関数グラフで囲まれた回転体の体積を計算します。 積分を使用して回転体の体積を見つけます。 軸を中心とした平面図形の回転によって形成される物体の体積の計算

積分を使用して回転体の体積を求める

数学の実際的な有用性は、

特定の数学的知識があると、デバイスの原理と最新のテクノロジーの使用を理解することが難しくなります。 人生の各人は、かなり複雑な計算を実行し、一般的に使用される機器を使用し、参考書で見つけて適用する必要があります 必要な数式、問題を解決するための単純なアルゴリズムを作成します。 で 現代社会高レベルの教育を必要とする専門分野は、数学の直接的な応用に関連しています。 したがって、学童にとって、数学は専門的に重要な科目になります。 アルゴリズム的思考の形成において主役は数学に属し、与えられたアルゴリズムに従って行動し、新しいアルゴリズムを設計する能力を育てます。

積分を使って回転体の体積を計算するというトピックを研究しているので、選択科目の学生には「積分を使った回転体の体積」というトピックを検討することをお勧めします。 このトピックを扱うためのガイドラインを次に示します。

1.平面図の面積。

代数の過程から、実用的な問題が定積分の概念につながったことを知っています..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

破線 y=f(x)、Ox 軸、直線 x=a および x=b で囲まれた Ox 軸の周りの曲線台形の回転によって形成される回転体の体積を求めるには、次のように計算します。式によって

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.シリンダーの容積。

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">円錐は、直角三角形 ABC (C=90) を脚 AC が置かれている Ox 軸の周りで回転させることによって得られます。

セグメント AB は、https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> の線 y=kx+c にあります。

a=0、b=H (H は円錐の高さ)、次に Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">。

5. 円錐台の体積。

円錐台形は、直角台形 ABCD (CDOx) を Ox 軸を中心に回転させることで得られます。

線分 AB は線 y=kx+c にあり、ここで 、ｃ＝ｒ。

直線は点 A (0; r) を通るので。

したがって、直線は次のようになります https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

a=0、b=H (H は円錐台の高さ) とすると、https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. ボールのボリューム。

ボールは、中心が (0;0) の円を x 軸を中心に回転させることで取得できます。 x 軸の上にある半円は、次の式で与えられます。

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

領域を見つける問題と同様に、自信を持って描画するスキルが必要です。これはほとんど最も重要なことです (積分自体は簡単なことが多いため)。 を使用して、有能で高速なグラフ作成技術を習得できます。 教材および幾何学的グラフ変換。 でも実は、授業で絵の重要性を繰り返し話してきたんです。

一般に、積分計算には多くの興味深いアプリケーションがあり、定積分の助けを借りて、図形の面積、回転体の体積、弧の長さ、表面積を計算できます回転など。 とても楽しいので、楽観的になってください！

座標平面上の平らな図形を想像してください。 代表？ ... 誰が何を提示したのだろうか... =))) 私たちはすでにその領域を見つけました。 ただし、さらに、この図は回転することもでき、次の 2 つの方法で回転できます。

- 横軸の周り;
- y 軸周り。

この記事では、両方のケースについて説明します。 2 番目の回転方法は特に興味深いもので、最大の問題を引き起こしますが、実際の解決策は、より一般的な x 軸を中心とした回転の場合とほとんど同じです。 おまけとして、私はに戻ります 図形の面積を求める問題、2 番目の方法 (軸に沿って) で領域を見つける方法を説明します。 素材がテーマにうまく合っているので、それほどボーナスではありません.

最も人気のあるタイプのローテーションから始めましょう。

軸の周りの平らな図

例 1

線で囲まれた図形を軸を中心に回転させて得られる体の体積を計算します。

解決: 面積問題と同様に、 ソリューションは平面図の描画から始まります. つまり、平面上に線で囲まれた図を作成する必要があります , , ただし、方程式が軸を定義することを忘れないでください . 図面をより合理的かつ迅速に作成する方法は、ページで見つけることができます 初等関数のグラフと性質と 定積分。 図形の面積の計算方法. これは中国のリマインダーであり、ここで終わりではありません。

ここでの図は非常に単純です。

目的の平らな図形は青色で陰影付けされており、軸を中心に回転するのはこの図形であり、回転の結果、軸を中心に対称な、わずかに卵形の空飛ぶ円盤が得られます。 実際、体には数学的な名前がありますが、参考書で何かを指定するのが面倒なので、先に進みます。

回転体の体積を計算する方法は?

