Hangi denkleme tek değişkenli doğrusal denir. Tek değişkenli doğrusal denklemlerin çözümü. Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Doğrusal denklemleri çözerken, denklemi doğru eşitliğe dönüştürecek bir değişkenin kökünü, yani değerini bulmaya çalışırız.

İhtiyacınız olan denklemin kökünü bulmak için eşdeğer dönüşümler bize verilen denklemi forma getirir

\(x=[sayı]\)

Bu sayı kök olacaktır.

Yani denklemi, kökün belli olduğu tamamen ilkel bir "x = sayı" denklemine indirgeyene kadar her adımda kolaylaştırarak dönüştürüyoruz. Doğrusal denklemlerin çözümünde en yaygın kullanılanlar aşağıdaki dönüşümlerdir:

Örneğin: denklemin her iki tarafına \(5\) ekleyin \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Lütfen aynı sonucu daha hızlı elde edebileceğimizi unutmayın; sadece denklemin diğer tarafına beşi yazıp bu süreçte işaretini değiştirerek. Aslında okul tam da bu şekilde “eşitlerden işaret değiştirerek diğerine geçiş” yapıyor.

2. Bir denklemin her iki tarafını aynı sayı veya ifadeyle çarpmak veya bölmek.

Örneğin: \(-2x=8\) denklemini eksi ikiye bölün

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Genellikle bu adım en sonunda, denklem zaten \(ax=b\)'ye indirgendiğinde gerçekleştirilir ve onu soldan çıkarmak için \(a\)'ya böleriz.

3. Matematiğin özelliklerini ve yasalarını kullanma: parantezleri açma, benzer terimleri azaltma, kesirleri azaltma vb.

\(2x\) sola ve sağa ekleyin

Denklemin her iki tarafından \(24\) çıkarın

Yine benzer terimleri sunuyoruz

Şimdi denklemi \ (-3 \) ile bölüyoruz, böylece sol taraftaki x'in önünü kaldırıyoruz.

Cevap : \(7\)

Cevap bulundu. Ancak yine de kontrol edelim. Eğer yedi gerçekten bir kökse, o zaman orijinal denklemde x yerine bunu koymak doğru eşitliğe yol açmalıdır; solda ve sağda aynı sayılar. Deneriz.

Muayene:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Kabul. Bu, yedinin aslında orijinal doğrusal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Özellikle bir test veya sınavda bir denklem çözüyorsanız, yerine koyarak bulduğunuz cevapları kontrol etme konusunda tembel olmayın.

Soru hala ortada: Bir sonraki adımda denklemle ne yapılacağı nasıl belirlenecek? Tam olarak nasıl dönüştürülür? Bir şeyler paylaş? Yoksa çıkarma mı? Peki tam olarak neyi çıkarmalı? Ne paylaşılmalı?

Cevap basit:

Amacınız denklemi \(x=[sayı]\ biçimine getirmektir, yani solda katsayılar ve sayılar olmadan x ve sağda değişkenler olmadan yalnızca bir sayı. Öyleyse seni neyin durdurduğunu gör ve müdahale eden bileşenin yaptığının tam tersini yapın.

Bunu daha iyi anlamak için \(x+3=13-4x\) doğrusal denkleminin adım adım çözümünü ele alalım.

Bir düşünelim: Bu denklemin \(x=[sayı]\)'dan farkı nedir? Bizi durduran ne? Sorun nedir?

Öncelikle üçlü müdahale ediyor, çünkü solda yalnızca sayılar olmadan yalnız bir X olması gerekiyor. Peki üçlü ne yapıyor? Katma xx'e. Yani, onu kaldırmak için - çıkarma aynı üçlü. Ancak soldan bir üçlü çıkarırsak eşitliğin bozulmaması için sağdan da çıkarmamız gerekir.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

İyi. Şimdi seni durduran ne? \(4x\) sağda, çünkü yalnızca sayı içermesi gerekiyor. \(4x\) çıkarıldı- kaldırmak ekleme.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Şimdi sol ve sağ tarafta benzer terimleri veriyoruz.

Neredeyse hazır. Soldaki beşi kaldırmak için kalır. O ne yapıyor"? çarpılmış x'te. Bu yüzden onu kaldırıyoruz bölüm.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Çözüm tamamlandı, denklemin kökü iki. Değiştirerek kontrol edebilirsiniz.

dikkat et ki çoğu zaman doğrusal denklemlerde yalnızca bir kök bulunur. Ancak iki özel durum ortaya çıkabilir.

