Dom pejzažni dizajn

Izračunajte volumen tijela okretanja ograničenog grafovima funkcija. Korištenje integrala za pronalaženje volumena tijela okretanja. Izračunavanje volumena tijela nastalog rotacijom ravne figure oko ose

Korištenje integrala za pronalaženje volumena okretnih tijela

Praktična korisnost matematike je zbog činjenice da bez

specifično matematičko znanje otežava razumevanje principa uređaja i upotrebe moderne tehnologije. Svaka osoba u svom životu mora izvršiti prilično složene proračune, koristiti uobičajenu opremu, pronaći u referentnim knjigama za primjenu potrebne formule, sastaviti jednostavne algoritme za rješavanje problema. AT modernog društva sve više specijalnosti koje zahtevaju visok nivo obrazovanja povezuju se sa direktnom primenom matematike. Tako za školskog djeteta matematika postaje stručno značajan predmet. Vodeća uloga pripada matematici u formiranju algoritamskog mišljenja, ona odgaja sposobnost postupanja po datom algoritmu i osmišljavanja novih algoritama.

Proučavajući temu upotrebe integrala za izračunavanje zapremina obrtnih tela, predlažem da učenici u fakultativnoj nastavi razmotre temu: „Voumini obrtnih tela pomoću integrala“. Evo nekoliko smjernica za bavljenje ovom temom:

1. Površina ravne figure.

Iz kursa algebre znamo da su praktični problemi doveli do koncepta određenog integrala..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Da bismo pronašli volumen tijela okretanja formiranog rotacijom krivolinijskog trapeza oko ose Ox, ograničenog izlomljenom linijom y=f(x), osom Ox, pravim linijama x=a i x=b, izračunavamo po formuli

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Zapremina cilindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konus se dobija rotiranjem pravokutnog trougla ABC(C=90) oko ose Ox na kojoj leži krak AC.

Segment AB leži na liniji y=kx+c, gdje je https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Neka je a=0, b=H (H je visina stošca), zatim Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Volumen skraćenog konusa.

Skraćeni konus se može dobiti rotacijom pravokutnog trapeza ABCD (CDOx) oko ose Ox.

Segment AB leži na pravoj y=kx+c, gdje je , c=r.

Pošto prava prolazi kroz tačku A (0; r).

Dakle, ravna linija izgleda kao https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Neka je a=0, b=H (H je visina krnjeg stošca), zatim https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumen lopte.

Lopta se može dobiti rotiranjem kruga sa centrom (0;0) oko x-ose. Polukrug koji se nalazi iznad x-ose je dat jednadžbom

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentnu i brzu tehniku crtanja nastavni materijali i geometrijske transformacije grafova. Ali, u stvari, više puta sam govorio o važnosti crteža u lekciji.

Općenito, postoji puno zanimljivih aplikacija u integralnom računu; koristeći određeni integral, možete izračunati površinu figure, volumen tijela okretanja, dužinu luka, površinu rotacije , i mnogo više. Tako da će biti zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Zastupljen? ... Pitam se ko je šta predstavio ... =))) Već smo pronašli njegovu oblast. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:

- oko ose apscise;
- oko y-ose.

U ovom članku će se raspravljati o oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Kao bonus, vratit ću se na problem nalaženja površine figure, i reći vam kako pronaći područje na drugi način - duž ose. Čak nije ni bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.

ravna figura oko ose

Primjer 1

Izračunajte zapreminu tijela dobivenu rotacijom figure ograničene linijama oko ose.

Rješenje: Kao iu problemu područja, rješenje počinje crtanjem ravne figure. Odnosno, na ravnini je potrebno izgraditi lik ograničen linijama , , a ne zaboravljajući da jednačina definira os . Kako da napravite crtež racionalnije i brže možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Ovo je kineski podsjetnik i ne zaustavljam se na ovome.

Crtež ovdje je prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, a upravo ona rotira oko ose.Rezultat rotacije se dobija ovako blago jajoliki leteći tanjir, koji je simetričan oko ose. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali je previše lijeno da navedemo nešto u priručniku, pa idemo dalje.

Kako izračunati zapreminu tijela okretanja?

Zapremina tijela okretanja može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Desilo se jednostavno - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim, lako je pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafom parabole odozgo. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvek nenegativan, što je sasvim logično.

Izračunajte zapreminu tijela okretanja koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovori:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Možda ima kubnih centimetara, može biti kubnih metara, može biti kubnih kilometara itd., toliko malih zelenih čovječuljki vaša mašta može stati u leteći tanjir.

Primjer 2

Pronađite volumen tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama , ,

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite još dva izazovni zadaci koji se često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i

Rješenje: Nacrtajte ravnu figuru na crtežu, ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se takva nadrealna krofna sa četiri ugla.

