Cili ekuacion quhet linear me një ndryshore. Zgjidhja e ekuacioneve lineare me një ndryshore. Zgjidhja e ekuacioneve komplekse lineare

Kur zgjidhim ekuacione lineare, ne përpiqemi të gjejmë një rrënjë, domethënë një vlerë për një ndryshore që do ta kthejë ekuacionin në një barazi të saktë.

Për të gjetur rrënjën e ekuacionit ju nevojitet shndërrimet ekuivalente e sjellin ekuacionin që na është dhënë në formë

\(x=[numri]\)

Ky numër do të jetë rrënja.

Domethënë, ne e transformojmë ekuacionin, duke e bërë më të lehtë me çdo hap, derisa ta reduktojmë në një ekuacion krejtësisht primitiv “x = numër”, ku rrënja është e dukshme. Më të përdorurat në zgjidhjen e ekuacioneve lineare janë transformimet e mëposhtme:

Për shembull: shtoni \(5\) në të dy anët e ekuacionit \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Ju lutemi vini re se ne mund të merrnim të njëjtin rezultat më shpejt - thjesht duke shkruar pesë në anën tjetër të ekuacionit dhe duke ndryshuar shenjën e tij në proces. Në fakt, pikërisht kështu bëhet shkolla “transferimi përmes të barabartëve me ndryshim të shenjës në të kundërtën”.

2. Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër ose shprehje.

Për shembull: Pjesëtojmë ekuacionin \(-2x=8\) me minus dy

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Zakonisht ky hap bëhet në fund, kur ekuacioni tashmë është reduktuar në \(ax=b\), dhe ne e ndajmë me \(a\) për ta hequr atë nga e majta.

3. Përdorimi i vetive dhe ligjeve të matematikës: hapja e kllapave, reduktimi i termave të ngjashëm, zvogëlimi i thyesave etj.

Shto \(2x\) majtas dhe djathtas

Zbrisni \(24\) nga të dy anët e ekuacionit

Përsëri, ne paraqesim si terma

Tani e ndajmë ekuacionin me \ (-3 \), duke hequr kështu para x në anën e majtë.

Përgjigju : \(7\)

Përgjigjja u gjet. Megjithatë, le ta kontrollojmë atë. Nëse shtatë është me të vërtetë një rrënjë, atëherë zëvendësimi i saj në vend të x në ekuacionin origjinal duhet të rezultojë në barazinë e saktë - të njëjtët numra majtas dhe djathtas. Ne përpiqemi.

Ekzaminimi:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Dakord. Kjo do të thotë se shtatë është me të vërtetë rrënja e ekuacionit linear origjinal.

Mos u bëni dembel për të kontrolluar përgjigjet që keni gjetur me zëvendësim, veçanërisht nëse jeni duke zgjidhur një ekuacion në një test ose provim.

Pyetja mbetet - si të përcaktohet se çfarë të bëhet me ekuacionin në hapin tjetër? Si ta konvertoni saktësisht atë? Ndani diçka? Apo të zbres? Dhe çfarë saktësisht të zbritet? Çfarë të ndajmë?

Përgjigja është e thjeshtë:

Qëllimi juaj është të sillni ekuacionin në formën \(x=[numri]\), domethënë në të majtë x pa koeficientë dhe numra, dhe në të djathtë - vetëm një numër pa variabla. Pra shikoni se çfarë po ju ndalon dhe bëni të kundërtën e asaj që bën komponenti ndërhyrës.

Për ta kuptuar më mirë këtë, le të marrim një zgjidhje hap pas hapi të ekuacionit linear \(x+3=13-4x\).

Le të mendojmë: si ndryshon ky ekuacion nga \(x=[numri]\)? Çfarë po na pengon? Çfarë nuk shkon?

Epo, së pari, trefishi ndërhyn, pasi duhet të ketë vetëm një X të vetëm në të majtë, pa numra. Dhe çfarë bën treshja? Shtuar deri në xx. Pra, për ta hequr atë - zbres e njëjta treshe. Por nëse zbresim një trefish nga e majta, atëherë duhet ta zbresim atë nga e djathta në mënyrë që barazia të mos cenohet.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Mirë. Tani çfarë po ju ndalon? \(4x\) në të djathtë, sepse duhet të përmbajë vetëm numra. \(4x\) zbritet- hiqni duke shtuar.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Tani japim terma të ngjashëm majtas dhe djathtas.

Është pothuajse gati. Mbetet për të hequr pesë në të majtë. Cfare po ben ajo"? shumohet në x. Kështu që ne e heqim atë ndarje.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Zgjidhja është e plotë, rrënja e ekuacionit është dy. Mund ta kontrolloni me zëvendësim.

vini re, se më shpesh ka vetëm një rrënjë në ekuacionet lineare. Megjithatë, mund të ndodhin dy raste të veçanta.

Rasti i veçantë 1 - nuk ka rrënjë në një ekuacion linear.

Shembull . Zgjidheni ekuacionin \(3x-1=2(x+3)+x\)

Zgjidhje :

Përgjigju : pa rrënjë.

Në fakt, fakti që do të arrijmë në një rezultat të tillë është parë edhe më herët, edhe kur kemi marrë \(3x-1=3x+6\). Mendoni për këtë: si mund të jetë i barabartë \(3x\), nga i cili u zbrit \(1\) dhe \(3x\) në të cilin \(6\) u shtua? Natyrisht, në asnjë mënyrë, sepse ata bënë veprime të ndryshme me të njëjtën gjë! Është e qartë se rezultatet do të ndryshojnë.

Rasti special 2 - një ekuacion linear ka një numër të pafund rrënjësh.

Shembull . Zgjidheni ekuacionin linear \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Zgjidhje :

Përgjigju : çdo numër.

Meqë ra fjala, kjo ishte e dukshme edhe më herët, në fazën: \(8x+12=8x+12\). Në të vërtetë, majtas dhe djathtas janë të njëjtat shprehje. Çfarëdo që të zëvendësoni x, do të ketë të njëjtin numër si atje ashtu edhe atje.