Özel durum 1 - Doğrusal bir denklemde kök yoktur.

Örnek . \(3x-1=2(x+3)+x\) denklemini çözün

Çözüm :

Cevap : kök yok.

Aslında böyle bir sonuca varacağımız gerçeği daha önce \(3x-1=3x+6\) elde ettiğimizde de görülmüştü. Bir düşünün: \(3x\), \(1\)'in çıkarıldığı ve \(6\)'nın eklendiği \(3x\) nasıl eşit olabilir? Açıkçası hayır, çünkü aynı şeyle farklı eylemler yaptılar! Sonuçların farklı olacağı açıktır.

Özel durum 2 - Bir doğrusal denklemin sonsuz sayıda kökü vardır.

Örnek . Doğrusal denklemi çözün \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Çözüm :

Cevap : herhangi bir numara.

Bu arada, bu daha da erken bir aşamada farkedildi: \(8x+12=8x+12\). Aslında sol ve sağ aynı ifadelerdir. Yerine hangi x'i koyarsanız koyun, hem orada hem de orada aynı sayı olacaktır.

Daha karmaşık doğrusal denklemler.

Orijinal denklem her zaman doğrudan doğrusal bir denklem gibi görünmez, bazen daha karmaşık denklemler gibi "gizlenir". Ancak dönüşüm sürecinde maskeleme azalır.

Örnek . \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\) denkleminin kökünü bulun

Çözüm :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Görünüşe göre burada bir x kare var - bu doğrusal bir denklem değil! Ama acele etmeyin. Hadi Başvuralım
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Neden \((x-4)^(2)\) genişletmesinin sonucu parantez içinde ama \((3+x)^(2)\)'nin sonucu yok? Çünkü ilk karenin önünde tüm işaretleri değiştirecek bir eksi var. Ve bunu unutmamak için sonucu şimdi açtığımız parantez içinde alıyoruz.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Benzer şartlar veriyoruz
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Yine benzerleri var.
		Bunun gibi. Orijinal denklemin oldukça doğrusal olduğu ve x karenin kafamızı karıştıracak bir ekrandan başka bir şey olmadığı ortaya çıktı. :) Denklemi \(2\)'ye bölerek çözümü tamamlıyoruz ve cevabı buluyoruz.

Cevap : \(x=5\)

Örnek . Doğrusal denklemi çözün \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Çözüm :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Denklem doğrusal görünmüyor, bazı kesirler... Ancak denklemin her iki kısmını da hepsinin ortak paydası olan altıyla çarparak paydalardan kurtulalım.
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Sol taraftaki braketi açın
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Şimdi paydaları azaltıyoruz
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Şimdi normal bir doğrusal olana benziyor! Hadi çözelim.
		Eşitler üzerinden aktarım yaparak sağdaki x'leri, soldaki sayıları topluyoruz
		Peki, sağ ve sol kısımlara \ (-4 \) bölerek cevabı alıyoruz

Cevap : \(x=-1,25\)

Değişkenle eşitlik f(x) = g(x) tek değişkenli x denklemine denir. Değişkenin f(x) ve g(x)'in eşit sayısal değerler aldığı her değerine böyle bir denklemin kökü denir. Bu nedenle bir denklemi çözmek, denklemin tüm köklerini bulmak veya olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

x 2 + 1 = 0 denkleminin gerçek kökleri yoktur ancak hayali kökleri vardır: bu durum bunlar x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i kökleridir. Bundan sonra sadece denklemin gerçek kökleriyle ilgileneceğiz.

Denklemlerin kökleri aynıysa bunlara eşdeğer denir. Kökü olmayan denklemler eşdeğerdir.