Zapremina tijela okretanja izračunava se kao razlika u zapremini tela.

Prvo, pogledajmo figuru koja je zaokružena crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog krnjeg konusa kao .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa .

I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je omeđena odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

Odgovori:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena skraćenog konusa.

Sama odluka se često skraćuje, otprilike ovako:

Hajdemo sada da napravimo pauzu i razgovaramo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (drugi) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba u svom životu pije tečnost zapremine sobe površine 18 kvadratnih metara, što se, naprotiv, čini premalo.

Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je zaista bio najbolji. Ista Perelmanova knjiga, objavljena davne 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako je humorista rekao, rasuđivanje i uči vas da tražite originalna nestandardna rješenja problema. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanitarcima. Ne, ne morate se smješkati što sam predložio bespontov provod, erudicija i široki pogled na komunikaciju su odlična stvar.

Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama , , gdje je .

Ovo je "uradi sam" primjer. Imajte na umu da se sve stvari dešavaju u bendu, drugim riječima, gotova ograničenja integracije su zapravo data. Ispravno nacrtajte grafove trigonometrijskih funkcija, podsjetit ću vas na materijal lekcije o geometrijske transformacije grafova: ako je argument djeljiv sa dva: , tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Poželjno je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da tačnije završite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Proračun volumena tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko ose

Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko y-ose također je prilično čest gost u kontrolni rad. U prolazu će se uzeti u obzir problem nalaženja površine figure drugi način - integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti kako pronaći najisplativije rješenje. Ima i praktično značenje! Kako se sa osmehom prisjetila moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili riječima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo svojim kadrom.“ I ovom prilikom joj izražavam veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).

Preporučujem je svima za čitanje, čak i potpunim lutkama. Štaviše, asimilirani materijal iz drugog paragrafa bit će od neprocjenjive pomoći u izračunavanju dvostrukih integrala.

Primjer 5

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugi pasus, prvi obavezno procitaj prvu!

Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Izvršimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija definira gornju granu parabole, a funkcija definira donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola, koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.

Kako pronaći površinu figure? Može se naći na "uobičajeni" način, koji je razmatran u lekciji. Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zbog toga:

Šta nije u redu sa uobičajenim rješenjem u ovom slučaju? Prvo, postoje dva integrala. Drugo, korijeni pod integralima, a korijeni u integralima nisu dar, štoviše, može se zbuniti u zamjeni granica integracije. Zapravo, integrali, naravno, nisu smrtonosni, ali u praksi je sve mnogo tužnije, samo sam pokupio "bolje" funkcije za zadatak.

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji u prijelazu na inverzne funkcije i integraciji duž ose.

Kako prijeći na inverzne funkcije? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pozabavimo se parabolom:

Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

Sa ravnom linijom, sve je lakše:

Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. Štoviše, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da bi se područje figure trebalo pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž ose striktno odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, to je najracionalniji način, a u sledećem pasusu zadatka biće jasno zašto.

Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobija se originalni integrand, što znači da je integracija izvedena ispravno.

Odgovori:

2) Izračunaj zapreminu tela nastalo rotacijom ove figure oko ose.

Precrtaću crtež u malo drugačijem dizajnu:

Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.

Da bismo pronašli zapreminu tela obrtanja, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela obrtanja treba naći kao razliku između zapremina.

Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .

Lik, zaokružen zelenom bojom, rotiramo oko ose i označavamo ga kroz volumen rezultirajućeg tijela okretanja.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

Po čemu se razlikuje od formule iz prethodnog paragrafa? Samo slovima.

A evo prednosti integracije o kojoj sam maloprije govorio, mnogo je lakše pronaći nego podići integrand na 4. stepen.

Odgovori:

Međutim, bolešljiv leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko ose, tada će se ispostaviti potpuno drugačije tijelo okretanja, drugačijeg, prirodno, volumena.

Primjer 6

Zadana je ravna figura omeđena linijama i osom .

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Ovo je "uradi sam" primjer. Oni koji žele mogu pronaći i površinu figure na "uobičajeni" način, čime će ispuniti test iz tačke 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko ose, onda ćete dobiti potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, točan odgovor (također za one koji vole rješavati).

Kompletno rješenje dvije predložene stavke zadatka na kraju časa.

Oh, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno da biste razumjeli rotirajuća tijela i unutar integracije!

Tema: "Izračunavanje volumena tijela okretanja pomoću određenog integrala"

Vrsta lekcije: kombinovano.

Svrha lekcije: naučiti izračunavati zapremine tijela okretanja koristeći integrale.

