Tabela e vlerave të antiderivativëve. Antiderivativ. Zgjidhja e shembujve të thjeshtë
Përkufizimi i një funksioni antiderivativ
- Funksioni y=F(x) quhet antiderivativ i funksionit y=f(x) në një interval të caktuar X, nëse për të gjithë X ∈X barazia vlen: F′(x) = f(x)
Mund të lexohet në dy mënyra:
- f derivat i një funksioni F
- F antiderivativ i një funksioni f
Vetia e antiderivativëve
- Nëse F(x)- antiderivativ i një funksioni f(x) në një interval të caktuar, atëherë funksioni f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe të gjitha këto antiderivate mund të shkruhen në formën F(x) + C, ku C është një konstante arbitrare.
Interpretimi gjeometrik
- Grafikët e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x) janë marrë nga grafiku i çdo njërit antiderivativ me anë të përkthimeve paralele përgjatë boshtit O në.
Rregullat për llogaritjen e antiderivativëve
- Antiderivati i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve. Nëse F(x)- antiderivativ për f(x), dhe G(x) është një antiderivativ për g(x), Kjo F(x) + G(x)- antiderivativ për f(x) + g(x).
- Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Nëse F(x)- antiderivativ për f(x), Dhe k- konstante, atëherë k·F(x)- antiderivativ për k f(x).
- Nëse F(x)- antiderivativ për f(x), Dhe k, b- konstante, dhe k ≠ 0, Kjo 1/k F(kx + b)- antiderivativ për f(kx + b).
Mbani mend!
Çdo funksion F(x) = x 2 + C , ku C është një konstante arbitrare, dhe vetëm një funksion i tillë është një antiderivativ për funksionin f(x) = 2x.
- Për shembull:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, sepse F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, sepse F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
Marrëdhënia midis grafikëve të një funksioni dhe antiderivativit të tij:
- Nëse grafiku i një funksioni f(x)>0 në interval, pastaj grafiku i antiderivativit të tij F(x) rritet gjatë këtij intervali.
- Nëse grafiku i një funksioni f(x) në interval, pastaj grafiku i antiderivativit të tij F(x) zvogëlohet gjatë këtij intervali.
- Nëse f(x)=0, pastaj grafiku i antiderivativit të tij F(x) në këtë pikë ndryshon nga rritja në zvogëluese (ose anasjelltas).
Për të treguar antiderivatin përdoret shenja e integralit të pacaktuar, pra integrali pa treguar kufijtë e integrimit.
Integrali i pacaktuar
Përkufizimi:
- Integrali i pacaktuar i funksionit f(x) është shprehja F(x) + C, pra bashkësia e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x). Integrali i pacaktuar shënohet si më poshtë: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- quhet funksioni integrand;
- f(x) dx- quhet integrandi;
- x- quhet ndryshorja e integrimit;
- F(x)- një nga antiderivativët e funksionit f(x);
- ME- konstante arbitrare.
Vetitë e integralit të pacaktuar
- Derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Faktori konstant i integrandit mund të hiqet nga shenja integrale: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Integrali i shumës (diferencës) së funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve të këtyre funksioneve: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Nëse k, b janë konstante, dhe k ≠ 0, atëherë \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.
Tabela e antiderivativëve dhe integraleve të pacaktuara
| Funksioni f(x) | Antiderivativ F(x) + C | Integrale të pacaktuara \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\jo =-1 | F(x) = \frac (x^ (m+1)) (m+1) + C | \int x ( ^m ) dx = \frac ( x ^ ( m + 1 ) ) ( m + 1 ) + C |
| f(x) = \frac (1) (x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac (dx) (x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e (^x) dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac (a^x) (l na) + C | \int a (^x) dx = \frac (a^x) (l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac (1) ( \sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx) ( \sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac (1) ( \cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac (dx) ( \sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt ( x) | F(x) =\frac (2x \sqrt (x)) (3) + C | |
| f(x) =\frac (1) (\sqrt (x)) | F(x) =2\sqrt ( x) + C | |
| f(x) =\frac (1) (\sqrt (1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac (dx) ( \sqrt (1-x^2)) =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac (1) (\sqrt (1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac (dx) ( \sqrt (1+x^2)) =\arctg x + C |
| f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac ( x) (a) + C | \int \frac (dx) ( \sqrt (a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x) (a) + C |
| f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac ( x) (a) + C | \int \frac (dx) ( \sqrt (a^2+x^2)) = \frac (1) (a) \arctg \frac (x) (a) + C |
| f(x) =\frac (1) (1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac (dx) (1+x^2) =\arctg + C |
| f(x)=\frac (1) ( \sqrt (x^2-a^2)) (a \nuk= 0) | F(x)=\frac (1) (2a) l n \lvert \frac (x-a) (x+a) \rvert + C | \int \frac (dx) ( \sqrt (x^2-a^2)) =\frac (1) (2a) l n \lvert \frac (x-a) (x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac (1) (\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x) ( 2 ) \rvert + C | \int \frac (dx) ( \sin x) = l n \lvert \tg \frac (x) (2) \rvert + C |
| f(x)=\frac (1) (\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C | \int \frac (dx) ( \cos x) = l n \lvert \tg (\frac ( x) (2) +\frac (\pi) (4)) \rvert + C |
Formula Njuton-Leibniz
Le f(x) këtë funksion F antiderivati i tij arbitrar.