Denklemlerin eşdeğer olup olmadığını belirleyelim:

a) x + 2 = 5 ve x + 5 = 8

1. İlk denklemi çözün

2. İkinci denklemi çözün

Denklemlerin kökleri aynı olduğundan x + 2 = 5 ve x + 5 = 8 eşdeğerdir.

b) x 2 + 1 = 0 ve 2x 2 + 5 = 0

Bu denklemlerin her ikisinin de gerçek kökleri yoktur, dolayısıyla eşdeğerdirler.

c) x - 5 \u003d 1 ve x 2 \u003d 36

1. İlk denklemin köklerini bulun

2. İkinci denklemin köklerini bulun

x 1 = 6, x 2 = -6

Denklemlerin kökleri eşleşmediğinden x - 5 \u003d 1 ve x 2 \u003d 36 eşdeğer değildir.

Bir denklemi çözerken onu eşdeğer ama daha basit bir denklemle değiştirmeye çalışırlar. Bu nedenle bu denklemin hangi dönüşümler sonucunda kendisine eşdeğer bir denklem haline geldiğini bilmek önemlidir.

Teorem 1. Bir denklemdeki herhangi bir terim, işareti değiştirilerek bir bölümden diğerine aktarılırsa, verilene eşdeğer bir denklem elde edilecektir.

Örneğin x 2 + 2 = 3x denklemi, x 2 + 2 - 3x = 0 denklemine eşdeğerdir.

Teorem 2. Denklemin her iki kısmı da aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse (sıfıra eşit değilse), verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Örneğin, (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x denklemi, x 2 - 1 \u003d 6x denklemine eşdeğerdir. İlk denklemin her iki tarafını da 3 ile çarpıyoruz.

Tek değişkenli doğrusal bir denklem, ax \u003d b biçiminde bir denklemdir; burada a ve b gerçek sayılardır ve a'ya değişkenin katsayısı denir ve b serbest terimdir.

ax = b doğrusal denkleminin üç durumunu düşünün.

1. a ≠ 0. Bu durumda x \u003d b / a (çünkü a sıfır değildir).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. Denklem şu formu alacaktır: 0 ∙ x \u003d 0. Bu denklem herhangi bir x için doğrudur, yani. Denklemin kökü herhangi bir gerçek sayıdır.

3. a \u003d 0, b ≠ 0. Bu durumda denklemin kökleri olmayacaktır çünkü sıfıra bölmek yasaktır (0 ∙ x = b).

Dönüşümler sonucunda birçok denklem doğrusal hale getirilir.

Denklemleri Çözme

a) (1/5) x + 2/15 = 0

1. 2/15 bileşenini denklemin sol tarafından ters işaretli sağ tarafa taşıyın. Böyle bir dönüşüm Teorem 1'e tabidir. Dolayısıyla denklem şu şekli alacaktır: (1/5)x = -2/15.

2. Paydadan kurtulmak için denklemin her iki tarafını da 15 ile çarpıyoruz. Teorem 2 bunu yapmamıza izin veriyor. Yani denklem şu şekli alacaktır:

(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

Dolayısıyla denklemin kökü -2/3'tür.

b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. Paydadan kurtulmak için denklemin her iki kısmını da çarpıyoruz 12'de (Teorem 2'ye göre). Denklem şu şekli alacaktır:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. Teorem 1'i kullanarak sağdaki tüm sayıları ve soldaki x'li bileşenleri “toplarız”. Denklem şu şekli alacaktır:

10 +12 \u003d 5x - x

Dolayısıyla denklemin kökü 5,5'tir.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması durumunda kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Parantez açıldıktan ve benzer terimler azaltıldıktan sonra şu şekli alan, bir bilinmeyenli denklem

balta + b = 0 a ve b'nin keyfi sayılar olduğu yere denir Doğrusal Denklem bilinmeyen biriyle. Bugün bu doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceğini bulacağız.

Örneğin, tüm denklemler:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - doğrusal.

Denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bilinmeyenin değerine denir. karar veya denklemin kökü .

Örneğin, 3x + 7 \u003d 13 denkleminde bilinmeyen x yerine 2 sayısını değiştirirsek, o zaman doğru eşitlik 3 2 + 7 \u003d 13'ü elde ederiz. Dolayısıyla x \u003d 2 değeri çözümdür veya denklemin kökü.

Ve x \u003d 3 değeri, 3x + 7 \u003d 13 denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştürmez, çünkü 3 2 + 7 ≠ 13. Bu nedenle, x \u003d 3 değeri, denklemin bir çözümü veya kökü değildir.

Herhangi bir doğrusal denklemin çözümü, formdaki denklemlerin çözümüne indirgenir.

balta + b = 0.