Zadaci:

konsolidirati sposobnost odabira krivolinijskih trapeza iz reda geometrijski oblici i razraditi vještinu izračunavanja površina krivolinijskih trapeza;

upoznati koncept trodimenzionalne figure;

naučiti izračunati zapremine tijela okretanja;

doprinijeti razvoju logičko razmišljanje, kompetentan matematički govor, tačnost u izradi crteža;

da gaje interesovanje za predmet, za rad matematički koncepti i slike, negovati volju, samostalnost, istrajnost u postizanju konačnog rezultata.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Grupni pozdrav. Saopštavanje učenicima o ciljevima časa.

Želio bih da počnem današnju lekciju prispodobom. “Bio je jedan mudar čovjek koji je sve znao. Jedna osoba je htjela dokazati da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u rukama, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" I sam misli: „Ako živi kaže, ubiću je, ako mrtvi kaže, pustiću je. Mudrac je, nakon što je razmislio, odgovorio: "Sve je u tvojim rukama."

Zato, hajde da danas plodonosno radimo, steknimo novu zalihu znanja, a stečene veštine i sposobnosti primenićemo u kasnijem životu iu praktičnim aktivnostima.“Sve je u vašim rukama.”

II. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.

Prisjetimo se glavnih tačaka prethodno proučavanog materijala. Da biste to učinili, izvršite zadatak „Isključi suvišna reč”.

(Učenici kažu dodatnu riječ.)

Ispravno "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi jednom zajedničkom riječi. (Integralni račun.)

Prisjetimo se glavnih faza i koncepata vezanih za integralni račun.

Vježbajte. Vrati propusnice. (Učenik izlazi i markerom upisuje potrebne riječi.)

Rad u sveskama.

Newton-Leibnizovu formulu razvili su engleski fizičar Isaac Newton (1643-1727) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). I to nije iznenađujuće, jer matematika je jezik kojim govori sama priroda.

Razmotrite kako se ova formula koristi u rješavanju praktičnih zadataka.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Konstruirajmo na koordinatnoj ravni grafove funkcija . Odaberite područje figure koju želite pronaći.

III. Učenje novog gradiva.

Obratite pažnju na ekran. Šta je prikazano na prvoj slici? (Slika prikazuje ravnu figuru.)

Šta je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)

U svemiru, na zemlji i unutra Svakodnevni život susrećemo se ne samo sa ravnim figurama, već i sa trodimenzionalnim, ali kako izračunati volumen takvih tijela? Na primjer: zapremina planete, komete, meteorita itd.

Razmišljaju o zapremini kada grade kuće i prelivaju vodu iz jedne posude u drugu. Trebalo je nastati pravila i metode za izračunavanje količina, druga stvar je koliko su tačne i opravdane bile.

Godina 1612. bila je vrlo plodna za stanovnike austrijskog grada Linca, gdje je živio tada poznati astronom Johannes Kepler, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihovu količinu.

Tako su razmatrani Keplerovi radovi označili početak čitavog toka istraživanja, koji je kulminirao u posljednjoj četvrtini 17. vijeka. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibnizov diferencijalni i integralni račun. Od tog vremena, matematika varijabli veličine zauzima vodeće mjesto u sistemu matematičkog znanja.

Dakle, danas ćemo se baviti takvim praktičnim aktivnostima, dakle,

Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela okretanja pomoću određenog integrala."

Naučit ćete definiciju tijela revolucije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.

"Labirint".

Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.

IVProračun volumena.

Koristeći određeni integral, možete izračunati volumen tijela, posebno tijela okretanja.

Tijelo okretanja je tijelo koje se dobije rotacijom krivolinijskog trapeza oko svoje osnove (sl. 1, 2)

Zapremina tijela okretanja izračunava se po jednoj od formula:

1. oko x-ose.

2. , ako je rotacija krivolinijskog trapeza oko y-ose.

Učenici zapisuju osnovne formule u svesku.

Nastavnik objašnjava rješenje primjera na tabli.

1. Pronađite volumen tijela koji se dobije rotacijom oko y-ose krivolinijskog trapeza omeđenog linijama: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Rješenje.

Odgovor: 1163 cm3.

2. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom paraboličnog trapeza oko ose apscise y = , x = 4, y = 0.

Rješenje.

V. Matematički simulator.

2. Poziva se skup svih antiderivata date funkcije

A) neodređeni integral

B) funkcija,

B) diferencijacija.

7. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ose apscise krivolinijskog trapeza omeđenog linijama:

D/Z. Popravljanje novog materijala

Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom latice oko x-ose y=x2, y2=x.

Nacrtajmo grafove funkcije. y=x2, y2=x. Graf y2 = x pretvara se u oblik y = .

Imamo V = V1 - V2 Izračunajmo volumen svake funkcije:

Zaključak:

Određeni integral je svojevrsna osnova za izučavanje matematike, koja daje neizostavan doprinos rješavanju problema praktičnog sadržaja.

