Llogaritni vëllimin e një trupi rrotullues të kufizuar nga grafikët e funksionit. Përdorimi i integraleve për të gjetur vëllimet e trupave të revolucionit. Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi i një figure të sheshtë rreth një boshti

Përdorimi i integraleve për të gjetur vëllimet e trupave të revolucionit

Dobia praktike e matematikës është për faktin se pa

njohuritë specifike matematikore e bëjnë të vështirë kuptimin e parimeve të pajisjes dhe përdorimin e teknologjisë moderne. Secili person në jetën e tij duhet të kryejë llogaritje mjaft komplekse, të përdorë pajisjet e përdorura zakonisht, të gjejë në librat e referencës për të aplikuar formulat e nevojshme, hartoni algoritme të thjeshta për zgjidhjen e problemeve. NË shoqëri moderne gjithnjë e më shumë specialitete që kërkojnë një nivel të lartë arsimimi shoqërohen me aplikimin e drejtpërdrejtë të matematikës. Kështu, për një nxënës, matematika bëhet një lëndë e rëndësishme profesionalisht. Roli kryesor i përket matematikës në formimin e të menduarit algoritmik, ajo sjell aftësinë për të vepruar sipas një algoritmi të caktuar dhe për të hartuar algoritme të reja.

Duke studiuar temën e përdorimit të integralit për llogaritjen e vëllimeve të trupave të revolucionit, sugjeroj që studentët në klasat me zgjedhje të marrin në konsideratë temën: "Vëllimet e trupave të revolucionit duke përdorur integrale". Këtu janë disa udhëzime për trajtimin e kësaj teme:

1. Sipërfaqja e një figure të sheshtë.

Nga kursi i algjebrës, ne e dimë se problemet praktike çuan në konceptin e një integrali të caktuar..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues të formuar nga rrotullimi i një trapezi lakor rreth boshtit Ox, i kufizuar nga një vijë e thyer y=f(x), boshti Ox, drejtëza x=a dhe x=b, ne llogarisim sipas formulës

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Vëllimi i cilindrit.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Koni fitohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë ABC(C=90) rreth boshtit Ox në të cilin shtrihet këmba AC.

Segmenti AB shtrihet në vijën y=kx+c, ku https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit), pastaj Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Vëllimi i një koni të cunguar.

Një kon i cunguar mund të merret duke rrotulluar një trapezoid drejtkëndor ABCD (CDOx) rreth boshtit Ox.

Segmenti AB shtrihet në drejtëzën y=kx+c, ku , c=r.

Meqë drejtëza kalon nëpër pikën A (0; r).

Kështu, vija e drejtë duket si https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit të cunguar), pastaj https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Vëllimi i topit.

Topi mund të merret duke rrotulluar një rreth me qendër (0;0) rreth boshtit x. Gjysmërrethi mbi boshtin x jepet nga ekuacioni

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Ashtu si me problemin e gjetjes së zonës, keni nevojë për aftësi të sigurta vizatimi - kjo është pothuajse gjëja më e rëndësishme (pasi vetë integralet shpesh do të jenë të lehta). Ju mund të zotëroni një teknikë grafike kompetente dhe të shpejtë duke përdorur materialet mësimore dhe Transformimet e Grafikut Gjeometrik. Por, në fakt, kam folur vazhdimisht për rëndësinë e vizatimeve në mësim.

Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale, me ndihmën e një integrali të caktuar, mund të llogaritni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e harkut, sipërfaqen e rrotullimi, dhe shumë më tepër. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi jini optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. Përfaqësuar? ... Pyes veten se kush prezantoi çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por, përveç kësaj, kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe rrotullohet në dy mënyra:

- rreth boshtit të abshisë;
- rreth boshtit y.

Në këtë artikull, të dyja rastet do të diskutohen. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton vështirësitë më të mëdha, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Si bonus, do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure, dhe t'ju tregojë se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. As edhe aq shumë bonus sa materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

figurë e sheshtë rreth një boshti

Shembulli 1

Njehsoni vëllimin e trupit që përftohet duke rrotulluar figurën e kufizuar me vija rreth boshtit.

Zgjidhje: Si në problemin e zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo do të thotë, në aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vija , , duke mos harruar se ekuacioni përcakton boshtin . Si të bëni një vizatim më racional dhe më shpejt mund të gjeni në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare Dhe Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Ky është një kujtesë kineze dhe nuk ndalem në këtë pikë.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e sheshtë e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu dhe është kjo figurë që rrotullohet rreth boshtit.Si rezultat i rrotullimit fitohet një disk fluturues i tillë paksa në formë veze, i cili është simetrik në lidhje me boshtin. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por është shumë dembel të specifikosh diçka në librin e referencës, kështu që ne vazhdojmë.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Në formulë, duhet të ketë një numër përpara integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "be", mendoj se është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e sheshtë kufizohet nga grafiku i parabolës nga lart. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - integrani në formulë është në katror: , pra integrali është gjithmonë jonegativ, që është mjaft logjike.

Llogaritni vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigju:

Në përgjigje, është e nevojshme të tregohet dimensioni - njësi kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kuba". Pse pikërisht kub njësive? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub etj., ja sa burra të vegjël jeshilë mund të futet imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës të kufizuar nga vijat ,

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Konsideroni edhe dy të tjera detyra sfiduese të cilat hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhje: Vizatoni një figurë të sheshtë në vizatim, të kufizuar me vija , , , , duke mos harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një donut i tillë surreal me katër qoshe.

Vëllimi i trupit të revolucionit llogaritet si ndryshimi i vëllimit të trupit.

Së pari, le të shohim figurën që është rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar si .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe është e kufizuar nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të revolucionit:

Përgjigju:

Është kureshtare që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vendimi në vetvete shpesh merret më i shkurtër, diçka si kjo:

Tani le të bëjmë një pushim dhe të flasim për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione të lidhura me vëllime, të cilat Perelman (një tjetër) i vuri re në libër Gjeometri interesante. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar gjatë gjithë jetës së tij pi një lëng me vëllimin e një dhome me një sipërfaqe prej 18. metra katrorë, e cila, përkundrazi, duket se është shumë e vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte me të vërtetë më i miri. I njëjti libër i Perelman, botuar në vitin 1950, zhvillohet shumë mirë, siç tha humoristi, arsyetimi dhe të mëson të kërkosh zgjidhje origjinale jo standarde për problemet. Kohët e fundit kam rilexuar disa kapituj me shumë interes, e rekomandoj, është i aksesueshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni pse të buzëqeshni se unë sugjerova një kalim kohe të mirë, erudicioni dhe një këndvështrim i gjerë në komunikim është një gjë e mrekullueshme.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Vini re se të gjitha gjërat ndodhin në grup, me fjalë të tjera, në të vërtetë janë dhënë kufij të gatshëm të integrimit. Vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, unë do t'ju kujtoj materialin e mësimit rreth shndërrimet gjeometrike të grafikëve: nëse argumenti është i pjesëtueshëm me dy: , atëherë grafikët shtrihen përgjatë boshtit dy herë. Është e dëshirueshme për të gjetur të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike për të përfunduar më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit y është gjithashtu një mysafir mjaft i shpeshtë në puna e kontrollit. Në kalim do të merren parasysh problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure mënyra e dytë - integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë se si të gjeni zgjidhjen më fitimprurëse. Ka edhe një kuptim praktik! Ndërsa mësuesja ime në metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë stafin tonë në mënyrë optimale". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Unë e rekomandoj që të gjithë ta lexojnë, madje edhe dummies të plota. Për më tepër, materiali i asimiluar i paragrafit të dytë do të jetë një ndihmë e paçmuar në llogaritjen e integraleve të dyfishta.