Serbest terimi denklemin sol tarafından sağa aktarırız, b'nin önündeki işareti ters yönde değiştirirken şunu elde ederiz:

a ≠ 0 ise x = – b/a .

örnek 1 3x + 2 =11 denklemini çözün.

Denklemin sol tarafındaki 2'yi sağ tarafa aktarırız, 2'nin önündeki işareti ters tarafa çevirirken şunu elde ederiz:
3x \u003d 11 - 2.

O zaman çıkarma işlemini yapalım
3x = 9.

X'i bulmak için ürünü bilinen bir faktöre bölmeniz gerekir;
x = 9:3.

Yani x = 3 değeri denklemin çözümü veya köküdür.

Cevap: x = 3.

a = 0 ve b = 0 ise 0x \u003d 0 denklemini elde ederiz. Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b de 0'dır. Bu denklemin çözümü herhangi bir sayıdır.

Örnek 2 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 denklemini çözün.

Parantezleri genişletelim:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

İşte benzer üyeler:
0x = 0.

Cevap: x herhangi bir sayıdır.

a = 0 ve b ≠ 0 ise 0x = - b denklemini elde ederiz. Bu denklemin hiçbir çözümü yoktur, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b ≠ 0 olur.

Örnek 3 x + 8 = x + 5 denklemini çözün.

Sol tarafta bilinmeyen içeren terimleri, sağ tarafta ise serbest terimleri gruplayalım:
x - x \u003d 5 - 8.

İşte benzer üyeler:
0x = - 3.

Cevap: Çözüm yok.

Açık Şekil 1 doğrusal denklemin çözüm şeması gösterilmiştir

Tek değişkenli denklemleri çözmek için genel bir şema oluşturalım. Örnek 4'ün çözümünü düşünün.

Örnek 4 Denklemi çözelim

1) Denklemin tüm terimlerini paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.

2) İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Bilinmeyen ve serbest üyeler içeren üyeleri ayırmak için parantezleri açın:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Bir bölümde bilinmeyenleri içeren terimleri, diğer bölümde ise serbest terimleri gruplandırıyoruz:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) İşte benzer üyeler:
- 22x = - 154.

6) -22'ye bölersek elde ederiz
x = 7.

Gördüğünüz gibi denklemin kökü yedidir.

Genel olarak böyle denklemler aşağıdaki gibi çözülebilir:

a) denklemi tamsayı formuna getirin;

b) açık parantezleri;

c) bilinmeyeni içeren terimleri denklemin bir kısmında, serbest terimleri ise diğer kısmında gruplandırın;

d) benzer üyeleri getirmek;

e) Benzer terimlerin getirilmesinden sonra elde edilen aх = b formundaki bir denklemi çözün.

Ancak bu şema her denklem için gerekli değildir. Birçok basit denklemi çözerken, birinciden değil ikinciden başlamak gerekir ( Örnek. 2), üçüncü ( Örnek. 13) ve hatta örnek 5'teki gibi beşinci aşamadan itibaren.

Örnek 5 2x = 1/4 denklemini çözün.

Bilinmeyen x \u003d 1/4: 2'yi buluyoruz,
x = 1/8 .

Ana durum sınavında karşılaşılan bazı doğrusal denklemlerin çözümünü düşünün.

Örnek 6 Denklem 2'yi (x + 3) = 5 - 6x'i çözün.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Cevap: - 0,125

Örnek 7 Denklemi çözün - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Cevap: 2.3

Örnek 8 Denklemi çözün

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Örnek 9 f(x + 2) = 3 7 ise f(6)'yı bulun

Çözüm

f(6)'yı bulmamız gerektiğinden ve f(x + 2)'yi bildiğimizden,
o zaman x + 2 = 6.

Doğrusal denklem x + 2 = 6'yı çözüyoruz,
x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 elde ederiz.

Eğer x = 4 ise
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Cevap: 27.

Hala sorularınız varsa, denklemlerin çözümüyle daha ayrıntılı bir şekilde ilgilenme isteğiniz varsa, PROGRAM'daki derslerime kaydolun. Sana yardım etmekten memnun olacağım!

