反デリバティブ表の値。 反誘導体。 簡単な例を解く
逆微分関数の定義
- 関数 y=F(x)関数の逆導関数と呼ばれます y=f(x)一定の間隔で バツ、みんなのためなら バツ ∈バツ等式が成り立ちます: F'(x) = f(x)
次の 2 つの方法で読み取ることができます。
- f 関数の導関数 F
- F 関数の逆導関数 f
逆誘導体の性質
- もし F(x)- 関数の逆導関数 f(x)与えられた区間で、関数 f(x) には無限に多くの逆微分があり、これらすべての逆微分は次の形式で書くことができます。 F(x) + Cここで、C は任意の定数です。
幾何学的解釈
- 指定された関数のすべての逆導関数のグラフ f(x)任意の 1 つの逆微分のグラフから O 軸に沿った平行移動によって取得されます。 で.
逆デリバティブの計算ルール
- 和の逆微分は、逆微分の合計に等しい。 もし F(x)- の逆誘導体 f(x)、G(x) は次の逆微分です。 g(x)、 それ F(x) + G(x)- の逆誘導体 f(x) + g(x).
- 導関数の符号から定数因数を取り出すことができます。。 もし F(x)- の逆誘導体 f(x)、 そして k- 定数の場合 k・F(x)- の逆誘導体 k f(x).
- もし F(x)- の逆誘導体 f(x)、 そして k、b- 定数、および k≠0、 それ 1/k F(kx + b)- の逆誘導体 f(kx + b).
覚えて！
任意の機能 F(x) = x 2 + C 、ここで C は任意の定数であり、そのような関数のみが関数の逆微分になります。 f(x) = 2x.
- 例えば：
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x、なぜなら F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x、なぜなら F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
関数のグラフとその逆導関数の関係:
- 関数のグラフの場合 f(x)>0区間に基づいて、その逆導関数のグラフ F(x)この間隔で増加します。
- 関数のグラフの場合 区間上の f(x) とその逆微分のグラフ F(x)この間隔で減少します。
- もし f(x)=0、次にその逆導関数のグラフ F(x)この時点で、増加から減少 (またはその逆) に変化します。
逆微分を表すには、不定積分の符号、つまり積分の極限を示さない積分が使用されます。
不定積分
意味:
- 関数 f(x) の不定積分は、式 F(x) + C、つまり、与えられた関数 f(x) のすべての反導関数の集合です。 不定積分は次のように表されます: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- 被積分関数と呼ばれます。
- f(x)dx- 被積分関数と呼ばれます。
- バツ- 積分変数と呼ばれます。
- F(x)- 関数 f(x) の逆導関数の 1 つ。
- と- 任意の定数。
不定積分の性質
- 不定積分の導関数は被積分関数 (\int f(x) dx)\prime= f(x) と等しくなります。
- 被積分関数の定数因数は、積分符号から取り出すことができます。 \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- 関数の和 (差) の積分は、次の関数の積分の和 (差) に等しくなります。 \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- もし k、bが定数で、k ≠ 0 の場合、 \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.
逆微分と不定積分の表
| 関数 f(x) | 反誘導体 F(x) + C | 不定積分 \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m、m\not =-1 | F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C | \int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( x ) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e ( ^x ) dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C | \int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x ) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x ) | F(x) = \tg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt ( x ) | F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C | |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) ) | F(x) =2\sqrt ( x ) + C | |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) | F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) | F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 ) | F(x)=\arctg + C | \int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0) | F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x ) | F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x ) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C |
ニュートン・ライプニッツの公式
させて f(x)この機能 Fその任意の逆誘導体。
\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)
どこ F(x)- の逆誘導体 f(x)
つまり、関数の積分 f(x)区間上の値は点における逆微分値の差に等しい bそして ある.
湾曲した台形の面積
曲線台形 フィギュアと呼ばれる スケジュールによって制限されるセグメント上の非負の連続関数 f、牛軸と直線 x = aそして x = b.