\int_ (a) ^ (b) f(x) dx =F(x)|_ (a) ^ (b)= F(b) - F(a)
Ku F(x)- antiderivativ për f(x)
Kjo është, integrali i funksionit f(x) në një interval është i barabartë me diferencën e antiderivave në pika b Dhe a.
Zona e një trapezi të lakuar
Trapezoid lakor quajtur figura i kufizuar nga orari funksion jo negativ dhe i vazhdueshëm në segment f, Boshti i kaut dhe vijat e drejta x = a Dhe x = b.
Zona e një trapezi të lakuar gjendet duke përdorur formulën Newton-Leibniz:
S= \int_ (a) ^ (b) f(x) dx
Integrimi i drejtpërdrejtë duke përdorur tabelën e antiderivativëve (tabela e integraleve të pacaktuar)
Tabela e antiderivativëve
Mund të gjejmë antiderivativin nga një diferencial i njohur i një funksioni nëse përdorim vetitë e integralit të pacaktuar. Nga tabela e funksioneve elementare bazë, duke përdorur barazitë ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C dhe ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x ne mund të bëjmë një tabelë të antiderivativëve.
Ta shkruajmë tabelën e derivateve në formë diferenciale.
|
Konstante y = C C" = 0 Funksioni i fuqisë y = x p. (x p) " = p x p - 1 |
Konstante y = C d (C) = 0 d x Funksioni i fuqisë y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x |
|
(a x) " = a x ln a |
Funksioni eksponencial y = a x. d (a x) = a x ln α d x Në veçanti, për a = e kemi y = e x d (e x) = e x d x |
|
log a x " = 1 x ln a |
Funksionet logaritmike y = log a x. d (log a x) = d x x ln a Në veçanti, për a = e kemi y = ln x d (ln x) = d x x |
|
Funksionet trigonometrike. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 mëkat 2 x |
Funksionet trigonometrike. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x |
|
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2 |
Funksionet trigonometrike të anasjellta. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2 |
Le të ilustrojmë sa më sipër me një shembull. Le të gjejmë integralin e pacaktuar të funksionit të fuqisë f (x) = x p.
Sipas tabelës së diferencialeve d (x p) = p · x p - 1 · d x. Nga vetitë e integralit të pacaktuar kemi ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Prandaj, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Versioni i dytë i hyrjes është si më poshtë: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.
Le ta marrim të barabartë me - 1 dhe të gjejmë bashkësinë e antiderivativëve të funksionit të fuqisë f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x.
Tani na duhet një tabelë diferenciale për logaritmin natyror d (ln x) = d x x, x > 0, prandaj ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Prandaj ∫ d x x = ln x , x > 0 .
Tabela e antiderivativëve (integrale të pacaktuara)
Kolona e majtë e tabelës përmban formula që quhen antiderivativë bazë. Formulat në kolonën e djathtë nuk janë themelore, por mund të përdoren për të gjetur integrale të pacaktuar. Ato mund të kontrollohen me diferencim.
Integrimi i drejtpërdrejtë
Për të kryer integrimin e drejtpërdrejtë, do të përdorim tabelat e antiderivativëve, rregullat e integrimit ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, si dhe vetitë e integraleve të pacaktuar ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
Tabela e integraleve bazë dhe vetitë e integraleve mund të përdoret vetëm pas një transformimi të lehtë të integrandit.