TutorOnline ayrıca eğitmenimiz Olga Alexandrovna'nın hem doğrusal denklemleri hem de diğerlerini anlamanıza yardımcı olacak yeni video eğitimini izlemenizi önerir.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması durumunda kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Ve böylece, diğer türdeki denklemlerle tanışmak mantıklıdır. Sıradakiler doğrusal denklemler Amaca yönelik çalışması 7. sınıftaki cebir derslerinde başlar.

Öncelikle doğrusal bir denklemin ne olduğunu açıklamanız, doğrusal bir denklemin tanımını, katsayılarını vermeniz, göstermeniz gerektiği açıktır. Genel form. Daha sonra katsayıların değerlerine bağlı olarak bir doğrusal denklemin kaç çözümü olduğunu ve köklerinin nasıl bulunduğunu öğrenebilirsiniz. Bu, örnekleri çözmeye devam etmenize ve böylece çalışılan teoriyi pekiştirmenize olanak sağlayacaktır. Bu yazıda şunu yapacağız: Lineer denklemler ve bunların çözümü ile ilgili tüm teorik ve pratik noktalar üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.

Hemen diyelim ki burada yalnızca tek değişkenli doğrusal denklemleri ele alacağız ve ayrı bir makalede çözme ilkelerini inceleyeceğiz. iki değişkenli doğrusal denklemler.

Sayfada gezinme.

Doğrusal denklem nedir?

Doğrusal bir denklemin tanımı, gösteriminin biçimiyle verilir. Üstelik farklı matematik ve cebir ders kitaplarında doğrusal denklem tanımlarının formülasyonlarında konunun özünü etkilemeyen bazı farklılıklar bulunmaktadır.

Örneğin, Yu N. Makarycheva ve diğerleri tarafından 7. sınıfa yönelik bir cebir ders kitabında doğrusal bir denklem şu şekilde tanımlanır:

Tanım.

Denklemi yazın balta=b x'in bir değişken, a ve b'nin ise bazı sayılar olduğu duruma ne ad verilir? tek değişkenli doğrusal denklem.

Sesli tanıma karşılık gelen doğrusal denklem örnekleri verelim. Örneğin, 5 x=10 tek değişkenli bir doğrusal denklemdir x , burada a katsayısı 5 ve b sayısı 10'dur. Başka bir örnek: −2,3 y=0 da doğrusal bir denklemdir, ancak y değişkeniyle birlikte a=−2,3 ve b=0 . Ve doğrusal denklemlerde x=−2 ve −x=3.33 a açıkça mevcut değildir ve sırasıyla 1 ve −1'e eşittir; ilk denklemde b=−2 ve ikincisinde - b=3.33 .

Bir yıl önce, N.Ya.Vilenkin'in matematik ders kitabında, a x = b formundaki denklemlere ek olarak, bir bilinmeyenli doğrusal denklemler de terimlerin bir bölümden aktarılmasıyla bu forma indirgenebilen denklemler olarak kabul ediliyordu. Denklemin zıt işaretli bir başkasına dönüştürülmesinin yanı sıra benzer terimler indirgenerek de elde edilebilir. Bu tanıma göre 5 x=2 x+6 vb. formundaki denklemler aynı zamanda doğrusaldır.

Buna karşılık, A. G. Mordkovich'in 7 derslik cebir ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir:

Tanım.

Tek değişkenli x ile doğrusal denklem a x+b=0 biçiminde bir denklemdir; burada a ve b, doğrusal denklemin katsayıları olarak adlandırılan bazı sayılardır.

Örneğin, bu tür doğrusal denklemler 2 x−12=0'dır, burada a katsayısı 2'ye, b ise −12'ye eşittir ve katsayılar a=0,2 ve b =4,6 ile 0,2 y+4,6=0'dır. Ancak aynı zamanda a x+b=0 değil a x=b biçiminde olan doğrusal denklem örnekleri de vardır, örneğin 3 x=12 .

Gelecekte herhangi bir tutarsızlıkla karşılaşmamak için, tek değişkenli x ve katsayıları a ve b olan doğrusal bir denklem altında a x+b=0 şeklinde bir denklem anlayalım. Bu tip lineer denklem en mantıklısı gibi görünüyor çünkü lineer denklemler cebirsel denklemler Birinci derece. Yukarıda belirtilen diğer tüm denklemlere ve eşdeğer dönüşümler yardımıyla a x+b=0 formuna indirgenen denklemlere denir. doğrusal denklemlere indirgenen denklemler. Bu yaklaşımla, 2 x+6=0 denklemi doğrusal bir denklemdir ve 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 vb. doğrusal denklemlerdir.