湾曲した台形の面積は、ニュートン・ライプニッツの公式を使用して求められます。
S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx
逆微分の表（不定積分の表）を使った直接積分
逆誘導体一覧表
不定積分の性質を利用すれば、関数の既知の微分から逆微分を求めることができます。 基本初等関数の表から、等式 ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C および ∫ k f (x) d x = k ∫ f を使用します。 (x) d x 逆デリバティブの表を作成できます。
導関数の表を微分の形で書いてみましょう。
|
定数 y = C C" = 0 べき乗関数 y = x p。 (x p) " = p x p - 1 |
定数 y = C d (C) = 0 d x べき乗関数 y = x p。 d (x p) = p x p - 1 d x |
|
(a x) " = a x ln a |
指数関数 y = a x。 d (a x) = a x ln α d x 特に、a = e の場合、y = e x となります。 d (e x) = e x d x |
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log a x " = 1 x ln a |
対数関数 y = log a x 。 d (log a x) = d x x ln a 特に、a = e の場合、y = ln x となります。 d (ln x) = d x x |
|
三角関数。 sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
三角関数。 d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (ct g x) = - d x sin 2 x |
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a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2 |
逆三角関数。 d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2 |
上記を例を挙げて説明しましょう。 べき乗関数 f (x) = x p の不定積分を求めてみましょう。
微分表によれば、d (x p) = p · x p - 1 · d x となります。 不定積分の性質により、 ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C が得られます。 したがって、∫ x p - 1 · d x = x p p + C p 、p ≠ 0 となります。エントリの 2 番目のバージョンは次のとおりです。 ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1、p ≠ - 1。
これを - 1 に等しいものとして、べき乗関数 f (x) = x p の逆導関数のセットを求めます: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x 。
ここで、自然対数 d (ln x) = d x x、x > 0 の微分表が必要です。したがって、∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x となります。 したがって、 ∫ d x x = ln x 、 x > 0 です。
逆微分の表（不定積分）
表の左側の列には、基本的な逆デリバティブと呼ばれる式が含まれています。 右の列の公式は基本的なものではありませんが、不定積分を求めるために使用できます。 微分することで確認できます。
直接統合
直接積分を実行するには、逆導関数のテーブル、積分規則 ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C、および不定積分の性質 ∫ k f (x) d x = k · を使用します。 ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
基本的な積分と積分の性質の表は、被積分関数を簡単に変換した後にのみ使用できます。
例1
積分 ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x を求めてみましょう。
解決
整数記号の下から係数 3 を削除します。
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x
三角関数の公式を使用して、被積分関数を変換します。
3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + 罪 x d x
合計の積分は積分の合計に等しいため、次のようになります。
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x
逆導関数の表のデータを使用します。 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = empty 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C
答え：∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C 。
例 2
関数 f (x) = 2 3 4 x - 7 の逆導関数のセットを見つける必要があります。
解決
指数関数の逆微分の表を使用します: ∫ a x · d x = a x ln a + C 。 これは、∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C を意味します。
積分規則 ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C を使用します。
∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C が得られます。
答え: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C
逆導関数の表、性質、積分則を使用すると、多くの不定積分を見つけることができます。 これは、被積分関数を変換できる場合に可能です。
対数関数、正接および余接関数、およびその他の関数の積分を求めるには、特別な方法が使用されます。これについては、「積分の基本的な方法」のセクションで説明します。
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以前の資料では、導関数を見つける問題とその導関数が検討されました。 さまざまなアプリケーション: グラフの接線の角係数を計算し、最適化問題を解き、単調性と極値の関数を研究します。 $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
写真1。
