱의 차이 공식을 사용하여 분모를 확장합니다.
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
답변: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
분수의 기본 연산에는 새 분모로의 축소와 분수의 축소가 포함됩니다. 두 작업 모두 여러 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더하고 뺄 때 먼저 분수를 공통 분모로 줄인 후 분자를 사용하여 동작(덧셈 또는 뺄셈)을 수행합니다. 분모는 동일하게 유지됩니다. 우리 행동의 결과는 분자가 분자의 곱이고 분모가 분모의 곱인 새로운 분수입니다.
실시예 10
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 단계를 수행합니다.
해결책
괄호 안에 있는 분수를 빼는 것부터 시작하겠습니다. 공통 분모로 가져와 보겠습니다.
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
분자를 빼자:
x1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1×1 2 + 1 1×1 2
이제 분수를 곱합니다.
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
1도씩 줄여보자 x 1 2, 우리는 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 을 얻습니다.
또한 제곱의 차이 공식을 사용하여 분모의 거듭제곱 표현을 단순화할 수 있습니다. 제곱: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
답변: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
실시예 11
x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 제곱 식을 단순화합니다.
해결책
우리는 분수를 다음과 같이 줄일 수 있습니다. (x 2 , 7 + 1) 2. 우리는 분수 x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1을 얻습니다.
x 거듭제곱 x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 의 변환을 계속해 보겠습니다. 이제 동일한 기준으로 거듭제곱 속성을 사용할 수 있습니다. x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
마지막 곱에서 분수 x 1 3 8 x 2, 7 + 1로 전달합니다.
답변: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
대부분의 경우 지수의 부호를 변경하여 음수 지수가 있는 승수를 분자에서 분모로 또는 그 반대로 이동하는 것이 더 편리합니다. 이 조치는 추가 결정을 단순화합니다. 예를 들어 보겠습니다. 거듭제곱 표현식 (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 은 x 3 · (x + 1) 0 , 2 로 대체될 수 있습니다.
근과 거듭제곱을 사용하여 표현식 변환하기
작업에는 분수 지수가 있는 각도뿐만 아니라 근도 포함하는 거듭제곱 표현이 있습니다. 그러한 표현을 근이나 거듭제곱으로만 줄이는 것이 바람직합니다. 학위로의 전환은 작업하기가 더 쉽기 때문에 바람직합니다. 이러한 전환은 원래 표현식에 대한 변수의 DPV를 통해 모듈러스에 액세스하거나 DPV를 여러 간격으로 분할하지 않고도 근을 거듭제곱으로 대체할 수 있는 경우 특히 유리합니다.
실시예 12
x 1 9 x x 3 6 식을 거듭제곱으로 표현하세요.
해결책
변수의 유효한 범위 엑스두 가지 불평등에 의해 결정됩니다. x ≥ 0그리고 x · x 3 ≥ 0 , 이는 집합을 정의합니다. [ 0 , + ∞) .
이 세트에서 우리는 뿌리에서 거듭제곱으로 이동할 권리가 있습니다.
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
각도의 속성을 사용하여 결과 거듭제곱 표현을 단순화합니다.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
답변: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
지수의 변수를 사용하여 거듭제곱 변환
이러한 변환은 학위의 속성을 올바르게 사용하면 매우 간단합니다. 예를 들어, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
일부 변수와 숫자의 합이 구해지는 정도의 곱을 대체할 수 있습니다. 왼쪽에서는 표현식 왼쪽의 첫 번째 항과 마지막 항을 사용하여 이 작업을 수행할 수 있습니다.
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 27 2 x = 0 .
이제 방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. 7 2x. 변수 x의 ODZ에 대한 이 표현식은 양수 값만 취합니다.
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
거듭제곱으로 분수를 줄이면 다음과 같은 결과를 얻습니다: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
마지막으로, 동일한 지수를 갖는 거듭제곱의 비율은 비율의 거듭제곱으로 대체되어 방정식 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 으로 이어지며 이는 5 5 7 x 2 - 3 5 7과 같습니다. x - 2 = 0 .
원래 지수 방정식의 해를 이차 방정식 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 의 해로 줄이는 새로운 변수 t = 5 7 x 를 도입해 보겠습니다.
거듭제곱과 로그를 사용하여 표현식 변환하기
거듭제곱과 로그를 포함하는 표현식도 문제에서 발견됩니다. 이러한 표현식의 예는 다음과 같습니다. 1 4 1 - 5 log 2 3 또는 log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . 이러한 표현식의 변환은 위에서 논의한 접근법과 로그의 속성을 사용하여 수행되며, "로그 표현식의 변환" 주제에서 자세히 분석했습니다.
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지난 비디오 튜토리얼에서 우리는 특정 밑의 정도가 밑과 그 자체의 곱인 표현이며 지수와 같은 양을 취한다는 것을 배웠습니다. 이제 권력의 가장 중요한 속성과 작용 중 일부를 연구해 보겠습니다.
예를 들어, 동일한 밑수를 사용하여 서로 다른 두 가지 거듭제곱을 곱해 보겠습니다.
이 부분을 전체적으로 살펴보겠습니다.
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
이 표현식의 값을 계산하면 숫자 32를 얻게 됩니다. 반면에 동일한 예에서 볼 수 있듯이 32는 동일한 밑수(2)를 5번 곱한 결과로 나타낼 수 있습니다. 그리고 실제로 계산해 보면 다음과 같습니다.
따라서 다음과 같이 안전하게 결론을 내릴 수 있습니다.
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
이 규칙은 모든 지표와 근거에 대해 성공적으로 작동합니다. 이러한 정도의 곱셈 속성은 제품의 변형 중에 표현의 의미를 보존하는 규칙에 따릅니다. 임의의 밑 a에 대해 두 표현식 (a) x와 (a) y의 곱은 a (x + y)와 같습니다. 즉, 동일한 기수를 갖는 임의의 수식을 생성할 때, 최종 단항식은 첫 번째 수식과 두 번째 수식의 차수를 더한 전체 차수를 갖습니다.
제시된 규칙은 여러 표현식을 곱할 때도 효과적입니다. 주된 조건은 모든 것의 기반이 동일하다는 것입니다. 예를 들어:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
학위를 추가하는 것은 불가능하며 일반적으로 기반이 다른 경우 표현의 두 요소를 사용하여 힘의 공동 작업을 수행합니다.
비디오에서 볼 수 있듯이 곱셈과 나눗셈 과정의 유사성으로 인해 곱셈 중 거듭제곱을 추가하는 규칙이 나눗셈 절차로 완벽하게 전달됩니다. 다음 예를 고려하십시오.
표현식을 용어별로 완전한 형태로 변환하고 피제수와 제수에서 동일한 요소를 줄여보겠습니다.
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
이 예의 최종 결과는 그다지 흥미롭지 않습니다. 왜냐하면 이미 해를 구하는 과정에서 표현식의 값이 2의 제곱과 같다는 것이 분명하기 때문입니다. 그리고 첫 번째 표현의 정도에서 두 번째 표현의 정도를 뺀 것이 듀스이다.
몫의 차수를 결정하려면 피제수 차수에서 제수 차수를 빼야 합니다. 이 규칙은 모든 가치와 모든 자연력에 대해 동일한 기반으로 작동합니다. 추상적인 형태로 우리는 다음을 갖습니다:
(a) x / (a) y = (a) x - y
0차에 대한 정의는 동일한 기수를 거듭제곱으로 나누는 규칙을 따릅니다. 당연히 다음 표현식은 다음과 같습니다.
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
반면에 좀 더 시각적인 방법으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
분수의 모든 보이는 요소를 줄이면 항상 1/1이라는 표현, 즉 1이 얻어집니다. 따라서 일반적으로 0의 거듭제곱으로 올린 밑수는 1과 같다고 인정됩니다.
a의 가치에 관계없이.
그러나 0(곱셈에 대해 여전히 0을 제공함)이 어떻게든 1과 같다면 터무니없을 것입니다. 따라서 (0) 0(0에서 0까지)과 같은 표현은 단순히 의미가 없으며 공식 (a) 0 = 1 조건을 추가합니다: "a가 0과 같지 않은 경우".
운동을 하자. 표현식의 값을 찾아보겠습니다.
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
밑은 어디에서나 동일하고 34와 같기 때문에 최종 값은 위의 규칙에 따라 각도가 있는 동일한 밑을 갖게 됩니다.
다시 말해서:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
답: 표현은 1과 같습니다.
이번 강의에서 우리는 학위 속성자연 지표와 0이 있습니다. 합리적인 지표를 갖춘 학위와 그 속성은 8학년 수업에서 논의됩니다.
자연 지수가 있는 지수에는 지수 예제에서 계산을 단순화할 수 있는 몇 가지 중요한 속성이 있습니다.
속성 #1
권력의 산물
기억하다!
동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하면 밑수는 변경되지 않고 지수가 더해집니다.
a m a n \u003d a m + n, 여기서 " a"- 임의의 숫자, " m", " n"- 임의의 자연수.
이러한 거듭제곱의 속성은 세 개 이상의 거듭제곱의 곱에도 영향을 미칩니다.
- 표현을 단순화하세요.
ㄴ 2 ㄴ 3 ㄴ 4 ㄴ 5 = ㄴ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ㄴ 15 - 학위로 제시하세요.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - 학위로 제시하세요.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
중요한!
표시된 속성에서는 거듭제곱을 곱하는 것에 대해서만 설명했습니다. 같은 근거 . 추가에는 적용되지 않습니다.
합 (3 3 + 3 2)을 3 5 로 바꿀 수 없습니다. 이것은 이해할 수 있습니다
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 및 3 5 = 243을 계산합니다.
속성 #2
사립 학위
기억하다!
동일한 밑수로 거듭제곱을 나누는 경우 밑수는 변경되지 않고 그대로 유지되며 피제수 지수에서 제수의 지수를 뺍니다.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: 티 = 3 4
티 = 3 8 − 4
답: t = 3 4 = 81속성 1번과 2번을 사용하면 표현식을 쉽게 단순화하고 계산을 수행할 수 있습니다.
- 예. 표현을 단순화하세요.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - 예. 학위 속성을 사용하여 표현식의 값을 찾습니다.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 중요한!
속성 2는 동일한 기반을 가진 권력 분할만을 다루었습니다.
차이(4 3 −4 2)를 4 1 로 바꿀 수 없습니다. 이것은 우리가 고려한다면 이해할 수 있다 (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , 그리고 4 1 = 4
조심하세요!
속성 #3
지수화기억하다!
거듭제곱을 거듭제곱할 때 거듭제곱의 밑수는 변하지 않고 지수는 곱해집니다.
(an) m \u003d a n m, 여기서 "a"는 임의의 숫자이고 "m", "n"은 자연수입니다.
속성 4
제품 정도기억하다!
제품을 거듭제곱하면 각 요소가 거듭제곱됩니다. 그런 다음 결과가 곱해집니다.
(a b) n \u003d a n b n, 여기서 "a", "b"는 유리수입니다. "n" - 임의의 자연수.
- 실시예 1
(6a2b3c) 2 = 62a22b32s12 = 36a4b6s2 - 실시예 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
중요한!
다른 학위 속성과 마찬가지로 속성 번호 4도 역순으로 적용됩니다.
(a n b n)= (a b) n즉, 동일한 지수로 도를 곱하려면 밑수를 곱하고 지수는 변경하지 않고 그대로 둘 수 있습니다.
- 예. 계산하다.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000 - 예. 계산하다.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
더 복잡한 예에서는 밑수와 지수가 서로 다른 거듭제곱에 대해 곱셈과 나눗셈을 수행해야 하는 경우가 있을 수 있습니다. 이 경우 다음을 수행하는 것이 좋습니다.
예를 들어, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
소수 분수의 지수화의 예.
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4속성 5
몫(분수)의 거듭제곱기억하다!
몫을 거듭제곱하려면 피제수와 제수를 별도로 이 거듭제곱에 올리고 첫 번째 결과를 두 번째 결과로 나눌 수 있습니다.
(a: b) n \u003d a n: b n, 여기서 "a", "b"는 유리수이고, b ≠ 0, n은 자연수입니다.
- 예. 식을 부분 거듭제곱으로 표현합니다.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
몫은 분수로 표현될 수 있다는 점을 상기시켜 드립니다. 따라서 다음 페이지에서 분수를 거듭제곱하는 주제에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.
- 실시예 1