Doğrusal denklemler nasıl çözülür?

Şimdi a x+b=0 doğrusal denklemlerinin nasıl çözüldüğünü bulmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, doğrusal denklemin köklerinin olup olmadığını, varsa kaç tane olduğunu ve bunların nasıl bulunacağını öğrenmenin zamanı geldi.

Doğrusal bir denklemin köklerinin varlığı a ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır. Bu durumda, a x+b=0 doğrusal denklemi

• a≠0'daki tek kök,
• a=0 ve b≠0 için kökleri yoktur,
• a=0 ve b=0 için sonsuz sayıda kökü vardır; bu durumda herhangi bir sayı doğrusal bir denklemin köküdür.

Bu sonuçların nasıl elde edildiğini açıklayalım.

Denklemleri çözebilmek için orijinal denklemden eşdeğer denklemlere, yani kökleri aynı olan veya orijinali gibi kökleri olmayan denklemlere geçmenin mümkün olduğunu biliyoruz. Bunu yapmak için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri kullanabilirsiniz:

• Bir terimin denklemin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılması,
• ve ayrıca denklemin her iki tarafının da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması veya bölünmesi.

Yani, a x+b=0 şeklinde bir değişkene sahip bir doğrusal denklemde, b terimini sol taraftan sağ tarafa ters işaretle taşıyabiliriz. Bu durumda denklem a x=−b formunu alacaktır.

Ve sonra denklemin her iki bölümünün de a sayısına bölünmesi kendini gösteriyor. Ancak bir şey var: a sayısı sıfıra eşit olabilir, bu durumda böyle bir bölme mümkün değildir. Bu sorunu çözmek için öncelikle a sayısının sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız ve biraz sonra sıfır a durumunu ayrıca ele alacağız.

Yani, a sıfıra eşit olmadığında, a x=−b denkleminin her iki kısmını da a'ya bölebiliriz, ardından x=(−b):a biçimine dönüştürülür, bu sonuç a kullanılarak yazılabilir. gibi düz bir çizgi.

Dolayısıyla, a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemi, kökü görülebilen denkleme eşdeğerdir.

Bu kökün tek olduğunu, yani doğrusal denklemin başka köklerinin olmadığını göstermek kolaydır. Bu, tam tersi yöntemi yapmanızı sağlar.

Kökünü x 1 olarak gösterelim. Doğrusal denklemin x 2 ve x 2 ≠ x 1 olarak gösterdiğimiz başka bir kökü olduğunu varsayalım; fark yoluyla eşit sayıların tanımları x 1 − x 2 ≠0 koşuluna eşdeğerdir. x 1 ve x 2, a x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri olduğundan, a x 1 +b=0 ve a x 2 +b=0 sayısal eşitlikleri gerçekleşir. Sayısal eşitliklerin özelliklerinin yapmamıza izin verdiği şekilde bu eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarabiliriz, elimizde a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 bulunur, dolayısıyla a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 ve sonra a (x 1 − x 2)=0 . Ve hem a≠0 hem de x 1 − x 2 ≠0 olduğundan bu eşitlik imkansızdır. Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökünün benzersizliğini kanıtlayan bir çelişkiye geldik.

Böylece a≠0 ile ax+b=0 doğrusal denklemini çözdük. Bu alt bölümün başında verilen ilk sonuç haklıdır. a=0 koşulunu karşılayan iki tane daha var.

a=0 için a·x+b=0 doğrusal denklemi 0·x+b=0 olur. Bu denklemden ve sayıları sıfırla çarpma özelliğinden, x olarak hangi sayıyı alırsak alalım, onu 0 x+b=0 denkleminde yerine koyduğumuzda b=0 sayısal eşitliğini elde ettiğimiz sonucu çıkar. Bu eşitlik b=0 olduğunda doğrudur, diğer durumlarda b≠0 olduğunda bu eşitlik yanlıştır.