Ekuacione lineare më komplekse.

Ekuacioni origjinal nuk duket gjithmonë menjëherë si një linear, ndonjëherë ai "maskohet" si ekuacione të tjera, më komplekse. Megjithatë, në procesin e transformimit, maskimi ulet.

Shembull . Gjeni rrënjën e ekuacionit \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Zgjidhje :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Duket se këtu ka një x në katror - ky nuk është një ekuacion linear! Por mos nxitoni. Le të Aplikojmë
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Pse rezultati i zgjerimit \((x-4)^(2)\) është në kllapa, por rezultati i \((3+x)^(2)\) nuk është? Sepse ka një minus para katrorit të parë, i cili do të ndryshojë të gjitha shenjat. Dhe për të mos harruar për këtë, ne marrim rezultatin në kllapa, të cilat tani i hapim.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Ne japim kushte të ngjashme
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Përsëri, këtu janë të ngjashme.
		Si kjo. Rezulton se ekuacioni origjinal është mjaft linear dhe x në katror nuk është gjë tjetër veçse një ekran për të na ngatërruar. :) Plotësojmë zgjidhjen duke e pjesëtuar ekuacionin me \(2\), dhe marrim përgjigjen.

Përgjigju : \(x=5\)

Shembull . Zgjidheni ekuacionin linear \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)

Zgjidhje :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Ekuacioni nuk duket si një linear, disa thyesa ... Megjithatë, le të shpëtojmë nga emëruesit duke shumëzuar të dy pjesët e ekuacionit me emëruesin e përbashkët të të gjithëve - gjashtë
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Hapni kllapa në të majtë
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Tani zvogëlojmë emëruesit
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Tani duket si një linjë e rregullt! Le ta zgjidhim.
		Duke transferuar përmes barazimeve, ne mbledhim x-të në të djathtë dhe numrat në të majtë
		Epo, duke e ndarë me \ (-4 \) pjesët e djathta dhe të majta, marrim përgjigjen

Përgjigju : \(x=-1,25\)

Barazia me variabël f(x) = g(x) quhet ekuacion me një ndryshore x. Çdo vlerë e ndryshores në të cilën f(x) dhe g(x) marrin vlera të barabarta numerike quhet rrënja e një ekuacioni të tillë. Prandaj, të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e ekuacionit ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Ekuacioni x 2 + 1 = 0 nuk ka rrënjë reale, por ka rrënjë imagjinare: në këtë rast këto janë rrënjët x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i. Në atë që vijon, do të na interesojnë vetëm rrënjët reale të ekuacionit.

Nëse ekuacionet kanë të njëjtat rrënjë, atëherë ato quhen ekuivalente. Ato ekuacione që nuk kanë rrënjë janë ekuivalente.

Le të përcaktojmë nëse ekuacionet janë ekuivalente:

a) x + 2 = 5 dhe x + 5 = 8

1. Zgjidheni ekuacionin e parë

2. Zgjidheni ekuacionin e dytë

Rrënjët e ekuacioneve janë të njëjta, kështu që x + 2 = 5 dhe x + 5 = 8 janë ekuivalente.

b) x 2 + 1 = 0 dhe 2x 2 + 5 = 0

Të dyja këto ekuacione nuk kanë rrënjë reale, prandaj janë ekuivalente.

c) x - 5 \u003d 1 dhe x 2 \u003d 36

1. Gjeni rrënjët e ekuacionit të parë

2. Gjeni rrënjët e ekuacionit të dytë

x 1 = 6, x 2 = -6

Rrënjët e ekuacioneve nuk përputhen, kështu që x - 5 \u003d 1 dhe x 2 \u003d 36 nuk janë ekuivalente.

Kur zgjidhin një ekuacion, ata përpiqen ta zëvendësojnë atë me një ekuacion të barabartë, por më të thjeshtë. Prandaj, është e rëndësishme të dihet, si rezultat i çfarë transformimesh, ky ekuacion kthehet në një ekuacion të barabartë me të.

Teorema 1. Nëse ndonjë term në një ekuacion bartet nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën, atëherë do të fitohet një ekuacion i barabartë me atë të dhënë.

Për shembull, ekuacioni x 2 + 2 = 3x është ekuivalent me ekuacionin x 2 + 2 - 3x = 0.

Teorema 2. Nëse të dyja pjesët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër (jo i barabartë me zero), atëherë fitohet një ekuacion që është ekuivalent me atë të dhënë.

Për shembull, ekuacioni (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x është i barabartë me ekuacionin x 2 - 1 \u003d 6x. Ne i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me 3.

Një ekuacion linear me një ndryshore është një ekuacion i formës ax \u003d b, ku a dhe b janë numra realë, dhe a quhet koeficienti i ndryshores, dhe b është termi i lirë.

Konsideroni tre raste për ekuacionin linear ax = b.

1. a ≠ 0. Në këtë rast, x \u003d b / a (sepse a është jo zero).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. Ekuacioni do të marrë formën: 0 ∙ x \u003d 0. Ky ekuacion është i vërtetë për çdo x, d.m.th. rrënja e ekuacionit është çdo numër real.

3. a \u003d 0, b ≠ 0. Në këtë rast, ekuacioni nuk do të ketë rrënjë, sepse Ndalohet pjesëtimi me zero (0 ∙ x = b).

Si rezultat i transformimeve, shumë ekuacione reduktohen në ato lineare.

Zgjidhja e ekuacioneve

a) (1/5) x + 2/15 = 0

1. Zhvendoseni komponentin 2/15 nga ana e majtë e ekuacionit në anën e djathtë me shenjën e kundërt. Një transformim i tillë udhëhiqet nga teorema 1. Pra, ekuacioni do të marrë formën: (1/5)x = -2/15.