関数 $s(t)$ で表される、既知の移動経路に沿った導関数を使用して瞬間速度 $v(t)$ を求める問題も考慮されました。
図2。
逆問題も非常に一般的で、点 $v(t)$ の速度がわかっていて、ある時点 $t$ が通過した経路 $s(t)$ を見つける必要がある場合に起こります。 思い出してください。瞬間速度 $v(t)$ は、経路関数 $s(t)$ の導関数として求められます: $v(t)=s’(t)$。 これは、逆問題を解く、つまりパスを計算するには、導関数が速度関数と等しくなる関数を見つける必要があることを意味します。 しかし、パスの導関数は速度、つまり $s’(t) = v(t)$ であることがわかっています。 速度は加速度と時間の積に等しい: $v=at$。 目的のパス関数が $s(t) = \frac(at^2)(2)$ の形式になることを判断するのは簡単です。 しかし、これは完全な解決策ではありません。 完全な解は次の形式になります: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$、ここで $C$ は定数です。 なぜそうなるのかについては、さらに詳しく説明します。 ここでは、見つかった解の正しさを確認してみましょう: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$。
速度に基づいてパスを見つけることが逆微分の物理的な意味であることに注意してください。
結果として得られる関数 $s(t)$ は、関数 $v(t)$ の逆導関数と呼ばれます。 なかなか面白くて珍しい名前ですね。 この概念の本質を説明し、理解に導く大きな意味が含まれています。 「first」と「image」という 2 つの単語が含まれていることがわかります。 彼らは自分自身のことを話します。 つまり、これは、私たちが持っている導関数の最初の関数です。 そして、この導関数を使用して、最初にあった関数、「最初」、「最初の画像」、つまり逆導関数を探します。 原始関数または逆導関数と呼ばれることもあります。
すでにご存知のとおり、導関数を見つけるプロセスは微分と呼ばれます。 そして、逆導関数を見つけるプロセスは積分と呼ばれます。 積分演算は微分演算の逆です。 逆もまた真です。
意味。特定の区間における関数 $f(x)$ の逆導関数は関数 $F(x)$ であり、その導関数は指定された区間からのすべての $x$ に対してこの関数 $f(x)$ と等しくなります: $F' (x)=f (x)$。
最初に $s(t)$ と $v(t)$ について話した場合、$F(x)$ と $f(x)$ は定義のどこから来たのかという疑問を持つ人もいるかもしれません。 重要なのは、$s(t)$ と $v(t)$ は、次のような関数表記の特殊なケースであるということです。 この場合具体的な意味は、それぞれ時間の関数と速度の関数です。 変数 $t$ も同様で、時間を表します。 $f$ と $x$ は、それぞれ関数と変数の一般的な指定の伝統的な変形です。 逆導関数 $F(x)$ の表記には特に注意する必要があります。 まず、$F$ は資本です。 反誘導体は大文字で表示されます。 次に、文字が同じです: $F$ と $f$。 つまり、関数 $g(x)$ の場合、反微分は $G(x)$ で表され、$z(x)$ の場合、逆導関数は $Z(x)$ で表されます。 表記法に関係なく、逆微分関数を求めるルールは常に同じです。
いくつかの例を見てみましょう。
例1.関数 $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ が関数 $f(x)=\cos5x$ の逆導関数であることを証明します。
これを証明するには、定義、つまり $F'(x)=f(x)$ という事実を使用し、関数 $F(x)$ の導関数を求めます。 $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$。 これは、$F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ が $f(x)=\cos5x$ の逆微分であることを意味します。 Q.E.D.
例2。次の逆微分に対応する関数を見つけます。 a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$。
必要な関数を見つけるために、その導関数を計算してみましょう。
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$。
例 3.$f(x)=0$ の逆微分は何になりますか?
定義を使ってみましょう。 どの関数が $0$ に等しい導関数を持つことができるかを考えてみましょう。 導関数の表を思い出すと、どの定数にもそのような導関数があることがわかります。 探している逆導関数は $F(x)= C$ であることがわかります。
結果として得られる解決策は、幾何学的および物理的に説明できます。 幾何学的には、グラフ $y=F(x)$ の接線がこのグラフの各点で水平であるため、$Ox$ 軸と一致することを意味します。 物理的には、速度がゼロに等しい点はその場に留まる、つまり、その点が移動した経路は変化しないという事実によって説明されます。 これに基づいて、次の定理を定式化できます。
定理。 (関数の不変性の兆候）。 ある区間 $F’(x) = 0$ の場合、この区間の関数 $F(x)$ は定数です。
例4.どの関数が a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; の逆微分であるかを判断します。 b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$、ここで $a$ は数値です。
逆微分の定義を使用して、この問題を解決するには、与えられた逆微分関数の微分を計算する必要があると結論付けます。 計算するときは、定数、つまり任意の数値の導関数はゼロに等しいことに注意してください。
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$。
何が見えますか？ いくつかの異なる関数は、同じ関数のプリミティブです。 これは、どの関数にも無限に多くの逆微分があり、それらは $F(x) + C$ の形式を持つことを示唆しています ($C$ は任意の定数です)。 つまり、積分演算は微分演算とは異なり多値です。 これに基づいて、逆導関数の主な性質を説明する定理を定式化してみましょう。
定理。 (逆誘導体の主な性質）。 関数 $F_1$ と $F_2$ を、ある区間における関数 $f(x)$ の逆微分とする。 次に、この間隔のすべての値について、$F_2=F_1+C$ という等式が成り立ちます。ここで、$C$ は定数です。
無限の逆導体が存在するという事実は、幾何学的に解釈できます。 $Oy$ 軸に沿った平行移動を使用すると、$f(x)$ の任意の 2 つの逆導関数のグラフを相互に取得できます。 これが反導関数の幾何学的意味です。
定数 $C$ を選択することで、逆微分関数のグラフが確実に特定の点を通過できるという事実に注意を払うことが非常に重要です。
図3.