Bu nedenle a=0 ve b=0 için herhangi bir sayı a x+b=0 doğrusal denkleminin köküdür, çünkü bu koşullar altında x yerine herhangi bir sayıyı koymak doğru sayısal eşitliği 0=0 verir. Ve a=0 ve b≠0 için, a x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri yoktur, çünkü bu koşullar altında x yerine herhangi bir sayıyı koymak yanlış bir b=0 sayısal eşitliğine yol açar.

Yukarıdaki gerekçeler, herhangi bir doğrusal denklemin çözülmesine izin veren bir dizi eylem oluşturmayı mümkün kılar. Bu yüzden, doğrusal bir denklemi çözmek için algoritma dır-dir:

• Öncelikle doğrusal bir denklem yazarak a ve b katsayılarının değerlerini buluyoruz.
• Eğer a=0 ve b=0 ise bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır, yani her sayı bu doğrusal denklemin köküdür.
• Eğer a sıfırdan farklıysa, o zaman
• b katsayısı ters işaretle sağ tarafa aktarılırken, doğrusal denklem a x=−b formuna dönüştürülür,
• bundan sonra ortaya çıkan denklemin her iki kısmı da sıfır olmayan bir a sayısına bölünür; bu, orijinal doğrusal denklemin istenen kökünü verir.

Yazılı algoritma, doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceği sorusuna kapsamlı bir yanıttır.

Bu paragrafın sonuç olarak, a x=b formundaki denklemleri çözmek için benzer bir algoritmanın kullanıldığını söylemekte yarar var. Farkı, a≠0 olduğunda denklemin her iki kısmının da hemen bu sayıya bölünmesidir, burada b zaten denklemin istenen kısmındadır ve aktarılmasına gerek yoktur.

a x=b formundaki denklemleri çözmek için aşağıdaki algoritma kullanılır:

• Eğer a=0 ve b=0 ise denklemin herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda kökü vardır.
• Eğer a=0 ve b≠0 ise orijinal denklemin kökleri yoktur.
• A sıfır değilse, denklemin her iki tarafı sıfır olmayan bir a sayısına bölünür ve buradan denklemin b / a'ya eşit tek kökü bulunur.

Doğrusal denklem çözme örnekleri

Hadi uygulamaya geçelim. Doğrusal denklemlerin çözümüne yönelik algoritmanın nasıl uygulandığını analiz edelim. Doğrusal denklem katsayılarının farklı değerlerine karşılık gelen tipik örneklerin çözümlerini sunalım.

Örnek.

0 x−0=0 doğrusal denklemini çözün.

Çözüm.

Bu doğrusal denklemde a=0 ve b=−0 olup, b=0 ile aynıdır. Dolayısıyla bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır ve her sayı bu denklemin köküdür.

Cevap:

x herhangi bir sayıdır.

Örnek.

0 x+2,7=0 doğrusal denkleminin çözümleri var mı?

Çözüm.

Bu durumda a katsayısı sıfıra eşit olup bu doğrusal denklemin b katsayısı 2,7'ye eşit yani sıfırdan farklıdır. Bu nedenle doğrusal denklemin kökleri yoktur.

Bu videoda, aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Başlangıç ​​​​olarak tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denmelidir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit denklemlere indirgenir:

1. Varsa parantezleri açın;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Benzer terimleri eşittir işaretinin soluna ve sağına getirin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey elde ettiğinizde, yani. solda sıfır ve sağda sıfır olmayan bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun olası olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek problemler örneğinde her şeyin nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri açmanız gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. O zaman benzerini getir
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şey - içerdiği terimler - bir tarafa, onsuz kalan her şey ise diğer tarafa aktarılır.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzer bir şey getirmeniz gerekir ve bundan sonra sadece "x" katsayısına bölmek kalır ve son cevabı alırız.

Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Genellikle parantezleri açarken veya "artıları" ve "eksileri" sayarken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da olur; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu incelikleri analiz edeceğiz. Ancak zaten anladığınız gibi en basit görevlerle başlayacağız.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

Başlangıç ​​olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri ayırın, ör. "x" içeren her şey bir tarafa, "x" olmadan diğer tarafa aktarılır.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, belli incelikleri ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev 1

İlk adımda parantezleri açmamız gerekiyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen unutmayın: yalnızca bireysel terimlerden bahsediyoruz. Hadi yaz:

Solda ve sağda benzer terimler veriyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle dördüncü adıma geçiyoruz: bir faktöre bölmek:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

İşte cevabı aldık.