2. Për të hequr qafe emëruesin, ne i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me 15. Teorema 2 na lejon ta bëjmë këtë. Pra, ekuacioni do të marrë formën:

(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

Kështu, rrënja e ekuacionit është -2/3.

b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. Për të hequr qafe emëruesin, i shumëzojmë të dyja pjesët e ekuacionit më 12 (nga Teorema 2). Ekuacioni do të marrë formën:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12 (5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. Duke përdorur teoremën 1, ne "mbledhim" të gjithë numrat në të djathtë, dhe komponentët me x në të majtë. Ekuacioni do të marrë formën:

10 +12 \u003d 5x - x

Kështu, rrënja e ekuacionit është 5.5.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Një ekuacion me një të panjohur, i cili pas hapjes së kllapave dhe zvogëlimit të termave të ngjashëm, merr formën

sëpatë + b = 0, ku a dhe b janë numra arbitrar, quhet ekuacioni linear me një të panjohur. Sot do të kuptojmë se si t'i zgjidhim këto ekuacione lineare.

Për shembull, të gjitha ekuacionet:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineare.

Vlera e të panjohurës që e kthen ekuacionin në një barazi të vërtetë quhet vendim ose rrënja e ekuacionit .

Për shembull, nëse në ekuacionin 3x + 7 \u003d 13 zëvendësojmë numrin 2 në vend të të panjohurës x, atëherë marrim barazinë e saktë 3 2 + 7 \u003d 13. Prandaj, vlera x \u003d 2 është zgjidhja ose rrënja e ekuacionit.

Dhe vlera x \u003d 3 nuk e kthen ekuacionin 3x + 7 \u003d 13 në një barazi të vërtetë, pasi 3 2 + 7 ≠ 13. Prandaj, vlera x \u003d 3 nuk është një zgjidhje ose një rrënjë e ekuacionit.

Zgjidhja e çdo ekuacioni linear reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve të formës

sëpatë + b = 0.

Ne e transferojmë termin e lirë nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë, ndërsa duke ndryshuar shenjën përpara b në të kundërtën, marrim

Nëse a ≠ 0, atëherë x = – b/a .

Shembulli 1 Zgjidheni ekuacionin 3x + 2 =11.

Ne transferojmë 2 nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë, ndërsa duke ndryshuar shenjën përpara 2 në të kundërtën, marrim
3x \u003d 11 - 2.

Le të bëjmë zbritjen, atëherë
3x = 9.

Për të gjetur x, ju duhet të ndani produktin me një faktor të njohur, d.m.th.
x = 9:3.

Pra, vlera x = 3 është zgjidhja ose rrënja e ekuacionit.

Përgjigje: x = 3.

Nëse a = 0 dhe b = 0, atëherë marrim ekuacionin 0x \u003d 0. Ky ekuacion ka pafundësisht shumë zgjidhje, pasi kur shumëzojmë çdo numër me 0, marrim 0, por b është gjithashtu 0. Zgjidhja e këtij ekuacioni është çdo numër.

Shembulli 2 Zgjidheni ekuacionin 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Le të zgjerojmë kllapat:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Këtu janë anëtarë të ngjashëm:
0x = 0.

Përgjigje: x është çdo numër.

Nëse a = 0 dhe b ≠ 0, atëherë marrim ekuacionin 0x = - b. Ky ekuacion nuk ka zgjidhje, pasi kur shumëzojmë një numër me 0, marrim 0, por b ≠ 0.

Shembulli 3 Zgjidheni ekuacionin x + 8 = x + 5.

Le të grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në anën e majtë dhe termat e lirë në anën e djathtë:
x - x \u003d 5 - 8.

Këtu janë anëtarë të ngjashëm:
0x = - 3.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

Aktiv figura 1 tregohet skema e zgjidhjes së ekuacionit linear

Le të hartojmë një skemë të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore. Shqyrtoni zgjidhjen e shembullit 4.

Shembulli 4 Le të zgjidhim ekuacionin

1) Shumëzoni të gjithë termat e ekuacionit me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve, të barabartë me 12.

2) Pas reduktimit marrim
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Për të ndarë anëtarët që përmbajnë anëtarë të panjohur dhe të lirë, hapni kllapat:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Ne grupojmë në një pjesë termat që përmbajnë të panjohura, dhe në pjesën tjetër - terma të lirë:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Këtu janë anëtarë të ngjashëm:
- 22x = - 154.

6) Ndani me - 22, marrim
x = 7.

Siç mund ta shihni, rrënja e ekuacionit është shtatë.

Në përgjithësi, të tilla ekuacionet mund të zgjidhen si më poshtë:

a) sillni ekuacionin në një formë të plotë;

b) kllapa të hapura;

c) gruponi termat që përmbajnë të panjohurën në njërën pjesë të ekuacionit dhe termat e lirë në tjetrën;

d) sjell anëtarë të ngjashëm;

e) të zgjidhë një ekuacion të formës aх = b, i cili është marrë pas sjelljes së termave të ngjashëm.

Megjithatë, kjo skemë nuk kërkohet për çdo ekuacion. Kur zgjidhen shumë ekuacione më të thjeshta, duhet të fillohet jo nga e para, por nga e dyta ( Shembull. 2), e treta ( Shembull. 13) dhe madje nga faza e pestë, si në shembullin 5.

Shembulli 5 Zgjidheni ekuacionin 2x = 1/4.

Ne gjejmë të panjohurën x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Shqyrtoni zgjidhjen e disa ekuacioneve lineare të hasura në provimin kryesor të shtetit.

Shembulli 6 Zgjidheni ekuacionin 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Përgjigje: - 0,125

Shembulli 7 Zgjidheni ekuacionin - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Përgjigje: 2.3

Shembulli 8 Zgjidhe ekuacionin

3 (3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Shembulli 9 Gjeni f(6) nëse f (x + 2) = 3 7's

Zgjidhje

Meqenëse duhet të gjejmë f(6), dhe ne e dimë f (x + 2),
atëherë x + 2 = 6.