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm paragrafin e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të ekzekutojmë vizatimin:

Është e lehtë të shihet se funksioni përcakton degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni përcakton degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme, e cila "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet gjetur, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", e cila u konsiderua në mësim. Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Çfarë nuk shkon me zgjidhjen e zakonshme në këtë rast? Së pari, ka dy integrale. Së dyti, rrënjët nën integrale dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, për më tepër, mund të ngatërrohet në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vdekjeprurëse, por në praktikë gjithçka është shumë më e trishtuar, unë thjesht zgjodha funksione "më të mira" për detyrën.

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të kalojmë në funksione të anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të merremi me parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedhë nga dega e poshtme:

Me një vijë të drejtë, gjithçka është më e lehtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Për më tepër, në segment, vija e drejtë ndodhet sipër parabolës, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! shënim: Duhet të vendosen kufijtë e integrimit përgjatë boshtit rreptësisht nga poshtë lart!

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Kushtojini vëmendje sesi e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Përftohet integrandi origjinal, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e trupit të revolucionit, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i trupit të revolucionit duhet të gjendet si diferencë midis vëllimeve.

E rrotullojmë figurën e rrethuar në të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën, të rrethuar në të gjelbër, rreth boshtit dhe e shënojmë atë përmes vëllimit të trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Si ndryshon nga formula e paragrafit të mëparshëm? Vetëm me shkronja.

Dhe këtu është avantazhi i integrimit për të cilin po flisja pak më parë, është shumë më e lehtë për t'u gjetur se sa për të ngritur integrandin në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Megjithatë, një flutur e sëmurë.

Vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, atëherë do të dalë një trup krejtësisht i ndryshëm rrotullimi, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 6

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi ndryshoren .
2) Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ata që dëshirojnë mund të gjejnë gjithashtu zonën e figurës në mënyrën "e zakonshme", duke përfunduar kështu testin e pikës 1). Por nëse, e përsëris, rrotulloni një figurë të sheshtë rreth boshtit, atëherë merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm me një vëllim të ndryshëm, nga rruga, përgjigjen e saktë (gjithashtu për ata që duan të zgjidhin).

Zgjidhja e plotë e dy pikave të propozuara të detyrës në fund të orës së mësimit.

Oh, dhe mos harroni të anoni kokën djathtas për të kuptuar trupat e rrotullimit dhe brenda integrimit!

Tema: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar"

Lloji i mësimit: të kombinuara.

Qëllimi i mësimit: Mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të rrotullimit duke përdorur integrale.

Detyrat:

konsolidoni aftësinë për të zgjedhur trapezoidë lakor nga një rresht forma gjeometrike dhe të përpunojë aftësinë e llogaritjes së sipërfaqeve të trapezoidëve lakor;

të njihen me konceptin e një figure tredimensionale;

mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të revolucionit;

kontribuojnë në zhvillimin të menduarit logjik, fjalim kompetent matematikor, saktësi në ndërtimin e vizatimeve;

për të kultivuar interes për lëndën, për të vepruar konceptet matematikore dhe imazhe, për të kultivuar vullnetin, pavarësinë, këmbënguljen në arritjen e rezultatit përfundimtar.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

Përshëndetje në grup. Komunikimi me nxënësit për objektivat e orës së mësimit.

Do të doja ta filloja mësimin e sotëm me një shëmbëlltyrë. “Ishte një njeri i mençur që dinte gjithçka. Një person donte të provonte se i urti nuk di gjithçka. Duke kapur fluturën në duar, ai pyeti: "Më thuaj, i urtë, cila flutur është në duart e mia: e vdekur apo e gjallë?" Dhe ai vetë mendon: "Nëse i gjalli thotë, do ta vras, nëse i vdekuri thotë, do ta lë të dalë". I urti, pasi u mendua, u përgjigj: "Gjithçka është në duart tuaja".

Prandaj, le të punojmë me fryt sot, të fitojmë një depo të re njohurish dhe aftësitë dhe aftësitë e fituara do t'i zbatojmë në jetën e mëvonshme dhe në aktivitete praktike. "Gjithçka është në duart tuaja."