例5。グラフが点 $(3; 1)$ を通過する関数 $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ の逆微分を求めます。
まず、$f(x)$ のすべての逆導関数を見つけてみましょう: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$。
次に、グラフ $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ が点 $(3; 1)$ を通過する数値 C を求めます。 これを行うには、点の座標をグラフの方程式に代入し、それを $C$ について解きます。
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$、$C=-5$。
グラフ $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ が得られました。これは、逆導関数 $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ に対応します。
逆誘導体一覧表
逆デリバティブを求める公式の表は、デリバティブを求める公式を使用して編集できます。
| 機能 | 反誘導体 |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $ax+C$ |
| $x^n、n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x、a>0、a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
表の正しさは次の方法で確認できます。右の列にある逆導関数の各セットについて、左の列に対応する関数となる導関数を見つけます。
逆誘導体を見つけるためのいくつかのルール
知られているように、多くの関数は逆導関数の表に示されているものよりも複雑な形式を持ち、この表の関数の和と積を任意に組み合わせることができます。 ここで、そのような関数の逆導関数をどのように計算するかという問題が生じます。 たとえば、表から $x^3$、$\sin x$、$10$ の逆微分を計算する方法がわかります。 たとえば、逆導関数 $x^3-10\sin x$ はどのように計算できるでしょうか? 今後のことを考えると、$\frac(x^4)(4)+10\cos x$ になることに注目してください。
1. $F(x)$ が $f(x)$ に対して逆微分、$G(x)$ が $g(x)$ に対して逆微分である場合、$f(x)+g(x)$ に対して逆微分は次のようになります。 $ F(x)+G(x)$ に等しい。
2. $F(x)$ が $f(x)$ の逆微分で、$a$ が定数の場合、$af(x)$ の逆微分は $aF(x)$ です。
3. $f(x)$ の逆微分が $F(x)$、$a$ と $b$ が定数の場合、$\frac(1)(a) F(ax+b)$ が逆微分です。 $f (ax+b)$ の場合。
取得したルールを使用して、逆デリバティブのテーブルを拡張できます。
| 機能 | 反誘導体 |
| $(ax+b)^n、n\ne1、a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b)、a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b)、a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b)、a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
例5。以下の逆誘導体を検索します。
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$。
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$。
逆微分 (「積分」) の表。 積分の表。 表形式の不定積分。 (最も単純な積分とパラメータ付きの積分)。 部分ごとの積分の公式。 ニュートン・ライプニッツの公式。
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逆微分 (「積分」) の表。 表形式の不定積分。 (最も単純な積分とパラメータ付きの積分)。 |
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べき乗関数の積分。 |
べき乗関数の積分。 |
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x が微分符号で駆動される場合、べき乗関数の積分に帰着する積分。 |
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指数関数の積分。a は定数です。 |
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複素指数関数の積分。 |
指数関数の積分。 |
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自然対数に等しい積分。 |
積分:「長対数」。 |
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積分:「長対数」。 |
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積分:「高対数」。 |
分子の x が微分符号の下に置かれる積分 (符号の下の定数は加算または減算できます) は、最終的には自然対数に等しい積分に似ています。 |
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積分:「高対数」。 |
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コサイン積分。 |
正弦積分。 |
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積分は接線に等しい。 |
積分は余接に等しい。 |
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逆正弦と逆余弦の両方に等しい積分 |
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逆正弦と逆余弦の両方に等しい積分。 |
逆正接と逆余接の両方に等しい積分。 |
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コセカントに等しい積分。 |
正割に等しい積分。 |
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逆正割に等しい積分。 |
逆正割に等しい積分。 |
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逆正割に等しい積分。 |
逆正割に等しい積分。 |
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双曲線正弦に等しい積分。 |
双曲線余弦に等しい積分。 |
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双曲線正弦に等しい整数。sinhx は英語版の双曲線正弦です。 |