Ne zgjidhim ekuacionin linear x + 2 = 6,
marrim x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Nëse x = 4 atëherë
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Përgjigje: 27.

Nëse keni akoma pyetje, ekziston dëshira për t'u marrë me zgjidhjen e ekuacioneve më në detaje, regjistrohuni për mësimet e mia në ORAR. Unë do të jem i lumtur t'ju ndihmoj!

TutorOnline rekomandon gjithashtu shikimin e një video-tutorial të ri nga tutori ynë Olga Alexandrovna, i cili do t'ju ndihmojë të kuptoni si ekuacionet lineare ashtu edhe të tjerat.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Dhe kështu me radhë, është logjike të njihemi me ekuacione të llojeve të tjera. Në radhë janë të radhës ekuacionet lineare, studimi i qëllimshëm i të cilit fillon në mësimet e algjebrës në klasën e 7-të.

Është e qartë se së pari ju duhet të shpjegoni se çfarë është një ekuacion linear, jepni një përkufizim të një ekuacioni linear, koeficientët e tij, tregoni atë formë e përgjithshme. Pastaj mund të kuptoni se sa zgjidhje ka një ekuacion linear në varësi të vlerave të koeficientëve dhe si gjenden rrënjët. Kjo do t'ju lejojë të kaloni në zgjidhjen e shembujve dhe në këtë mënyrë të konsolidoni teorinë e studiuar. Në këtë artikull do të bëjmë këtë: do të ndalemi në detaje në të gjitha pikat teorike dhe praktike në lidhje me ekuacionet lineare dhe zgjidhjen e tyre.

Le të themi menjëherë se këtu do të shqyrtojmë vetëm ekuacionet lineare me një ndryshore, dhe në një artikull të veçantë do të studiojmë parimet e zgjidhjes ekuacionet lineare në dy ndryshore.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion linear?

Përkufizimi i një ekuacioni linear jepet nga forma e shënimit të tij. Për më tepër, në tekste të ndryshme të matematikës dhe algjebrës, formulimet e përkufizimeve të ekuacioneve lineare kanë disa dallime që nuk ndikojnë në thelbin e çështjes.

Për shembull, në një tekst shkollor algjebër për klasën 7 nga Yu. N. Makarycheva dhe të tjerët, një ekuacion linear përcaktohet si më poshtë:

Përkufizimi.

Ekuacioni i llojit sëpatë=b, ku x është një ndryshore, a dhe b janë disa numra, quhet ekuacioni linear me një ndryshore.

Le të japim shembuj të ekuacioneve lineare që korrespondojnë me përkufizimin e shprehur. Për shembull, 5 x=10 është një ekuacion linear me një ndryshore x, këtu koeficienti a është 5, dhe numri b është 10. Një shembull tjetër: −2,3 y=0 është gjithashtu një ekuacion linear, por me ndryshoren y , ku a=−2,3 dhe b=0 . Dhe në ekuacionet lineare x=−2 dhe −x=3,33 a nuk janë të pranishme shprehimisht dhe janë të barabartë me 1 dhe −1, përkatësisht, ndërsa në ekuacionin e parë b=−2 dhe në të dytin - b=3,33 .

Dhe një vit më parë, në tekstin shkollor të matematikës nga N. Ya. Vilenkin, ekuacionet lineare me një të panjohur, përveç ekuacioneve të formës a x = b, u konsideruan edhe ekuacione që mund të reduktohen në këtë formë duke transferuar termat nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin me shenjën e kundërt, si dhe duke reduktuar terma të ngjashëm. Sipas këtij përkufizimi, ekuacionet e formës 5 x=2 x+6 etj. janë gjithashtu lineare.

Nga ana tjetër, përkufizimi i mëposhtëm është dhënë në librin shkollor të algjebrës për 7 klasa nga A. G. Mordkovich:

Përkufizimi.

Ekuacioni linear me një ndryshore xështë një ekuacion i formës a x+b=0 , ku a dhe b janë disa numra, të quajtur koeficientët e ekuacionit linear.

Për shembull, ekuacionet lineare të këtij lloji janë 2x−12=0, këtu koeficienti a është i barabartë me 2, dhe b është i barabartë me −12, dhe 0.2 y+4.6=0 me koeficientët a=0.2 dhe b=4.6. Por në të njëjtën kohë, ka shembuj të ekuacioneve lineare që kanë formën jo një x+b=0, por një x=b, për shembull, 3 x=12.

Le të mos kemi mospërputhje në të ardhmen, nën një ekuacion linear me një ndryshore x dhe koeficientët a dhe b do të kuptojmë një ekuacion të formës a x+b=0 . Ky lloj ekuacioni linear duket të jetë më i justifikuari, pasi ekuacionet lineare janë ekuacionet algjebrike shkalla e parë. Dhe të gjitha ekuacionet e tjera të treguara më sipër, si dhe ekuacionet që reduktohen në formën x+b=0 me ndihmën e shndërrimeve ekuivalente, do të quhen ekuacione që reduktohen në ekuacione lineare. Me këtë qasje, ekuacioni 2 x+6=0 është një ekuacion linear, dhe 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, etj. janë ekuacione lineare.

Si të zgjidhim ekuacionet lineare?

Tani është koha për të kuptuar se si zgjidhen ekuacionet lineare a x+b=0. Me fjalë të tjera, është koha për të zbuluar nëse ekuacioni linear ka rrënjë, dhe nëse po, sa dhe si t'i gjeni ato.

Prania e rrënjëve të një ekuacioni linear varet nga vlerat e koeficientëve a dhe b. Në këtë rast, ekuacioni linear a x+b=0 ka

• e vetmja rrënjë në a≠0,
• nuk ka rrënjë për a=0 dhe b≠0,
• ka pafundësisht shumë rrënjë për a=0 dhe b=0, me ç'rast çdo numër është rrënjë e një ekuacioni linear.

Le të shpjegojmë se si janë marrë këto rezultate.