Tema "Integral" jasno pokazuje vezu između matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.

Razvoj moderne nauke nezamisliv je bez upotrebe integrala. S tim u vezi, potrebno je započeti njegovo proučavanje u okviru srednjeg stručnog obrazovanja!

VI. Ocjenjivanje.(Sa komentarom.)

Veliki Omar Khayyam - matematičar, pjesnik, filozof. Poziva da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajte odlomak iz njegovog djela:

Kažete da je ovaj život samo trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravite: ona je vaša kreacija.

Osim pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala (vidi 7.2.3.) najvažnija primjena teme je izračunavanje zapremine tela obrtanja. Materijal je jednostavan, ali čitalac mora biti spreman: potrebno je umeti da reši neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibniz formulu u određeni integral, n Potrebne su i jake vještine crtanja. Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; koristeći definitivni integral, možete izračunati površinu figure, zapreminu tijela okretanja, dužinu luka, površinu tijelo, i još mnogo toga. Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Zastupljeni? ... Sada se i ova figura može rotirati, i to na dva načina:

- oko x-ose ;

- oko y-ose .

Pogledajmo oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.

Izračunavanje volumena tijela nastalog rotacijom ravne figure oko ose OX

Primjer 1

Izračunajte zapreminu tijela dobivenu rotacijom figure ograničene linijama oko ose.

Rješenje: Kao iu problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtanjem ravne figure. Odnosno u avionu XOY potrebno je konstruisati figuru omeđenu linijama, ne zaboravljajući da jednačina definiše osu. Crtež ovdje je prilično jednostavan:

Željena ravna figura je zasjenjena plavom bojom, ona je ta koja se rotira oko ose. Kao rezultat rotacije, dobiva se takav lagano jajoliki leteći tanjir s dva oštra vrha na osi. OX, simetrično oko ose OX. U stvari, tijelo ima matematičko ime, pogledajte u priručniku.

Kako izračunati zapreminu tijela okretanja? Ako je tijelo nastalo kao rezultat rotacije oko oseOX, mentalno je podijeljen na paralelne slojeve male debljine dx koji su okomiti na osu OX. Zapremina cijelog tijela je očigledno jednaka zbiru zapremina takvih elementarnih slojeva. Svaki sloj, poput okrugle kriške limuna, visok je nizak cilindar dx i sa poluprečnikom osnove f(x). Tada je volumen jednog sloja proizvod površine baze π f 2 do visine cilindra ( dx), ili π∙ f 2 (x)∙dx. A površina cijelog tijela okretanja je zbir elementarnih volumena, ili odgovarajući određeni integral. Volumen tijela okretanja može se izračunati po formuli:

Kako postaviti granice integracije "a" i "be" lako je pogoditi iz završenog crteža. Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafom parabole odozgo. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli. U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose OX. Ovo ništa ne mijenja - funkcija u formuli je na kvadrat: f 2 (x), dakle, zapremina tela obrtanja je uvek nenegativna, što je sasvim logično. Izračunajte zapreminu tijela okretanja koristeći ovu formulu:

Kao što smo već napomenuli, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubni jedinice? Zato što je to najuniverzalnija formulacija. Možda ima kubnih centimetara, može biti kubnih metara, može biti kubnih kilometara itd., toliko malih zelenih čovječuljki vaša mašta može stati u leteći tanjir.

Primjer 2

Odrediti zapreminu tijela nastalo rotacijom oko ose OX lik omeđen linijama , , .

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 3

Izračunajte zapreminu tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i .

Rješenje: Predstavimo na crtežu ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da je jednadžba x= 0 određuje os OY:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko ose OX ispada ravna, ugaona peciva (podloška s dvije konusne površine).

Zapremina tijela okretanja izračunava se kao razlika u zapremini tela. Prvo, pogledajmo figuru koja je zaokružena crvenom bojom. Kada se rotira oko ose OXšto rezultira skraćenim konusom. Označimo volumen ovog krnjeg konusa kao V 1 .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotiramo ovu figuru oko ose OX, onda dobijete i krnji konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa V 2 .

Očigledno, razlika u volumenu V = V 1 - V 2 je volumen naše "krofne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je omeđena odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena skraćenog konusa.

Sama odluka se često skraćuje, otprilike ovako:

Volumen tijela okretanja može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Desilo se jednostavno - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim, lako je pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafom parabole odozgo. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - funkcija u formuli je na kvadrat: , dakle zapremina tela obrtanja je uvek nenegativna, što je sasvim logično.

Izračunajte zapreminu tijela okretanja koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

odgovor:

Primjer 2

Pronađite volumen tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama , ,

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i

Rješenje: Na crtežu predstavimo ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os: