Σοφιστήρια και παράδοξα. Σοφισμοί και λογικά παράδοξα Παράδοξα στη λογική

ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΛΟΓΙΚΟ

ΛΟΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ

μια πρόταση που δεν είναι ακόμη προφανής στην αρχή, αλλά, αντίθετα με τις προσδοκίες, εκφράζει την αλήθεια. Στην αρχαία λογική, ένα παράδοξο ονομαζόταν παράδοξο, η ασάφεια του οποίου σχετίζεται κυρίως με την ορθότητα ή την ανακρίβειά του. Στα σύγχρονα μαθηματικά, τα παράδοξα είναι στην πραγματικότητα μαθηματικά. απορία.

Φιλοσοφικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό. 2010 .

ΛΟΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ

Η ανάπτυξη σύγχρονων λογικών μεθόδων έχει οδηγήσει σε νέα λογικά παράδοξα. Για παράδειγμα, ο Brouwer επεσήμανε το εξής παράδοξο της κλασικής ύπαρξης: σε οποιαδήποτε αρκετά ισχυρή κλασική θεωρία υπάρχει ένας αποδείξιμος τύπος της μορφής ExA(x), για τον οποίο είναι αδύνατο να κατασκευαστεί κάποιο συγκεκριμένο t έτσι ώστε το A(t) να είναι αποδείξιμα .

Συγκεκριμένα, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα ενιαίο μη τυποποιημένο μοντέλο πραγματικών αριθμών στη θεωρία συνόλων, αν και τέτοια μοντέλα μπορούν να αποδειχθούν. Αυτό το παράδοξο δείχνει ότι οι έννοιες της ύπαρξης και της κατασκευασσιμότητας είναι αμετάκλητα αποκλίνουσες στα κλασικά μαθηματικά.

Επιπλέον, τα μη τυποποιημένα μοντέλα, τα οποία απαιτούσαν μια ρητή διάκριση μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας, οδήγησαν στο εξής παράδοξο: «Το σύνολο όλων των τυπικών πραγματικών αριθμών είναι μέρος ενός μη τυπικού πεπερασμένου συνόλου. Έτσι, μπορεί να είναι μέρος του πεπερασμένου».

Αυτό το παράδοξο έρχεται σε πλήρη αντίθεση με τη συνηθισμένη κατανόηση της σχέσης μεταξύ του πεπερασμένου και του απείρου. Βασίζεται στο γεγονός ότι το «να είσαι στάνταρ» ανήκει σε μια μεταγλώσσα, αλλά μπορεί να ερμηνευτεί με ακρίβεια σε ένα μη τυποποιημένο μοντέλο. Επομένως, στο μη τυποποιημένο μοντέλο, μπορεί κανείς να μιλήσει για την αλήθεια και το ψεύδος οποιωνδήποτε μαθηματικών δηλώσεων που περιλαμβάνουν την έννοια του "είναι (μη τυπικό", αλλά γι 'αυτούς οι ιδιότητες του τυπικού μοντέλου δεν απαιτείται να διατηρηθούν, με εξαίρεση τις λογικές ταυτολογίες.Αυτό το παράδοξο έγινε η βάση της θεωρίας των ημισυνόλων, στην οποία μπορούν να υπάρχουν υποκατηγορίες συνόλων.

Και τέλος, η τελευταία κατηγορία λογικών παραδόξων αναδύεται στα όρια μεταξύ επισημοποιημένων και ανεπίσημων εννοιών. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά (Simon). «Οτιδήποτε μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια μπορεί να εκφραστεί στη γλώσσα των μηχανών Turing. Επομένως, στις ανθρωπιστικές επιστήμες μπορούν να ληφθούν υπόψη μόνο εκείνα τα μοντέλα που μπορούν να εκφραστούν στη γλώσσα των μηχανών Turing. Επιπλέον, σύμφωνα με τη μέθοδο της διαγωνοποίησης, κάθε ακριβής αντίρρηση σε μια δεδομένη άποψη μεταφράζεται και περιλαμβάνεται στις μηχανές Turing».

Αυτό το παράδοξο τόνωσε την εμφάνιση της θεωρίας των μη επισημοποιήσιμων εννοιών, αλλά λόγω του γεγονότος ότι δεν αναγνωρίστηκε αμέσως ως παράδοξο, οδήγησε ταυτόχρονα σε θλιβερές συνέπειες, καθώς αυτή, στην οποία η θεμελιώδης εκφραστικότητα (απαιτεί μη ρεαλιστική πόροι) και οι πραγματικές περιγραφές συγχέονταν, έγινε αντιληπτός ως ακριβής συλλογισμός και, όπως σημειώνεται σε έργα για τη γνωστική επιστήμη, παρέλυσε τη δυτική ψυχολογία για σχεδόν 10 χρόνια. Η απόρριψη του επιχειρήματος του Simon αφού συνειδητοποίησε τη σοφιστική του φύση ήταν δομημένη με τέτοιο τρόπο που οδήγησε σε πλήρη απόρριψη ακριβών εννοιών και ως εκ τούτου ουσιαστικά χρησίμευσε ως κίνητρο για κινήματα όπως ο μεταμοντερνισμός. Σε αυτή την περίπτωση, έγινε ένα λογικό λάθος στην αντικατάσταση μιας αντιφατικής κρίσης με την αντίθετη.

Ya. Ya. Nepeyvoda

Νέα Φιλοσοφική Εγκυκλοπαίδεια: Σε 4 τόμους. Μ.: Σκέψη. Επιμέλεια V. S. Stepin. 2001 .

Δείτε τι είναι το "LOGICAL PARADOX" σε άλλα λεξικά:

- (ελληνικά παράδοξα απροσδόκητα, περίεργα) με την ευρεία έννοια: μια δήλωση που αποκλίνει έντονα από τη γενικά αποδεκτή, καθιερωμένη άποψη, μια άρνηση αυτού που φαίνεται «άνευ όρων σωστό»· με στενότερη έννοια, δύο αντίθετες δηλώσεις, για... ... Φιλοσοφική Εγκυκλοπαίδεια

Το παράδοξο του Γαλιλαίου είναι ένα παράδειγμα που απεικονίζει τις ιδιότητες των άπειρων συνόλων. Με λίγα λόγια: υπάρχουν τόσοι φυσικοί αριθμοί όσα και τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών, δηλαδή το σύνολο 1, 2, 3, 4... έχει τον ίδιο αριθμό στοιχείων με το σύνολο 1, 4, 9, 16. .. ... Βικιπαίδεια

Παράδοξο- (από το ελληνικό παράδοξο απροσδόκητο, περίεργο) 1) άποψη, συλλογισμός ή συμπέρασμα που αποκλίνει έντονα, απροσδόκητα, ασυνήθιστα από τη γενικά αποδεκτή, αντιφατική (μερικές φορές μόνο με την πρώτη ματιά) κοινή λογική. 2) ένα ασυνήθιστο, απροσδόκητο φαινόμενο, όχι... ... Οι απαρχές της σύγχρονης φυσικής επιστήμης

Το παράδοξο του δολοφονημένου παππού είναι ένα προτεινόμενο παράδοξο που περιλαμβάνει ταξίδι στο χρόνο, το οποίο περιγράφηκε για πρώτη φορά (με αυτόν τον τίτλο) από τον συγγραφέα επιστημονικής φαντασίας René Barjavel στο βιβλίο του Le Voyageur Imprudent το 1943. Το παράδοξο είναι... ... Wikipedia

Το παράδοξο του Smale. Μία από τις ενδιάμεσες διαμορφώσεις, η επιφάνεια του Morin (Αγγλικά) Παράδοξο ... Wikipedia

Το Stevenson's Satanic Bottle Paradox είναι ένα λογικό παράδοξο που περιγράφεται στην ιστορία "The Satanic Bottle" του R. L. Stevenson. Περιεχόμενα 1 Οικόπεδο 2 Η ουσία του παραδόξου 3 Δείτε επίσης... Wikipedia

Το παράδοξο της αιφνιδιαστικής εκτέλεσης είναι ένα λογικό παράδοξο, γνωστό και ως παράδοξο του κρατούμενου. Ο πρώτος (τον Ιούλιο του 1948) που δημοσίευσε ένα άρθρο σχετικά με αυτό το παράδοξο ήταν ο D. J. O'Connor, ένας φιλόσοφος από το Πανεπιστήμιο του Έξετερ. Η διατύπωση του O'Connor περιελάμβανε έναν αξιωματικό... ... Wikipedia

παράδοξο- PARADOX (από το ελληνικό παρά έξω και δόξα γνώμη). 1) Με μια ευρεία (μη λογική) έννοια, καθετί που με τον ένα ή τον άλλο τρόπο έρχεται σε σύγκρουση (αποκλίνει) με τη γενικά αποδεκτή γνώμη, που επιβεβαιώνεται από την παράδοση, το νόμο, τον κανόνα, τον κανόνα ή την κοινή λογική... ... Εγκυκλοπαίδεια Επιστημολογίας και Φιλοσοφίας της Επιστήμης

Το ύφος αυτού του άρθρου είναι μη εγκυκλοπαιδικό ή παραβιάζει τους κανόνες της ρωσικής γλώσσας. Το άρθρο θα πρέπει να διορθωθεί σύμφωνα με τους στιλιστικούς κανόνες της Wikipedia. The paradox of unnexpected execution (eng. Unnexpected hanging par ... Wikipedia

Είναι απαραίτητο να ξεχωρίσουμε από τη σοφιστεία λογικά παράδοξα(από τα ελληνικά. παράδοξα -«απροσδόκητο, παράξενο»). Ένα παράδοξο με την ευρεία έννοια της λέξης είναι κάτι ασυνήθιστο και εκπληκτικό, κάτι που αποκλίνει από τις συνήθεις προσδοκίες, την κοινή λογική και την εμπειρία ζωής. Ένα λογικό παράδοξο είναι μια τόσο ασυνήθιστη και εκπληκτική κατάσταση όταν δύο αντιφατικές προτάσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα (κάτι που είναι αδύνατο λόγω των λογικών νόμων της αντίφασης και της αποκλειόμενης μέσης), αλλά επίσης ακολουθούν η μία την άλλη και εξαρτώνται η μία την άλλη. Εάν η σοφιστεία είναι πάντα κάποιο είδος τέχνασμα, ένα σκόπιμα λογικό λάθος που μπορεί να ανιχνευθεί, να αποκαλυφθεί και να εξαλειφθεί, τότε ένα παράδοξο είναι μια άλυτη κατάσταση, ένα είδος ψυχικού αδιεξόδου, ένα «εμπόδιο» στη λογική: σε όλη την ιστορία του, πολλά διαφορετικά έχουν προταθεί μέθοδοι υπέρβασης και εξάλειψης των παραδόξων, ωστόσο, καμία από αυτές δεν είναι ακόμη εξαντλητική, οριστική και γενικά αποδεκτή.

Το πιο διάσημο λογικό παράδοξο είναι το παράδοξο του «ψεύτη». Συχνά αποκαλείται «βασιλιάς των λογικών παραδόξων». Ανοίχτηκε μέσα Αρχαία Ελλάδα. Σύμφωνα με το μύθο, ο φιλόσοφος Διόδωρος Κρόνος ορκίστηκε να μην φάει μέχρι να λύσει αυτό το παράδοξο και πέθανε από την πείνα, χωρίς να πετύχει τίποτα. και ένας άλλος στοχαστής, ο Φιλήτος της Κω, έπεσε σε απόγνωση από την αδυναμία να βρει λύση στο παράδοξο του «ψεύτη» και αυτοκτόνησε πετώντας από έναν γκρεμό στη θάλασσα. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές διατυπώσεις αυτού του παραδόξου. Διατυπώνεται πιο συνοπτικά και απλά σε μια κατάσταση όπου ένα άτομο προφέρει μια απλή φράση: Είμαι ένας ψεύτης.Η ανάλυση αυτής της στοιχειώδους και έξυπνης εκ πρώτης όψεως δήλωσης οδηγεί σε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα. Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε δήλωση (συμπεριλαμβανομένων των παραπάνω) μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Ας εξετάσουμε διαδοχικά και τις δύο περιπτώσεις, στην πρώτη από τις οποίες αυτή η δήλωση είναι αληθής και στη δεύτερη είναι ψευδής.

Ας πούμε τη φράση είμαι ένας ψεύτηςαλήθεια, δηλ. αυτός που το είπε είπε την αλήθεια, αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι πραγματικά ψεύτης, επομένως, λέγοντας αυτή τη φράση, είπε ψέματα. Τώρα ας υποθέσουμε ότι η φράση είμαι ένας ψεύτηςείναι ψευδής, δηλαδή αυτός που το είπε είπε ψέματα, αλλά στην προκειμένη περίπτωση δεν είναι ψεύτης, αλλά αληθής, επομένως, εκφωνώντας αυτή τη φράση, είπε την αλήθεια. Αποδεικνύεται κάτι εκπληκτικό και ακόμη και αδύνατο: αν κάποιος είπε την αλήθεια, τότε είπε ψέματα. και αν είπε ψέματα, τότε είπε την αλήθεια (δύο αντιφατικές προτάσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα, αλλά απορρέουν και η μία από την άλλη).

Ένα άλλο διάσημο λογικό παράδοξο που ανακαλύφθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Άγγλο λογικό και φιλόσοφο

Ο Μπέρτραντ Ράσελ, είναι το παράδοξο του «κουρέα του χωριού». Ας φανταστούμε ότι σε ένα συγκεκριμένο χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας που ξυρίζει όσους κατοίκους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Η ανάλυση αυτής της απλής κατάστασης οδηγεί σε ένα εξαιρετικό συμπέρασμα. Ας αναρωτηθούμε: μπορεί ένας χωριάτικος κουρέας να ξυριστεί; Ας εξετάσουμε και τις δύο επιλογές, στην πρώτη από τις οποίες ξυρίζεται μόνος του και στη δεύτερη όχι.

Ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού ξυρίζεται μόνος του, αλλά τότε είναι ένας από τους κατοίκους του χωριού που ξυρίζονται μόνοι τους και τους οποίους ο κουρέας δεν ξυρίζεται, επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, δεν ξυρίζεται μόνος του. Τώρα ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού δεν ξυρίζεται μόνος του, αλλά τότε ανήκει σε εκείνους τους χωρικούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους και τους οποίους ξυρίζει ο κουρέας, επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, ξυρίζεται μόνος του. Όπως βλέπουμε, αποδεικνύεται το απίστευτο: αν ένας κουρέας του χωριού ξυριστεί, τότε δεν ξυρίζεται μόνος του. και αν δεν ξυριστεί μόνος του, τότε ξυρίζεται (δύο αντιφατικές προτάσεις είναι ταυτόχρονα αληθινές και αλληλοεξαρτώνται μεταξύ τους).

Τα παράδοξα «ψεύτης» και «κουρέας του χωριού», μαζί με άλλα παρόμοια παράδοξα, ονομάζονται επίσης αντινομίες(από τα ελληνικά. αντινομία«αντίθεση στο νόμο»), δηλαδή συλλογισμός με τον οποίο αποδεικνύεται ότι δύο δηλώσεις που αρνούνται η μία την άλλη διαδέχονται η μία την άλλη. Οι αντινομίες θεωρούνται η πιο ακραία μορφή παραδόξων. Ωστόσο, αρκετά συχνά οι όροι «λογικό παράδοξο» και «αντινομία» θεωρούνται συνώνυμοι.

Μια λιγότερο εκπληκτική διατύπωση, αλλά όχι λιγότερο διάσημη από τα παράδοξα του «ψεύτη» και του «κουρέα του χωριού», είναι το παράδοξο του «Πρωταγόρα και του Εύαθλου», που, όπως και ο «ψεύτης», εμφανίστηκε στην Αρχαία Ελλάδα. Βασίζεται σε μια φαινομενικά απλή ιστορία, η οποία είναι ότι ο σοφιστής Πρωταγόρας είχε έναν μαθητή τον Εύαθλο, ο οποίος πήρε μαθήματα λογικής και ρητορικής από αυτόν.