Ne e dimë se për të zgjidhur ekuacionet, është e mundur të kalojmë nga ekuacioni origjinal në ekuacione ekuivalente, pra në ekuacione me të njëjtat rrënjë ose, si ai origjinal, pa rrënjë. Për ta bërë këtë, mund të përdorni transformimet ekuivalente të mëposhtme:

• transferimi i një termi nga një pjesë e ekuacionit në një tjetër me shenjën e kundërt,
• dhe gjithashtu duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me të njëjtin numër jozero.

Pra, në një ekuacion linear me një ndryshore të formës a x+b=0, mund ta zhvendosim termin b nga ana e majtë në anën e djathtë me shenjën e kundërt. Në këtë rast, ekuacioni do të marrë formën a x=−b.

Dhe pastaj ndarja e të dy pjesëve të ekuacionit me numrin a sugjeron vetveten. Por ka një gjë: numri a mund të jetë i barabartë me zero, në këtë rast një ndarje e tillë është e pamundur. Për t'u marrë me këtë problem, së pari do të supozojmë se numri a është i ndryshëm nga zero dhe do të shqyrtojmë rastin e zeros a veçmas pak më vonë.

Pra, kur a nuk është e barabartë me zero, atëherë mund t'i ndajmë të dyja pjesët e ekuacionit a x=−b me a, pas kësaj ai shndërrohet në formën x=(−b):a, ky rezultat mund të shkruhet duke përdorur një vijë të fortë si .

Kështu, për a≠0, ekuacioni linear a·x+b=0 është ekuivalent me ekuacionin , nga i cili duket rrënja e tij.

Është e lehtë të tregohet se kjo rrënjë është unike, domethënë ekuacioni linear nuk ka rrënjë të tjera. Kjo ju lejon të bëni metodën e kundërt.

Le ta shënojmë rrënjën si x 1 . Supozoni se ekziston një rrënjë tjetër e ekuacionit linear, të cilën e shënojmë x 2, dhe x 2 ≠ x 1, e cila, për shkak të përkufizimet e numrave të barabartë përmes diferencësështë ekuivalente me kushtin x 1 − x 2 ≠0 . Meqenëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit linear a x+b=0, atëherë ndodhin barazitë numerike a x 1 +b=0 dhe a x 2 +b=0. Ne mund t'i zbresim pjesët përkatëse të këtyre barazive, të cilat na lejojnë vetitë e barazive numerike, kemi një x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , nga e cila a (x 1 −x 2)+(b−b)=0 dhe më pas a (x 1 −x 2)=0 . Dhe kjo barazi është e pamundur, pasi edhe a≠0 edhe x 1 − x 2 ≠0. Pra, kemi ardhur në një kontradiktë, e cila vërteton veçantinë e rrënjës së ekuacionit linear a·x+b=0 për a≠0 .

Pra, ekuacionin linear a x+b=0 e kemi zgjidhur me a≠0 . Rezultati i parë i dhënë në fillim të këtij nënseksioni është i justifikuar. Janë edhe dy të tjera që plotësojnë kushtin a=0 .

Për a=0 ekuacioni linear a·x+b=0 bëhet 0·x+b=0 . Nga ky ekuacion dhe vetia e shumëzimit të numrave me zero, rezulton se pavarësisht se cilin numër e marrim x, kur e zëvendësojmë në ekuacionin 0 x+b=0, fitojmë barazinë numerike b=0. Kjo barazi është e vërtetë kur b=0 , dhe në raste të tjera kur b≠0 kjo barazi është e gabuar.

Prandaj, për a=0 dhe b=0, çdo numër është rrënja e ekuacionit linear a x+b=0, pasi në këto kushte, zëvendësimi i çdo numri në vend të x jep barazinë numerike të saktë 0=0. Dhe për a=0 dhe b≠0, ekuacioni linear a x+b=0 nuk ka rrënjë, pasi në këto kushte, zëvendësimi i ndonjë numri në vend të x çon në një barazi numerik të pasaktë b=0.

Arsyetimet e mësipërme bëjnë të mundur formimin e një sekuence veprimesh që lejon zgjidhjen e çdo ekuacioni linear. Kështu që, algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni linearështë:

• Së pari, duke shkruar një ekuacion linear, gjejmë vlerat e koeficientëve a dhe b.
• Nëse a=0 dhe b=0 , atëherë ky ekuacion ka pafundësisht shumë rrënjë, domethënë, çdo numër është një rrënjë e këtij ekuacioni linear.
• Nëse a është e ndryshme nga zero, atëherë
• koeficienti b bartet në anën e djathtë me shenjën e kundërt, ndërsa ekuacioni linear shndërrohet në formën a x=−b,
• pas së cilës të dyja pjesët e ekuacionit që rezulton ndahen me një numër jo zero a, i cili jep rrënjën e dëshiruar të ekuacionit linear origjinal.

Algoritmi i shkruar është një përgjigje shteruese për pyetjen se si të zgjidhen ekuacionet lineare.

Në përfundim të këtij paragrafi, vlen të thuhet se një algoritëm i ngjashëm përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve të formës a x=b. Dallimi i tij qëndron në faktin se kur a≠0, të dyja pjesët e ekuacionit ndahen menjëherë me këtë numër, këtu b është tashmë në pjesën e dëshiruar të ekuacionit dhe nuk ka nevojë të transferohet.

Për të zgjidhur ekuacionet e formës x=b, përdoret algoritmi i mëposhtëm:

• Nëse a=0 dhe b=0 , atëherë ekuacioni ka pafundësisht shumë rrënjë, të cilat janë çdo numër.
• Nëse a=0 dhe b≠0 , atëherë ekuacioni origjinal nuk ka rrënjë.
• Nëse a është jo zero, atëherë të dy anët e ekuacionit ndahen me një numër jo zero a, nga i cili gjendet rrënja e vetme e ekuacionit e barabartë me b / a.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Le të kalojmë në praktikë. Le të analizojmë se si zbatohet algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve lineare. Le të paraqesim zgjidhje të shembujve tipikë që korrespondojnë me vlera të ndryshme të koeficientëve të ekuacioneve lineare.