双曲線余弦に等しい整数。sinhx は英語版の双曲線正弦です。 |
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双曲線正接に等しい積分。 |
双曲線余接に等しい積分。 |
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双曲線正割に等しい積分。 |
双曲線余割に等しい積分。 |
部分ごとの積分の公式。 統合ルール。
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部分ごとの積分の公式。 ニュートン・ライプニッツの公式、積分の規則。 |
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積（関数）を定数で積分する： |
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関数の和を積分する： |
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不定積分: |
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部品ごとの積分公式 定積分: |
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ニュートン・ライプニッツの公式 定積分: |
ここで、F(a)、F(b) は、それぞれ点 b および a における逆微分の値です。 |
デリバティブの表。 表形式の導関数。 製品の派生製品。 商の導関数。 複素関数の導関数。
x が独立変数の場合、次のようになります。
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デリバティブの表。 表形式導関数。「表導関数」 - はい、残念ながら、これはまさにインターネット上で検索される方法です。 |
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べき乗関数の導関数 |
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指数の導関数 |
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指数関数の導関数 |
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対数関数の導関数 |
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関数の自然対数の導関数 |
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コセカントの導関数 |
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逆余接の導関数 |
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逆正割の導関数 |
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複素指数関数の導関数
自然対数の導関数
サインの導関数
コサインの導関数
セカントの導関数
逆正弦の導関数
逆余弦の導関数
逆正弦の導関数
逆余弦の導関数
正接導関数
コタンジェントの導関数
逆正接の導関数
逆余接の導関数
逆正接の導関数
アークセカントの導関数
逆正割の導関数
アークセカントの導関数
双曲線正弦の導関数
英語版の双曲線正弦の導関数
双曲線余弦の導関数
英語版の双曲線余弦の導関数
双曲線正接の導関数
双曲線余接の導関数
双曲線正割の導関数
双曲線余割の導関数|
微分の法則。 製品の派生製品。 商の導関数。 複素関数の導関数。 |
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定数による積（関数）の微分： |
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和の導関数(関数): |
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積（関数）の派生: |
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(関数の)商の微分: |
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複素関数の導関数: |
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対数の性質。 対数の基本的な公式。 10 進数 (lg) と自然対数 (ln)。
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基本対数恒等式 |
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a b の形式の関数を指数関数にする方法を示しましょう。 e x の形式の関数は指数関数と呼ばれるため、次のようになります。 |
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a b 形式の関数はすべて 10 の累乗として表すことができます。 |
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自然対数 ln (e を底とする対数 = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0
テイラーシリーズ。 関数のテイラー級数拡張。
大多数であることがわかります 実際に遭遇した数学関数は、変数のべき乗を昇順に含むべき級数の形式で、特定の点の近傍で任意の精度で表現できます。 たとえば、点 x=1 付近では次のようになります。
というシリーズを使用する場合 テイラーの行列たとえば、代数関数、三角関数、指数関数を含む混合関数は、純粋な代数関数として表現できます。 多くの場合、系列を使用すると、微分と積分を迅速に実行できます。
点 a の近傍のテイラー級数は次の形式になります。
1)
ここで、f(x) は、x = a におけるすべての次数の導関数を持つ関数です。 R n - テイラー級数の剰余項は式によって決定されます。 
2)
系列の k 番目の係数 (x k における) は次の式で決定されます。
3) Taylor 系列の特殊なケースは、Maclaurin (=McLaren) 系列です。 (展開は点 a=0 付近で発生します)
a=0で 
シリーズのメンバーは次の式によって決定されます。
テイラー級数を使用するための条件。
1. 関数 f(x) を区間 (-R;R) 上のテイラー級数に展開するには、これに対する Taylor (Maclaurin (=McLaren)) の式の剰余項が必要かつ十分です。関数は、指定された区間 (-R;R) で k → ∞ としてゼロになる傾向があります。
2. テイラー級数を構築する近傍の点に、指定された関数の導関数が存在する必要があります。
テイラー級数の性質。
f が解析関数の場合、f の定義領域内の任意の点 a におけるそのテイラー級数は、a の近傍の f に収束します。