回転体の体積は、次の式で計算できます。:

数式では、積分の前に数値が必要です。 それはちょうど起こった - 人生で回転するすべてのものは、この定数に接続されています。

積分限界「a」と「be」をどう設定するかは、完成図から容易に推測できると思います。

関数... この関数は何ですか? 図面を見てみましょう。 平らな図は、上から放物線グラフで囲まれています。 これは、式で暗示されている関数です。

実際のタスクでは、平面図が軸の下に配置されることがあります。 これは何も変更しません - 式の被積分関数は 2 乗されます: 、したがって 積分は常に非負です、これは非常に論理的です。

次の式を使用して、回転体の体積を計算します。

すでに述べたように、積分はほとんどの場合単純であることがわかります。主なことは注意することです。

答え:

答えでは、次元 - 立方単位を示す必要があります。 つまり、私たちの回転体には約3.35個の「立方体」があります。 なぜ正確に立方体なのか 単位? 最も普遍的な処方だからです。 立方センチメートル、立方メートル、立方キロメートルなどがあるかもしれませんが、それはあなたの想像力が空飛ぶ円盤に収まる小さな緑の男性の数です。

例 2

線 、 、

これは例です 独立したソリューション. レッスンの最後に完全な解決策と答え。

あと2つ考える やりがいのあるタスク実際によく遭遇するもの。

例 3

線 、 、 で囲まれた図の横軸を中心に回転して得られる体の体積を計算します。

解決: 等式が軸を定義することを忘れずに、線 、 、 、 で囲まれた平面図を図面に描きます。

目的の図は青色で陰影付けされています。 軸を中心に回転させると、こんなシュールな四隅のドーナツが出来上がります。

回転体の体積は次のように計算されます。 本体のボリューム差.

まず、赤丸で囲った図を見てみましょう。 軸を中心に回転すると、円錐台が得られます。 この円錐台の体積を としましょう。

緑の丸で囲まれた図を考えてみましょう。 この図を軸を中心に回転すると、少しだけ小さい円錐台も得られます。 その体積を で表しましょう。

そして、明らかに、ボリュームの違いはまさに「ドーナツ」のボリュームです。

回転体の体積を求めるには、次の標準的な公式を使用します。

1) 赤丸で囲まれた図は、上から直線で囲まれているため、次のようになります。

2) 緑色の丸で囲まれた図は、上から直線で囲まれているため、次のようになります。

3) 希望する回転体の体積:

答え:

この場合、円錐台の体積を計算するための学校の公式を使用して解を確認できることは興味深いことです。

決定自体は、多くの場合、次のように短くなります。

では、休憩を取って、幾何学的な錯覚について話しましょう。

人々はしばしばボリュームに関連する幻想を持っています.Perelman（別の人）は本で気づきました. 興味深い幾何学. 解いた問題の平らな図を見てください。面積が小さく、回転体の体積が 50 立方単位を少し超えているように見えますが、これは大きすぎるようです。 ちなみに、平均的な人は生涯で18の面積の部屋の体積の液体を飲みます 平方メートル、それどころか、小さすぎるようです。

一般的に、ソ連の教育制度は本当に最高でした。 1950年に出版されたペレルマンの同じ本は、ユーモリストが言ったように、非常によく発展しており、問題に対する独自の非標準的な解決策を探すことを推論し、教えています. 最近、私は非常に興味を持っていくつかの章を再読しました。私はそれをお勧めします。 いいえ、あなたは微笑む必要はありません。

叙情的な余談の後、創造的なタスクを解決するのが適切です。

例 4

線で囲まれた平らな図形の軸を中心とした回転によって形成される物体の体積を計算します , , ここで .