(στην προκειμένη περίπτωση – πολιτική και δικαστική ευγλωττία). Δάσκαλος και μαθητής συμφώνησαν ότι ο Εύαθλος θα πλήρωνε στον Πρωταγόρα τα δίδακτρα του μόνο αν κέρδιζε την πρώτη του δοκιμή. Ωστόσο, με την ολοκλήρωση της εκπαίδευσης, ο Evatl δεν συμμετείχε σε καμία διαδικασία και φυσικά δεν πλήρωσε χρήματα στον δάσκαλο. Ο Πρωταγόρας τον απείλησε ότι θα του κάνει μήνυση και τότε ο Εύαθλος θα έπρεπε να πληρώσει σε κάθε περίπτωση. «Ή θα καταδικαστείς σε αμοιβή, ή δεν θα σε καταδικάσουν», του είπε ο Πρωταγόρας, «αν καταδικαστείς να πληρώσεις, θα πρέπει να πληρώσεις σύμφωνα με την ετυμηγορία του δικαστηρίου. εάν δεν καταδικαστείτε να πληρώσετε, τότε εσείς, ως νικητής της πρώτης σας δοκιμής, θα πρέπει να πληρώσετε σύμφωνα με τη συμφωνία μας». Σε αυτό ο Evatl του απάντησε: «Όλα είναι σωστά: ή θα καταδικαστώ να πληρώσω ένα τέλος, ή δεν θα καταδικάσω. αν καταδικαστώ να πληρώσω, τότε εγώ ως χαμένος της πρώτης μου αγωγής δεν θα πληρώσω σύμφωνα με τη συμφωνία μας. αν δεν καταδικαστώ να πληρώσω, τότε δεν θα πληρώσω την ετυμηγορία του δικαστηρίου». Έτσι, το ερώτημα αν η Euathlus πρέπει να καταβάλει στον Πρωταγόρα αμοιβή ή όχι είναι αναποφάσιστο. Η συμφωνία δασκάλου και μαθητή, παρά την εντελώς αθώα εμφάνιση, είναι εσωτερικά, ή λογικά, αντιφατικό, καθώς απαιτεί την εκτέλεση μιας αδύνατης ενέργειας: Η Evatl πρέπει και να πληρώσει για την εκπαίδευση και να μην πληρώσει ταυτόχρονα. Εξαιτίας αυτού, η ίδια η συμφωνία μεταξύ του Πρωταγόρα και του Euathlus, καθώς και το ζήτημα της αντιδικίας τους, δεν αντιπροσωπεύουν παρά ένα λογικό παράδοξο.

ξεχωριστή ομάδαπαράδοξα είναι απορία(από τα ελληνικά. απορία«δυσκολία, σύγχυση») - συλλογισμός που δείχνει τις αντιφάσεις μεταξύ αυτού που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας (βλέπουμε, ακούμε, αγγίζουμε κ.λπ.) και αυτού που μπορεί να αναλυθεί διανοητικά (με άλλα λόγια, τις αντιφάσεις μεταξύ του ορατού και του φανταστικού). Η πιο διάσημη απορία προτάθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα από την Ελέα, ο οποίος υποστήριξε ότι η κίνηση που παρατηρούμε παντού δεν μπορεί να γίνει αντικείμενο νοητικής ανάλυσης, δηλαδή η κίνηση μπορεί να δει, αλλά δεν μπορεί να σκεφτεί. Μια από τις απορία του ονομάζεται «Διχοτομία» (Ελλ. διχοτομία"διχοτόμηση"). Ας υποθέσουμε ότι ένα συγκεκριμένο σώμα πρέπει να πάει από το σημείο ΕΝΑστο σημείο ΣΕ.Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι μπορούμε να δούμε πώς ένα σώμα, αφήνοντας ένα σημείο, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα φτάνει στο άλλο. Ωστόσο, ας μην εμπιστευόμαστε τα μάτια μας, που μας λένε ότι το σώμα κινείται, και ας προσπαθήσουμε να αντιληφθούμε την κίνηση όχι με τα μάτια μας, αλλά με τις σκέψεις μας· ας προσπαθήσουμε να μην τη δούμε, αλλά να τη σκεφτούμε. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχουμε τα εξής. Πριν προχωρήσετε σε όλη τη διαδρομή από το σημείο ΕΝΑστο σημείο ΣΕ,το σώμα πρέπει να διανύσει το ήμισυ αυτού του δρόμου, γιατί αν δεν πάει μέχρι το μισό, τότε, φυσικά, δεν θα πάει μέχρι το τέλος. Αλλά πριν το σώμα πάει στα μισά, πρέπει να διανύσει το 1/4 της διαδρομής. Ωστόσο, πριν πάει αυτό το 1/4 μέρος της διαδρομής, πρέπει να κάνει το 1/8 μέρος της διαδρομής. και ακόμη και πριν από αυτό χρειάζεται να διανύσει το 1/16ο της διαδρομής, και πριν από αυτό - 1/32, και πριν από αυτό - 1/64ο, και πριν από αυτό - 1/128, και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Έτσι, για να πάμε από το σημείο ΕΝΑστο σημείο ΣΕ,το σώμα πρέπει να διανύσει έναν άπειρο αριθμό τμημάτων αυτής της διαδρομής. Είναι δυνατόν να περάσει κανείς από το άπειρο; Αδύνατο! Επομένως, το σώμα δεν θα μπορέσει ποτέ να ολοκληρώσει το ταξίδι του. Έτσι, τα μάτια μαρτυρούν ότι ο δρόμος θα περάσει, αλλά η σκέψη, αντίθετα, το αρνείται (το ορατό έρχεται σε αντίθεση με το νοητό).

Μια άλλη διάσημη απορία του Ζήνωνα της Ελέας - «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα» - λέει ότι μπορούμε κάλλιστα να δούμε πώς ο στόλος Αχιλλέας προλαβαίνει και προσπερνά τη χελώνα που σέρνεται αργά μπροστά του. Ωστόσο, η νοητική ανάλυση μας οδηγεί στο ασυνήθιστο συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να προλάβει τη χελώνα, αν και κινείται 10 φορές πιο γρήγορα από αυτήν. Όταν διανύσει την απόσταση από τη χελώνα, τότε κατά τον ίδιο χρόνο (άλλωστε και αυτή κινείται) θα διανύσει 10 φορές λιγότερο (αφού κινείται 10 φορές πιο αργά), δηλαδή το 1/10 της διαδρομής που διένυσε ο Αχιλλέας, και αυτό Το 1/10 θα είναι μπροστά του.

Όταν ο Αχιλλέας διανύσει αυτό το 1/10 της διαδρομής, η χελώνα θα διανύσει 10 φορές λιγότερη απόσταση ταυτόχρονα, δηλαδή το 1/100ο της διαδρομής και θα είναι μπροστά από τον Αχιλλέα μέχρι το 1/100ο της διαδρομής. Όταν περάσει το 1/100ο του μονοπατιού που χωρίζει αυτόν και τη χελώνα, τότε ταυτόχρονα θα καλύψει το 1/1000ο του μονοπατιού, παραμένοντας ακόμα μπροστά από τον Αχιλλέα, και ούτω καθεξής επ’ άπειρον. Έτσι, είμαστε και πάλι πεπεισμένοι ότι τα μάτια μας λένε για ένα πράγμα, και η σκέψη - για κάτι εντελώς διαφορετικό (το ορατό το αρνείται ο σκεπτόμενος).

Μια άλλη απορία του Ζήνωνα - το "Βέλος" - μας καλεί να σκεφτούμε νοερά την πτήση ενός βέλους από το ένα σημείο στο διάστημα στο άλλο. Τα μάτια μας φυσικά δείχνουν ότι το βέλος πετάει ή κινείται. Τι θα γίνει όμως αν προσπαθήσουμε, αφαιρώντας από την οπτική εντύπωση, να φανταστούμε το πέταγμα του; Για να το κάνουμε αυτό, ας θέσουμε στον εαυτό μας μια απλή ερώτηση: πού είναι τώρα το ιπτάμενο βέλος; Εάν, απαντώντας σε αυτή την ερώτηση, πούμε, για παράδειγμα, Είναι εδώ τώραή Είναι εδώ τώραή Είναι εκεί τώρατότε όλες αυτές οι απαντήσεις θα σημαίνουν όχι το πέταγμα του βέλους, αλλά ακριβώς την ακινησία του, γιατί το ον Εδώ,ή εδώ,ή εκεί -σημαίνει να είσαι σε ηρεμία και να μην κινείσαι. Πώς μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση -πού είναι τώρα το ιπτάμενο βέλος- με τέτοιο τρόπο ώστε η απάντηση να αντικατοπτρίζει την πτήση του και όχι την ακινησία του; Η μόνη πιθανή απάντηση σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να είναι η εξής: Τώρα είναι παντού και πουθενά.Είναι όμως δυνατόν να είσαι παντού και πουθενά ταυτόχρονα; Έτσι, όταν προσπαθούσαμε να φανταστούμε την πτήση ενός βέλους, συναντήσαμε μια λογική αντίφαση, έναν παραλογισμό - το βέλος είναι παντού και πουθενά. Αποδεικνύεται ότι η κίνηση του βέλους φαίνεται, αλλά δεν μπορεί να συλληφθεί, με αποτέλεσμα να είναι αδύνατη, όπως κάθε κίνηση γενικά. Με άλλα λόγια, η κίνηση, από άποψη σκέψης, και όχι από αισθητηριακές αντιλήψεις, σημαίνει να βρίσκεσαι σε ένα συγκεκριμένο μέρος και να μην βρίσκεσαι ταυτόχρονα σε αυτό, κάτι που φυσικά είναι αδύνατο.

Στην απορία του, ο Ζήνων συγκέντρωσε σε μια «αναμέτρηση» τα δεδομένα των αισθήσεων (μιλώντας για την πολλαπλότητα, τη διαιρετότητα και την κίνηση όλων όσων υπάρχουν, διαβεβαιώνοντάς μας ότι ο στόλος Αχιλλέας θα προλάβει την αργή χελώνα και το βέλος θα φτάσει στο στόχο) και την εικασία (που δεν μπορεί να συλλάβει την κίνηση ή την πολλαπλότητα των αντικειμένων του κόσμου, χωρίς να πέφτει σε αντίφαση).

Κάποτε, όταν ο Ζήνων καταδείκνυε σε ένα πλήθος το ασύλληπτο και την αδυναμία κίνησης, ανάμεσα στους ακροατές του ήταν και ο εξίσου διάσημος φιλόσοφος Διογένης ο Σινώπης στην Αρχαία Ελλάδα. Χωρίς να πει τίποτα, σηκώθηκε όρθιος και άρχισε να τριγυρνά, πιστεύοντας ότι με αυτό τον τρόπο απέδειξε καλύτερα από κάθε λέξη την πραγματικότητα της κίνησης. Ωστόσο, ο Ζήνων δεν χάθηκε και απάντησε: «Μην περπατάτε και μην κουνάτε τα χέρια σας, αλλά προσπαθήστε να λύσετε αυτό το περίπλοκο πρόβλημα με το μυαλό σας». Σχετικά με αυτήν την κατάσταση, υπάρχει ακόμη και το ακόλουθο ποίημα του A. S. Pushkin:

Δεν υπάρχει κίνηση, είπε ο γενειοφόρος σοφός,

Ο άλλος σώπασε και άρχισε να περπατάει μπροστά του.

Δεν θα μπορούσε να είχε πιο έντονη αντίρρηση.

Όλοι επαίνεσαν την περίπλοκη απάντηση.

Αλλά, κύριοι, αυτή είναι μια αστεία περίπτωση

Ένα άλλο παράδειγμα έρχεται στο μυαλό:

Μετά από όλα, κάθε μέρα ο Ήλιος περπατά μπροστά μας,

Ωστόσο, ο πεισματάρης Galileo έχει δίκιο.

Και πράγματι, βλέπουμε πολύ καθαρά ότι ο Ήλιος κινείται στον ουρανό κάθε μέρα από την ανατολή προς τη δύση, αλλά στην πραγματικότητα είναι ακίνητος (σε σχέση με τη Γη). Γιατί λοιπόν να μην υποθέσουμε ότι άλλα αντικείμενα που βλέπουμε να κινούνται μπορεί στην πραγματικότητα να είναι ακίνητα και να μην βιαζόμαστε να πούμε ότι ο Ελεάτης στοχαστής έκανε λάθος;

Όπως ήδη σημειώθηκε, πολλοί τρόποι επίλυσης και υπέρβασης παραδόξων έχουν δημιουργηθεί στη λογική. Ωστόσο, κανένα από αυτά δεν είναι χωρίς αντιρρήσεις και δεν είναι γενικά αποδεκτό. Η εξέταση αυτών των μεθόδων είναι μια μακρά και κουραστική θεωρητική διαδικασία, η οποία παραμένει πέρα ​​από την προσοχή μας σε αυτήν την περίπτωση. Ένας περίεργος αναγνώστης θα μπορέσει να εξοικειωθεί με διάφορες προσεγγίσεις για την επίλυση του προβλήματος των λογικών παραδόξων σε πρόσθετη βιβλιογραφία. Τα λογικά παράδοξα παρέχουν αποδείξεις ότι η λογική, όπως κάθε άλλη επιστήμη, δεν είναι πλήρης, αλλά συνεχώς εξελίσσεται. Προφανώς, τα παράδοξα υποδεικνύουν κάποια βαθιά προβλήματα της λογικής θεωρίας, σηκώνουν το πέπλο πάνω σε κάτι που δεν είναι ακόμη πλήρως γνωστό και κατανοητό και σκιαγραφούν νέους ορίζοντες στην ανάπτυξη της λογικής.

Είναι γνωστό ότι η διατύπωση ενός προβλήματος είναι συχνά πιο σημαντική και πιο δύσκολη από την επίλυσή του. «Στην επιστήμη», έγραψε ο Άγγλος χημικός F. Soddy, «ένα πρόβλημα, που τίθεται σωστά, έχει λυθεί περισσότερο από το μισό. Η διαδικασία διανοητικής προετοιμασίας που απαιτείται για να καταλάβουμε ότι ένα συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχει συχνά απαιτεί περισσότερο χρόνο από την επίλυση του ίδιου του προβλήματος».
Οι μορφές με τις οποίες εκδηλώνεται και αναγνωρίζεται μια προβληματική κατάσταση είναι πολύ διαφορετικές. Δεν αποκαλύπτεται πάντα με τη μορφή μιας άμεσης ερώτησης που τίθεται στην αρχή της μελέτης. Ο κόσμος των προβλημάτων είναι τόσο περίπλοκος όσο και η διαδικασία της γνώσης που τα δημιουργεί. Ο εντοπισμός προβλημάτων σχετίζεται με την ίδια την ουσία της δημιουργικής σκέψης. Τα παράδοξα είναι η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση σιωπηρών, αδιαμφισβήτητων τρόπων τοποθέτησης προβλημάτων. Τα παράδοξα είναι κοινά στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης των επιστημονικών θεωριών, όταν γίνονται τα πρώτα βήματα σε μια ακόμη ανεξερεύνητη περιοχή και γενικές αρχέςπροσέγγιση σε αυτό.

Παράδοξα και λογική

Με μια ευρεία έννοια, ένα παράδοξο είναι μια θέση που αποκλίνει έντονα από τις γενικά αποδεκτές, καθιερωμένες, ορθόδοξες απόψεις. «Οι γενικά αποδεκτές απόψεις και ό,τι θεωρείται θέμα που έχει αποφασιστεί εδώ και καιρό είναι τις περισσότερες φορές άξια έρευνας» (GLichtenberg). Το παράδοξο είναι η αρχή μιας τέτοιας έρευνας.
Ένα παράδοξο με μια στενότερη και πιο εξειδικευμένη έννοια είναι δύο αντίθετες, ασύμβατες δηλώσεις, για καθεμία από τις οποίες υπάρχουν φαινομενικά πειστικά επιχειρήματα.
Η πιο ακραία μορφή παραδόξου είναι η αντινομία, ένας συλλογισμός που αποδεικνύει την ισοδυναμία δύο δηλώσεων, εκ των οποίων η μία είναι άρνηση της άλλης.
Τα παράδοξα είναι ιδιαίτερα διάσημα στις πιο αυστηρές και ακριβείς επιστήμες - τα μαθηματικά και τη λογική. Και αυτό δεν είναι τυχαίο.