II. Përsëritja e materialit të mësuar më parë.

Le të kujtojmë pikat kryesore të materialit të studiuar më parë. Për ta bërë këtë, kryeni detyrën "Përjashtoni fjalë e tepërt”.

(Studentët thonë një fjalë shtesë.)

E drejta "Diferencial". Mundohuni të emërtoni fjalët e mbetura në një fjalë të zakonshme. (Njehsimi integral.)

Le të kujtojmë fazat dhe konceptet kryesore që lidhen me llogaritjen integrale.

Ushtrimi. Rivendos lejet. (Nxënësi del dhe shkruan fjalët e nevojshme me një shënues.)

Puna në fletore.

Formula Newton-Leibniz u zhvillua nga fizikani anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofi gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse matematika është gjuha e folur nga vetë natyra.

Konsideroni se si përdoret kjo formulë në zgjidhjen e detyrave praktike.

Shembulli 1: Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le të ndërtojmë në planin koordinativ grafikët e funksioneve . Zgjidhni zonën e figurës që do të gjendet.

III. Mësimi i materialit të ri.

Kushtojini vëmendje ekranit. Çfarë tregohet në foton e parë? (Figura tregon një figurë të sheshtë.)

Çfarë tregohet në foton e dytë? A është e sheshtë kjo shifër? (Figura tregon një figurë tre-dimensionale.)

Në hapësirë, në tokë dhe në Jeta e përditshme ne takohemi jo vetëm me figura të sheshta, por edhe me ato tredimensionale, por si të llogarisim vëllimin e trupave të tillë? Për shembull: vëllimi i një planeti, komete, meteori etj.

Ata mendojnë për vëllimin kur ndërtojnë shtëpi dhe derdhin ujë nga një enë në tjetrën. Duhet të kishin lindur rregullat dhe metodat për llogaritjen e vëllimeve, tjetër gjë është se sa të sakta dhe të justifikuara ishin.

Viti 1612 ishte shumë i frytshëm për banorët e qytetit austriak të Linzit, ku jetonte astronomi i njohur i atëhershëm Johannes Kepler, veçanërisht për rrushin. Njerëzit po përgatisnin fuçi vere dhe donin të dinin se si të përcaktonin praktikisht vëllimet e tyre.

Kështu, veprat e konsideruara të Keplerit shënuan fillimin e një rryme të tërë kërkimesh, e cila kulmoi në çerekun e fundit të shekullit të 17-të. dizajni në veprat e I. Newton dhe G.V. Njehsimi diferencial dhe integral i Leibniz-it. Që nga ajo kohë, matematika e variablave të madhësisë ka zënë një vend kryesor në sistemin e njohurive matematikore.

Kështu që sot ne do të angazhohemi në aktivitete të tilla praktike, prandaj,

Tema e mësimit tonë: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar".

Ju do të mësoni përkufizimin e një trupi revolucioni duke plotësuar detyrën e mëposhtme.

"Labirinti".

Ushtrimi. Gjeni një rrugëdalje nga situata konfuze dhe shkruani përkufizimin.

IVLlogaritja e vëllimeve.

Duke përdorur një integral të caktuar, ju mund të llogarisni vëllimin e një trupi, në veçanti, një trup rrotullues.

Një trup rrotullues është një trup i marrë nga rrotullimi i një trapezi lakor rreth bazës së tij (Fig. 1, 2)

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet me një nga formulat:

1. rreth boshtit x.

2. , nëse rrotullimi i trapezit lakor rreth boshtit y.

Nxënësit shënojnë formulat bazë në një fletore.

Mësuesi/ja shpjegon zgjidhjen e shembujve në tabelë.

1. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit y të një trapezi lakor të kufizuar me vija: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Zgjidhje.

Përgjigje: 1163 cm3.

2. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi parabolik rreth boshtit të abshisës y = , x = 4, y = 0.

Zgjidhje.