Görev #2

Bu görevde parantezleri gözlemleyebiliriz, o yüzden onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı yapıyı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. ayırıcı değişkenler:

İşte bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev #3

Üçüncü doğrusal denklem zaten daha ilginç:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Burada birkaç parantez var ama hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önlerinde farklı işaretler var. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hesaplayalım:

biz yürütüyoruz son adım- her şeyi "x" katsayısına bölün:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri görmezden gelirsek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarına sıfır girebilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır, geri kalanıyla aynı sayıdır, bir şekilde onu ayırt etmemeli veya sıfır alırsanız yanlış bir şey yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise parantezlerin genişletilmesiyle ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalara göre açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede bu tür eylemlerin kaçınılmaz olduğu durumlarda aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha karmaşık denklemlere geçelim. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalısınız, çünkü yazarın niyetine göre doğrusal bir denklemi çözersek, o zaman dönüşüm sürecinde ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar mutlaka azaltılacaktır.

Örnek 1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliği ele alalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte bazıları:

Açıkçası, bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevapta aşağıdakileri yazıyoruz:

\[\çeşitlilik \]

veya kökleri yoktur.

Örnek #2

Aynı adımları gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazıyoruz:

\[\varhiçbir şey\],

veya kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifade örneğini kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin o kadar basit olamayacağını bir kez daha gördük: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda olabilir. Bizim durumumuzda iki denklemi ele aldık, her ikisinde de kök yok.

Ancak dikkatinizi başka bir gerçeğe çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl genişletilir. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi "x" ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çarpın her bir terim. İçeride iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantez kendisinden sonra eksi işareti olduğu açısından açılabilir. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Denklem çözmek her zaman bir dizi temel dönüşüm olduğundan, basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açıyor.

Elbette bu becerileri otomatizme kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek yok, her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Bir geri çekilme yapalım:

İşte bazıları:

Son adımı yapalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar karşılıklı olarak iptal edilir, bu da denklemi kare değil tam olarak doğrusal yapar.

Görev #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde yapalım: İlk parantez içindeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpın. Dönüşümlerden sonra toplamda dört yeni terim elde edilmelidir:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatlice gerçekleştirin:

"X" olan terimleri sola, olmayan - sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Kesin bir cevap aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: İçinde birden fazla terim bulunan parantezleri çarpmaya başladığımızda, bu işlem şu kurala göre yapılır: ilk terimden ilk terimi alır ve her elemanla çarparız. ikincisinden; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört terim elde ediyoruz.

Cebirsel toplam hakkında

Son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak isterim. Klasik matematikte 1-7$ derken basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarıyoruz. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: "bir" sayısına başka bir sayı, yani "eksi yedi" ekliyoruz. Bu cebirsel toplam, olağan aritmetik toplamdan farklıdır.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başlarsınız, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Sonuç olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli denklemleri çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adımın daha eklenmesi gerekecektir. Ama önce algoritmamızı hatırlatacağım:

1. Parantezleri açın.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerini getirin.
4. Bir faktöre bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm verimliliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek uygun değil. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de solda ve sağda birer kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya hem ilk eylemden önce hem de sonra gerçekleştirilebilecek, yani kesirlerden kurtulmak için bir adım daha eklemeniz gerekir. Böylece algoritma şu şekilde olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parantezleri açın.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerini getirin.
5. Bir faktöre bölün.

"Kesirlerden kurtulmak" ne anlama geliyor? Peki bunu ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapmak neden mümkün? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydaya göre sayısaldır, yani. her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki kısmını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yaz:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi açalım:

Bir değişkenin izolasyonunu gerçekleştiriyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü elde ettik, ikinci denkleme geçiyoruz.

Örnek #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Sorun çözüldü.

Aslında bugün anlatmak istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular aşağıdaki gibidir:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• Bir yerde ikinci dereceden fonksiyonlarınız varsa endişelenmeyin, büyük olasılıkla daha sonraki dönüşümler sürecinde bunlar azalacaktır.
• Doğrusal denklemlerdeki kökler, en basitleri bile üç türdendir: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kök yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin, orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, sizi bekleyen çok daha ilginç şeyler var!