Λογικές- αφηρημένη επιστήμη. Δεν υπάρχουν πειράματα σε αυτό, δεν υπάρχουν καν γεγονότα με τη συνήθη έννοια της λέξης. Κατά την κατασκευή των συστημάτων της, η λογική προέρχεται τελικά από την ανάλυση της πραγματικής σκέψης. Όμως τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης είναι συνθετικά και αδιαφοροποίητα. Δεν είναι δηλώσεις οποιωνδήποτε μεμονωμένων διαδικασιών ή γεγονότων που η θεωρία θα πρέπει να εξηγήσει. Μια τέτοια ανάλυση προφανώς δεν μπορεί να ονομαστεί παρατήρηση: ένα συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρείται πάντα.
Σχέδιο νέα θεωρία, ένας επιστήμονας ξεκινά συνήθως από γεγονότα, από όσα μπορεί να παρατηρηθεί στην εμπειρία. Ανεξάρτητα από το πόσο ελεύθερη μπορεί να είναι η δημιουργική του φαντασία, πρέπει να λάβει υπόψη μια απαραίτητη περίσταση: μια θεωρία έχει νόημα μόνο εάν είναι συνεπής με τα γεγονότα που τη σχετίζονται. Μια θεωρία που αποκλίνει από τα γεγονότα και τις παρατηρήσεις είναι τραβηγμένη και δεν έχει καμία αξία.
Αλλά αν στη λογική δεν υπάρχουν πειράματα, γεγονότα και παρατηρήσεις, τότε τι εμποδίζει τη λογική φαντασία; Ποιοι παράγοντες, αν όχι γεγονότα, λαμβάνονται υπόψη κατά τη δημιουργία νέων λογικών θεωριών;
Η ασυμφωνία μεταξύ της λογικής θεωρίας και της πρακτικής της πραγματικής σκέψης αποκαλύπτεται συχνά με τη μορφή ενός περισσότερο ή λιγότερο οξείου λογικού παραδόξου, και μερικές φορές ακόμη και με τη μορφή μιας λογικής αντινομίας, που μιλά για την εσωτερική ασυνέπεια της θεωρίας. Αυτό ακριβώς εξηγεί τη σημασία που αποδίδουν τα παράδοξα στη λογική και τη μεγάλη προσοχή που απολαμβάνουν σε αυτήν.

Παραλλαγές του παραδόξου του ψεύτη

Το πιο διάσημο και, ίσως, το πιο ενδιαφέρον από όλα τα λογικά παράδοξα είναι το παράδοξο «Ψεύτης». Ήταν αυτός που δόξασε κυρίως το όνομα του Ευβουλίδη του Μιλήτου, που το ανακάλυψε.
Υπάρχουν παραλλαγές αυτού του παραδόξου ή αντινομίας, πολλές από τις οποίες είναι μόνο φαινομενικά παράδοξες.
Στην απλούστερη εκδοχή του «Ψεύτης», ένα άτομο προφέρει μόνο μία φράση: «Λέω ψέματα». Ή λέει: «Η δήλωση που κάνω τώρα είναι ψευδής». Ή: "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής."

Εάν η δήλωση είναι ψευδής, τότε ο ομιλητής είπε την αλήθεια, και αυτό σημαίνει ότι αυτό που είπε δεν είναι ψέμα. Εάν η δήλωση δεν είναι ψευδής, αλλά ο ομιλητής ισχυρίζεται ότι είναι ψευδής, τότε η δήλωσή του είναι ψευδής. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι αν ο ομιλητής λέει ψέματα, λέει την αλήθεια και το αντίστροφο.

Στο Μεσαίωνα, η ακόλουθη διατύπωση ήταν κοινή:

«Αυτό που είπε ο Πλάτωνας είναι ψευδές», λέει ο Σωκράτης.

«Αυτό που είπε ο Σωκράτης είναι η αλήθεια», λέει ο Πλάτων.

Τίθεται το ερώτημα, ποιο από αυτά εκφράζει την αλήθεια και ποιο είναι το ψέμα;
Εδώ είναι μια σύγχρονη αναδιατύπωση αυτού του παραδόξου. Ας πούμε ότι στην μπροστινή πλευρά της κάρτας υπάρχουν μόνο οι λέξεις γραμμένες: «Στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας υπάρχει μια αληθινή δήλωση γραμμένη». Σαφώς αυτές οι λέξεις αντιπροσωπεύουν μια σημαντική δήλωση. Αναποδογυρίζοντας την κάρτα, πρέπει είτε να βρούμε την υπόσχεση, είτε δεν υπάρχει. Αν είναι γραμμένο στο πίσω μέρος, τότε είτε είναι αλήθεια είτε όχι. Ωστόσο, στο πίσω μέρος υπάρχουν οι λέξεις: "Υπάρχει μια ψευδής δήλωση γραμμένη στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας" - και τίποτα περισσότερο. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση στο μπροστινό μέρος είναι αληθινή. Τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει να είναι αληθής και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι ψευδής. Αλλά αν η δήλωση στην μπροστινή πλευρά είναι ψευδής, τότε η δήλωση στην πίσω πλευρά πρέπει επίσης να είναι ψευδής, και επομένως η δήλωση στην μπροστινή πλευρά πρέπει να είναι αληθής. Το αποτέλεσμα είναι ένα παράδοξο.
Το παράδοξο Liar έκανε τεράστια εντύπωση στους Έλληνες. Και είναι εύκολο να καταλάβει κανείς γιατί. Το ερώτημα που θέτει φαίνεται με την πρώτη ματιά αρκετά απλό: λέει ψέματα αυτός που λέει μόνο ότι λέει ψέματα; Αλλά η απάντηση «ναι» οδηγεί στην απάντηση «όχι» και το αντίστροφο. Και ο προβληματισμός δεν ξεκαθαρίζει καθόλου την κατάσταση. Πίσω από την απλότητα και ακόμη και τη ρουτίνα της ερώτησης, αποκαλύπτει κάποιο σκοτεινό και αμέτρητο βάθος.
Υπάρχει ακόμη και ένας θρύλος ότι κάποιος Filit Kossky, απελπισμένος να λύσει αυτό το παράδοξο, αυτοκτόνησε. Λένε επίσης ότι ένας από τους διάσημους αρχαίους Έλληνες λογικούς, ο Διόδωρος Κρόνος, ήδη στα χρόνια της παρακμής του έδωσε όρκο να μην φάει μέχρι να βρει τη λύση στον «Ψεύτη» και σύντομα πέθανε χωρίς να καταφέρει τίποτα.
Στο Μεσαίωνα, αυτό το παράδοξο ταξινομήθηκε ως μία από τις λεγόμενες αναποφάσιστες προτάσεις και έγινε αντικείμενο συστηματικής ανάλυσης.Στη σύγχρονη εποχή, ο «Ψεύτης» δεν τράβηξε την προσοχή για πολύ καιρό. Δεν έβλεπαν καμία, έστω και μικρή, δυσκολία σε αυτόν σχετικά με τη χρήση της γλώσσας. Και μόνο στα λεγόμενα μας μοντέρνοι καιροίΗ ανάπτυξη της λογικής έφτασε επιτέλους σε ένα επίπεδο όπου τα προβλήματα που φαίνεται να στέκονται πίσω από αυτό το παράδοξο κατέστη δυνατό να διατυπωθούν με αυστηρούς όρους.
Τώρα ο «Ψεύτης» - αυτός ο τυπικός πρώην σοφισμός - αποκαλείται συχνά ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων. Μια εκτενής επιστημονική βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη σε αυτό. Και όμως, όπως συμβαίνει με πολλά άλλα παράδοξα, δεν είναι απολύτως σαφές ποια προβλήματα κρύβονται πίσω από αυτό και πώς να απαλλαγούμε από αυτό.

Γλώσσα και μεταγλώσσα

Τώρα το «The Liar» θεωρείται συνήθως χαρακτηριστικό παράδειγμα των δυσκολιών που προκύπτουν από τη σύγχυση δύο γλωσσών: της γλώσσας που μιλά για μια πραγματικότητα που βρίσκεται έξω από τον εαυτό της και της γλώσσας που μιλάει για την ίδια την πρώτη γλώσσα.

Στην καθημερινή γλώσσα δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ αυτών των επιπέδων: μιλάμε και για την πραγματικότητα και για τη γλώσσα στην ίδια γλώσσα. Για παράδειγμα, ένα άτομο του οποίου η μητρική γλώσσα είναι τα ρωσικά δεν βλέπει καμία ιδιαίτερη διαφορά μεταξύ των δηλώσεων: "Το γυαλί είναι διαφανές" και "Είναι αλήθεια ότι το γυαλί είναι διαφανές", αν και η μία από αυτές αφορά το γυαλί και η άλλη για ένα δήλωση για το γυαλί.
Αν κάποιος είχε την ιδέα της ανάγκης να μιλήσει για τον κόσμο σε μια γλώσσα και για τις ιδιότητες αυτής της γλώσσας σε μια άλλη, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει δύο διαφορετικές υπάρχουσες γλώσσες, ας πούμε τα ρωσικά και τα αγγλικά. Αντί να πει κανείς απλά: «Η αγελάδα είναι ουσιαστικό», θα έλεγε κανείς «Η αγελάδα είναι ουσιαστικό» και αντί για: «Ο ισχυρισμός «Το γυαλί δεν είναι διαφανές» είναι ψευδής». Με δύο διαφορετικές γλώσσες που χρησιμοποιούνται με αυτόν τον τρόπο, αυτό που λέγεται για τον κόσμο θα διέφερε σαφώς από αυτό που λέγεται για τη γλώσσα με την οποία ομιλείται ο κόσμος. Στην πραγματικότητα, οι πρώτες δηλώσεις θα αφορούσαν τη ρωσική γλώσσα, ενώ η δεύτερη θα αναφέρεται στα αγγλικά.

Εάν ο γλωσσολόγος μας ήθελε περαιτέρω να μιλήσει για ορισμένες περιστάσεις που σχετίζονται με την αγγλική γλώσσα, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει άλλη γλώσσα. Γερμανός ας πούμε. Για να μιλήσουμε για αυτό το τελευταίο σημείο, θα μπορούσε κανείς να καταφύγει, ας πούμε, σε Ισπανικάκαι τα λοιπά.
Έτσι, αυτό που προκύπτει είναι ένα είδος κλίμακας ή ιεραρχίας γλωσσών, καθεμία από τις οποίες χρησιμοποιείται για έναν πολύ συγκεκριμένο σκοπό: στην πρώτη μιλούν για τον αντικειμενικό κόσμο, στη δεύτερη για αυτήν την πρώτη γλώσσα, στην τρίτη για την δεύτερη γλώσσα κ.λπ. Μια τέτοια διάκριση μεταξύ γλωσσών ανάλογα με τον τομέα εφαρμογής τους είναι σπάνιο φαινόμενο στην καθημερινή ζωή. Αλλά σε επιστήμες που ασχολούνται ειδικά με τις γλώσσες, όπως η λογική, μερικές φορές αποδεικνύεται πολύ χρήσιμο. Η γλώσσα στην οποία κάποιος μιλάει για τον κόσμο ονομάζεται συνήθως γλώσσα θέματος. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη γλώσσα του θέματος ονομάζεται μεταγλώσσα.

Είναι σαφές ότι αν η γλώσσα και η μεταγλώσσα διακρίνονται με αυτόν τον τρόπο, η δήλωση «λέω ψέματα» δεν μπορεί πλέον να διατυπωθεί. Μιλάει για το ψεύτικο όσων λέγονται στα ρωσικά, και, ως εκ τούτου, ανήκει στη μεταγλώσσα και πρέπει να εκφράζεται σε αγγλική γλώσσα. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να ακούγεται ως εξής: "Ό,τι μιλάω στα ρωσικά είναι ψευδές" ("Ό,τι είπα στα ρωσικά είναι ψευδές"); αυτή η αγγλική δήλωση δεν λέει τίποτα για τον εαυτό του και δεν προκύπτει παράδοξο.
Η διάκριση μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας μας επιτρέπει να εξαλείψουμε το παράδοξο του «Ψεύτη». Έτσι, καθίσταται δυνατός ο ορθός, χωρίς αντίφαση, ο ορισμός της κλασικής έννοιας της αλήθειας: μια δήλωση είναι αληθής εάν αντιστοιχεί στην πραγματικότητα που περιγράφει.
Η έννοια της αλήθειας, όπως όλες οι άλλες σημασιολογικές έννοιες, έχει σχετική φύση: μπορεί πάντα να αποδοθεί σε μια συγκεκριμένη γλώσσα.

Όπως έδειξε ο Πολωνός λογικός ATarski, ο κλασικός ορισμός της αλήθειας πρέπει να διατυπωθεί σε μια γλώσσα ευρύτερη από τη γλώσσα για την οποία προορίζεται. Με άλλα λόγια, εάν θέλουμε να δείξουμε τι σημαίνει η φράση «μια δήλωση αληθής σε μια δεδομένη γλώσσα», πρέπει, εκτός από εκφράσεις αυτής της γλώσσας, να χρησιμοποιήσουμε και εκφράσεις που δεν περιλαμβάνονται σε αυτήν.
Ο Tarski εισήγαγε την έννοια της σημασιολογικά κλειστής γλώσσας. Μια τέτοια γλώσσα περιλαμβάνει, εκτός από τις εκφράσεις της, τα ονόματά τους, και επίσης, αυτό που είναι σημαντικό να τονιστεί, δηλώσεις σχετικά με την αλήθεια των προτάσεων που διατυπώνονται σε αυτήν.

Δεν υπάρχει όριο μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας σε μια σημασιολογικά κλειστή γλώσσα. Τα μέσα του είναι τόσο πλούσια που επιτρέπουν όχι μόνο να ισχυριστεί κάτι για την εξωγλωσσική πραγματικότητα, αλλά και να αξιολογήσει την αλήθεια τέτοιων δηλώσεων. Αυτά τα μέσα επαρκούν, ειδικότερα, για την αναπαραγωγή της αντινομίας «Ψεύτης» στη γλώσσα. Μια σημασιολογικά κλειστή γλώσσα αποδεικνύεται έτσι εσωτερικά αντιφατική. Κάθε φυσική γλώσσα είναι προφανώς σημασιολογικά κλειστή.
Ο μόνος αποδεκτός τρόπος για να εξαλειφθεί η αντινομία, και επομένως η εσωτερική ασυνέπεια, σύμφωνα με τον Tarski, είναι να αρνηθεί κανείς να χρησιμοποιήσει σημασιολογικά κλειστή γλώσσα. Αυτό το μονοπάτι είναι αποδεκτό, φυσικά, μόνο στην περίπτωση τεχνητών, επισημοποιημένων γλωσσών που επιτρέπουν έναν σαφή διαχωρισμό σε γλώσσα και μεταγλώσσα. Στις φυσικές γλώσσες, με τη ασαφή δομή τους και την ικανότητα να μιλάνε για τα πάντα στην ίδια γλώσσα, αυτή η προσέγγιση δεν είναι πολύ ρεαλιστική. Δεν έχει νόημα να τίθεται το ζήτημα της εσωτερικής συνέπειας αυτών των γλωσσών. Οι πλούσιες εκφραστικές τους ικανότητες έχουν και τα αρνητικά τους - παράδοξα.

Άλλες λύσεις στο παράδοξο

Άρα, υπάρχουν δηλώσεις που μιλούν για τη δική τους αλήθεια ή ψευτιά. Η ιδέα ότι αυτού του είδους οι δηλώσεις δεν έχουν νόημα είναι πολύ παλιά. Την υπερασπίστηκε ο αρχαίος Έλληνας λογικός Χρύσιππος.
Στο Μεσαίωνα, ο Άγγλος φιλόσοφος και λογικός W. Ockham δήλωσε ότι η δήλωση «Every statement is false» δεν έχει νόημα, αφού μιλάει, μεταξύ άλλων, για τη δική της ψευδαίσθηση. Από αυτή τη δήλωση προκύπτει άμεσα μια αντίφαση. Εάν κάθε δήλωση είναι ψευδής, τότε αυτό ισχύει για την ίδια τη δήλωση. αλλά το γεγονός ότι είναι ψευδής σημαίνει ότι δεν είναι κάθε δήλωση ψευδής.