V. Simulator matematike.

2. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një funksioni të caktuar quhet

A) një integral i pacaktuar

B) funksioni,

B) diferencimi.

7. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të kufizuar me vija:

D/Z. Rregullimi i materialit të ri

Llogaritni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i petalit rreth boshtit x y=x2, y2=x.

Le të vizatojmë grafikët e funksionit. y=x2, y2=x. Grafiku y2 = x shndërrohet në formën y = .

Kemi V = V1 - V2 Le të llogarisim vëllimin e secilit funksion:

konkluzioni:

Integrali i caktuar është një lloj themeli për studimin e matematikës, i cili jep një kontribut të domosdoshëm në zgjidhjen e problemeve me përmbajtje praktike.

Tema “Integrali” tregon qartë lidhjen mes matematikës dhe fizikës, biologjisë, ekonomisë dhe teknologjisë.

Zhvillimi i shkencës moderne është i paimagjinueshëm pa përdorimin e integralit. Në këtë drejtim, është e nevojshme të fillohet studimi i tij në kuadër të arsimit të mesëm të specializuar!

VI. Notimi.(Me koment.)

I madh Omar Khayyam - matematikan, poet, filozof. Ai thërret të jetë zotërues i fatit të tij. Dëgjoni një fragment nga puna e tij:

Ju thoni se kjo jetë është vetëm një moment.
Vlerësoni atë, merrni frymëzim prej tij.
Si ta shpenzoni, ashtu do të kalojë.
Mos harroni: ajo është krijimi juaj.

Përveç gjetja e sipërfaqes së një figure të sheshtë duke përdorur një integral të caktuar (shih 7.2.3.) aplikimi më i rëndësishëm i temës është llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues. Materiali është i thjeshtë, por lexuesi duhet të jetë i përgatitur: është e nevojshme të jetë në gjendje të zgjidhë integrale të pacaktuara kompleksiteti mesatar dhe aplikoni formulën Newton-Leibniz në integral i caktuar, n Kërkohen gjithashtu aftësi të forta hartuese. Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale; duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogaritni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e një harku, sipërfaqen e trupin, dhe shumë më tepër. Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. Përfaqësuar? ... Tani kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe të rrotullohet në dy mënyra:

- rreth boshtit x ;

- rreth boshtit y .

Le t'i hedhim një sy të dy rasteve. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton vështirësitë më të mëdha, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi i një figure të sheshtë rreth një boshti OK

Shembulli 1

Njehsoni vëllimin e trupit që përftohet duke rrotulluar figurën e kufizuar me vija rreth boshtit.

Zgjidhja: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Domethënë në aeroplan XOYështë e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar me vija , duke mos harruar se ekuacioni përcakton boshtin . Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e dëshiruar e sheshtë është e hijezuar në blu, është ajo që rrotullohet rreth boshtit. Si rezultat i rrotullimit, fitohet një disk fluturues i tillë paksa në formë veze me dy maja të mprehta në bosht. OK, simetrike rreth boshtit OK. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, shikoni në librin e referencës.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues? Nëse trupi është formuar si rezultat i rrotullimit rreth një boshtiOK, mendërisht ndahet në shtresa paralele me trashësi të vogël dx që janë pingul me boshtin OK. Vëllimi i të gjithë trupit është padyshim i barabartë me shumën e vëllimeve të shtresave të tilla elementare. Çdo shtresë, si një fetë e rrumbullakët limoni, është një cilindër i ulët i lartë dx dhe me rreze bazë f(x). Atëherë vëllimi i një shtrese është prodhimi i sipërfaqes bazë π f 2 në lartësinë e cilindrit ( dx), ose π∙ f 2 (x)∙dx. Dhe zona e të gjithë trupit të revolucionit është shuma e vëllimeve elementare, ose integrali përkatës i caktuar. Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "be" është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar. Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e sheshtë kufizohet nga grafiku i parabolës nga lart. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë. Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht OK. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror: f 2 (x), Kështu, vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është mjaft logjike. Llogaritni vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë:

Siç e kemi vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Në përgjigje, është e nevojshme të tregohet dimensioni - njësi kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kuba". Pse pikërisht kub njësive? Sepse është formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa burra të vegjël jeshilë mund të futet imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth një boshti OK figura e kufizuar me vija , , .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Shembulli 3

Njehsoni vëllimin e trupit që përftohet duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe .

Zgjidhja: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar me vija , , , , duke mos harruar se ekuacioni x= 0 specifikon boshtin OY:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit OK rezulton një bagel këndore e sheshtë (një rondele me dy sipërfaqe konike).

Vëllimi i trupit të revolucionit llogaritet si ndryshimi i vëllimit të trupit. Së pari, le të shohim figurën që është rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth boshtit OK duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar si V 1 .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotullojmë këtë figurë rreth boshtit OK, atëherë ju merrni edhe një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me V 2 .

Natyrisht, ndryshimi i volumit V = V 1 - V 2 është vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe është e kufizuar nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të revolucionit:

Përgjigje:

Është kureshtare që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vendimi në vetvete shpesh merret më i shkurtër, diçka si kjo:

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Në formulë, duhet të ketë një numër përpara integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "be", mendoj se është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e sheshtë kufizohet nga grafiku i parabolës nga lart. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror: , pra vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është mjaft logjike.

Llogaritni vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës të kufizuar nga vijat ,

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhja: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar me vija , , , , duke mos harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një donut i tillë surreal me katër qoshe.

Vëllimi i trupit të revolucionit llogaritet si ndryshimi i vëllimit të trupit.

Së pari, le të shohim figurën që është rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar si .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe është e kufizuar nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të revolucionit:

Përgjigje:

Është kureshtare që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vendimi në vetvete shpesh merret më i shkurtër, diçka si kjo:

Tani le të bëjmë një pushim dhe të flasim për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione të lidhura me vëllime, të cilat Perelman (jo i njëjtë) i vuri re në libër Gjeometri interesante. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar gjatë gjithë jetës së tij pi një lëng me një vëllim prej një dhome prej 18 metrash katrorë, i cili, përkundrazi, duket se është një vëllim shumë i vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte me të vërtetë më i miri. I njëjti libër i Perelman, i shkruar prej tij në vitin 1950, zhvillohet shumë mirë, siç tha humoristi, arsyeton dhe të mëson të kërkosh zgjidhje origjinale jo standarde për problemet. Kohët e fundit kam rilexuar disa kapituj me shumë interes, e rekomandoj, është i aksesueshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni pse të buzëqeshni se unë sugjerova një kalim kohe të mirë, erudicioni dhe një këndvështrim i gjerë në komunikim është një gjë e mrekullueshme.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha gjërat ndodhin në grup, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij integrimi pothuajse të gatshëm. Gjithashtu përpiquni të vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, nëse argumenti ndahet me dy: , atëherë grafikët shtrihen përgjatë boshtit dy herë. Mundohuni të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike dhe e bëjnë vizatimin më të saktë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit y është gjithashtu një vizitor mjaft i shpeshtë në teste. Në kalim do të merren parasysh problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure mënyra e dytë - integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë se si të gjeni zgjidhjen më fitimprurëse. Ka edhe një kuptim praktik! Ndërsa mësuesja ime në metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë stafin tonë në mënyrë optimale". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija , , .

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm paragrafin e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhja: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të ekzekutojmë vizatimin:

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet gjetur, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Kjo është arsyeja pse:

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të kalojmë në funksione të anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të merremi me parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedhë nga dega e poshtme:

Me një vijë të drejtë, gjithçka është më e lehtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Në të njëjtën kohë, në segment, vija e drejtë ndodhet sipër parabolës, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju:. Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! Shënim: Kufijtë e integrimit përgjatë boshtit duhet të vendosen rreptësisht nga poshtë lart!