これは自作の例です。 すべてのことは帯域内で起こることに注意してください。言い換えれば、既製の統合限界が実際に与えられています。 三角関数のグラフを正しく描いて、レッスンの資料を思い出させます グラフの幾何学的変換: 引数が 2 で割り切れる場合: 、グラフは軸に沿って 2 回引き伸ばされます。 少なくとも 3 ～ 4 点を見つけることが望ましい 三角関数表によると図面をより正確に完成させるために。 レッスンの最後に完全な解決策と答え。 ちなみに、タスクは合理的に解決できますが、あまり合理的ではありません。

回転によって形成される物体の体積の計算
軸の周りの平らな図

2 番目の段落は、最初の段落よりもさらに興味深いものになります。 y 軸を中心とした回転体の体積を計算するタスクも、かなり頻繁に行われます。 制御作業. ついでに検討します 図形の面積を求める問題 2番目の方法-軸に沿った統合。これにより、スキルを向上させるだけでなく、最も収益性の高いソリューションを見つける方法を教えることができます. 実用的な意味もあります！ 数学の教授法を教えていた私の先生が笑顔で思い出したように、多くの卒業生が彼女に次の言葉で感謝しました。 この機会を利用して、特に取得した知識を意図した目的に使用しているため、彼女にも大きな感謝の意を表します =)。

完全なダミーであっても、すべての人に読むことをお勧めします。 さらに、2 番目の段落の同化資料は、二重積分の計算に非常に役立ちます。.

例 5

線 、 、 で囲まれた平面図が与えられます。

1) これらの線で囲まれた平面図の面積を見つけます。
2) これらの線で囲まれた平面図を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を求めます。

注意！ 2 段落目だけ読みたい場合でも、最初に 必要な最初のものを読んでください！

解決: タスクは 2 つの部分で構成されます。 正方形から始めましょう。

1) 描画を実行しましょう:

関数が放物線の上部の分岐を定義し、関数が放物線の下部の分岐を定義することが簡単にわかります。 私たちの前には、「横になっている」些細な放物線があります。

領域が検出される目的の図は、青色で陰影付けされています。

図形の面積を見つける方法は? レッスンで考慮された「通常の」方法で見つけることができます。 定積分。 図形の面積の計算方法. さらに、図の面積は、面積の合計として求められます。
- セグメント上 ;
- セグメント上。

それが理由です：

この場合、通常の解決策の何が問題になっていますか? まず、2 つの積分があります。 第二に、積分の下の根と積分の根は贈り物ではありません。さらに、積分の極限を代用すると混乱する可能性があります。 実際、もちろん、積分は致命的ではありませんが、実際にはすべてがもっと悲しいものです.タスクのために「より良い」関数を選んだだけです.

より合理的な解決策があります。それは、逆関数への移行と軸に沿った統合にあります。

逆関数に渡す方法は? 大雑把に言えば、「x」から「y」までを表現する必要があります。 まず、放物線を扱いましょう。

これで十分ですが、下のブランチから同じ関数を派生できることを確認しましょう。

直線を使用すると、すべてが簡単になります。

次に、軸を見てください。あなたが説明するように、定期的に頭を右に 90 度傾けてください (これは冗談ではありません!)。 必要な図形は、赤い点線で示されているセグメントにあります。 さらに、セグメントでは、直線は放物線の上にあります。つまり、図形の面積は、すでにおなじみの式を使用して見つける必要があります。 . 式のどこが変わった？ 手紙だけで、それ以上のものはありません。

! ノート: 軸に沿った積分限界を設定する必要があります 厳密には下から上へ!

エリアの検索:

したがって、セグメント では次のようになります。

私が統合をどのように実行したかに注意してください。これが最も合理的な方法であり、課題の次の段落でその理由が明らかになります。

統合の正しさを疑う読者のために、導関数を見つけます。

元の被積分関数が得られます。これは、積分が正しく実行されたことを意味します。

答え:

2) この図を軸を中心に回転させて形成される物体の体積を計算します。

少し異なるデザインで図面を再描画します。

そのため、青く塗られた図は軸を中心に回転します。 その結果、軸を中心に回転する「ホバリング バタフライ」ができあがります。

回転体の体積を求めるために、軸に沿って積分します。 まず、逆関数に移る必要があります。 これはすでに行われており、前の段落で詳しく説明されています。

ここで、頭を再び右に傾けて、自分の姿を調べます。 明らかに、回転体の体積は、体積の差として求められるべきです。

赤丸で囲まれた図を軸を中心に回転させ、円錐台を作成します。 この体積を で表しましょう。

緑の丸で囲まれた図を軸を中心に回転させ、結果として得られる回転体の体積を通してそれを示します。

私たちの蝶の体積は、体積の差に等しくなります。

式を使用して、回転体の体積を見つけます。

前の段落の式とどう違うのですか？ 文字のみ。

先ほどお話しした統合の利点は、はるかに簡単に見つけることができます。 被積分関数を 4 乗するよりも。

答え:

しかし、病弱な蝶。

同じ平面図を軸を中心に回転させると、まったく異なる回転体が得られ、当然のことながら、異なる体積になることに注意してください。

例 6

線と軸で囲まれた平らな図形が与えられます。

1) 逆関数に移動し、変数 を積分して、これらの線で囲まれた平面図の面積を見つけます。
2) これらの線で囲まれた平面図を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を計算します。

これは自作の例です。 希望する人は、「通常の」方法で図の領域を見つけて、ポイント1のテストを完了することもできます）。 しかし、繰り返しますが、平面図を軸を中心に回転させると、異なるボリュームでまったく異なる回転体が得られます。

レッスンの最後に、タスクの 2 つの提案された項目の完全なソリューション。

ああ、頭を右に傾けて、回転体と統合を理解することを忘れないでください!

トピック: 「定積分を使用した回転体の体積の計算」

レッスンの種類:組み合わせた。

レッスンの目的:積分を使用して回転体の体積を計算することを学びます。

タスク:

行から曲線台形を選択する機能を統合する 幾何学的形状曲線台形の面積を計算するスキルを身につけます。

三次元図の概念に慣れる。

回転体の体積を計算することを学びます。

開発に貢献する 論理的思考、有能な数学的スピーチ、図面作成の正確さ。

主題への関心を育てること、操作すること 数学的概念最終結果を達成するための意志、独立性、忍耐力を養うためのイメージ。

授業中

I. 組織的な瞬間。

グループの挨拶。 レッスンの目的を生徒に伝える。

今日のレッスンはたとえ話から始めたいと思います。 「すべてを知っている賢者がいた。 ある人は、賢者がすべてを知っているわけではないことを証明したかった. 蝶を手に持って、彼は尋ねました。 そして彼自身は、「生きている人が言うなら、私は彼女を殺します。死んだ人が言うなら、私は彼女を解放します」と考えています。 賢者は考えた後、「すべてはあなたの手にあります」と答えました。

ですから、今日も実りある仕事をして、新しい知識を身につけ、身につけたスキルや能力を後の人生や実際の活動に応用していきましょう。

Ⅱ． 以前に学んだ内容の繰り返し。

以前に研究した資料の要点を思い出してみましょう。 これを行うには、「除外する」タスクを実行します 余分な言葉”.

（学生は余分な言葉を言います。）

正しく 「差分」。残りの単語を 1 つの一般的な単語に名前を付けてみてください。 (積分計算)

積分計算に関連する主な段階と概念を思い出しましょう。

エクササイズ。パスを復元します。 （生徒が出てきて、必要な単語をマーカーで書きます。）

ノートブックで作業します。

ニュートン・ライプニッツの公式は、イギリスの物理学者アイザック・ニュートン (1643-1727) とドイツの哲学者ゴットフリート・ライプニッツ (1646-1716) によって開発されました。 数学は自然そのものが話す言語であるため、これは驚くべきことではありません。

この式が実際のタスクを解決する際にどのように使用されるかを考えてみましょう。

例 1: 線で囲まれた図形の面積を計算する

解決：関数のグラフを座標平面上に構築しましょう . 検索する図の領域を選択します。

III. 新しい教材を学ぶ。

画面に注目。 最初の写真は何ですか？ （図は平面図です。）

2枚目の写真は何ですか？ この図は平らですか？ （図は立体図です。）

宇宙で、地球で、そして 日常生活平面図だけでなく、立体図にも遭遇しますが、そのような物体の体積をどのように計算するのですか? 例: 惑星、彗星、隕石などの体積。

家を建てる時や、器から器へ水を注ぐ時は容積を考えます。 ボリュームを計算するためのルールと方法が必要でした。別のことは、それらがどれほど正確で正当化されたかです。

1612 年は、当時有名な天文学者ヨハネス ケプラーが住んでいたオーストリアの都市リンツの住民にとって、特にブドウにとって実り多い年でした。 人々はワイン樽を準備していて、その量を実際に決定する方法を知りたがっていました。

このように、考慮されたケプラーの作品は、17世紀の最後の四半期に最高潮に達した研究の流れ全体の始まりを示しました. I.ニュートンとG.V.の作品のデザイン。 ライプニッツの微分および積分計算。 その時以来、マグニチュード変数の数学は、数学的知識のシステムにおいて主要な位置を占めてきました。

ですから、今日はそのような実践的な活動に従事します。

私たちのレッスンのトピック：「定積分を使用した回転体の体積の計算」。

次のタスクを完了すると、回転体の定義を学習できます。

"ラビリンス"。

エクササイズ。混乱した状況から抜け出す方法を見つけて、定義を書き留めてください。

Ⅳ体積の計算。

定積分を使用すると、物体、特に回転体の体積を計算できます。

回転体とは、曲線台形を底辺を中心に回転させた物体です（図1、2）。

回転体の体積は、いずれかの式で計算されます:

1. x軸周り。

2. 、曲線台形の回転の場合 y軸周り。

生徒は基本的な公式をノートに書き留めます。

教師は、ボード上の例の解決策を説明します。

1. 線で囲まれた曲線台形の y 軸を中心に回転して得られる体の体積を求めます。 x2 + y2 = 64、y = -5、y = 5、x = 0。

解決。

答え: 1163 cm3。

2.放物台形を横軸を中心に回転させたときの体の体積を求めよ y = 、x = 4、y = 0。

解決。

Ⅴ. 数学シミュレーター。

2. 与えられた関数のすべての反導関数の集合が呼び出されます

A) 不定積分

B) 機能、

B) 差別化。

7.線で囲まれた曲線台形の横軸を中心に回転して得られる体の体積を求めます。

D/Z。 新素材の固定

X 軸を中心とした花びらの回転によって形成される本体の体積を計算します。 y=x2、y2=x。

関数のグラフをプロットしてみましょう。 y=x2、y2=x。 グラフ y2 = x は y = の形式に変換されます。

V = V1 - V2 各関数のボリュームを計算しましょう。

結論:

定積分は、数学の研究の一種の基礎であり、実用的な内容の問題を解決するために不可欠な貢献をします。

トピック「インテグラル」は、数学と物理学、生物学、経済学、テクノロジーの間のつながりを明確に示しています。

現代科学の発展は、積分の使用なしには考えられません。 この点で、中等専門教育の枠組みの中で勉強を始める必要があります！

Ⅵ. グレーディング。(解説付きです。)

偉大なオマール・ハイヤーム - 数学者、詩人、哲学者。 彼は自分の運命の支配者になることを求めています。 彼の作品からの抜粋を聞いてください。

あなたは、この人生はほんの一瞬だと言います。
感謝し、そこからインスピレーションを引き出します。
あなたがそれを使うにつれて、それは過ぎ去ります。
忘れないでください：彼女はあなたの創造物です。

を除外する 定積分を使用して平面図形の面積を求める (7.2.3 を参照)。テーマの最も重要なアプリケーションは 回転体の体積の計算. 資料はシンプルですが、読者は準備が必要です。解決できる必要があります。 不定積分中程度の複雑さで、ニュートン・ライプニッツの式を適用します 定積分、n強力な製図スキルも必要です。 一般に、積分計算には多くの興味深いアプリケーションがあります;定積分を使用すると、図形の面積、回転体の体積、弧の長さ、表面積を計算できます\u200b\u200b体など。 座標平面上の平らな図形を想像してください。 代表？ ... これで、この図を回転させることもできます。次の 2 つの方法で回転できます。

- x軸周り ;

- y軸周り .

両方のケースを見てみましょう。 2 番目の回転方法は特に興味深いもので、最大の問題を引き起こしますが、実際の解決策は、より一般的な x 軸を中心とした回転の場合とほとんど同じです。 最も人気のあるタイプのローテーションから始めましょう。

軸を中心とした平面図形の回転によって形成される物体の体積の計算 牛

例 1

線で囲まれた図形を軸を中心に回転させて得られる体の体積を計算します。

解決：面積を求める問題のように、 ソリューションは平面図の描画から始まります. つまり飛行機で ソイ方程式が軸を定義することを忘れずに、線で囲まれた図を作成する必要があります。 ここでの図は非常に単純です。

目的の平らな図は青で陰影が付けられています。軸を中心に回転するのは彼女です。 回転の結果、軸上に2つの鋭いピークを持つ、このようなわずかに卵形の空飛ぶ円盤が得られます。 牛、軸に対して対称 牛. 実際、体には数学的な名前があります。参考書を見てください。

回転体の体積を計算する方法は? 軸を中心とした回転の結果としてボディが形成される場合牛、それは精神的に小さな厚さの平行な層に分割されています DX軸に垂直な 牛. 体全体の体積は、明らかに、このような素層の体積の合計に等しくなります。 各層は、レモンの輪切りのように、低い円柱の高さです DXとベース半径 へ(バツ）。 その場合、1 つの層の体積は底面積 π の積です。 へ 2 から円柱の高さ ( DX)、または π∙ へ 2 (バツ)∙DX. そして、回転体全体の面積は、基本体積の合計、または対応する定積分です。 回転体の体積は、次の式で計算できます。

.

積分限界「a」と「be」の設定方法は完成図から容易に推測できます。 関数... この関数は何ですか? 図面を見てみましょう。 平らな図は、上から放物線グラフで囲まれています。 これは、式で暗示されている関数です。 実際のタスクでは、平面図が軸の下に配置されることがあります 牛. これは何も変更しません - 式の関数は二乗されます: へ 2 (バツ）、 したがって、 回転体の体積は常に負ではない、これは非常に論理的です。 次の式を使用して、回転体の体積を計算します。

.

すでに述べたように、積分はほとんどの場合単純であることがわかります。主なことは注意することです。

答え：

答えでは、次元 - 立方単位を示す必要があります。 つまり、私たちの回転体には約3.35個の「立方体」があります。 なぜ正確に立方体なのか 単位? それは最も普遍的な処方だからです。 立方センチメートル、立方メートル、立方キロメートルなどがあるかもしれませんが、それはあなたの想像力が空飛ぶ円盤に収まる小さな緑の男性の数です。

例 2

軸を中心とした回転によって形成される物体の体積を求めます 牛線 、 、 で区切られた図。

これは自作の例です。 レッスンの最後に完全な解決策と答え。

例 3

線 、 、 で囲まれた図の横軸を中心に回転して得られる体の体積を計算します。

解決：式が バツ= 0 は軸を指定します オイ:

目的の図は青色で陰影付けされています。 軸を中心に回転すると 牛平らな角張ったベーグル (2 つの円錐面を持つワッシャー) になります。

回転体の体積は次のように計算されます。 本体のボリューム差. まず、赤丸で囲った図を見てみましょう。 軸を中心に回転すると 牛円錐台になります。 この円錐台の体積を Ⅴ 1 .

緑の丸で囲まれた図を考えてみましょう。 この図を軸を中心に回転させると 牛すると、少しだけ小さい円錐台も得られます。 その体積を Ⅴ 2 .

ボリュームの違いが一目瞭然 Ⅴ = Ⅴ 1 - Ⅴ 2は当店の「ドーナツ」のボリュームです。

回転体の体積を求めるには、次の標準的な公式を使用します。

1) 赤丸で囲まれた図は、上から直線で囲まれているため、次のようになります。

2) 緑色の丸で囲まれた図は、上から直線で囲まれているため、次のようになります。

3) 希望する回転体の体積:

答え：

この場合、円錐台の体積を計算するための学校の公式を使用して解を確認できることは興味深いことです。

決定自体は、多くの場合、次のように短くなります。

回転体の体積は、次の式で計算できます。

数式では、積分の前に数値が必要です。 それはちょうど起こった - 人生で回転するすべてのものは、この定数に接続されています。

積分限界「a」と「be」をどう設定するかは、完成図から容易に推測できると思います。

関数... この関数は何ですか? 図面を見てみましょう。 平らな図は、上から放物線グラフで囲まれています。 これは、式で暗示されている関数です。

実際のタスクでは、平面図が軸の下に配置されることがあります。 これは何も変更しません-式の関数は二乗されます: 、したがって 回転体の体積は常に負ではない、これは非常に論理的です。

次の式を使用して、回転体の体積を計算します。

すでに述べたように、積分はほとんどの場合単純であることがわかります。主なことは注意することです。

答え：

答えでは、次元 - 立方単位を示す必要があります。 つまり、私たちの回転体には約3.35個の「立方体」があります。 なぜ正確に立方体なのか 単位? 最も普遍的な処方だからです。 立方センチメートル、立方メートル、立方キロメートルなどがあるかもしれませんが、それはあなたの想像力が空飛ぶ円盤に収まる小さな緑の男性の数です。

例 2

線 、 、

これは自作の例です。 レッスンの最後に完全な解決策と答え。

実際によく遭遇する、さらに複雑な 2 つの問題を考えてみましょう。

例 3

線 、 、 で囲まれた図の横軸を中心に回転して得られる体の体積を計算します。

解決：等式が軸を定義することを忘れずに、線 、 、 、 で囲まれた平らな図を図面に描いてみましょう。

目的の図は青色で陰影付けされています。 軸を中心に回転させると、こんなシュールな四隅のドーナツが出来上がります。

回転体の体積は次のように計算されます。 本体のボリューム差.

まず、赤丸で囲った図を見てみましょう。 軸を中心に回転すると、円錐台が得られます。 この円錐台の体積を としましょう。

緑の丸で囲まれた図を考えてみましょう。 この図を軸を中心に回転すると、少しだけ小さい円錐台も得られます。 その体積を で表しましょう。

そして、明らかに、ボリュームの違いはまさに「ドーナツ」のボリュームです。

回転体の体積を求めるには、次の標準的な公式を使用します。

1) 赤丸で囲まれた図は、上から直線で囲まれているため、次のようになります。

2) 緑色の丸で囲まれた図は、上から直線で囲まれているため、次のようになります。

3) 希望する回転体の体積:

答え：

この場合、円錐台の体積を計算するための学校の公式を使用して解を確認できることは興味深いことです。

決定自体は、多くの場合、次のように短くなります。

では、休憩を取って、幾何学的な錯覚について話しましょう。

人々はしばしばボリュームに関連する幻想を持っています.Perelman（同じではありません）が本の中で気づきました. 興味深い幾何学. 解いた問題の平らな図を見てください。面積が小さく、回転体の体積が 50 立方単位を少し超えているように見えますが、これは大きすぎるようです。 ちなみに、平均的な人は生涯で18平方メートルの部屋の容積の液体を飲みますが、逆に容積が小さすぎるようです。

一般的に、ソ連の教育制度は本当に最高でした。 1950年にペレルマンによって書かれた同じ本は、ユーモリストが言ったように、非常によく発展しており、問題に対する独自の非標準的な解決策を探すことを推論し、教えています。 最近、私は非常に興味を持っていくつかの章を再読しました。私はそれをお勧めします。 いいえ、あなたは微笑む必要はありません。

叙情的な余談の後、創造的なタスクを解決するのが適切です。

例 4

線で囲まれた平らな図形の軸を中心とした回転によって形成される物体の体積を計算します , , ここで .

これは自作の例です。 すべてのことがバンド内で起こることに注意してください。言い換えれば、ほぼ既製の統合制限が与えられます。 また、三角関数のグラフを正しく描画するようにしてください。引数が 2 で除算される場合、グラフは軸に沿って 2 回引き伸ばされます。 少なくとも 3 ～ 4 個のポイントを見つけるようにしてください 三角関数表によると図面をより正確にします。 レッスンの最後に完全な解決策と答え。 ちなみに、タスクは合理的に解決できますが、あまり合理的ではありません。

回転によって形成される物体の体積の計算
軸の周りの平らな図

2 番目の段落は、最初の段落よりもさらに興味深いものになります。 y 軸を中心とした回転体の体積を計算するタスクも、テストでかなり頻繁に使用されます。 ついでに検討します 図形の面積を求める問題 2番目の方法-軸に沿った統合。これにより、スキルを向上させるだけでなく、最も収益性の高いソリューションを見つける方法を教えることができます. 実用的な意味もあります！ 数学の教授法を教えていた私の先生が笑顔で思い出したように、多くの卒業生が彼女に次の言葉で感謝しました。 この機会を利用して、特に取得した知識を意図した目的に使用しているため、彼女にも大きな感謝の意を表します =)。

例 5

線 、 、 で囲まれた平面図が与えられます。

1) これらの線で囲まれた平面図の面積を見つけます。
2) これらの線で囲まれた平面図を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を求めます。

注意！ 2 段落目だけ読みたい場合でも、最初に 必要な最初のものを読んでください！

解決：タスクは 2 つの部分で構成されます。 正方形から始めましょう。

1) 描画を実行しましょう:

関数が放物線の上部の分岐を定義し、関数が放物線の下部の分岐を定義することが簡単にわかります。 私たちの前には、「横になっている」些細な放物線があります。

領域が検出される目的の図は、青色で陰影付けされています。

図形の面積を見つける方法は? レッスンで考慮された「通常の」方法で見つけることができます。 定積分。 図形の面積の計算方法. さらに、図の面積は、面積の合計として求められます。
- セグメント上;
- セグメント上。

それが理由です：

この場合、通常の解決策の何が問題になっていますか? まず、2 つの積分があります。 第二に、積分の下の根と積分の根は贈り物ではありません。さらに、積分の極限を代用すると混乱する可能性があります。 実際、もちろん、積分は致命的ではありませんが、実際にはすべてがもっと悲しいものです.タスクのために「より良い」関数を選んだだけです.

より合理的な解決策があります。それは、逆関数への移行と軸に沿った統合にあります。

逆関数に渡す方法は? 大雑把に言えば、「x」から「y」までを表現する必要があります。 まず、放物線を扱いましょう。

これで十分ですが、下のブランチから同じ関数を派生できることを確認しましょう。

直線を使用すると、すべてが簡単になります。

次に、軸を見てください。あなたが説明するように、定期的に頭を右に 90 度傾けてください (これは冗談ではありません!)。 必要な図形は、赤い点線で示されているセグメントにあります。 同時に、セグメントでは、直線は放物線の上にあります。つまり、図の面積は、すでにおなじみの式を使用して見つける必要があります。 式のどこが変わった？ 手紙だけで、それ以上のものはありません。

! 注: 軸に沿った積分の限界を設定する必要があります 厳密には下から上へ!

エリアの検索:

したがって、セグメント では次のようになります。

私が統合をどのように実行したかに注意してください。これが最も合理的な方法であり、課題の次の段落でその理由が明らかになります。

統合の正しさを疑う読者のために、導関数を見つけます。

元の被積分関数が得られます。これは、積分が正しく実行されたことを意味します。

答え：

2) この図を軸を中心に回転させて形成される物体の体積を計算します。

少し異なるデザインで図面を再描画します。

そのため、青く塗られた図は軸を中心に回転します。 その結果、軸を中心に回転する「ホバリング バタフライ」ができあがります。

回転体の体積を求めるために、軸に沿って積分します。 まず、逆関数に移る必要があります。 これはすでに行われており、前の段落で詳しく説明されています。

ここで、頭を再び右に傾けて、自分の姿を調べます。 明らかに、回転体の体積は、体積の差として求められるべきです。

赤丸で囲まれた図を軸を中心に回転させ、円錐台を作成します。 この体積を で表しましょう。

緑の丸で囲まれた図を軸を中心に回転させ、結果として得られる回転体の体積を通してそれを示します。

私たちの蝶の体積は、体積の差に等しくなります。

式を使用して、回転体の体積を見つけます。

前の段落の式とどう違うのですか？ 文字のみ。

そして、ここで私が最近話した統合の利点は、最初に被積分関数を 4 乗するよりもはるかに簡単に見つけることができます。

答え：

しかし、病弱な蝶。

同じ平面図を軸を中心に回転させると、まったく異なる回転体が得られ、当然のことながら、異なる体積になることに注意してください。

例 6

線と軸で囲まれた平らな図形が与えられます。

1) 逆関数に移動し、変数 を積分して、これらの線で囲まれた平面図の面積を見つけます。
2) これらの線で囲まれた平面図を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を計算します。

これは自作の例です。 希望する人は、「通常の」方法で図の領域を見つけて、ポイント1のテストを完了することもできます）。 しかし、繰り返しますが、平面図を軸を中心に回転させると、異なるボリュームでまったく異なる回転体が得られます。

レッスンの最後に、タスクの 2 つの提案された項目の完全なソリューション。

ああ、頭を右に傾けて、回転体と統合を理解することを忘れないでください!

記事を終わらせたかったのですが、今日彼らは持ってきました 興味深い例 y軸周りの回転体の体積を見つけるだけです。 新鮮：

例 7

曲線で囲まれた図の軸を中心とした回転によって形成される体の体積を計算します。 放物線の未使用の左側の分岐は、逆関数に対応します。関数のグラフは、軸の上のセグメントにあります。

回転体の体積は、回転体の体積の合計としてすでに求められていると仮定するのは論理的です!

次の式を使用します。

この場合：

答え：

で 図形の面積を求める問題面積の総和はよく使われますが、回転体の体積の総和は明らかに珍しいものです。 それでも、考慮された例がタイムリーに現れたことは良いことです-私たちは多くの有用なものを引き出すことができました.

フィギュアのプロモーション成功！