テイラー級数が収束するが、同時に a の近傍の関数とは異なる無限微分可能な関数が存在します。 例えば：
テイラー級数は、多項式による関数の近似 (近似とは、ある意味で元のオブジェクトに近い、しかしより単純な、あるオブジェクトを別のオブジェクトに置き換えることからなる科学的方法) に使用されます。 特に、線形化 ((lineariis - Linear から)、閉じた非線形システムを近似表現する方法の 1 つで、非線形システムの研究が、ある意味では元のシステムと同等の線形システムの解析に置き換えられます) .) 方程式は、テイラー級数に展開し、一次以上の項をすべて切り捨てることによって生成されます。
したがって、ほぼすべての関数を一定の精度で多項式として表すことができます。
マクローリン級数 (= 点 0 付近のマクラーレン、テイラー) と点 1 付近のテイラーにおけるべき関数の一般的な展開の例。テイラー級数とマクラーレン級数の主関数の展開の第 1 項。
マクローリン級数におけるべき関数の一般的な展開の例 (= 点 0 付近のマクラーレン、テイラー)
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点 1 付近の一般的なテイラー級数展開の例
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すべての学生が知っておくべき主積分
リストされた積分は基礎、基礎の基礎です。 これらの公式は必ず覚えておく必要があります。 より複雑な積分を計算する場合は、常にそれらを使用する必要があります。
式 (5)、(7)、(9)、(12)、(13)、(17)、(19) に特に注意してください。 積分するときは、答えに任意の定数 C を追加することを忘れないでください。
定数の積分
∫ A d x = A x + C (1)べき乗関数の統合
実際、式 (5) と (7) のみに限定することもできますが、このグループの残りの積分は頻繁に発生するため、少し注意を払う価値があります。
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | × | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
指数関数と双曲線関数の積分
もちろん、式 (8) (おそらく暗記するのに最も便利です) は、式 (9) の特殊なケースと考えることができます。 ハイパボリックサインとハイパボリックコサインの積分の式(10)、(11)は式(8)から簡単に導き出せますが、この関係は覚えておくと良いでしょう。
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0、a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
三角関数の基本積分
学生がよく犯す間違いは、式 (12) と (13) の符号を混同することです。 サインの導関数がコサインに等しいことを思い出して、何らかの理由で関数 sinx の積分が cosx に等しいと多くの人が信じています。 本当じゃない！ sin の積分は「マイナス コサイン」と等しくなりますが、cosx の積分は「正弦」と等しくなります。
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
逆三角関数に帰着する積分
逆正接を導く式 (16) は、当然ながら、a=1 の式 (17) の特殊なケースです。 同様に、(18) は (19) の特殊なケースです。
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
より複雑な積分
これらの公式も覚えておくことをお勧めします。 これらは非常に頻繁に使用され、その出力は非常に退屈です。
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
統合の一般規則
1) 2 つの関数の和の積分は、対応する積分の和に等しい: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) 2 つの関数の差の積分は、対応する積分の差に等しい: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) 定数は積分符号から取り出すことができます: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
プロパティ (26) が単にプロパティ (25) と (27) を組み合わせたものであることが簡単にわかります。
4) 内部関数が線形の場合の複素関数の積分: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
ここで、F(x) は関数 f(x) の逆微分です。 注意: この式は、内部関数が Ax + B の場合にのみ機能します。
重要: 2 つの関数の積の積分や分数の積分には、普遍的な公式はありません。
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (30)
もちろん、これは分数や積を積分できないという意味ではありません。 ただ、(30) のような積分を見るたびに、それを「戦う」方法を発明する必要があります。 部分ごとの積分が役立つ場合もあれば、変数を変更する必要がある場合もあり、場合によっては「学校」の代数や三角法の公式が役立つ場合もあります。
不定積分を計算する簡単な例
例 1. 積分を求めます: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x式 (25) と (26) を使用してみましょう (関数の和または差の積分は、対応する積分の和または差に等しいです。次の結果が得られます: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
定数は積分符号から取り出せることを思い出してください（式(27)）。 式は次の形式に変換されます。
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
ここで、基本的な積分の表を使用してみましょう。 式 (3)、(12)、(8)、(1) を適用する必要があります。 べき乗関数、正弦関数、指数関数、および定数 1 を積分しましょう。最後に任意の定数 C を追加することを忘れないでください。
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
基本的な変換の後、最終的な答えが得られます。
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
微分によって自分自身をテストしてください。結果として得られる関数の導関数を取得し、それが元の被積分関数と等しいことを確認してください。
積分の概要表
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | × | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0、a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
このリンクから積分表 (パート II) をダウンロードします。
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