Shembulli 1
Le të gjejmë integralin ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x
Zgjidhje
Ne heqim koeficientin 3 nga nën shenjën integrale:
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x
Duke përdorur formulat e trigonometrisë, ne transformojmë funksionin e integrantit:
3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + mëkat x d x
Meqenëse integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve, atëherë
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ mëkat x d x
Ne përdorim të dhënat nga tabela e antiderivativëve: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = bosh 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C
Përgjigje:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .
Shembulli 2
Është e nevojshme të gjendet bashkësia e antiderivativëve të funksionit f (x) = 2 3 4 x - 7 .
Zgjidhje
Ne përdorim tabelën e antiderivativëve për funksionin eksponencial: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Kjo do të thotë se ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .
Ne përdorim rregullin e integrimit ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .
Marrim ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .
Përgjigje: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C
Duke përdorur tabelën e antiderivativëve, vetitë dhe rregullin e integrimit, mund të gjejmë shumë integrale të pacaktuara. Kjo është e mundur në rastet kur është e mundur të transformohet integrand.
Për të gjetur integralin e funksionit të logaritmit, funksionet tangjente dhe kotangjente dhe një sërë të tjerash, përdoren metoda speciale, të cilat do t'i shqyrtojmë në seksionin "Metodat themelore të integrimit".
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Në një material të mëparshëm është shqyrtuar çështja e gjetjes së derivatit dhe e saj aplikacione të ndryshme: llogaritja e koeficientit këndor të një tangjente në një grafik, zgjidhja e problemeve të optimizimit, studimi i funksioneve për monotoni dhe ekstreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
Foto 1.
Është konsideruar gjithashtu problemi i gjetjes së shpejtësisë së menjëhershme $v(t)$ duke përdorur derivatin përgjatë një shtegu të njohur më parë, të shprehur me funksionin $s(t)$.
Figura 2.
Problemi i anasjelltë është gjithashtu shumë i zakonshëm, kur ju duhet të gjeni shtegun $s(t)$ të përshkuar nga një pikë në kohë $t$, duke ditur shpejtësinë e pikës $v(t)$. Nëse kujtojmë, shpejtësia e menjëhershme $v(t)$ gjendet si derivat i funksionit të rrugës $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Kjo do të thotë që për të zgjidhur problemin e anasjelltë, domethënë për të llogaritur rrugën, duhet të gjeni një funksion derivati i të cilit do të jetë i barabartë me funksionin e shpejtësisë. Por ne e dimë se derivati i shtegut është shpejtësia, domethënë: $s’(t) = v(t)$. Shpejtësia është e barabartë me kohën e nxitimit: $v=at$. Është e lehtë të përcaktohet se funksioni i rrugës së dëshiruar do të ketë formën: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Por kjo nuk është një zgjidhje mjaft e plotë. Zgjidhja e plotë do të ketë formën: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, ku $C$ është një konstante. Pse është kështu do të diskutohet më tej. Tani për tani, le të kontrollojmë korrektësinë e zgjidhjes së gjetur: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.
Vlen të përmendet se gjetja e një rruge të bazuar në shpejtësi është kuptimi fizik i një antiderivati.
Funksioni që rezulton $s(t)$ quhet antiderivativ i funksionit $v(t)$. Një emër mjaft interesant dhe i pazakontë, apo jo. Ai përmban një kuptim të madh që shpjegon thelbin e këtij koncepti dhe çon në kuptimin e tij. Do të vini re se përmban dy fjalë "së pari" dhe "imazh". Ata flasin vetë. Domethënë, ky është funksioni që është ai fillestar për derivatin që kemi. Dhe duke përdorur këtë derivat, ne kërkojmë funksionin që ishte në fillim, ishte "i pari", "imazhi i parë", domethënë antiderivativ. Nganjëherë quhet edhe funksion primitiv ose antiderivativ.
Siç e dimë tashmë, procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. Dhe procesi i gjetjes së antiderivativit quhet integrim. Operacioni i integrimit është i kundërt i operacionit të diferencimit. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.
Përkufizimi. Një antiderivativ për një funksion $f(x)$ në një interval të caktuar është një funksion $F(x)$ derivati i të cilit është i barabartë me këtë funksion $f(x)$ për të gjitha $x$ nga intervali i specifikuar: $F' (x)=f (x)$.