Shembull.

Zgjidhet ekuacioni linear 0 x−0=0 .

Zgjidhje.

Në këtë ekuacion linear, a=0 dhe b=−0 , që është e njëjtë me b=0 . Prandaj, ky ekuacion ka pafundësisht shumë rrënjë, çdo numër është rrënja e këtij ekuacioni.

Përgjigje:

x është çdo numër.

Shembull.

A ka zgjidhje ekuacioni linear 0 x+2.7=0?

Zgjidhje.

Në këtë rast, koeficienti a është i barabartë me zero, dhe koeficienti b i këtij ekuacioni linear është i barabartë me 2.7, domethënë është i ndryshëm nga zero. Prandaj, ekuacioni linear nuk ka rrënjë.

Në këtë video, ne do të analizojmë një grup të tërë ekuacionesh lineare që zgjidhen duke përdorur të njëjtin algoritëm - kjo është arsyeja pse ato quhen më të thjeshtat.

Për të filluar, le të përcaktojmë: çfarë është një ekuacion linear dhe cili prej tyre duhet të quhet më i thjeshtë?

Një ekuacion linear është ai në të cilin ka vetëm një ndryshore dhe vetëm në shkallën e parë.

Ekuacioni më i thjeshtë nënkupton ndërtimin:

Të gjitha ekuacionet e tjera lineare reduktohen në ato më të thjeshtat duke përdorur algoritmin:

1. Hapni kllapa, nëse ka;
2. Zhvendosni termat që përmbajnë një ndryshore në njërën anë të shenjës së barazimit dhe termat pa ndryshore në anën tjetër;
3. Sillni terma të ngjashëm majtas dhe djathtas të shenjës së barabartë;
4. Ndajeni ekuacionin që rezulton me koeficientin e ndryshores $x$.

Sigurisht, ky algoritëm nuk ndihmon gjithmonë. Fakti është se ndonjëherë, pas gjithë këtyre makinacioneve, koeficienti i ndryshores $x$ rezulton të jetë i barabartë me zero. Në këtë rast, dy opsione janë të mundshme:

1. Ekuacioni nuk ka fare zgjidhje. Për shembull, kur merrni diçka si $0\cdot x=8$, d.m.th. në të majtë është zero, dhe në të djathtë është një numër jo zero. Në videon e mëposhtme do të shohim disa arsye pse kjo situatë është e mundur.
2. Zgjidhja janë të gjithë numrat. I vetmi rast kur kjo është e mundur është kur ekuacioni është reduktuar në konstruksionin $0\cdot x=0$. Është mjaft logjike që pavarësisht se çfarë $x$ zëvendësojmë, prapë do të rezultojë "zero është e barabartë me zero", d.m.th. barazia numerike e saktë.

Dhe tani le të shohim se si funksionon gjithçka në shembullin e problemeve reale.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve

Sot kemi të bëjmë me ekuacione lineare, dhe vetëm me ato më të thjeshtat. Në përgjithësi, një ekuacion linear nënkupton çdo barazi që përmban saktësisht një ndryshore dhe shkon vetëm në shkallën e parë.

Ndërtime të tilla zgjidhen afërsisht në të njëjtën mënyrë:

1. Para së gjithash, ju duhet të hapni kllapat, nëse ka (si në shembullin tonë të fundit);
2. Pastaj sillni të ngjashme
3. Së fundi, izoloni variablin, d.m.th. çdo gjë që është e lidhur me variablin - termat në të cilët përmbahet - transferohet në njërën anë dhe gjithçka që mbetet pa të transferohet në anën tjetër.

Pastaj, si rregull, duhet të sillni të ngjashme në secilën anë të barazisë që rezulton, dhe pas kësaj mbetet vetëm të pjesëtoni me koeficientin në "x" dhe do të marrim përgjigjen përfundimtare.

Në teori, kjo duket e bukur dhe e thjeshtë, por në praktikë, edhe nxënësit e shkollave të mesme me përvojë mund të bëjnë gabime fyese në ekuacione lineare mjaft të thjeshta. Zakonisht, gabimet bëhen ose gjatë hapjes së kllapave, ose kur numërohen "plus" dhe "minus".

Përveç kësaj, ndodh që një ekuacion linear të mos ketë fare zgjidhje, ose kështu që zgjidhja të jetë e gjithë boshti numerik, d.m.th. çdo numër. Ne do t'i analizojmë këto hollësi në mësimin e sotëm. Por ne do të fillojmë, siç e keni kuptuar tashmë, me detyrat më të thjeshta.

Skema për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta lineare

Për të filluar, më lejoni të shkruaj edhe një herë të gjithë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare:

1. Zgjeroni kllapat, nëse ka.
2. Veçoni variablat, d.m.th. gjithçka që përmban "x" transferohet në njërën anë, dhe pa "x" - në tjetrën.
3. Ne paraqesim terma të ngjashëm.
4. Ne pjesëtojmë gjithçka me koeficientin në "x".

Natyrisht, kjo skemë nuk funksionon gjithmonë, ajo ka disa hollësi dhe truke, dhe tani do t'i njohim.

Zgjidhja e shembujve realë të ekuacioneve të thjeshta lineare

Detyra numër 1

Në hapin e parë, na kërkohet të hapim kllapat. Por ata nuk janë në këtë shembull, kështu që ne e kalojmë këtë hap. Në hapin e dytë, ne duhet të izolojmë variablat. Ju lutemi vini re: ne po flasim vetëm për kushte individuale. Le të shkruajmë:

Ne japim terma të ngjashëm në të majtë dhe në të djathtë, por kjo tashmë është bërë këtu. Prandaj, ne vazhdojmë në hapin e katërt: ndajeni me një faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Këtu e morëm përgjigjen.

Detyra numër 2

Në këtë detyrë, ne mund të vëzhgojmë kllapat, kështu që le t'i zgjerojmë ato:

Si në të majtë ashtu edhe në të djathtë, shohim afërsisht të njëjtin ndërtim, por le të veprojmë sipas algoritmit, d.m.th. variablat e sekuestros:

Këtu janë disa si:

Në cilat rrënjë funksionon kjo? Përgjigje: për çdo. Prandaj, mund të shkruajmë se $x$ është çdo numër.

Detyra numër 3

Ekuacioni i tretë linear është tashmë më interesant:

\[\majtas(6-x \djathtas)+\majtas(12+x \djathtas)-\majtas(3-2x \djathtas)=15\]

Këtu ka disa kllapa, por ato nuk shumëzohen me asgjë, thjesht kanë para tyre shenja të ndryshme. Le t'i zbërthejmë ato:

Ne kryejmë hapin e dytë të njohur tashmë për ne:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Le të llogarisim:

Ne kryejmë hapi i fundit- pjesëto gjithçka me koeficientin në "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Gjërat që duhen mbajtur mend gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Nëse neglizhojmë detyra shumë të thjeshta, atëherë do të doja të them sa vijon:

• Siç thashë më lart, jo çdo ekuacion linear ka një zgjidhje - ndonjëherë thjesht nuk ka rrënjë;
• Edhe nëse ka rrënjë, zero mund të hyjë mes tyre - nuk ka asgjë të keqe me këtë.

Zero është i njëjti numër si pjesa tjetër, nuk duhet ta diskriminoni disi ose të supozoni se nëse merrni zero, atëherë keni bërë diçka të gabuar.

Një veçori tjetër lidhet me zgjerimin e kllapave. Ju lutemi vini re: kur ka një "minus" para tyre, ne e heqim atë, por në kllapa i ndryshojmë shenjat në e kundërt. Dhe pastaj ne mund ta hapim atë sipas algoritmeve standarde: do të marrim atë që pamë në llogaritjet e mësipërme.

Kuptimi i këtij fakti të thjeshtë do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet e trashë dhe lënduese në shkollën e mesme, kur bërja e veprimeve të tilla merret si e mirëqenë.

Zgjidhja e ekuacioneve komplekse lineare

Le të kalojmë në ekuacione më komplekse. Tani ndërtimet do të bëhen më të ndërlikuara dhe do të shfaqet një funksion kuadratik gjatë kryerjes së transformimeve të ndryshme. Sidoqoftë, nuk duhet të keni frikë nga kjo, sepse nëse, sipas qëllimit të autorit, zgjidhim një ekuacion linear, atëherë në procesin e transformimit të gjithë monomët që përmbajnë një funksion kuadratik domosdoshmërisht do të reduktohen.

Shembulli #1

Natyrisht, hapi i parë është hapja e kllapave. Le ta bëjmë këtë me shumë kujdes:

Tani le të marrim privatësinë:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Këtu janë disa si:

Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje, kështu që në përgjigje shkruajmë si më poshtë:

\[\ varietet \]

ose pa rrënjë.

Shembulli #2

Ne kryejmë të njëjtat hapa. Hapi i parë:

Le të lëvizim gjithçka me një ndryshore në të majtë, dhe pa të - në të djathtë:

Këtu janë disa si:

Natyrisht, ky ekuacion linear nuk ka zgjidhje, kështu që e shkruajmë kështu:

\[\varnogjë\],

ose pa rrënjë.

Nuancat e zgjidhjes

Të dy ekuacionet janë zgjidhur plotësisht. Në shembullin e këtyre dy shprehjeve, ne u siguruam edhe një herë që edhe në ekuacionet më të thjeshta lineare, gjithçka mund të jetë jo aq e thjeshtë: mund të ketë ose një, ose asnjë, ose pafundësisht shumë. Në rastin tonë, ne konsideruam dy ekuacione, në të dyja thjesht nuk ka rrënjë.

Por unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për një fakt tjetër: si të punoni me kllapa dhe si t'i zgjeroni ato nëse ka një shenjë minus para tyre. Merrni parasysh këtë shprehje:

Para hapjes, duhet të shumëzoni gjithçka me "x". Ju lutemi vini re: shumëzoni çdo term individual. Brenda ka dy terma - respektivisht, dy terma dhe shumëzohet.

Dhe vetëm pasi të kenë përfunduar këto transformime në dukje elementare, por shumë të rëndësishme dhe të rrezikshme, mund të hapet kllapa nga pikëpamja që pas saj ka një shenjë minus. Po, po: vetëm tani, kur janë bërë transformimet, kujtojmë se ka një shenjë minus përpara kllapave, që do të thotë se gjithçka më poshtë thjesht ndryshon shenja. Në të njëjtën kohë, vetë kllapat zhduken dhe, më e rëndësishmja, "minus" i përparmë gjithashtu zhduket.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë:

Nuk është rastësi që u kushtoj vëmendje këtyre fakteve të vogla, në dukje të parëndësishme. Sepse zgjidhja e ekuacioneve është gjithmonë një sekuencë transformimesh elementare, ku pamundësia për të kryer qartë dhe me kompetencë veprime të thjeshta çon në faktin që nxënësit e shkollave të mesme vijnë tek unë dhe mësojnë të zgjidhin përsëri ekuacione të tilla të thjeshta.

Sigurisht, do të vijë dita kur do t'i përpunoni këto aftësi në automatizëm. Nuk keni më nevojë të kryeni kaq shumë transformime çdo herë, do të shkruani gjithçka në një rresht. Por ndërsa jeni vetëm duke mësuar, ju duhet të shkruani çdo veprim veç e veç.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare edhe më komplekse

Ajo që do të zgjidhim tani vështirë se mund të quhet detyra më e thjeshtë, por kuptimi mbetet i njëjtë.

Detyra numër 1

\[\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(3x-1 \djathtas)-21((x)^(2))=3\]

Le të shumëzojmë të gjithë elementët në pjesën e parë:

Le të bëjmë një tërheqje:

Këtu janë disa si:

Le të bëjmë hapin e fundit:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Këtu është përgjigja jonë përfundimtare. Dhe, pavarësisht se në procesin e zgjidhjes kishim koeficientë me funksion kuadratik, megjithatë, ata reciprokisht u anuluan, gjë që e bën ekuacionin saktësisht linear, jo katror.

Detyra numër 2

\[\majtas(1-4x \djathtas)\majtas(1-3x \djathtas)=6x\majtas(2x-1 \djathtas)\]

Le të bëjmë hapin e parë me kujdes: shumëzojmë çdo element në kllapa e parë me çdo element në të dytën. Në total, katër terma të rinj duhet të merren pas transformimeve:

Dhe tani kryeni me kujdes shumëzimin në secilin term:

Le t'i zhvendosim termat me "x" në të majtë, dhe pa - në të djathtë:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Këtu janë terma të ngjashëm:

Kemi marrë një përgjigje përfundimtare.

Nuancat e zgjidhjes

Vërejtja më e rëndësishme për këto dy ekuacione është kjo: posa të fillojmë të shumëzojmë kllapat në të cilat ka më shumë se një term, atëherë kjo bëhet sipas rregullit të mëposhtëm: marrim termin e parë nga i pari dhe shumëzojmë me çdo element nga i dyti; atëherë marrim elementin e dytë nga i pari dhe në mënyrë të ngjashme shumëzojmë me secilin element nga i dyti. Si rezultat, marrim katër terma.

Mbi shumën algjebrike

Me shembullin e fundit, dëshiroj t'u kujtoj nxënësve se çfarë është shuma algjebrike. Në matematikën klasike, me 1-7$ nënkuptojmë një ndërtim të thjeshtë: i zbresim shtatë nga një. Në algjebër, nënkuptojmë me këtë si vijon: numrit "një" i shtojmë një numër tjetër, domethënë "minus shtatë". Kjo shumë algjebrike ndryshon nga shuma e zakonshme aritmetike.

Sapo kur kryeni të gjitha transformimet, çdo mbledhje dhe shumëzim, filloni të shihni ndërtime të ngjashme me ato të përshkruara më sipër, thjesht nuk do të keni asnjë problem në algjebër kur punoni me polinome dhe ekuacione.

Si përfundim, le të shohim disa shembuj të tjerë që do të jenë edhe më kompleks se ata që sapo pamë, dhe për t'i zgjidhur ato, do të duhet të zgjerojmë pak algoritmin tonë standard.

Zgjidhja e ekuacioneve me një thyesë

Për të zgjidhur detyra të tilla, një hap tjetër do t'i shtohet algoritmit tonë. Por së pari, unë do të kujtoj algoritmin tonë:

1. Hapni kllapat.
2. Variabla të ndara.
3. Sillni të ngjashme.
4. Ndani me një faktor.

Mjerisht, ky algoritëm i mrekullueshëm, me gjithë efikasitetin e tij, nuk është plotësisht i përshtatshëm kur kemi fraksione para nesh. Dhe në atë që do të shohim më poshtë, kemi një fraksion në të majtë dhe në të djathtë në të dy ekuacionet.

Si të punoni në këtë rast? Po, është shumë e thjeshtë! Për ta bërë këtë, duhet të shtoni një hap tjetër në algoritëm, i cili mund të kryhet si para veprimit të parë ashtu edhe pas tij, domethënë për të hequr qafe fraksionet. Kështu, algoritmi do të jetë si më poshtë:

1. Hiqni qafe thyesat.
2. Hapni kllapat.
3. Variabla të ndara.
4. Sillni të ngjashme.
5. Ndani me një faktor.

Çfarë do të thotë "të heqësh qafe thyesat"? Dhe pse është e mundur të bëhet kjo si pas dhe para hapit të parë standard? Në fakt, në rastin tonë, të gjitha thyesat janë numerike për sa i përket emëruesit, d.m.th. kudo emëruesi është vetëm një numër. Prandaj, nëse i shumëzojmë të dyja pjesët e ekuacionit me këtë numër, atëherë do të shpëtojmë nga thyesat.

Shembulli #1

\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas))(4)=((x)^(2))-1\]

Le të heqim qafe thyesat në këtë ekuacion:

\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)\cdot 4)(4)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]

Ju lutemi vini re: çdo gjë shumëzohet me "katër" një herë, d.m.th. vetëm për shkak se keni dy kllapa nuk do të thotë që ju duhet ta shumëzoni secilën prej tyre me "katër". Le të shkruajmë:

\[\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]

Tani le ta hapim:

Ne kryejmë izolimin e një ndryshoreje:

Ne kryejmë uljen e kushteve të ngjashme:

\[-4x=-1\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Kemi marrë zgjidhjen përfundimtare, kalojmë në ekuacionin e dytë.

Shembulli #2

\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas))(5)+((x)^(2))=1\]

Këtu kryejmë të gjitha veprimet e njëjta:

\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemi u zgjidh.

Kjo, në fakt, është gjithçka që doja të tregoja sot.

Pikat kryesore

Gjetjet kryesore janë si më poshtë:

• Të njohë algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
• Aftësia për të hapur kllapa.
• Mos u shqetësoni nëse keni funksione kuadratike diku, ka shumë të ngjarë, në procesin e transformimeve të mëtejshme, ato do të reduktohen.
• Rrënjët në ekuacionet lineare, madje edhe ato më të thjeshtat, janë tre llojesh: një rrënjë e vetme, e gjithë boshti numerik është një rrënjë, nuk ka rrënjë fare.

Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të zotëroni një temë të thjeshtë, por shumë të rëndësishme për të kuptuar më tej të gjithë matematikën. Nëse diçka nuk është e qartë, shkoni në sit, zgjidhni shembujt e paraqitur atje. Qëndroni të sintonizuar, ka shumë gjëra të tjera interesante që ju presin!