Sarcină distribuită neuniform. Sarcina distribuită

Forțele de suprafață și de volum reprezintă o sarcină distribuită pe o anumită suprafață sau volum. O astfel de sarcină este dată de intensitate, care este forța pe unitatea de volum, sau de arie sau de lungime.

Un loc special în rezolvarea unui număr de probleme practic interesante îl ocupă cazul unei sarcini distribuite plate aplicate de-a lungul normalei unui anumit fascicul. Dacă direcționați axa de-a lungul fasciculului , atunci intensitatea va fi o funcție a coordonatei și se măsoară în N/m. Intensitatea este forța pe unitatea de lungime.

O figură plată delimitată de un fascicul și un grafic al intensității sarcinii se numește diagramă de sarcină distribuită (Fig. 1.28). Dacă, prin natura problemei care se rezolvă, deformările pot fi ignorate, i.e. Deoarece corpul poate fi considerat absolut rigid, atunci sarcina distribuită poate (și ar trebui) să fie înlocuită cu rezultatul.

Să împărțim fasciculul în segmente de lungime

, pe fiecare dintre care presupunem că intensitatea este constantă și egală cu

, Unde - coordonata segmentului

. În acest caz, curba de intensitate este înlocuită cu o linie întreruptă și sarcina pe segment

, este înlocuit cu o forță concentrată

, aplicat la punct (Figura 1.29). Sistemul de forțe paralele rezultat are o rezultantă egală cu suma forțelor care acționează asupra fiecăruia dintre segmente, aplicate în centrul forțelor paralele.

Este clar că o astfel de reprezentare descrie situația reală cu cât este mai precis, cu atât segmentul este mai mic

, adică cu atât mai multe segmente . Rezultatul exact îl obținem trecând la limita de la lungimea segmentului

tinde spre zero. Limita rezultată din procedura descrisă este o integrală. Astfel, pentru modulul rezultantei obținem:

Pentru a determina coordonatele unui punct aplicarea rezultantei folosim teorema Varignon:

dacă sistemul de forțe are o rezultantă, atunci momentul rezultantei în jurul oricărui centru (orice axă) este egal cu suma momentelor tuturor forțelor sistemului în jurul acestui centru (această axă)

Scrierea acestei teoreme pentru un sistem de forțe

în proiecţii pe axă si trecand la limita cu lungimea segmentelor tinzand spre zero, obtinem:

În mod evident, modulul rezultantei este numeric egal cu aria diagramei de sarcină distribuită, iar punctul de aplicare a acesteia coincide cu centrul de greutate al unei plăci omogene având forma unei diagrame de sarcină distribuită.

Remarcăm două cazuri întâlnite frecvent.

,

(Fig. 1.30). Modulul rezultat și coordonatele punctului său de aplicare sunt determinate de formulele:

În practica ingineriei, o astfel de sarcină este destul de comună. În cele mai multe cazuri, greutatea și sarcina vântului pot fi considerate distribuite uniform.

,

(Figura 1.31). În acest caz:

În special, presiunea apei pe un perete vertical este direct proporțională cu adâncimea .

Exemplul 1.5

Determinați reacțiile suporturilor și fascicul sub acțiunea a două forțe concentrate și a unei sarcini uniform distribuite. Dat:

Aflați rezultanta sarcinii distribuite. Modulul rezultat este egal cu

umărul puterii relativ la punct egală

Luați în considerare echilibrul grinzii. Circuitul de alimentare este prezentat în Fig. 1.33.

Exemplul 1.6

Determinați răspunsul terminației grinzii în consolă sub acțiunea unei forțe concentrate, a unei perechi de forțe și a unei sarcini distribuite (Fig. 1.34).

Să înlocuim sarcina distribuită cu trei forțe concentrate. Pentru a face acest lucru, împărțim diagrama de sarcină distribuită în două triunghiuri și un dreptunghi. Găsim

Circuitul de alimentare este prezentat în Fig. 1.35.

Calculați umerii rezultantei în raport cu axa

Condițiile de echilibru în cazul în cauză au forma:

ÎNTREBĂRI DE AUTOVERIFICARE:

1. Ce se numește intensitatea sarcinii distribuite?

2. Cum se calculează modulul sarcinii distribuite rezultante?

3. Cum se calculează coordonatele punctului de aplicare a rezultantei distribuite

sarcină?

4. Ce este modulul și care este coordonata punctului de aplicare a unei sarcini uniform distribuite?

5. Ce este modulul și care este coordonata punctului de aplicare a unei sarcini distribuite liniar?

Din colecția de probleme de I.V.Meshchersky: 4,28; 4,29; 4.30; 4,33; 4.34.

Din manualul „MECANICA TEORETICĂ - teorie și practică”: seturi СР-2; SR-3.

STUDII PRACTICE #4-5

Sarcini distribuite

Impactul asupra pieselor, structurilor, elementelor mecanismelor poate fi dat de sarcini distribuite: in sistem plat intensitatea acțiunii este stabilită pe lungimea structurii, în sistemul spațial - de-a lungul zonei.

Dimensiunea pentru o sarcină liniară este N / m, pentru o sarcină distribuită pe o zonă - N / m 2, pentru un volum (de exemplu, când se ține cont de greutatea proprie a elementelor structurale) - N / m 3.

De exemplu, în Figura 1.23, a este prezentat uniform distribuit pe lungime, măsurat în N/m. Această sarcină poate fi înlocuită cu o forță concentrată

Q = q∙AB[H],

aplicat la mijlocul segmentului AB.

Figura 1.23, b prezintă o sarcină în scădere (în creștere) uniform, care poate fi înlocuită cu o forță rezultantă

Q = qmax∙AB/2,

aplicat la punct C, și AC=2/3AB.

Într-un caz arbitrar, cunoașterea funcției q(x)(Figura 1.23, c), calculăm forța echivalentă

Această forță este aplicată la centrul de greutate al zonei delimitate deasupra fasciculului AB linia q(x).

Figura 1.23

Un exemplu este calculul forțelor care sparg pereții unui cilindru cu gaz comprimat. Să determinăm forța de presiune rezultată în sectorul conductei la intensitate q[N/m]; R este raza conductei, 2α– unghi central, ax Bou- axa de simetrie (Figura 1.24).

Să selectăm un element de sector cu un unghi ∆φ și definiți puterea ∆Q care actioneaza asupra unui element de arc plat:

∆Q = q ∙ ∆l = q ∙ R ∙ ∆φ. (1.14)

Figura 1.24

Bou va fi

∆Q x = q ∙ R ∙ ∆φ∙ cosφ. (1.15)

Datorită simetriei elementului de țeavă (cu arc AB) despre axă Bou proiecția forței rezultate pe axă Oi:

Q y = 0, adică Q=Qx, (1.16)

Unde AB este o coardă care subtinde capetele unui arc.

Pentru un recipient cilindric cu o înălțime hși presiunea internă P peretii sunt incarcati de intensitate q = p [N/m, 2 ]. Dacă cilindrul este tăiat în diametru (Figura 1.25), atunci este egal cu F = q ∙ d ∙ h (d– diametrul interior) sau

F = p ∙ 2R ∙ h.

Ruperea balonului după diametrul efortului:

S 1 \u003d S 2 \u003d S;
2S=F;
S = p∙h∙R. (1.18)

În calculele de inginerie, se întâlnesc adesea sarcini distribuite de-a lungul unei suprafețe date conform unei legi sau alta. Luați în considerare câteva dintre cele mai simple exemple de forțe distribuite situate în același plan.

Un sistem plat de forțe distribuite este caracterizat prin intensitatea sa q, adică prin valoarea forței pe unitatea de lungime a segmentului încărcat. Intensitatea se măsoară în Newtoni împărțit la metri.

1) Forțe distribuite uniform de-a lungul unui segment de dreaptă (Fig. 69, a). Pentru un astfel de sistem de forțe, intensitatea q are o valoare constantă. În calculele statice, acest sistem de forțe poate fi înlocuit cu rezultanta

Modulo

O forță Q este aplicată în mijlocul segmentului AB.

2) Forțe distribuite de-a lungul unui segment de dreaptă conform unei legi liniare (Fig. 69, b). Un exemplu de astfel de sarcină pot fi forțele presiunii apei asupra barajului, care au cea mai mare valoare la fund şi coborând la zero la suprafaţa apei. Pentru aceste forțe, intensitatea q este o valoare variabilă care crește de la zero la o valoare maximă, rezultanta Q a unor astfel de forțe este determinată în mod similar cu rezultanta forțelor gravitaționale care acționează asupra unei plăci triunghiulare uniforme ABC. Deoarece greutatea unei plăci omogene este proporțională cu aria sa, atunci, modulo,

O forță Q este aplicată la o distanță de latura BC a triunghiului ABC (vezi § 35, articolul 2).

3) Forțe distribuite de-a lungul unui segment de dreaptă conform unei legi arbitrare (Fig. 69, c). Rezultatul Q al unor astfel de forțe, prin analogie cu forța de gravitație, este egală în valoare absolută cu aria figurii ABDE, măsurată la o scară adecvată și trece prin centrul de greutate al acestei zone ( chestiunea determinării centrelor de greutate ale zonelor va fi luată în considerare în § 33).

4) Forțe distribuite uniform de-a lungul arcului de cerc (Fig. 70). Un exemplu de astfel de forțe sunt forțele de presiune hidrostatică pe pereții laterali ai unui vas cilindric.

Fie raza arcului , unde este axa de simetrie de-a lungul căreia direcționăm axa Sistemul de forțe convergente care acționează asupra arcului are rezultanta Q, îndreptată de-a lungul axei datorită simetriei, în timp ce

Pentru a determina valoarea lui Q, selectăm un element pe arc, a cărui poziție este determinată de unghi și lungime.Forța care acționează asupra acestui element este numeric egală cu și proiecția acestei forțe pe axă va fi Atunci

Dar din fig. 70 se vede că Prin urmare, de atunci

unde este lungimea coardei care subtinde arcul AB; q - intensitate.

Sarcina 27. O sarcină de intensitate uniform distribuită acționează asupra grinzii cantilever A B, ale cărei dimensiuni sunt indicate în desen (Fig. 71).dacă

Decizie. Inlocuim forțe distribuite rezultanții lor Q, R și R, unde conform formulelor (35) și (36)

și alcătuiți condițiile de echilibru (33) pentru forțele paralele care acționează asupra fasciculului

Înlocuind aici în loc de Q, R și R valorile lor și rezolvând ecuațiile rezultate, găsim în sfârșit

De exemplu, dacă obținem și dacă

Problema 28. Un cilindru cilindric, a cărui înălțime este H și diametrul interior d, este umplut cu gaz sub presiune.Grosimea pereților cilindric ai cilindrului este a. Determinați tensiunile de tracțiune suferite de acești pereți în direcțiile: 1) longitudinală și 2) transversală (efortul este egal cu raportul forței de întindere și aria secțiunii transversale), considerându-l mic.

Decizie. 1) Să tăiem cilindrul cu un plan perpendicular pe axa lui în două părți și să luăm în considerare echilibrul uneia dintre ele (Fig.

72a). Ea este acționată în direcția axei cilindrului de forța de presiune pe fund și de forțele distribuite pe aria secțiunii transversale (acțiunea jumătății aruncate), a cărei rezultată se notează cu Q. La echilibru

Distanța dintre sarcinile concentrate este aceeași, în timp ce distanța de la începutul travei până la prima sarcină concentrată este egală cu distanța dintre sarcinile concentrate. În acest caz, încărcăturile concentrate cad și la începutul și la sfârșitul travei, dar în acest caz nu provoacă decât o creștere a susține reacția, sarcinile extreme concentrate nu afectează valoarea momentelor încovoietoare și a deformarii și, prin urmare, în calcule capacitate portantă structurile nu sunt luate în considerare. Luați în considerare acest lucru în exemplul grinzilor de podea bazate pe un buiandrug. Zidărie, care poate fi între buiandrug și grinzile podelei și, în același timp, poate crea o sarcină distribuită uniform, nu este prezentată pentru ușurință de percepție.

Poza 1. Aducerea sarcinilor concentrate la o sarcină echivalentă distribuită uniform.

După cum se poate observa din figura 1, momentul definitoriu este momentul încovoietor, care este utilizat în calculele de rezistență ale structurilor. Astfel, pentru ca o sarcină distribuită uniform să producă același moment încovoietor ca o sarcină concentrată, aceasta trebuie înmulțită cu factorul de tranziție corespunzător (factor de echivalență). Și acest coeficient este determinat din condițiile de egalitate a momentelor. Cred că Figura 1 ilustrează foarte bine acest lucru. Și totuși, analizând dependențele obținute, se poate deriva o formulă generală pentru determinarea coeficientului de tranziție. Deci, dacă numărul de sarcini concentrate aplicate este impar, i.e. una dintre sarcinile concentrate cade neapărat pe mijlocul intervalului, apoi pentru a determina coeficientul de echivalență, puteți folosi formula:

γ = n/(n - 1) (305.1.1)

unde n este numărul de intervale dintre sarcinile concentrate.

q echiv = γ(n-1)Q/l (305.1.2)

unde (n-1) este numărul de sarcini concentrate.

Cu toate acestea, uneori este mai convenabil să faceți calcule pe baza numărului de sarcini concentrate. Dacă această cantitate este exprimată prin variabila m, atunci

y = (m+1)/m (305.1.3)

În acest caz, sarcina echivalentă uniform distribuită va fi egală cu:

q echiv = γmQ/l (305.1.4)

Când numărul de încărcări concentrate este par, de ex. niciuna dintre sarcinile concentrate nu cade pe mijlocul travei, atunci valoarea coeficientului poate fi luată ca pentru următoarea valoare impară a numărului de sarcini concentrate. În general, în funcție de condițiile de încărcare specificate, pot fi luați următorii factori de conversie:

γ = 2- dacă doar o sarcină concentrată în mijlocul buiandrugului cade asupra structurii luate în considerare, de exemplu, o grindă.

y = 1,33- pentru o grinda pe care actioneaza 2 sau 3 sarcini concentrate;

y = 1,2- pentru o grinda pe care actioneaza 4 sau 5 sarcini concentrate;

y = 1,142- pentru o grinda pe care actioneaza 6 sau 7 sarcini concentrate;

y = 1,11- pentru o grinda pe care actioneaza 8 sau 9 sarcini concentrate.

Opțiunea 2

Distanța dintre sarcinile concentrate este aceeași, în timp ce distanța de la începutul travei până la prima sarcină concentrată este egală cu jumătate din distanța dintre sarcinile concentrate. În acest caz, sarcinile concentrate nu cad la începutul și la sfârșitul travei.

Figura 2. Valorile coeficienților de tranziție pentru a 2-a variantă de aplicare a sarcinilor concentrate.

După cum se poate observa din Figura 2, cu această opțiune de încărcare, valoarea coeficientului de tranziție va fi mult mai mică. Deci, de exemplu, cu un număr par de sarcini concentrate, coeficientul de tranziție poate fi luat în general egal cu unitatea. Cu un număr impar de sarcini concentrate, formula poate fi utilizată pentru a determina factorul de echivalență:

γ = (m+7)/(m+6) (305.2.1)

unde m este numărul de sarcini concentrate.

În acest caz, sarcina echivalentă uniform distribuită va fi în continuare egală cu:

q echiv = γmQ/l (305.1.4)

În general, în funcție de condițiile de încărcare specificate, pot fi luați următorii factori de conversie:

γ = 2- dacă numai o sarcină concentrată în mijlocul buiandrugului cade asupra structurii luate în considerare, de exemplu, și dacă grinzile de podea cad la începutul sau la sfârșitul travei sau sunt situate arbitrar departe de începutul și sfârșitul travei, in acest caz nu conteaza. Și acest lucru este important în determinarea sarcinii concentrate.

γ = 1- dacă asupra structurii luate în considerare acționează un număr par de sarcini.

y = 1,11- pentru o grindă pe care acţionează 3 sarcini concentrate;

y = 1,091- pentru o grindă pe care acţionează 5 sarcini concentrate;

y = 1,076- pentru o grindă pe care acţionează 7 sarcini concentrate;

y = 1,067- pentru o grindă pe care acţionează 9 sarcini concentrate.

În ciuda unor definiții complicate, coeficienții de echivalență sunt foarte simpli și convenabil. Deoarece sarcina distribuită care acționează asupra unui metru pătrat sau liniar este foarte des cunoscută în calcule, pentru a nu transforma mai întâi sarcina distribuită într-una concentrată și apoi din nou într-una distribuită echivalentă, este suficient să înmulțim pur și simplu valoarea lui sarcina distribuită prin coeficientul corespunzător. De exemplu, o sarcină distribuită normativă de 400 kg/m2 va acționa pe podea, în timp ce greutatea proprie a podelei va fi de încă 300 kg/m2. Apoi, cu o lungime a grinzii de pardoseală de 6 m, o sarcină distribuită uniform q = 6(400 + 300)/2 = 2100 kg/m ar putea acționa asupra buiandrugului. Și apoi, dacă există o singură grindă de podea în mijlocul travei, atunci γ = 2 și

q echiv = γq = 2q (305.2.2)

Dacă niciuna dintre cele două condiții de mai sus nu este îndeplinită, atunci este imposibil să utilizați coeficienții de tranziție în forma lor pură, trebuie să adăugați mai mulți coeficienți suplimentari care țin cont de distanța până la grinzile care nu cad la început și capătul buiandrugului, precum și posibila asimetrie a aplicării sarcinilor concentrate. În principiu, este posibil să se obțină astfel de coeficienți, totuși, în orice caz, aceștia se vor reduce în toate cazurile, dacă luăm în considerare prima opțiune de încărcare și în 50% din cazuri, dacă luăm în considerare a doua opțiune de încărcare, i.e. valorile acestor coeficienți vor fi< 1. А потому для упрощения расчетов, а заодно и для большего запаса по прочности рассчитываемой конструкции вполне хватит коэффициентов, приведенных при первых двух вариантах загружения.

Sarcini distribuite

Impactul asupra pieselor, structurilor, elementelor mecanismelor poate fi stabilit prin sarcini distribuite: într-un sistem plat, intensitatea acțiunii este stabilită pe lungimea structurii, într-un sistem spațial - peste zonă.

Dimensiunea pentru o sarcină liniară este N / m, pentru o sarcină distribuită pe o zonă - N / m 2, pentru un volum (de exemplu, când se ține cont de greutatea proprie a elementelor structurale) - N / m 3.

De exemplu, în Figura 1.23, a este prezentat uniform distribuit pe lungime, măsurat în N/m. Această sarcină poate fi înlocuită cu o forță concentrată

Q = q∙AB[H],

aplicat la mijlocul segmentului AB.

Figura 1.23, b prezintă o sarcină în scădere (în creștere) uniform, care poate fi înlocuită cu o forță rezultantă

Q = qmax∙AB/2,

aplicat la punct C, și AC=2/3AB.

Într-un caz arbitrar, cunoașterea funcției q(x)(Figura 1.23, c), calculăm forța echivalentă

Această forță este aplicată la centrul de greutate al zonei delimitate deasupra fasciculului AB linia q(x).

Figura 1.23

Un exemplu este calculul forțelor care sparg pereții unui cilindru cu gaz comprimat. Să determinăm forța de presiune rezultată în sectorul conductei la intensitate q[N/m]; R este raza conductei, 2α– unghi central, ax Bou- axa de simetrie (Figura 1.24).

Să selectăm un element de sector cu un unghi ∆φ și definiți puterea ∆Q care actioneaza asupra unui element de arc plat:

∆Q = q ∙ ∆l = q ∙ R ∙ ∆φ. (1.14)

Figura 1.24

Bou va fi

∆Q x = q ∙ R ∙ ∆φ∙ cosφ. (1.15)

Datorită simetriei elementului de țeavă (cu arc AB) despre axă Bou proiecția forței rezultate pe axă Oi:

Q y = 0, adică Q=Qx, (1.16)

Unde AB este o coardă care subtinde capetele unui arc.

Pentru un recipient cilindric cu o înălțime hși presiunea internă P peretii sunt incarcati de intensitate q = p [N/m, 2 ]. Dacă cilindrul este tăiat în diametru (Figura 1.25), atunci este egal cu F = q ∙ d ∙ h (d– diametrul interior) sau

F = p ∙ 2R ∙ h.

Ruperea balonului după diametrul efortului:

S 1 \u003d S 2 \u003d S;
2S=F;
S = p∙h∙R. (1.18)