Dikush mund të ketë një pyetje: nga erdhën $F(x)$ dhe $f(x)$ në përkufizim, nëse fillimisht po flisnim për $s(t)$ dhe $v(t)$. Çështja është se $s(t)$ dhe $v(t)$ janë raste të veçanta të shënimeve të funksionit që kanë në këtë rast kuptim specifik, përkatësisht është funksion i kohës dhe funksion i shpejtësisë. Është e njëjta gjë me variablin $t$ - tregon kohën. Dhe $f$ dhe $x$ janë varianti tradicional i përcaktimit të përgjithshëm të një funksioni dhe një ndryshore, respektivisht. Vlen t'i kushtohet vëmendje e veçantë shënimit të antiderivativit $F(x)$. Para së gjithash, $F$ është kapital. Antiderivativët tregohen me shkronja të mëdha. Së dyti, shkronjat janë të njëjta: $F$ dhe $f$. Kjo do të thotë, për funksionin $g(x)$ antiderivati do të shënohet me $G(x)$, për $z(x)$ - me $Z(x)$. Pavarësisht nga shënimi, rregullat për gjetjen e një funksioni antiderivativ janë gjithmonë të njëjta.
Le të shohim disa shembuj.
Shembulli 1. Vërtetoni se funksioni $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ është një antiderivativ i funksionit $f(x)=\cos5x$.
Për ta vërtetuar këtë, ne do të përdorim përkufizimin, ose më mirë faktin që $F'(x)=f(x)$, dhe do të gjejmë derivatin e funksionit $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Kjo do të thotë $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ është antiderivativ i $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Shembulli 2. Gjeni cilat funksione u korrespondojnë antiderivativëve të mëposhtëm: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Për të gjetur funksionet e kërkuara, le të llogarisim derivatet e tyre:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Shembulli 3. Cili do të jetë antiderivati për $f(x)=0$?
Le të përdorim përkufizimin. Le të mendojmë se cili funksion mund të ketë një derivat të barabartë me $0$. Duke kujtuar tabelën e derivateve, gjejmë se çdo konstante do të ketë një derivat të tillë. Ne zbulojmë se antiderivati që kërkojmë është: $F(x)= C$.
Zgjidhja që rezulton mund të shpjegohet gjeometrikisht dhe fizikisht. Gjeometrikisht, do të thotë që tangjentja e grafikut $y=F(x)$ është horizontale në çdo pikë të këtij grafi dhe, për rrjedhojë, përkon me boshtin $Ox$. Fizikisht shpjegohet me faktin se një pikë me shpejtësi të barabartë me zero mbetet në vend, pra rruga që ka kaluar është e pandryshuar. Bazuar në këtë, ne mund të formulojmë teoremën e mëposhtme.
Teorema. (Shenja e qëndrueshmërisë së funksioneve). Nëse në një interval $F’(x) = 0$, atëherë funksioni $F(x)$ në këtë interval është konstant.
Shembulli 4. Përcaktoni se cilët funksione janë antiderivativë të a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, ku $a$ është një numër.
Duke përdorur përkufizimin e një antiderivativ, arrijmë në përfundimin se për të zgjidhur këtë problem duhet të llogarisim derivatet e funksioneve antiderivative që na janë dhënë. Kur llogaritni, mbani mend se derivati i një konstante, domethënë i çdo numri, është i barabartë me zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\majtas(\frac(x^7)(7) – 3\djathtas)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.
Çfarë shohim? Disa funksione të ndryshme janë primitivë të të njëjtit funksion. Kjo sugjeron që çdo funksion ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe ata kanë formën $F(x) + C$, ku $C$ është një konstante arbitrare. Domethënë, operacioni i integrimit është shumëvlerësor, ndryshe nga operacioni i diferencimit. Bazuar në këtë, le të formulojmë një teoremë që përshkruan vetinë kryesore të antiderivativëve.
Teorema. (Vetia kryesore e antiderivave). Le të jenë funksionet $F_1$ dhe $F_2$ antiderivativë të funksionit $f(x)$ në një interval. Pastaj për të gjitha vlerat nga ky interval barazia e mëposhtme është e vërtetë: $F_2=F_1+C$, ku $C$ është një konstante.
Fakti i pranisë së një numri të pafund antiderivativësh mund të interpretohet gjeometrikisht. Duke përdorur përkthimin paralel përgjatë boshtit $Oy$, mund të merren nga njëri-tjetri grafikët e çdo dy antiderivativësh për $f(x)$. Ky është kuptimi gjeometrik i antiderivativit.
Është shumë e rëndësishme t'i kushtohet vëmendje faktit që duke zgjedhur konstanten $C$ mund të siguroheni që grafiku i antiderivativit të kalojë në një pikë të caktuar.
Figura 3.
Shembulli 5. Gjeni antiderivativin për funksionin $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, grafiku i të cilit kalon në pikën $(3; 1)$.
Le të gjejmë fillimisht të gjithë antiderivativët për $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Më pas, do të gjejmë një numër C për të cilin grafiku $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ do të kalojë në pikën $(3; 1)$. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e grafikut dhe e zgjidhim atë për $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Ne morëm një grafik $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, i cili korrespondon me antiderivativin $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabela e antiderivativëve
Një tabelë formulash për gjetjen e antiderivativëve mund të përpilohet duke përdorur formulat për gjetjen e derivateve.
| Funksione | Antiderivativët |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\në R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
Ju mund ta kontrolloni korrektësinë e tabelës në mënyrën e mëposhtme: për çdo grup antiderivativësh të vendosur në kolonën e djathtë, gjeni derivatin, i cili do të rezultojë në funksionet përkatëse në kolonën e majtë.
Disa rregulla për gjetjen e antiderivativëve
Siç dihet, shumë funksione kanë një formë më komplekse sesa ato të treguara në tabelën e antiderivativëve dhe mund të jenë çdo kombinim arbitrar i shumave dhe produkteve të funksioneve nga kjo tabelë. Dhe këtu lind pyetja: si të llogariten antiderivativët e funksioneve të tilla. Për shembull, nga tabela ne dimë se si të llogarisim antiderivativët e $x^3$, $\sin x$ dhe $10$. Si mund të llogaritet, për shembull, antiderivativi $x^3-10\sin x$? Duke parë përpara, vlen të përmendet se do të jetë e barabartë me $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Nëse $F(x)$ është antiderivativ për $f(x)$, $G(x)$ për $g(x)$, atëherë për $f(x)+g(x)$ antiderivativi do të jetë e barabartë me $ F(x)+G(x)$.
2. Nëse $F(x)$ është një antiderivativ për $f(x)$ dhe $a$ është një konstante, atëherë për $af(x)$ antiderivativi është $aF(x)$.
3. Nëse për $f(x)$ antiderivati është $F(x)$, $a$ dhe $b$ janë konstante, atëherë $\frac(1)(a) F(ax+b)$ është antiderivativ për $f (ax+b)$.
Duke përdorur rregullat e marra mund të zgjerojmë tabelën e antiderivativëve.
| Funksione | Antiderivativët |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Shembulli 5. Gjeni antiderivativë për:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Tabela e antiderivativëve ("integrale"). Tabela e integraleve. Integrale të pacaktuara tabelare. (Integralet dhe integralet më të thjeshta me një parametër). Formulat për integrimin sipas pjesëve. Formula Njuton-Leibniz.
|
Tabela e antiderivativëve ("integrale"). Integrale të pacaktuara tabelare. (Integralet dhe integralet më të thjeshta me një parametër). |
|
|
Integral i një funksioni fuqie. |
Integral i një funksioni fuqie. |
|
Një integral që reduktohet në integralin e një funksioni fuqie nëse x drejtohet nën shenjën diferenciale. |
|
|
|
Integral i një eksponencial, ku a është një numër konstant. |
|
Integral i një funksioni kompleks eksponencial. |
Integral i një funksioni eksponencial. |
|
Një integral i barabartë me logaritmin natyror. |
Integrali: "Logaritmi i gjatë". |
|
Integrali: "Logaritmi i gjatë". |
|
|
Integrali: "Logaritmi i lartë". |
Një integral, ku x në numërues vendoset nën shenjën diferenciale (konstantja nën shenjën mund të shtohet ose të zbritet), në fund të fundit është i ngjashëm me një integral të barabartë me logaritmin natyror. |
|
Integrali: "Logaritmi i lartë". |
|
|
Integrali kosinus. |
Sinus integral. |
|
Integral i barabartë me tangjenten. |
Integral i barabartë me kotangjent. |
|
Integral i barabartë me arksinën dhe arkozinën |
|
|
Një integral i barabartë me arksinën dhe arkozinën. |
Një integral i barabartë me arktangjentin dhe arkotangjentin. |
|
Integral i barabartë me kosekant. |
Integral i barabartë me sekant. |
|
Integral i barabartë me harkore. |
Integral i barabartë me arkosekant. |
|
Integral i barabartë me harkore. |
Integral i barabartë me harkore. |
|
Integral i barabartë me sinusin hiperbolik. |
Integral i barabartë me kosinusin hiperbolik. |
|
|
|
|
Integral i barabartë me sinusin hiperbolik, ku sinhx është sinusi hiperbolik në versionin anglisht. |
Integral i barabartë me kosinusin hiperbolik, ku sinhx është sinusi hiperbolik në versionin anglisht. |
|
Integral i barabartë me tangjenten hiperbolike. |
Integral i barabartë me kotangjentin hiperbolik. |
|
Integral i barabartë me sekantin hiperbolik. |
Integral i barabartë me kosekantin hiperbolik. |
Formulat për integrimin sipas pjesëve. Rregullat e integrimit.
|
Formulat për integrimin sipas pjesëve. Formula Njuton-Leibniz.Rregullat e integrimit. |
|
|
Integrimi i një produkti (funksioni) nga një konstante: |
|
|
Integrimi i shumës së funksioneve: |
|
|
integrale të pacaktuara: |
|
|
Formula për integrimin sipas pjesëve integrale të përcaktuara: |
|
|
Formula Njuton-Leibniz integrale të përcaktuara: |
Ku F(a), F(b) janë vlerat e antiderivativëve në pikat b dhe a, përkatësisht. |
Tabela e derivateve. Derivatet tabelare. Derivat i produktit. Derivati i herësit. Derivat i një funksioni kompleks.
Nëse x është një ndryshore e pavarur, atëherë:
|
Tabela e derivateve. Derivatet tabelare "derivati i tabelës" - po, për fat të keq, kjo është saktësisht se si ato kërkohen në internet |
|
|
Derivat i një funksioni fuqie |
|
|
|
Derivati i eksponentit |
|
|
Derivat i funksionit eksponencial |
|
Derivat i një funksioni logaritmik |
|
|
Derivat i logaritmit natyror të një funksioni |
|
|
|
|
|
Derivat i kosekantit |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivat i kotangjentit të harkut |
|
|
|
|
|
Derivat i arkosekantit |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivat i një funksioni kompleks eksponencial
Derivat i logaritmit natyror
Derivat i sinusit
Derivat i kosinusit
Derivat i një sekanti
Derivat i arksinës
Derivat i kosinusit të harkut
Derivat i arksinës
Derivat i kosinusit të harkut
Derivati tangjent
Derivat i kotangjentes
Derivat i arktangjentit
Derivat i kotangjentit të harkut
Derivat i arktangjentit
Derivat i harkut
Derivat i arkosekantit
Derivat i harkut
Derivat i sinusit hiperbolik
Derivat i sinusit hiperbolik në versionin anglisht
Derivat i kosinusit hiperbolik
Derivat i kosinusit hiperbolik në versionin anglisht
Derivat i tangjentes hiperbolike
Derivat i kotangjentit hiperbolik
Derivat i sekantit hiperbolik
Derivat i kosekantit hiperbolik|
Rregullat e diferencimit. Derivat i produktit. Derivati i herësit. Derivat i një funksioni kompleks. |
|
|
Derivati i një produkti (funksioni) nga një konstante: |
|
|
Derivati i shumës (funksionet): |
|
|
Derivati i produktit (funksionet): |
|
|
Derivati i herësit (i funksioneve): |
|
|
Derivati i një funksioni kompleks: |
|
Vetitë e logaritmeve. Formulat bazë për logaritmet. Logaritmet dhjetore (lg) dhe natyrore (ln).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Identiteti bazë logaritmik |
|
|
Le të tregojmë se si çdo funksion i formës a b mund të bëhet eksponencial. Meqenëse një funksion i formës e x quhet eksponencial, atëherë |
|
|
Çdo funksion i formës a b mund të paraqitet si fuqi e dhjetë |
|
Logaritmi natyror ln (logaritmi në bazën e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0
Seriali Taylor. Zgjerimi i serisë Taylor të një funksioni.
Rezulton se shumica hasur praktikisht funksionet matematikore mund të paraqiten me çdo saktësi në afërsi të një pike të caktuar në formën e serive të fuqisë që përmbajnë fuqitë e një ndryshoreje në rend rritës. Për shembull, në afërsi të pikës x=1:
Kur përdorni seritë e quajtura Rreshtat e Taylor-it funksionet e përziera që përmbajnë, le të themi, funksione algjebrike, trigonometrike dhe eksponenciale mund të shprehen si funksione thjesht algjebrike. Duke përdorur seritë, shpesh mund të kryeni shpejt diferencimin dhe integrimin.
Seria Taylor në afërsi të pikës a ka formën:
1)
, ku f(x) është një funksion që ka derivate të të gjitha rendeve në x = a. R n - termi i mbetur në serinë Taylor përcaktohet nga shprehja 
2)
Koeficienti k-të (në x k) i serisë përcaktohet nga formula
3) Një rast i veçantë i serisë Taylor është seria Maclaurin (=McLaren). (zgjerimi ndodh rreth pikës a=0)
në a=0 
anëtarët e serisë përcaktohen nga formula
Kushtet për përdorimin e serisë Taylor.
1. Në mënyrë që funksioni f(x) të zgjerohet në një seri Taylor në intervalin (-R;R), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që termi i mbetur në formulën Taylor (Maclaurin (=McLaren)) për këtë funksioni tenton në zero si k →∞ në intervalin e specifikuar (-R;R).
2. Është e nevojshme që të ekzistojnë derivate për një funksion të caktuar në pikën në afërsi të së cilës do të ndërtojmë serinë Taylor.
Karakteristikat e serisë Taylor.
Nëse f është një funksion analitik, atëherë seria e tij Taylor në çdo pikë a në domenin e përkufizimit të f konvergon në f në një lagje të a.
Ka funksione pafundësisht të diferencueshëm, seria Taylor e të cilëve konvergjon, por në të njëjtën kohë ndryshon nga funksioni në çdo lagje të a. Për shembull:
Seritë Taylor përdoren në përafrim (përafrimi është një metodë shkencore që konsiston në zëvendësimin e disa objekteve me të tjerë, në një kuptim ose në një tjetër të afërt me ato origjinale, por më të thjeshta) të një funksioni me polinome. Në veçanti, linearizimi ((nga linearis - linear), një nga metodat e paraqitjes së përafërt të sistemeve të mbyllura jolineare, në të cilën studimi i një sistemi jolinear zëvendësohet nga analiza e një sistemi linear, në një farë kuptimi ekuivalent me atë origjinal. .) ekuacionet ndodhin duke u zgjeruar në një seri Taylor dhe duke ndërprerë të gjithë termat e rendit të parë.
Kështu, pothuajse çdo funksion mund të përfaqësohet si një polinom me një saktësi të caktuar.
Shembuj të disa zgjerimeve të zakonshme të funksioneve të fuqisë në seritë Maclaurin (=McLaren, Taylor në afërsi të pikës 0) dhe Taylor në afërsi të pikës 1. Termat e parë të zgjerimeve të funksioneve kryesore në seritë Taylor dhe McLaren.
Shembuj të disa zgjerimeve të zakonshme të funksioneve të fuqisë në serinë Maclaurin (=McLaren, Taylor në afërsi të pikës 0)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Shembuj të disa zgjerimeve të zakonshme të serive Taylor në afërsi të pikës 1
|
|
|
|
|
|
Integralet kryesore që duhet të dijë çdo nxënës
Integralet e listuara janë baza, baza e bazave. Këto formula duhet patjetër të mbahen mend. Kur llogaritni integrale më komplekse, do t'ju duhet t'i përdorni vazhdimisht.
Kushtojini vëmendje të veçantë formulave (5), (7), (9), (12), (13), (17) dhe (19). Mos harroni të shtoni një konstante arbitrare C në përgjigjen tuaj kur integroheni!
Integral i një konstante
∫ A d x = A x + C (1)Integrimi i një funksioni të energjisë
Në fakt, ishte e mundur të kufizoheshim vetëm në formulat (5) dhe (7), por pjesa tjetër e integraleve nga ky grup ndodhin aq shpesh sa ia vlen t'u kushtohet pak vëmendje.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrale të funksioneve eksponenciale dhe funksioneve hiperbolike
Sigurisht, formula (8) (ndoshta më e përshtatshme për memorizimin) mund të konsiderohet si një rast i veçantë i formulës (9). Formulat (10) dhe (11) për integralet e sinusit hiperbolik dhe kosinusit hiperbolik nxirren lehtësisht nga formula (8), por është më mirë të mbani mend thjesht këto marrëdhënie.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Integralet bazë të funksioneve trigonometrike
Një gabim që shpesh bëjnë nxënësit është se ata ngatërrojnë shenjat në formulat (12) dhe (13). Duke kujtuar se derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin, për disa arsye shumë njerëz besojnë se integrali i funksionit sinx është i barabartë me cosx. Kjo nuk eshte e vertete! Integrali i sinusit është i barabartë me "minus kosinus", por integrali i cosx është i barabartë me "vetëm sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrale që reduktohen në funksione trigonometrike të anasjellta
Formula (16), që çon te arktangjentja, është natyrisht një rast i veçantë i formulës (17) për a=1. Në mënyrë të ngjashme, (18) është një rast i veçantë i (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = harku x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = harksin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Integrale më komplekse
Këshillohet gjithashtu të mbani mend këto formula. Ato përdoren gjithashtu mjaft shpesh, dhe prodhimi i tyre është mjaft i lodhshëm.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 hark x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Rregullat e përgjithshme të integrimit
1) Integrali i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve përkatëse: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integrali i diferencës së dy funksioneve është i barabartë me diferencën e integraleve përkatëse: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstanta mund të hiqet nga shenja integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Është e lehtë të shihet se vetia (26) është thjesht një kombinim i vetive (25) dhe (27).
4) Integrali i një funksioni kompleks nëse funksioni i brendshëm është linear: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Këtu F(x) është një antiderivativ për funksionin f(x). Ju lutemi vini re: kjo formulë funksionon vetëm kur funksioni i brendshëm është Ax + B.
E rëndësishme: nuk ka formulë universale për integralin e produktit të dy funksioneve, si dhe për integralin e një fraksioni:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tridhjetë)
Kjo nuk do të thotë, natyrisht, që një fraksion ose produkt nuk mund të integrohet. Thjesht, sa herë që shihni një integral si (30), do t'ju duhet të shpikni një mënyrë për ta "luftuar" atë. Në disa raste, integrimi sipas pjesëve do t'ju ndihmojë, në të tjera do t'ju duhet të bëni një ndryshim të ndryshores, dhe ndonjëherë edhe formulat e algjebrës "shkollë" ose trigonometrisë mund të ndihmojnë.
Një shembull i thjeshtë i llogaritjes së integralit të pacaktuar
Shembulli 1. Gjeni integralin: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xLe të përdorim formulat (25) dhe (26) (integrali i shumës ose ndryshimit të funksioneve është i barabartë me shumën ose ndryshimin e integraleve përkatëse. Përftojmë: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Le të kujtojmë se konstanta mund të hiqet nga shenja integrale (formula (27)). Shprehja shndërrohet në formë
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e d x + 12 ∫ 1 d x
Tani le të përdorim vetëm tabelën e integraleve bazë. Do të na duhet të aplikojmë formulat (3), (12), (8) dhe (1). Le të integrojmë funksionin e fuqisë, sinus, eksponencial dhe konstant 1. Mos harroni të shtoni një konstante arbitrare C në fund:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Pas transformimeve elementare marrim përgjigjen përfundimtare:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Provoni veten me diferencim: merrni derivatin e funksionit që rezulton dhe sigurohuni që ai të jetë i barabartë me integrandin origjinal.
Tabela përmbledhëse e integraleve
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 hark x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Shkarkoni tabelën e integraleve (pjesa II) nga ky link
Nëse jeni duke studiuar në një universitet, nëse keni vështirësi me matematikën e lartë (analizë matematikore, algjebër lineare, teori probabiliteti, statistika), nëse keni nevojë për shërbimet e një mësuesi të kualifikuar, shkoni në faqen e një mësuesi më të lartë të matematikës. Ne do t'i zgjidhim problemet tuaja së bashku!
Ju gjithashtu mund të jeni të interesuar në