Η κατάσταση είναι παρόμοια με τη δήλωση «Κάθε δήλωση είναι αληθινή». Θα πρέπει επίσης να ταξινομηθεί ως χωρίς νόημα και επίσης οδηγεί σε μια αντίφαση: εάν κάθε πρόταση είναι αληθής, τότε η άρνηση αυτής της ίδιας της δήλωσης είναι αληθής, δηλαδή η δήλωση ότι δεν είναι αληθής κάθε πρόταση.
Γιατί, ωστόσο, μια δήλωση δεν μπορεί να μιλήσει με νόημα για τη δική της αλήθεια ή ψευδή;
Ήδη σύγχρονος του Occam, του Γάλλου φιλοσόφου του 14ου αιώνα. Ο J. Buridan δεν συμφώνησε με την απόφασή του. Από τη σκοπιά των συνηθισμένων ιδεών για το ανούσιο, εκφράσεις όπως "λέω ψέματα", "Κάθε δήλωση είναι αληθινή (ψευδή)" κ.λπ. αρκετά ουσιαστικό. Τι μπορείτε να σκεφτείτε, τι μπορείτε να πείτε - αυτή είναι η γενική αρχή του Buridan. Ένα άτομο μπορεί να σκεφτεί την αλήθεια της δήλωσης που εκφέρει, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να μιλήσει για αυτήν. Δεν είναι όλες οι δηλώσεις για τον εαυτό τους χωρίς νόημα. Για παράδειγμα, η δήλωση "Αυτή η πρόταση είναι γραμμένη στα ρωσικά" είναι σωστή, αλλά η δήλωση "Υπάρχουν δέκα λέξεις σε αυτήν την πρόταση" είναι ψευδής. Και τα δύο είναι απολύτως λογικά. Εάν επιτρέπεται μια δήλωση να μπορεί να μιλήσει για τον εαυτό της, τότε γιατί δεν είναι ικανή να μιλήσει με νόημα για μια τέτοια ιδιότητα όπως η αλήθεια;
Ο ίδιος ο Buridan θεώρησε τη δήλωση "λέω ψέματα" όχι άσκοπη, αλλά ψευδή. Το δικαιολογούσε έτσι.

Όταν ένα άτομο υποστηρίζει μια πρόταση, δηλώνει έτσι ότι είναι αληθινή. Εάν μια πρόταση λέει για τον εαυτό της ότι είναι η ίδια ψευδής, τότε είναι μόνο μια συντομευμένη διατύπωση μιας πιο περίπλοκης έκφρασης που επιβεβαιώνει τόσο την αλήθεια όσο και το ψεύδος της. Αυτή η έκφραση είναι αντιφατική και ως εκ τούτου ψευδής. Αλλά δεν είναι σε καμία περίπτωση χωρίς νόημα.

Το επιχείρημα του Buridan εξακολουθεί μερικές φορές να θεωρείται πειστικό.
Υπάρχουν και άλλοι τομείς κριτικής για τη λύση στο παράδοξο του «Ψεύτη», το οποίο αναπτύχθηκε λεπτομερώς από τον Tarski. Δεν υπάρχει πραγματικά αντίδοτο σε παράδοξα αυτού του τύπου σε σημασιολογικά κλειστές γλώσσες - και όλες οι φυσικές γλώσσες είναι τέτοιες;
Εάν ήταν έτσι, τότε η έννοια της αλήθειας θα μπορούσε να οριστεί αυστηρά μόνο σε επισημοποιημένες γλώσσες. Μόνο σε αυτά είναι δυνατό να γίνει διάκριση μεταξύ της γλώσσας του θέματος στην οποία μιλά κανείς για τον κόσμο γύρω μας και της μεταγλώσσας στην οποία μιλάει για αυτήν τη γλώσσα. Αυτή η ιεραρχία γλωσσών βασίζεται στο μοντέλο της απόκτησης ξένη γλώσσαμε τη βοήθεια ενός ντόπιου. Η μελέτη μιας τέτοιας ιεραρχίας έχει οδηγήσει σε πολλά ενδιαφέροντα συμπεράσματα, και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σημαντική. Αλλά δεν είναι στη φυσική γλώσσα. Αυτό θα τον δυσφημήσει; Και αν ναι, σε ποιο βαθμό; Εξάλλου, η έννοια της αλήθειας εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σε αυτό, και συνήθως χωρίς καμία επιπλοκή. Είναι η εισαγωγή της ιεραρχίας ο μόνος τρόποςεξαιρώντας τα παράδοξα όπως "Ψεύτης;"

Στη δεκαετία του 1930, οι απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα έμοιαζαν αναμφίβολα καταφατικές. Ωστόσο, τώρα δεν υπάρχει πλέον η πρώην ομοφωνία, αν και η παράδοση της εξάλειψης των παραδόξων αυτού του τύπου με τη «στρωμάτωση» της γλώσσας παραμένει κυρίαρχη.
ΣΕ Πρόσφαταοι εγωκεντρικές εκφράσεις τραβούν όλο και περισσότερο την προσοχή. Περιέχουν λέξεις όπως «εγώ», «αυτό», «εδώ», «τώρα» και η αλήθεια τους εξαρτάται από το πότε, από ποιον και πού χρησιμοποιούνται.

Στη δήλωση "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής", εμφανίζεται η λέξη "αυτό". Σε ποιο αντικείμενο αναφέρεται; «Ψεύτης» μπορεί να λέει ότι η λέξη «αυτό» δεν σχετίζεται με το νόημα της δήλωσης. Τότε όμως σε τι αναφέρεται, τι σημαίνει; Και γιατί αυτό το νόημα δεν μπορεί ακόμα να δηλωθεί με τη λέξη «αυτό»;
Χωρίς να υπεισέλθω σε λεπτομέρειες εδώ, αξίζει μόνο να σημειωθεί ότι στο πλαίσιο της ανάλυσης των εγωκεντρικών εκφράσεων, το «Liar» είναι γεμάτο με ένα εντελώς διαφορετικό περιεχόμενο από πριν. Αποδεικνύεται ότι δεν προειδοποιεί πλέον για τη σύγχυση της γλώσσας και της μεταγλώσσας, αλλά επισημαίνει τους κινδύνους που συνδέονται με την εσφαλμένη χρήση της λέξης «αυτό» και παρόμοιων εγωκεντρικών λέξεων.
Τα προβλήματα που σχετίζονται με το «The Liar» στο πέρασμα των αιώνων έχουν αλλάξει ριζικά ανάλογα με το αν θεωρήθηκε ως παράδειγμα αμφισημίας ή ως έκφραση που εμφανίζεται εξωτερικά ως παράδειγμα σύγχυσης γλώσσας και μεταγλώσσας ή, τέλος, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα κακής χρήσης εγωκεντρικών εκφράσεων. Και δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι άλλα προβλήματα δεν θα συνδέονται με αυτό το παράδοξο στο μέλλον.

Ο διάσημος σύγχρονος Φινλανδός λογικός και φιλόσοφος G. von Wright έγραψε στο έργο του αφιερωμένο στον «Ψεύτη» ότι αυτό το παράδοξο δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να κατανοηθεί ως ένα τοπικό, απομονωμένο εμπόδιο που μπορεί να εξαλειφθεί με μια εφευρετική κίνηση σκέψης. Το "Liar" αγγίζει πολλά από τα περισσότερα σημαντικά θέματαλογική και σημασιολογία. Αυτός είναι ο ορισμός της αλήθειας, η ερμηνεία της αντίφασης και των αποδείξεων, και μια ολόκληρη σειρά σημαντικών διαφορών: μεταξύ μιας πρότασης και της σκέψης που εκφράζει, μεταξύ της χρήσης μιας έκφρασης και της αναφοράς της, μεταξύ της σημασίας ενός ονόματος και της αντικείμενο που υποδηλώνει.
Η κατάσταση είναι παρόμοια με άλλα λογικά παράδοξα. «Οι αντινομίες της λογικής», γράφει ο von Wrigg, «μας προβληματίζουν από την ανακάλυψή τους και πιθανότατα θα μας προβληματίζουν πάντα. Πρέπει, νομίζω, να τα θεωρούμε όχι τόσο ως προβλήματα που περιμένουν λύση, αλλά ως ανεξάντλητη πρώτη ύλη για προβληματισμό. Είναι σημαντικά γιατί η σκέψη γι' αυτά αγγίζει τα πιο θεμελιώδη ερωτήματα κάθε λογικής, και επομένως κάθε σκέψης».

Για να ολοκληρώσουμε αυτή τη συζήτηση για το «The Liar», μπορούμε να θυμηθούμε ένα περίεργο επεισόδιο από την εποχή που η επίσημη λογική διδάσκονταν ακόμα στο σχολείο. Σε ένα εγχειρίδιο λογικής που εκδόθηκε στα τέλη της δεκαετίας του '40, προσφέρθηκαν μαθητές της όγδοης τάξης εργασία για το σπίτι- ως προθέρμανση, θα λέγαμε, για να βρούμε το λάθος που έγινε σε αυτή τη φαινομενικά απλή δήλωση: «Λέω ψέματα». Και, αν και μπορεί να μην φαίνεται παράξενο, πιστεύεται ότι η πλειοψηφία των μαθητών αντιμετώπισε με επιτυχία αυτό το έργο.

§ 2. Το παράδοξο του Ράσελ

Το πιο διάσημο από τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν ήδη στον αιώνα μας είναι η αντινομία που ανακάλυψε ο B. Russell και κοινοποίησε σε επιστολή του στον G. Ferge. Η ίδια αντινομία συζητήθηκε ταυτόχρονα στο Γκέτινγκεν από τους Γερμανούς μαθηματικούς Z. Zermelo και D. Hilbert.
Η ιδέα ήταν στον αέρα και η δημοσίευσή της είχε ως αποτέλεσμα την έκρηξη βόμβας. Αυτό το παράδοξο προκάλεσε, σύμφωνα με τον Χίλμπερτ, την επίδραση μιας πλήρους καταστροφής στα μαθηματικά. Οι πιο απλές και σημαντικές λογικές μέθοδοι, οι πιο κοινές και χρήσιμες έννοιες απειλούνται.
Αμέσως έγινε φανερό ότι ούτε στη λογική ούτε στα μαθηματικά, σε όλη τη μακρά ιστορία της ύπαρξής τους, δεν είχε αναπτυχθεί απολύτως τίποτα που θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως βάση. εξαλείφοντας την αντινομία. Σαφώς ήταν απαραίτητη μια απομάκρυνση από τους συνήθεις τρόπους σκέψης. Αλλά από πού και προς ποια κατεύθυνση; Πόσο ριζοσπαστικό θα ήταν να ξεφύγουμε από καθιερωμένους τρόπους θεωρητικοποίησης;
Με περαιτέρω έρευνα για την αντινομία, η πεποίθηση για την ανάγκη για μια θεμελιωδώς νέα προσέγγιση αυξανόταν σταθερά. Μισό αιώνα μετά την ανακάλυψή του, οι ειδικοί στα θεμέλια της λογικής και των μαθηματικών L. Frenkel και I. Bar-Hillel δήλωσαν ήδη χωρίς καμία επιφύλαξη: «Πιστεύουμε ότι κάθε προσπάθεια εξόδου από την κατάσταση χρησιμοποιώντας παραδοσιακές (δηλαδή, χρήση πριν από τον 20ο αιώνα) τρόποι σκέψης, που μέχρι τώρα έχουν αποτύχει πάντα, είναι προφανώς ανεπαρκείς για το σκοπό αυτό.
Ο σύγχρονος Αμερικανός λογικός H. Curry έγραψε λίγο αργότερα για αυτό το παράδοξο: «Με όρους λογικής γνωστής τον 19ο αιώνα, η κατάσταση απλά δεν μπορούσε να εξηγηθεί, αν και, φυσικά, στη μορφωμένη εποχή μας μπορεί να υπάρχουν άνθρωποι που θα δουν (ή νομίζετε ότι θα δουν ), ποιο είναι το σφάλμα;

Το παράδοξο του Ράσελ στην αρχική του μορφή συνδέεται με την έννοια του συνόλου ή της τάξης.
Μπορείτε να μιλήσετε για πολλά διάφορα αντικείμενα, για παράδειγμα, για το σύνολο όλων των ανθρώπων ή για το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ένα στοιχείο του πρώτου συνόλου θα είναι κάθε άτομο, ένα στοιχείο του δεύτερου συνόλου θα είναι κάθε φυσικός αριθμός. Επιτρέπεται επίσης να θεωρούνται τα ίδια τα σύνολα ως κάποια αντικείμενα και να μιλάμε για σύνολα. Μπορείτε ακόμη να εισαγάγετε έννοιες όπως το σύνολο όλων των συνόλων ή το σύνολο όλων των εννοιών.

Σετ από συνηθισμένα σετ

Σχετικά με οποιοδήποτε αυθαίρετο σύνολο, φαίνεται εύλογο να αναρωτηθεί κανείς αν είναι δικό του στοιχείο ή όχι. Τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως στοιχείο θα ονομάζονται συνηθισμένα. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ανθρώπων δεν είναι άτομο, όπως και το σύνολο των ατόμων δεν είναι άτομο. Τα σύνολα που είναι κατάλληλα στοιχεία θα είναι ασυνήθιστα. Για παράδειγμα, ένα σύνολο που ενώνει όλα τα σύνολα είναι ένα σύνολο και επομένως περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο.
Εξετάστε τώρα το σύνολο όλων των συνηθισμένων συνόλων. Αφού είναι πολλά, μπορεί κανείς να ρωτήσει και για αυτό, είτε είναι συνηθισμένο είτε ασυνήθιστο. Η απάντηση, ωστόσο, είναι αποθαρρυντική. Εάν είναι συνηθισμένο, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του, πρέπει να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο, αφού περιέχει όλα τα συνηθισμένα σύνολα. Αυτό όμως σημαίνει ότι είναι ένα ασυνήθιστο σύνολο. Η υπόθεση ότι το σύνολο μας είναι ένα συνηθισμένο σύνολο οδηγεί έτσι σε μια αντίφαση. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι συνηθισμένο. Από την άλλη πλευρά, δεν μπορεί να είναι ούτε ασυνήθιστο: ένα ασυνήθιστο σύνολο περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο και τα στοιχεία του συνόλου μας είναι μόνο συνηθισμένα σύνολα. Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο όλων των συνηθισμένων συνόλων δεν μπορεί να είναι ούτε συνηθισμένο ούτε ασυνήθιστο σύνολο.

Άρα, το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι κατάλληλα στοιχεία είναι το δικό του στοιχείο αν και μόνο αν δεν είναι τέτοιο στοιχείο. Αυτή είναι μια σαφής αντίφαση. Και προέκυψε με βάση τις πιο εύλογες υποθέσεις και με τη βοήθεια φαινομενικά αδιαμφισβήτητων βημάτων.Η αντίφαση υποδηλώνει ότι ένα τέτοιο σύνολο απλώς δεν υπάρχει. Γιατί όμως δεν μπορεί να υπάρξει; Εξάλλου, αποτελείται από αντικείμενα που ικανοποιούν μια σαφώς καθορισμένη συνθήκη, και η ίδια η συνθήκη δεν φαίνεται κατά κάποιο τρόπο εξαιρετική ή ασαφής. Εάν ένα τόσο απλά και σαφώς καθορισμένο σύνολο δεν μπορεί να υπάρξει, τότε ποια ακριβώς είναι η διαφορά μεταξύ πιθανών και αδύνατων συνόλων; Το συμπέρασμα για την ανυπαρξία του επίμαχου συνόλου ακούγεται απροσδόκητο και προκαλεί ανησυχία. Κάνει τη γενική μας αντίληψη για το σύνολο άμορφη και χαοτική, και δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι δεν μπορεί να προκαλέσει κάποια νέα παράδοξα.

Το παράδοξο του Ράσελ είναι αξιοσημείωτο για την ακραία γενικότητά του. Για να το κατασκευάσετε, δεν χρειάζεστε σύνθετες τεχνικές έννοιες, όπως στην περίπτωση κάποιων άλλων παραδόξων· οι έννοιες του «συνόλου» και του «στοιχείου συνόλου» αρκούν. Αλλά αυτή η απλότητα μιλάει ακριβώς για τη θεμελιώδη φύση της: αγγίζει τα βαθύτερα θεμέλια του συλλογισμού μας για τα σύνολα, αφού δεν μιλάει για κάποια ειδικές περιπτώσεις, και γενικά για τα σετ.

Άλλες εκδοχές του παραδόξου

Το παράδοξο του Ράσελ δεν είναι ειδικά μαθηματικό. Χρησιμοποιεί την έννοια του συνόλου, αλλά δεν αγγίζει ειδικές ιδιότητες που σχετίζονται ειδικά με τα μαθηματικά.
Αυτό γίνεται προφανές αν αναδιατυπώσουμε το παράδοξο με καθαρά λογικούς όρους.

Για κάθε ακίνητο μπορεί κανείς, κατά πάσα πιθανότητα, να ρωτήσει αν ισχύει για τον εαυτό του ή όχι.
Η ιδιότητα του να είναι ζεστό, για παράδειγμα, δεν ισχύει για τον εαυτό του, αφού δεν είναι ο ίδιος ζεστός. η ιδιότητα του να είναι συγκεκριμένος επίσης δεν αναφέρεται στον εαυτό της, γιατί είναι μια αφηρημένη ιδιότητα. Αλλά η ιδιότητα του να είναι κανείς αφηρημένος, να είναι αφηρημένος, ισχύει για τον εαυτό του. Ας ονομάσουμε αυτές τις ιδιότητες ανεφάρμοστες για τον εαυτό τους ανεφάρμοστες. Ισχύει η ιδιότητα του να είναι κανείς ανεφάρμοστος για τον εαυτό του; Αποδεικνύεται ότι μια ανεφάρμοστη είναι ανεφάρμοστη μόνο αν δεν είναι. Αυτό είναι φυσικά παράδοξο.
Η λογική εκδοχή της αντινομίας του Russell που σχετίζεται με την ιδιοκτησία είναι εξίσου παράδοξη με τη μαθηματική εκδοχή της που σχετίζεται με τα σύνολα.
Ο Ράσελ πρότεινε επίσης την ακόλουθη δημοφιλή εκδοχή του παραδόξου που ανακάλυψε.

Ας φανταστούμε ότι το συμβούλιο ενός χωριού όριζε τα καθήκοντα του κουρέα ως εξής: να ξυρίζει όλους τους άντρες του χωριού που δεν ξυρίζονται μόνοι τους και μόνο αυτούς τους άνδρες. Πρέπει να ξυριστεί μόνος του; Αν ναι, τότε θα περιποιηθεί αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους, αλλά εκείνους που ξυρίζονται μόνοι τους, δεν πρέπει να ξυρίζονται. Αν όχι, θα είναι ένας από αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους, και ως εκ τούτου θα πρέπει να ξυριστεί μόνος του. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι αυτός ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του αν και μόνο αν δεν ξυριστεί μόνος του. Αυτό φυσικά είναι αδύνατο. Το επιχείρημα για ένα κομμωτήριο βασίζεται στην υπόθεση ότι υπάρχει ένα τέτοιο κομμωτήριο. Η αντίφαση που προκύπτει σημαίνει ότι αυτή η υπόθεση είναι λανθασμένη και δεν υπάρχει κάτοικος του χωριού που να ξυρίζει όλους αυτούς και μόνο εκείνους τους χωρικούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.
Τα καθήκοντα ενός κομμωτή δεν φαίνονται αντιφατικά με την πρώτη ματιά, οπότε το συμπέρασμα ότι δεν μπορεί να υπάρξει ακούγεται κάπως απροσδόκητο. Αλλά αυτό το συμπέρασμα δεν είναι παράδοξο. Η προϋπόθεση που πρέπει να πληροί ο κουρέας του χωριού είναι στην πραγματικότητα εσωτερικά αντιφατική και, επομένως, αδύνατο να εκπληρωθεί. Δεν μπορεί να υπάρχει τέτοιος κουρέας στο χωριό για τον ίδιο λόγο που δεν υπάρχει άνθρωπος που να είναι μεγαλύτερος από τον ίδιο ή που γεννήθηκε πριν από τη γέννησή του.
Το επιχείρημα για το κομμωτήριο μπορεί να ονομαστεί ψευδοπαράδοξο. Στην πορεία του είναι αυστηρά ανάλογο με το παράδοξο του Ράσελ και αυτό είναι που το κάνει ενδιαφέρον. Αλλά και πάλι δεν είναι αληθινό παράδοξο.

Ένα άλλο παράδειγμα του ίδιου ψευδοπαράδοξου είναι το περίφημο επιχείρημα για τον κατάλογο.
Μια συγκεκριμένη βιβλιοθήκη αποφάσισε να συντάξει έναν βιβλιογραφικό κατάλογο, ο οποίος θα περιλαμβάνει όλους εκείνους και μόνο εκείνους τους βιβλιογραφικούς καταλόγους που δεν περιέχουν συνδέσμους προς τον εαυτό τους. Θα έπρεπε ένας τέτοιος κατάλογος να περιλαμβάνει έναν σύνδεσμο προς τον εαυτό του;
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η ιδέα της δημιουργίας ενός τέτοιου καταλόγου δεν είναι εφικτή. απλά δεν μπορεί να υπάρξει, αφού πρέπει ταυτόχρονα να περιλαμβάνει αναφορά στον εαυτό του και όχι να την περιλαμβάνει.
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι η καταλογογράφηση όλων των καταλόγων που δεν περιέχουν αναφορά στον εαυτό τους μπορεί να θεωρηθεί ως μια ατελείωτη, ατέρμονη διαδικασία. Ας υποθέσουμε ότι κάποια στιγμή δημιουργήθηκε ένας κατάλογος, ας πούμε το K1, συμπεριλαμβανομένων όλων των καταλόγων διαφορετικών από αυτόν που δεν περιέχουν συνδέσμους προς τον εαυτό τους. Με τη δημιουργία του Κ1, εμφανίστηκε ένας άλλος κατάλογος που δεν περιείχε σύνδεσμο προς τον εαυτό του. Δεδομένου ότι το πρόβλημα είναι να δημιουργηθεί ένας πλήρης κατάλογος όλων των καταλόγων που δεν αναφέρονται, είναι προφανές ότι το K1 δεν είναι λύση. Δεν αναφέρει έναν από αυτούς τους καταλόγους — τον εαυτό του. Συμπεριλαμβάνοντας αυτή την αναφορά του εαυτού του στο K1, παίρνουμε τον κατάλογο K2. Αναφέρει το Κ1, αλλά όχι το ίδιο το Κ2. Προσθέτοντας μια τέτοια αναφορά στο K2, παίρνουμε KZ, το οποίο είναι και πάλι ελλιπές λόγω του ότι δεν αναφέρει τον εαυτό του. Και συνέχεια χωρίς τέλος.

§ 3. Παράδοξα του Γκρέλινγκ και του Μπέρι

Ένα ενδιαφέρον λογικό παράδοξο ανακάλυψαν οι Γερμανοί λογικοί K. Grelling και L. Nelson (το παράδοξο του Grelling). Αυτό το παράδοξο μπορεί να διατυπωθεί πολύ απλά.

Αυτολογικές και ετερολογικές λέξεις

Ορισμένες λέξεις ιδιοτήτων έχουν την ίδια ιδιότητα που ονομάζουν. Για παράδειγμα, το επίθετο "Ρώσος" είναι το ίδιο ρωσικό, το "πολυσύλλαβο" είναι το ίδιο πολυσύλλαβο και το ίδιο το "πεντασύλλαβο" έχει πέντε συλλαβές. Τέτοιες λέξεις που αναφέρονται στον εαυτό τους ονομάζονται αυτοεκτιμημένες ή αυτόλογες.
Δεν υπάρχουν πολλές παρόμοιες λέξεις· η συντριπτική πλειοψηφία των επιθέτων δεν έχουν τις ιδιότητες που ονομάζουν. Το "New" δεν είναι, φυσικά, νέο, το "hot" είναι hot, το "one-syllable" είναι μία συλλαβή και το "English" είναι αγγλικά. Οι λέξεις που δεν έχουν την ιδιότητα που συμβολίζεται με αυτές ονομάζονται ξένη σημασία ή ετερόλογες. Προφανώς, όλα τα επίθετα που δηλώνουν ιδιότητες που δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε λέξεις θα είναι ετερολογικά.
Αυτή η διαίρεση των επιθέτων σε δύο ομάδες φαίνεται ξεκάθαρη και απαράδεκτη. Μπορεί να επεκταθεί στα ουσιαστικά: «λέξη» είναι λέξη, «ουσιαστικό» είναι ουσιαστικό, αλλά το «ρολόι» δεν είναι ρολόι και το «ρήμα» δεν είναι ρήμα.
Ένα παράδοξο προκύπτει μόλις τίθεται το ερώτημα: σε ποια από τις δύο ομάδες ανήκει το ίδιο το επίθετο «ετερολογικό»; Αν είναι αυτόλογο, έχει την ιδιότητα που υποδηλώνει και πρέπει να είναι ετερόλογη. Αν είναι ετερόλογη, δεν έχει την ιδιότητα που ονομάζει και επομένως πρέπει να είναι αυτόλογη. Υπάρχει ένα παράδοξο.

Κατ' αναλογία με αυτό το παράδοξο, είναι εύκολο να διατυπωθούν άλλα παράδοξα της ίδιας δομής. Για παράδειγμα, κάποιος που σκοτώνει κάθε μη αυτοκτονικό και δεν σκοτώνει κανέναν αυτοκτονεί αυτοκτονεί ή όχι;

Αποδείχθηκε ότι το παράδοξο του Γκρέλιγκ ήταν γνωστό τον Μεσαίωνα ως η αντινομία μιας έκφρασης που δεν ονομάζει τον εαυτό της. Μπορεί κανείς να φανταστεί τη στάση απέναντι στους σοφισμούς και τα παράδοξα στη σύγχρονη εποχή, εάν ένα πρόβλημα που απαιτούσε απάντηση και προκάλεσε ζωηρή συζήτηση ξεχνιόταν ξαφνικά και ανακαλύφθηκε εκ νέου μόλις πεντακόσια χρόνια αργότερα!

Μια άλλη, φαινομενικά απλή αντινομία, υπέδειξε στις αρχές του αιώνα μας ο D. Berry.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο. Το σύνολο των ονομάτων αυτών των αριθμών που είναι, για παράδειγμα, στη ρωσική γλώσσα και περιέχουν λιγότερες από, ας πούμε, εκατό λέξεις, είναι πεπερασμένο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί για τους οποίους δεν υπάρχουν ονόματα στα ρωσικά που να αποτελούνται από λιγότερες από εκατό λέξεις. Μεταξύ αυτών των αριθμών υπάρχει προφανώς ο μικρότερος αριθμός. Δεν μπορεί να ονομαστεί χρησιμοποιώντας μια ρωσική έκφραση που περιέχει λιγότερες από εκατό λέξεις. Αλλά η έκφραση: "Ο μικρότερος φυσικός αριθμός για τον οποίο δεν υπάρχει σύνθετο όνομα στη ρωσική γλώσσα, που αποτελείται από λιγότερες από εκατό λέξεις" είναι ακριβώς το όνομα αυτού του αριθμού! Αυτό το όνομα μόλις διατυπώθηκε στα ρωσικά και περιέχει μόνο δεκαεννέα λέξεις. Ένα προφανές παράδοξο: ο επώνυμος αριθμός αποδείχθηκε ότι ήταν αυτός για τον οποίο δεν υπάρχει όνομα!

§ 4. Άλυτη διαφορά

Ένα διάσημο παράδοξο βασίζεται σε ένα φαινομενικά μικρό περιστατικό που συνέβη πριν από δύο χιλιάδες χρόνια και δεν έχει ξεχαστεί μέχρι σήμερα.

Ο περίφημος σοφιστής Πρωταγόρας, που έζησε τον 5ο αι. π.Χ., ήταν ένας μαθητής ονόματι Εύαθλος, που σπούδασε νομικά. Σύμφωνα με τη συμφωνία που είχε συναφθεί μεταξύ τους, ο Evatl έπρεπε να πληρώσει για την εκπαίδευση μόνο εάν κέρδιζε την πρώτη του δοκιμή. Αν χάσει αυτή τη διαδικασία, δεν υποχρεούται καθόλου να πληρώσει. Ωστόσο, μετά την ολοκλήρωση των σπουδών του, ο Evatl δεν συμμετείχε στις διαδικασίες. Αυτό κράτησε αρκετά, η υπομονή του δασκάλου εξαντλήθηκε και μήνυσε τον μαθητή του. Έτσι, για τον Euathlus αυτή ήταν η πρώτη διαδικασία. Ο Πρωταγόρας αιτιολόγησε το αίτημά του ως εξής:

«Όποια κι αν είναι η απόφαση του δικαστηρίου, ο Evatl θα πρέπει να με πληρώσει». Ή θα κερδίσει αυτή την πρώτη δοκιμή ή θα χάσει. Αν κερδίσει, θα πληρώσει σύμφωνα με τη συμφωνία μας. Αν χάσει θα πληρώσει σύμφωνα με αυτή την απόφαση.

Ο Εύαθλος φαίνεται ότι ήταν ικανός μαθητής, αφού απάντησε στον Πρωταγόρα:

- Πράγματι, ή θα κερδίσω τη δοκιμασία ή θα τη χάσω. Αν κερδίσω, η απόφαση του δικαστηρίου θα με απαλλάξει από την υποχρέωση πληρωμής. Εάν η απόφαση του δικαστηρίου δεν είναι υπέρ μου, σημαίνει ότι έχασα την πρώτη μου υπόθεση και δεν θα πληρώσω λόγω της συμφωνίας μας.

Λύσεις στο παράδοξο του Πρωταγόρα και του Ευάθλου

Συγκλονισμένος από αυτή την εξέλιξη των γεγονότων, ο Πρωταγόρας αφιέρωσε ένα ειδικό δοκίμιο σε αυτή τη διαμάχη με τον Euathlus, «Η Δίκη για την πληρωμή». Δυστυχώς, όπως και τα περισσότερα από όσα έγραψε ο Πρωταγόρας, δεν έχει φτάσει σε εμάς. Παρόλα αυτά, πρέπει να αποτίσουμε φόρο τιμής στον Πρωταγόρα, ο οποίος διέκρινε αμέσως ένα πρόβλημα πίσω από ένα απλό δικαστικό περιστατικό που άξιζε ιδιαίτερης μελέτης.

Ο G. Leibniz, ο ίδιος δικηγόρος με εκπαίδευση, πήρε επίσης αυτή τη διαμάχη στα σοβαρά. Στη διδακτορική του διατριβή, «Μια μελέτη για συγκεχυμένες υποθέσεις στο δίκαιο», προσπάθησε να αποδείξει ότι όλες οι υποθέσεις, ακόμη και οι πιο περίπλοκες, όπως η δίκη του Πρωταγόρα και του Eubatlus, πρέπει να βρουν τη σωστή λύση με βάση την κοινή λογική. Σύμφωνα με τον Leibniz, το δικαστήριο θα πρέπει να αρνηθεί τον Πρωταγόρα για μη έγκαιρη κατάθεση της αξίωσης, αλλά θα πρέπει, ωστόσο, να διατηρήσει το δικαίωμα να απαιτήσει πληρωμή χρημάτων από την Euathlus αργότερα, δηλαδή μετά την πρώτη υπόθεση που κέρδισε.

Πολλές άλλες λύσεις σε αυτό το παράδοξο έχουν προταθεί.

Αναφέρθηκαν, ειδικότερα, στο γεγονός ότι μια δικαστική απόφαση πρέπει να έχει μεγαλύτερη ισχύ από μια ιδιωτική συμφωνία μεταξύ δύο προσώπων. Σε αυτό μπορούμε να απαντήσουμε ότι χωρίς αυτή τη συμφωνία, όσο ασήμαντη κι αν φαίνεται, δεν θα υπήρχε ούτε δικαστήριο ούτε απόφασή του. Άλλωστε, το δικαστήριο πρέπει να λάβει την απόφασή του ακριβώς γι' αυτό και στη βάση του.

Στράφηκαν επίσης στη γενική αρχή ότι κάθε εργασία, άρα και η εργασία του Πρωταγόρα, πρέπει να πληρώνεται. Αλλά είναι γνωστό ότι αυτή η αρχή είχε πάντα εξαιρέσεις, ειδικά σε μια δουλοκτητική κοινωνία. Επιπλέον, απλώς δεν ισχύει για τη συγκεκριμένη κατάσταση της διαφοράς: τελικά, ο Πρωταγόρας, ενώ εγγυάται υψηλό επίπεδο εκπαίδευσης, ο ίδιος αρνήθηκε να δεχθεί πληρωμή εάν ο μαθητής του αποτύγχανε στην πρώτη διαδικασία.

Μερικές φορές μαλώνουν έτσι. Και ο Πρωταγόρας και ο Εύαθλος έχουν και οι δύο εν μέρει δίκιο και κανένας από τους δύο δεν έχει δίκιο γενικά. Καθένας από αυτούς λαμβάνει υπόψη μόνο τις μισές από τις δυνατότητες που είναι ωφέλιμες για τον εαυτό τους. Η πλήρης ή ολοκληρωμένη εξέταση ανοίγει τέσσερις πιθανότητες, από τις οποίες μόνο οι μισές είναι επωφελείς για έναν από τους διαφωνούντες. Ποιες από αυτές τις πιθανότητες θα πραγματοποιηθούν θα το αποφασίσει όχι η λογική, αλλά η ζωή. Εάν η ετυμηγορία των δικαστών έχει μεγαλύτερη ισχύ από τη σύμβαση, ο Euathlus θα πρέπει να πληρώσει μόνο εάν χάσει την υπόθεση, δηλ. με δικαστική απόφαση. Εάν το ιδιωτικό συμφωνητικό τοποθετηθεί υψηλότερα από την απόφαση των κριτών, τότε ο Πρωταγόρας θα λάβει πληρωμή μόνο εάν ο Euathlus χάσει τη διαδικασία, δηλ. δυνάμει συμφωνίας με τον Πρωταγόρα.Αυτή η έφεση στη ζωή μπερδεύει τελείως τα πάντα. Από ποια, αν όχι λογική, μπορούν να καθοδηγούνται οι δικαστές σε συνθήκες όπου όλες οι σχετικές περιστάσεις είναι απολύτως σαφείς; Και τι ηγεσία θα είναι αν ο Πρωταγόρας, που διεκδικεί την πληρωμή μέσω δικαστηρίου, το πετύχει μόνο χάνοντας τη διαδικασία;

Ωστόσο, η λύση του Leibniz, που στην αρχή φαίνεται πειστική, είναι ελαφρώς καλύτερη από την ασαφή αντίθεση λογικής και ζωής. Ουσιαστικά, ο Leibniz προτείνει να αντικατασταθεί αναδρομικά η διατύπωση της σύμβασης και να οριστεί ότι η πρώτη δίκη με την Euathlus, το αποτέλεσμα της οποίας θα κρίνει το ζήτημα της πληρωμής, δεν θα πρέπει να είναι η δίκη του Πρωταγόρα. Αυτή η σκέψη είναι βαθιά, αλλά δεν σχετίζεται με ένα συγκεκριμένο δικαστήριο. Εάν υπήρχε μια τέτοια ρήτρα στην αρχική συμφωνία, δεν θα χρειαζόταν καθόλου δικαστική προσφυγή.

Αν με τη λύση αυτής της δυσκολίας εννοούμε την απάντηση στο ερώτημα αν ο Εύαθλος έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα ή όχι, τότε όλα αυτά, όπως και όλες οι άλλες νοητές λύσεις, είναι φυσικά αβάσιμες. Δεν αντιπροσωπεύουν τίποτα περισσότερο από μια απομάκρυνση από την ουσία της διαμάχης· είναι, θα λέγαμε, σοφιστικά κόλπα και τεχνάσματα σε μια απελπιστική και άλυτη κατάσταση. Για κανένα από τα δύο ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ, ούτε γενικές αρχές που αφορούν τις κοινωνικές σχέσεις είναι ικανές να επιλύσουν τη διαφορά.
Είναι αδύνατο να εκτελεστεί από κοινού μια σύμβαση στην αρχική της μορφή και μια δικαστική απόφαση, όποια και αν είναι η τελευταία. Για να αποδειχθεί αυτό, αρκούν απλά λογικά μέσα. Χρησιμοποιώντας αυτά τα ίδια μέσα, μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι η σύμβαση, παρά την εντελώς αθώα εμφάνισή της, είναι εσωτερικά αντιφατική. Απαιτεί την εφαρμογή μιας λογικά αδύνατης πρότασης: η Evatl πρέπει ταυτόχρονα να πληρώνει για την εκπαίδευση και ταυτόχρονα να μην πληρώνει.

Κανόνες που οδηγούν σε αδιέξοδα

Είναι, βέβαια, δύσκολο για το ανθρώπινο μυαλό, συνηθισμένο όχι μόνο στη δύναμή του, αλλά και στην ευελιξία, ακόμη και στην επινοητικότητά του, να συμβιβαστεί με αυτήν την απόλυτη απελπισία και να παραδεχτεί ότι οδηγείται σε αδιέξοδο. Αυτό είναι ιδιαίτερα δύσκολο όταν η κατάσταση του αδιεξόδου δημιουργείται από το ίδιο το μυαλό: αυτό, ας πούμε, σκοντάφτει από το μπλε και καταλήγει στα δικά του δίκτυα. Και όμως πρέπει να παραδεχτούμε ότι μερικές φορές, και όμως, όχι τόσο σπάνια, συμφωνίες και συστήματα κανόνων, που σχηματίζονται αυθόρμητα ή εισάγονται εσκεμμένα, οδηγούν σε άλυτες, απελπιστικές καταστάσεις.

Ένα παράδειγμα από την πρόσφατη σκακιστική ζωή θα επιβεβαιώσει για άλλη μια φορά αυτή την ιδέα.

Οι διεθνείς κανόνες για τους αγώνες σκακιού υποχρεώνουν τους σκακιστές να καταγράφουν το παιχνίδι κίνηση προς κίνηση καθαρά και ευανάγνωστα. Μέχρι πρόσφατα, οι κανόνες έλεγαν επίσης ότι ένας σκακιστής που, λόγω έλλειψης χρόνου, έχασε να καταγράψει αρκετές κινήσεις πρέπει, «μόλις τελειώσει το πρόβλημα του χρόνου του, να συμπληρώσει αμέσως τη φόρμα του, καταγράφοντας τις χαμένες κινήσεις». Με βάση αυτή την οδηγία, ένας κριτής στη Σκακιστική Ολυμπιάδα του 1980 (Μάλτα) διέκοψε έναν αγώνα υπό μεγάλη πίεση χρόνου και σταμάτησε το ρολόι, δηλώνοντας ότι οι κινήσεις ελέγχου είχαν γίνει και, ως εκ τούτου, ήταν καιρός να τεθούν τα αρχεία των αγώνων στο Σειρά.

«Αλλά με συγχωρείτε», φώναξε ο συμμετέχων, που ήταν στα πρόθυρα της ήττας και υπολόγιζε μόνο στην ένταση των παθών στο τέλος του παιχνιδιού, «εξάλλου, ούτε μια σημαία δεν έχει πέσει ακόμα και κανείς δεν μπορεί ποτέ (αυτό γράφεται επίσης στους κανόνες) πείτε πόσες κινήσεις έχουν γίνει."
Ο κριτής υποστηρίχθηκε, ωστόσο, από τον αρχιδιαιτητή, ο οποίος δήλωσε ότι, όντως, καθώς η χρονική ταλαιπωρία είχε τελειώσει, ήταν απαραίτητο, ακολουθώντας το γράμμα των κανόνων, να ξεκινήσει η καταγραφή των χαμένων κινήσεων.
Δεν είχε νόημα να διαφωνήσουμε σε αυτή την κατάσταση: οι ίδιοι οι κανόνες οδήγησαν σε αδιέξοδο. Το μόνο που έμενε ήταν να αλλάξει η διατύπωσή τους για να μην προκύψουν παρόμοιες περιπτώσεις στο μέλλον.
Αυτό έγινε στο συνέδριο της Διεθνούς Σκακιστικής Ομοσπονδίας, που λάμβανε χώρα την ίδια ώρα: αντί για τις λέξεις «μόλις τελειώσει η πίεση του χρόνου», οι κανόνες έγραφαν τώρα: «μόλις η σημαία δείχνει το τέλος του χρόνος."
Αυτό το παράδειγμα δείχνει ξεκάθαρα πώς να ενεργήσετε σε αδιέξοδες καταστάσεις. Είναι άχρηστο να διαφωνούμε για το ποια πλευρά έχει δίκιο: η διαμάχη είναι άλυτη και δεν θα υπάρξει νικητής. Το μόνο που μένει είναι να συμβιβαστείτε με το παρόν και να φροντίσετε το μέλλον. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αναδιατυπώσετε τις αρχικές συμφωνίες ή κανόνες, ώστε να μην οδηγήσουν κανέναν άλλο στην ίδια απελπιστική κατάσταση.
Φυσικά, μια τέτοια πορεία δράσης δεν είναι λύση σε μια άλυτη διαμάχη ή διέξοδος από μια απελπιστική κατάσταση. Είναι μάλλον μια στάση μπροστά σε ένα ανυπέρβλητο εμπόδιο και ένας δρόμος γύρω από αυτό.

Παράδοξο «Κροκόδειλος και μητέρα»

Στην αρχαία Ελλάδα, η ιστορία του κροκόδειλου και της μητέρας, που συμπίπτει στο λογικό της περιεχόμενο με το παράδοξο του «Πρωταγόρα και Εύαθλος», ήταν πολύ δημοφιλής.
Ένας κροκόδειλος άρπαξε το παιδί της από μια Αιγύπτια που στεκόταν στην όχθη του ποταμού. Στην έκκλησή της να επιστρέψει το παιδί, ο κροκόδειλος, χύνοντας, όπως πάντα, ένα κροκόδειλο δάκρυ, απάντησε:

«Η ατυχία σου με άγγιξε και θα σου δώσω την ευκαιρία να πάρεις πίσω το παιδί σου». Μαντέψτε αν θα σας το δώσω ή όχι. Αν απαντήσεις σωστά, θα επιστρέψω το παιδί. Αν δεν μαντέψεις, δεν θα το χαρίσω.

Αφού σκέφτηκε, η μητέρα απάντησε:

- Δεν θα μου δώσεις το παιδί.

«Δεν θα το καταλάβεις», κατέληξε ο κροκόδειλος. «Ή είπες την αλήθεια ή δεν είπες την αλήθεια». Αν είναι αλήθεια ότι δεν θα χαρίσω το παιδί, δεν θα το χαρίσω, αφού διαφορετικά δεν θα ισχύει αυτό που λέγεται. Αν αυτό που ειπώθηκε δεν είναι αλήθεια, τότε δεν μάντεψες σωστά και δεν θα εγκαταλείψω το παιδί κατόπιν συμφωνίας.

Ωστόσο, η μητέρα δεν βρήκε αυτό το σκεπτικό πειστικό.

«Αλλά αν είπα την αλήθεια, τότε θα μου δώσεις το παιδί, όπως συμφωνήσαμε». Αν δεν μάντεψα ότι δεν θα εγκαταλείψεις το παιδί, τότε πρέπει να μου το δώσεις, διαφορετικά αυτό που είπα δεν θα είναι αναληθές.

Ποιος έχει δίκιο: η μητέρα ή ο κροκόδειλος; Σε τι υποχρεώνει τον κροκόδειλο η υπόσχεση που δίνει; Να χαρίσει το παιδί ή, αντίθετα, να μην το χαρίσει; Και στα δύο ταυτόχρονα. Αυτή η υπόσχεση είναι εσωτερικά αντιφατική, και επομένως δεν εκπληρώνεται από τους νόμους της λογικής.
Ο ιεραπόστολος κατέληξε στους κανίβαλους και έφτασε στην ώρα του για φαγητό. Του επιτρέπουν να επιλέξει σε ποια μορφή θα φάει. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πει κάποια δήλωση με την προϋπόθεση ότι αν αποδειχθεί αληθινή αυτή η δήλωση, θα τον βράσουν και αν αποδειχθεί ψευδής, θα τον τηγανίσουν.

Τι πρέπει να πείτε στον ιεραπόστολο;

Φυσικά πρέπει να πει: «Θα με ψήσεις».

Αν είναι όντως τηγανητό, θα αποδειχθεί ότι είπε την αλήθεια, και αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είναι βραστό. Αν είναι βρασμένο, η δήλωσή του θα είναι ψευδής, και πρέπει απλώς να τηγανιστεί. Οι κανίβαλοι δεν θα έχουν άλλη επιλογή: από το «τηγανητό» προέρχεται το «μάγειρας» και το αντίστροφο.

Αυτό το επεισόδιο με τον πανούργο ιεραπόστολο είναι φυσικά άλλη μια παράφραση της διαμάχης Πρωταγόρα και Ευαθλού.

Το παράδοξο του Σάντσο Πάντσα

Ένα παλιό παράδοξο, γνωστό στην αρχαία Ελλάδα, παίζεται στον «Δον Κιχώτη» του Μ. Θερβάντες. Ο Sancho Panza έγινε κυβερνήτης του νησιού Barataria και διοικεί το δικαστήριο.
Ο πρώτος που ήρθε κοντά του είναι ένας επισκέπτης και του λέει: «Κύριε, ένα συγκεκριμένο κτήμα χωρίζεται στα δύο από ένα ποτάμι με υψηλή στάθμη... Έτσι, υπάρχει μια γέφυρα σε αυτό το ποτάμι, και ακριβώς εκεί στην άκρη υπάρχει μια κρεμάλα και υπάρχει κάτι σαν δικαστήριο, στο οποίο συνήθως κάθονται τέσσερις δικαστές, και κρίνουν με βάση το νόμο που έχει εκδώσει ο ιδιοκτήτης του ποταμού, της γέφυρας και ολόκληρου του κτήματος, ο οποίος νόμος συντάσσεται σε αυτό τρόπος: «Όποιος περνάει από τη γέφυρα αυτού του ποταμού πρέπει να δηλώσει ενόρκως: πού και γιατί πηγαίνει, και όποιος λέει την αλήθεια, ας περάσει εκείνους και εκείνους που λένε ψέματα, χωρίς καμία επιείκεια, να τους στείλουν στην αγχόνη που βρίσκεται εκεί ακριβώς. και να τους εκτελέσεις». Από την ώρα που ψηφίστηκε αυτός ο νόμος σε όλη του τη σφοδρότητα, πολλοί κατάφεραν να περάσουν τη γέφυρα και μόλις οι δικαστές ικανοποιήθηκαν ότι οι περαστικοί έλεγαν την αλήθεια, τους άφησαν να περάσουν. Αλλά τότε μια μέρα κάποιος ορκισμένος, ορκίστηκε και είπε: ορκίζεται ότι ήρθε για να τον κρεμάσουν σε αυτήν ακριβώς την αγχόνη, και για τίποτα άλλο. Αυτός ο όρκος μπέρδεψε τους δικαστές και είπαν: «Αν επιτρέψουμε σε αυτόν τον άνθρωπο να συνεχίσει ανεμπόδιστα, θα σημαίνει ότι έχει παραβιάσει τον όρκο και, σύμφωνα με το νόμο, είναι ένοχος θανάτου. αν τον κρεμάσουμε, τότε ορκίστηκε ότι ήρθε μόνο για να κρεμαστεί σε αυτή την αγχόνη, επομένως, ο όρκος του, όπως αποδεικνύεται, δεν είναι ψευδής, και βάσει του ίδιου νόμου θα έπρεπε να αφεθεί». Και σας ρωτάω λοιπόν, κύριε Κυβερνήτη, τι πρέπει να κάνουν οι δικαστές με αυτόν τον άνθρωπο, γιατί είναι ακόμα μπερδεμένοι και διστακτικοί...
Ο Σάντσο πρότεινε, ίσως όχι χωρίς πονηριά: αφήστε το μισό από εκείνον που είπε την αλήθεια να περάσει, και το μισό που είπε ψέματα να κρεμαστεί, και έτσι οι κανόνες για τη διέλευση της γέφυρας θα τηρηθούν πλήρως. Αυτό το απόσπασμα είναι ενδιαφέρον από πολλές απόψεις.
Πρώτα απ 'όλα, είναι μια ξεκάθαρη απεικόνιση του γεγονότος ότι η απελπιστική κατάσταση που περιγράφεται στο παράδοξο μπορεί κάλλιστα να συναντηθεί —και όχι σε καθαρή θεωρία, αλλά στην πράξη— αν όχι από ένα πραγματικό πρόσωπο, τουλάχιστον από έναν λογοτεχνικό ήρωα.

Η λύση που πρότεινε ο Σάντσο Πάντσα, φυσικά, δεν ήταν λύση στο παράδοξο. Αλλά αυτή ακριβώς ήταν η λύση που έμενε μόνο να καταφύγει στην κατάστασή του.
Μια φορά κι έναν καιρό, ο Μέγας Αλέξανδρος, αντί να λύσει τον περίεργο γόρδιο δεσμό, που κανείς δεν είχε καταφέρει ποτέ, απλώς τον έκοψε. Το ίδιο έκανε και ο Σάντσο. Δεν είχε νόημα να προσπαθήσουμε να λύσουμε το παζλ με τους δικούς του όρους· ήταν απλώς άλυτο. Το μόνο που έμεινε ήταν να απορρίψουμε αυτές τις συνθήκες και να εισαγάγουμε τους δικούς μας.
Και μια στιγμή. Με αυτό το επεισόδιο, ο Θερβάντες καταδικάζει ξεκάθαρα την υπερβολικά τυπική κλίμακα της μεσαιωνικής δικαιοσύνης, διαποτισμένη από το πνεύμα της σχολαστικής λογικής. Πόσο διαδεδομένες όμως στην εποχή του -και αυτό ήταν πριν από περίπου τετρακόσια χρόνια- ήταν πληροφορίες από τον χώρο της λογικής! Αυτό το παράδοξο δεν το γνωρίζει μόνο ο ίδιος ο Θερβάντες. Ο συγγραφέας βρίσκει δυνατό να αποδώσει στον ήρωά του, έναν αγράμματο αγρότη, την ικανότητα να καταλάβει ότι βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα άλυτο έργο!

§ 5. Άλλα παράδοξα

Τα παραπάνω παράδοξα είναι επιχειρήματα που καταλήγουν σε αντίφαση. Υπάρχουν όμως και άλλα είδη παραδόξων στη λογική. Επισημαίνουν επίσης κάποιες δυσκολίες και προβλήματα, αλλά το κάνουν αυτό με λιγότερο σκληρή και ασυμβίβαστη μορφή. Αυτά, συγκεκριμένα, είναι τα παράδοξα που συζητούνται παρακάτω.

Παράδοξα ανακριβών εννοιών

Οι περισσότερες έννοιες όχι μόνο στη φυσική γλώσσα, αλλά και στη γλώσσα της επιστήμης είναι ανακριβείς ή, όπως ονομάζονται επίσης, ασαφείς. Αυτό συχνά αποδεικνύεται ότι είναι η αιτία παρεξηγήσεων, διαφωνιών, ακόμα και απλώς οδηγεί σε αδιέξοδες καταστάσεις.
Εάν η ιδέα είναι ασαφής, το όριο της περιοχής των αντικειμένων στα οποία εφαρμόζεται δεν έχει ευκρίνεια και είναι θολό. Πάρτε, για παράδειγμα, την έννοια του «σωρού». Ένας κόκκος (κόκκος άμμου, πέτρας κ.λπ.) δεν είναι σωρός. Χίλιοι κόκκοι είναι προφανώς ένας σωρός. Τι γίνεται με τρεις κόκκους; Τι θα λέγατε για δέκα; Ποιος αριθμός κόκκων προστίθεται για να σχηματιστεί ένας σωρός; Όχι πολύ σαφές. Με τον ίδιο τρόπο, δεν είναι ξεκάθαρο με την αφαίρεση ποιου κόκκου εξαφανίζεται ο σωρός.
Τα εμπειρικά χαρακτηριστικά «μεγάλο», «βαρύ», «στενό» κ.λπ. είναι ανακριβή. Τέτοιες συνηθισμένες έννοιες όπως «σοφός», «άλογο», «σπίτι» κ.λπ. είναι ανακριβείς.
Δεν υπάρχει κόκκος άμμου που, όταν αφαιρεθεί, μπορούμε να πούμε ότι όταν αφαιρεθεί, αυτό που μένει δεν μπορεί πλέον να ονομαστεί σπίτι. Αυτό όμως φαίνεται να σημαίνει ότι σε κανένα σημείο της σταδιακής αποξήλωσης του σπιτιού -μέχρι την πλήρη εξαφάνισή του- δεν υπάρχει βάση για να δηλωθεί ότι το σπίτι δεν υπάρχει! Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράδοξο και αποθαρρυντικό.
Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ο συλλογισμός σχετικά με την αδυναμία σχηματισμού σωρού πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη γνωστή μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Ένας κόκκος δεν σχηματίζει σωρό. Αν n κόκκοι δεν σχηματίζουν σωρούς, τότε n+1 κόκκοι δεν σχηματίζουν σωρούς. Επομένως, κανένας αριθμός κόκκων δεν μπορεί να σχηματίσει σωρό.
Η πιθανότητα αυτή και παρόμοιες αποδείξεις να οδηγήσουν σε παράλογα συμπεράσματα σημαίνει ότι η αρχή της μαθηματικής επαγωγής έχει περιορισμένο πεδίο εφαρμογής. Δεν πρέπει να χρησιμοποιείται σε συλλογισμούς με ανακριβείς, ασαφείς έννοιες.

Ένα καλό παράδειγμα του πώς αυτές οι έννοιες μπορούν να οδηγήσουν σε δυσεπίλυτες διαφορές είναι μια περίεργη δίκη που έλαβε χώρα το 1927 στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο γλύπτης C. Brancusi προσέφυγε στα δικαστήρια ζητώντας να αναγνωριστούν τα έργα του ως έργα τέχνης. Ανάμεσα στα έργα που στάλθηκαν στη Νέα Υόρκη για την έκθεση ήταν το γλυπτό «Bird», το οποίο θεωρείται πλέον κλασικό του αφηρημένου στυλ. Πρόκειται για μια διαμορφωμένη στήλη από στιλβωμένο μπρούντζο ύψους περίπου ενάμιση μέτρου, που δεν έχει καμία εξωτερική ομοιότητα με πουλί. Οι τελωνειακοί αρνήθηκαν κατηγορηματικά να αναγνωρίσουν τις αφηρημένες δημιουργίες του Μπρανκούζι έργα τέχνης. Τα έβαλαν στην επικεφαλίδα «Μεταλλικά νοσοκομειακά σκεύη και είδη οικιακής χρήσης» και τους επέβαλαν βαρύ δασμό. Αγανακτισμένος ο Μπρανκούζι κατέθεσε μήνυση.

Το έθιμο υποστήριξαν καλλιτέχνες – μέλη της Εθνικής Ακαδημίας, που υπερασπίστηκαν τις παραδοσιακές τεχνικές στην τέχνη. Ενήργησαν ως μάρτυρες υπεράσπισης στη δίκη και επέμειναν κατηγορηματικά ότι η προσπάθεια να χαρακτηριστεί το «The Bird» ως έργο τέχνης ήταν απλώς μια απάτη.
Αυτή η σύγκρουση υπογραμμίζει ξεκάθαρα τη δυσκολία χρήσης της έννοιας του «έργου τέχνης». Η γλυπτική θεωρείται παραδοσιακά τύπος εικαστικές τέχνες. Αλλά ο βαθμός ομοιότητας μιας γλυπτικής εικόνας με το πρωτότυπο μπορεί να ποικίλλει εντός πολύ μεγάλων ορίων. Και σε ποιο σημείο μια γλυπτική εικόνα, που απομακρύνεται όλο και περισσότερο από το πρωτότυπο, παύει να είναι έργο τέχνης και γίνεται «μεταλλικό σκεύος»; Αυτό το ερώτημα είναι τόσο δύσκολο να απαντηθεί όσο το ερώτημα πού είναι τα σύνορα μεταξύ ενός σπιτιού και των ερειπίων του, μεταξύ ενός αλόγου με ουρά και ενός αλόγου χωρίς ουρά κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, οι μοντερνιστές είναι γενικά πεπεισμένοι ότι η γλυπτική είναι ένα αντικείμενο εκφραστικής μορφής και δεν χρειάζεται να είναι εικόνα.

Επομένως, ο χειρισμός ανακριβών εννοιών απαιτεί μια ορισμένη προσοχή. Δεν είναι καλύτερα να τα εγκαταλείψουμε τελείως;

Ο Γερμανός φιλόσοφος E. Husserl είχε την τάση να απαιτεί από τη γνώση τέτοια ακραία αυστηρότητα και ακρίβεια που δεν συναντάται ούτε στα μαθηματικά. Από αυτή την άποψη, οι βιογράφοι του Husserl θυμούνται ειρωνικά ένα περιστατικό που του συνέβη στην παιδική του ηλικία. Του έδωσαν ένα μαχαίρι και, αποφασίζοντας να κάνει τη λεπίδα εξαιρετικά κοφτερή, την ακόνισε μέχρι που δεν έμεινε τίποτα από τη λεπίδα.
Οι πιο ακριβείς έννοιες είναι προτιμότερες από τις ανακριβείς σε πολλές περιπτώσεις. Η συνήθης επιθυμία να διευκρινιστούν οι έννοιες που χρησιμοποιούνται είναι αρκετά δικαιολογημένη. Αλλά πρέπει, φυσικά, να έχει τα όριά του. Ακόμη και στη γλώσσα της επιστήμης, ένα σημαντικό μέρος των εννοιών είναι ανακριβείς. Και αυτό δεν οφείλεται στα υποκειμενικά και τυχαία λάθη μεμονωμένων επιστημόνων, αλλά στην ίδια τη φύση της επιστημονικής γνώσης. Στη φυσική γλώσσα, η συντριπτική πλειοψηφία των ανακριβών εννοιών. αυτό μιλά, μεταξύ άλλων, για την ευελιξία και την κρυμμένη του δύναμη. Όποιος απαιτεί εξαιρετική ακρίβεια από όλες τις έννοιες κινδυνεύει να μείνει χωρίς γλώσσα εντελώς. «Στερήστε τις λέξεις από κάθε αμφισημία, κάθε αβεβαιότητα», έγραψε ο Γάλλος αισθητικός J. Joubert, «μετατρέψτε τις... σε μονοψήφια - το παιχνίδι θα αφήσει τον λόγο, και μαζί του την ευγλωττία και την ποίηση: ό,τι είναι κινητό και μεταβλητό στις στοργές ψυχή. , δεν θα μπορέσει να βρει την έκφρασή του. Μα τι λέω: στερήστε... Θα πω κι άλλα. Στέρησε από μια λέξη κάθε ανακρίβεια και θα στερηθείς ακόμη και αξιώματα».
Για πολύ καιρό, τόσο οι λογικοί όσο και οι μαθηματικοί δεν έδιναν σημασία στις δυσκολίες που συνδέονται με τις ασαφείς έννοιες και τα αντίστοιχα σύνολά τους. Το ερώτημα τέθηκε ως εξής: οι έννοιες πρέπει να είναι ακριβείς και κάθε τι ασαφές είναι ανάξιο σοβαρού ενδιαφέροντος. Τις τελευταίες δεκαετίες, ωστόσο, αυτή η υπερβολικά αυστηρή στάση έχει χάσει την ελκυστικότητά της. Έχουν κατασκευαστεί λογικές θεωρίες που λαμβάνουν ειδικά υπόψη τη μοναδικότητα του συλλογισμού με ανακριβείς έννοιες.
Η μαθηματική θεωρία των λεγόμενων ασαφών συνόλων, συλλογών αντικειμένων που δεν έχουν καθοριστεί σωστά, αναπτύσσεται ενεργά.
Η ανάλυση των προβλημάτων ανακρίβειας είναι ένα βήμα προς την προσέγγιση της λογικής στην πρακτική της συνηθισμένης σκέψης. Και μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα φέρει πολλά ακόμα ενδιαφέροντα αποτελέσματα.

Παράδοξα επαγωγικής λογικής

Δεν υπάρχει, ίσως, κλάδος της λογικής που να μην έχει τα δικά του παράδοξα.
Η επαγωγική λογική έχει τα δικά της παράδοξα, τα οποία έχουν καταπολεμηθεί ενεργά, αλλά μέχρι στιγμής χωρίς ιδιαίτερη επιτυχία, για σχεδόν μισό αιώνα. Ιδιαίτερα ενδιαφέρον είναι το παράδοξο επιβεβαίωσης που ανακάλυψε ο Αμερικανός φιλόσοφος Κ. Χέμπελ. Είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι οι γενικές διατάξεις, ιδίως οι επιστημονικοί νόμοι, επιβεβαιώνονται από τα θετικά τους παραδείγματα. Αν λάβουμε υπόψη, ας πούμε, τη δήλωση «Όλα τα Α είναι Β», τότε τα θετικά της παραδείγματα θα είναι αντικείμενα που έχουν ιδιότητες Α και Β. Ειδικότερα, τα υποστηρικτικά παραδείγματα για τη δήλωση «Όλα τα κοράκια είναι μαύρα» είναι αντικείμενα που είναι και τα δύο κοράκια και μαύρο. Αυτή η δήλωση είναι, ωστόσο, ισοδύναμη με τη δήλωση «Όλα τα πράγματα που δεν είναι μαύρα δεν είναι κοράκια», και η επιβεβαίωση του δεύτερου πρέπει επίσης να είναι επιβεβαίωση του πρώτου. Αλλά «Ό,τι δεν είναι μαύρο δεν είναι κοράκι» επιβεβαιώνεται από κάθε περίπτωση μη μαύρου αντικειμένου που δεν είναι κοράκι. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι οι παρατηρήσεις «Η αγελάδα είναι λευκή», «Τα παπούτσια είναι καφέ» κ.λπ. επιβεβαιώστε τη δήλωση "Όλα τα κοράκια είναι μαύρα".

Ένα απροσδόκητο παράδοξο αποτέλεσμα προκύπτει από φαινομενικά αθώες εγκαταστάσεις.

Στη λογική των κανόνων, μια σειρά από νόμους του προκαλούν ανησυχία. Όταν διατυπώνονται με ουσιαστικούς όρους, η ασυνέπειά τους με τις συνήθεις έννοιες του σωστού και του λάθους γίνεται εμφανής. Για παράδειγμα, ένας από τους νόμους λέει ότι από την εντολή "Στείλτε ένα γράμμα!" ακολουθεί η σειρά «Στείλτε το γράμμα ή κάψτε το!».
Ένας άλλος νόμος ορίζει ότι αν κάποιος παραβεί ένα από τα καθήκοντά του, έχει το δικαίωμα να κάνει ό,τι θέλει. Η λογική μας διαίσθηση δεν θέλει να τα βάλει με αυτού του είδους τους «νόμους υποχρεώσεων».
Στη λογική της γνώσης συζητείται εντατικά το παράδοξο της λογικής παντογνωσίας. Ισχυρίζεται ότι ένας άνθρωπος γνωρίζει όλες τις λογικές συνέπειες που απορρέουν από τις θέσεις που παίρνει. Για παράδειγμα, εάν ένα άτομο γνωρίζει τα πέντε αξιώματα της γεωμετρίας του Ευκλείδη, τότε, επομένως, γνωρίζει όλη αυτή τη γεωμετρία, αφού προκύπτει από αυτά. Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια. Ένα άτομο μπορεί να συμφωνήσει με τα αξιώματα και ταυτόχρονα να μην μπορεί να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα και επομένως να αμφιβάλλει ότι είναι γενικά αληθές.

§ 6. Τι είναι ένα λογικό παράδοξο

Δεν υπάρχει εξαντλητικός κατάλογος λογικών παραδόξων και είναι αδύνατο.
Τα θεωρούμενα παράδοξα είναι μόνο ένα μέρος όλων αυτών που έχουν ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής. Είναι πιθανό να ανακαλυφθούν πολλά άλλα παράδοξα στο μέλλον, ακόμη και εντελώς νέοι τύποι αυτών. Η ίδια η έννοια του παραδόξου δεν είναι τόσο σαφής ώστε να είναι δυνατό να συνταχθεί μια λίστα με τουλάχιστον ήδη γνωστά παράδοξα.
«Τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων είναι ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα, όχι όμως για τα μαθηματικά, αλλά μάλλον για τη λογική και τη θεωρία της γνώσης», γράφει ο Αυστριακός μαθηματικός και λογικός K. Gödel. «Η λογική είναι συνεπής. Δεν υπάρχουν λογικά παράδοξα», λέει ο μαθηματικός D. Bochvar. Τέτοιες αποκλίσεις είναι άλλοτε σημαντικές, άλλοτε λεκτικές. Το θέμα είναι σε μεγάλο βαθμό στο τι ακριβώς εννοείται με το λογικό παράδοξο.

Η ιδιαιτερότητα των λογικών παραδόξων

Απαραίτητο χαρακτηριστικό των λογικών παραδόξων είναι το λογικό λεξικό.
Τα παράδοξα που είναι λογικά πρέπει να διατυπώνονται με λογικούς όρους. Ωστόσο, στη λογική δεν υπάρχουν σαφή κριτήρια για τη διαίρεση των όρων σε λογικούς και μη. Η λογική, που ασχολείται με την ορθότητα του συλλογισμού, επιδιώκει να μειώσει στο ελάχιστο τις έννοιες από τις οποίες εξαρτάται η ορθότητα των πρακτικά εφαρμοσμένων συμπερασμάτων. Αλλά αυτό το ελάχιστο δεν είναι προκαθορισμένο με σαφήνεια. Επιπλέον, οι μη λογικές δηλώσεις μπορούν επίσης να διατυπωθούν με λογικούς όρους. Το αν ένα συγκεκριμένο παράδοξο χρησιμοποιεί μόνο καθαρά λογικές προϋποθέσεις δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με σαφήνεια.
Τα λογικά παράδοξα δεν διαχωρίζονται αυστηρά από όλα τα άλλα παράδοξα, όπως τα δεύτερα δεν διακρίνονται ξεκάθαρα από καθετί μη παράδοξο και συνεπές με τις επικρατούσες ιδέες. Στην αρχή της μελέτης των λογικών παραδόξων, φαινόταν ότι μπορούσαν να διακριθούν από την παραβίαση κάποιας ανεξερεύνητης ακόμη θέσης ή κανόνα λογικής. Η αρχή του φαύλου κύκλου που εισήγαγε ο B. Russell ήταν ιδιαίτερα ενεργή στη διεκδίκηση του ρόλου ενός τέτοιου κανόνα. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι μια συλλογή αντικειμένων δεν μπορεί να περιέχει μέλη που ορίζονται μόνο από την ίδια συλλογή.
Όλα τα παράδοξα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό - την αυτο-εφαρμογή ή την κυκλικότητα. Σε καθένα από αυτά, το εν λόγω αντικείμενο χαρακτηρίζεται από ένα ορισμένο σύνολο αντικειμένων στα οποία ανήκει το ίδιο. Αν επιλέξουμε, για παράδειγμα, το πιο πονηρό άτομο, το κάνουμε αυτό με τη βοήθεια ενός πληθυσμού ανθρώπων, στους οποίους αυτό το άτομο. Και αν πούμε: «Αυτή η δήλωση είναι ψευδής», χαρακτηρίζουμε την εν λόγω δήλωση με αναφορά στο σύνολο όλων των ψευδών δηλώσεων που την περιλαμβάνει.

Σε όλα τα παράδοξα λαμβάνει χώρα η αυτο-εφαρμογή των εννοιών, που σημαίνει ότι υπάρχει, σαν να λέγαμε, μια κίνηση σε κύκλο, που τελικά οδηγεί στην αφετηρία. Στην προσπάθεια να χαρακτηρίσουμε ένα αντικείμενο που μας ενδιαφέρει, στρεφόμαστε στο σύνολο των αντικειμένων που το περιλαμβάνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι για την οριστικότητά του χρειάζεται το ίδιο το αντικείμενο και δεν μπορεί να γίνει σαφώς κατανοητό χωρίς αυτό. Σε αυτόν τον κύκλο, ίσως, βρίσκεται η πηγή των παραδόξων.
Η κατάσταση περιπλέκεται, ωστόσο, από το γεγονός ότι ένας τέτοιος κύκλος υπάρχει σε πολλά εντελώς μη παράδοξα επιχειρήματα. Το Circular είναι μια τεράστια ποικιλία από τα πιο συνηθισμένα, ακίνδυνα και ταυτόχρονα βολικούς τρόπουςεκφράσεις. Παραδείγματα όπως «η μεγαλύτερη από όλες τις πόλεις», «ο μικρότερος από όλους τους φυσικούς αριθμούς», «ένα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου σιδήρου» κ.λπ., δείχνουν ότι δεν οδηγεί κάθε περίπτωση αυτοεφαρμογής σε αντίφαση και ότι είναι σημαντικό όχι μόνο στη συνηθισμένη γλώσσα, αλλά και στη γλώσσα της επιστήμης.
Επομένως, η απλή αναφορά στη χρήση αυτοεφαρμοζόμενων εννοιών δεν αρκεί για να δυσφημήσει τα παράδοξα. Χρειάζεται κάποιο πρόσθετο κριτήριο για τον διαχωρισμό της αυτο-εφαρμογής, που οδηγεί σε ένα παράδοξο, από όλες τις άλλες περιπτώσεις.
Υπήρχαν πολλές προτάσεις για αυτό το θέμα, αλλά ποτέ δεν βρέθηκε μια επιτυχημένη διευκρίνιση της κυκλικότητας. Αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να χαρακτηριστεί η κυκλικότητα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κυκλικός συλλογισμός να οδηγεί σε ένα παράδοξο και κάθε παράδοξο είναι το αποτέλεσμα κάποιου κυκλικού συλλογισμού.
Μια προσπάθεια να βρεθεί κάποια συγκεκριμένη αρχή λογικής, η παραβίαση της οποίας θα ήταν διακριτικό χαρακτηριστικόόλα τα λογικά παράδοξα, δεν οδήγησαν σε κάτι συγκεκριμένο.
Αναμφίβολα, κάποια ταξινόμηση των παραδόξων θα ήταν χρήσιμη, χωρίζοντάς τα σε τύπους και τύπους, ομαδοποιώντας ορισμένα παράδοξα και αντιπαραβάλλοντάς τα με άλλα. Ωστόσο και σε αυτό το θέμα δεν επιτεύχθηκε τίποτα μόνιμο.

Ο Άγγλος λογικός F. Ramsay, που πέθανε το 1930, όταν δεν ήταν ακόμη είκοσι επτά ετών, πρότεινε να χωριστούν όλα τα παράδοξα σε συντακτικά και σημασιολογικά. Το πρώτο περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το παράδοξο του Russell, το δεύτερο περιλαμβάνει τα παράδοξα «Liar», Grelling κ.λπ.
Σύμφωνα με τον Ramsey, τα παράδοξα της πρώτης ομάδας περιέχουν μόνο έννοιες που ανήκουν στη λογική ή στα μαθηματικά. Οι τελευταίες περιλαμβάνουν έννοιες όπως «αλήθεια», «προσδιορισμός», «ονομασία», «γλώσσα», οι οποίες δεν είναι αυστηρά μαθηματικές, αλλά μάλλον σχετίζονται με τη γλωσσολογία ή ακόμα και τη θεωρία της γνώσης. Τα σημασιολογικά παράδοξα φαίνεται να οφείλουν την εμφάνισή τους όχι σε κάποιο λάθος στη λογική, αλλά στην ασάφεια ή ασάφεια κάποιων μη λογικών εννοιών, επομένως τα προβλήματα που θέτουν αφορούν τη γλώσσα και πρέπει να λυθούν από τη γλωσσολογία.

Φαινόταν στον Ramsey ότι οι μαθηματικοί και οι λογικοί δεν είχαν καμία ανάγκη να ενδιαφέρονται για τα σημασιολογικά παράδοξα. Αργότερα, ωστόσο, αποδείχθηκε ότι μερικά από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα της σύγχρονης λογικής προέκυψαν ακριβώς σε σχέση με μια πιο εις βάθος μελέτη ακριβώς αυτών των μη λογικών παραδόξων.
Η διαίρεση των παραδόξων που πρότεινε ο Ramsey χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχή και διατηρεί κάποια σημασία σήμερα. Ταυτόχρονα, γίνεται ολοένα και πιο σαφές ότι αυτή η διαίρεση είναι μάλλον ασαφής και βασίζεται κυρίως σε παραδείγματα παρά σε μια εις βάθος συγκριτική ανάλυση των δύο ομάδων παραδόξων. Οι σημασιολογικές έννοιες είναι τώρα ακριβείς ορισμούς, και είναι δύσκολο να μην παραδεχτούμε ότι αυτές οι έννοιες σχετίζονται πραγματικά με τη λογική. Με την ανάπτυξη της σημασιολογίας, η οποία ορίζει τις βασικές της έννοιες με όρους θεωρίας συνόλων, η διάκριση που κάνει ο Ramsey γίνεται όλο και πιο θολή.

Παράδοξα και σύγχρονη λογική

Ποια συμπεράσματα για τη λογική προκύπτουν από την ύπαρξη παραδόξων;
Καταρχάς, η παρουσία ενός μεγάλου αριθμού παραδόξων μιλά για τη δύναμη της λογικής ως επιστήμης και όχι για την αδυναμία της, όπως μπορεί να φαίνεται.

Δεν είναι τυχαίο ότι η ανακάλυψη των παραδόξων συνέπεσε με την περίοδο της πιο εντατικής ανάπτυξης της σύγχρονης λογικής και των μεγαλύτερων επιτυχιών της.
Τα πρώτα παράδοξα ανακαλύφθηκαν πριν ακόμη από την εμφάνιση της λογικής ως ειδικής επιστήμης. Πολλά παράδοξα ανακαλύφθηκαν στο Μεσαίωνα. Αργότερα όμως αποδείχτηκαν ξεχασμένα και ανακαλύφθηκαν ξανά στον αιώνα μας.
Οι μεσαιωνικοί λογικοί δεν γνώριζαν τις έννοιες του "συνόλου" και του "στοιχείου ενός συνόλου", οι οποίες εισήχθησαν στην επιστήμη μόνο στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Αλλά η αίσθηση των παραδόξων ήταν τόσο ακονισμένη στον Μεσαίωνα που ήδη εκείνη την εποχή εκφράστηκαν ορισμένες ανησυχίες σχετικά με τις αυτοεφαρμοστέες έννοιες. Το απλούστερο παράδειγμα είναι η έννοια του «να είσαι το στοιχείο του εαυτού σου», που εμφανίζεται σε πολλά από τα τρέχοντα παράδοξα.
Ωστόσο, τέτοιες ανησυχίες, όπως όλες οι προειδοποιήσεις σχετικά με τα παράδοξα γενικά, δεν ήταν αρκετά συστηματικές και σαφείς μέχρι τον αιώνα μας. Δεν οδήγησαν σε σαφείς προτάσεις για αναθεώρηση των συνήθων τρόπων σκέψης και έκφρασης.
Μόνο η σύγχρονη λογική έφερε από τη λήθη το ίδιο το πρόβλημα των παραδόξων και ανακάλυψε ή ανακάλυψε εκ νέου τα περισσότερα από τα συγκεκριμένα λογικά παράδοξα. Έδειξε περαιτέρω ότι οι μέθοδοι σκέψης που παραδοσιακά μελετώνται από τη λογική είναι εντελώς ανεπαρκείς για την εξάλειψη των παραδόξων και υπέδειξε θεμελιωδώς νέες μεθόδους για την αντιμετώπισή τους.
Τα παράδοξα θέτουν ένα σημαντικό ερώτημα: πού, στην πραγματικότητα, μας αποτυγχάνουν κάποιες συμβατικές μέθοδοι σχηματισμού εννοιών και μέθοδοι συλλογισμού; Άλλωστε, έμοιαζαν απόλυτα φυσικοί και πειστικοί, μέχρι που αποδείχθηκε ότι ήταν παράδοξοι.

Τα παράδοξα υπονομεύουν την πεποίθηση ότι οι συνήθεις μέθοδοι θεωρητικής σκέψης από μόνες τους και χωρίς ιδιαίτερο έλεγχο πάνω τους παρέχουν αξιόπιστη πρόοδο προς την αλήθεια.
Απαιτώντας μια ριζική αλλαγή σε μια υπερβολικά εύπιστη προσέγγιση της θεωρίας, τα παράδοξα αντιπροσωπεύουν μια απότομη κριτική της λογικής στην αφελή, διαισθητική της μορφή. Παίζουν το ρόλο ενός παράγοντα που ελέγχει και θέτει περιορισμούς στον τρόπο κατασκευής των απαγωγικών συστημάτων λογικής. Και αυτός ο ρόλος μπορεί να συγκριθεί με τον ρόλο ενός πειράματος που ελέγχει την ορθότητα υποθέσεων σε επιστήμες όπως η φυσική και η χημεία και αναγκάζει να γίνουν αλλαγές σε αυτές τις υποθέσεις.
Ένα παράδοξο σε μια θεωρία μιλά για την ασυμβατότητα των υποθέσεων που τη διέπουν. Λειτουργεί ως έγκαιρα ανιχνευμένο σύμπτωμα της νόσου, χωρίς το οποίο θα μπορούσε να είχε αγνοηθεί.
Φυσικά, η ασθένεια εκδηλώνεται με διάφορους τρόπους και στο τέλος μπορεί να αποκαλυφθεί χωρίς τέτοια οξεία συμπτώματα όπως τα παράδοξα. Ας πούμε, τα θεμέλια της θεωρίας συνόλων θα είχαν αναλυθεί και διευκρινιστεί ακόμα κι αν δεν είχαν ανακαλυφθεί παράδοξα σε αυτόν τον τομέα. Αλλά δεν θα υπήρχε η οξύτητα και ο επείγων χαρακτήρας με τον οποίο τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν σε αυτό έθεσαν το πρόβλημα της αναθεώρησης της θεωρίας συνόλων.

Μια εκτενής βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη στα παράδοξα και έχει προταθεί ένας μεγάλος αριθμός εξηγήσεων. Αλλά καμία από αυτές τις εξηγήσεις δεν είναι γενικά αποδεκτή και δεν υπάρχει πλήρης συμφωνία για την προέλευση των παραδόξων και τους τρόπους για να απαλλαγούμε από αυτά.
«Τα τελευταία εξήντα χρόνια, εκατοντάδες βιβλία και άρθρα έχουν αφιερωθεί στον στόχο της επίλυσης παραδόξων, αλλά τα αποτελέσματα είναι εκπληκτικά φτωχά σε σύγκριση με τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν», γράφει ο A. Frenkel. «Φαίνεται», καταλήγει η ανάλυσή του για τα παράδοξα, ο Χ. Κάρι, «ότι απαιτείται πλήρης μεταρρύθμιση της λογικής και η μαθηματική λογική μπορεί να γίνει το κύριο εργαλείο για την πραγματοποίηση αυτής της μεταρρύθμισης».

Εάν δεν είστε εντελώς μπερδεμένοι μετά την ανάγνωση αυτής της συλλογής, τότε δεν σκέφτεστε αρκετά καθαρά.
Από την αρχαιότητα, οι επιστήμονες και οι στοχαστές αγαπούσαν να διασκεδάζουν τους εαυτούς τους και τους συναδέλφους τους θέτοντας άλυτα προβλήματα και διατυπώνοντας διάφορα είδη παραδόξων. Μερικά από αυτά τα πειράματα σκέψης παραμένουν σχετικά για χιλιάδες χρόνια, γεγονός που υποδεικνύει τις ατέλειες πολλών δημοφιλών επιστημονικών μοντέλων και «τρυπών» σε γενικά αποδεκτές θεωρίες που θεωρούνται από καιρό θεμελιώδεις. Σας προσκαλούμε να αναλογιστείτε τα πιο ενδιαφέροντα και εκπληκτικά παράδοξα, τα οποία, όπως λένε τώρα, «τράβηξαν τα μυαλά» περισσότερων της μιας γενιάς λογικών, φιλοσόφων και μαθηματικών.
Απορία "Ο Αχιλλέας και η Χελώνα"
Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας είναι μια από τις αποριές (λογικά σωστές αλλά αντιφατικές δηλώσεις) που διατύπωσε ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελέας τον 5ο αιώνα π.Χ. Η ουσία του είναι η εξής: ο θρυλικός ήρωας Αχιλλέας αποφάσισε να αγωνιστεί σε έναν αγώνα με μια χελώνα. Όπως γνωρίζετε, οι χελώνες δεν είναι γνωστές για την ευκινησία τους, έτσι ο Αχιλλέας έδωσε στον αντίπαλό του ένα προβάδισμα στα 500 μ. Όταν η χελώνα ξεπεράσει αυτήν την απόσταση, ο ήρωας ξεκινά για καταδίωξη με ταχύτητα 10 φορές μεγαλύτερη, δηλαδή ενώ η χελώνα σέρνεται 50 μ., ο Αχιλλέας καταφέρνει να τρέξει το χάντικαπ των 500 μ. που του δόθηκε. Στη συνέχεια, ο δρομέας ξεπερνά τα επόμενα 50 μέτρα, αλλά αυτή τη στιγμή η χελώνα σέρνεται μακριά άλλα 5 μέτρα, φαίνεται ότι ο Αχιλλέας είναι έτοιμος να την προλάβει, αλλά ο αντίπαλος είναι ακόμα μπροστά και ενώ τρέχει 5 μέτρα, εκείνη καταφέρνει να προχωρήσει άλλο μισό μέτρο και ούτω καθεξής. Η απόσταση μεταξύ τους συρρικνώνεται ατελείωτα, αλλά θεωρητικά, ο ήρωας δεν καταφέρνει ποτέ να προλάβει την αργή χελώνα· δεν είναι πολύ, αλλά είναι πάντα μπροστά του.


Φυσικά, από τη σκοπιά της φυσικής, το παράδοξο δεν έχει νόημα - αν ο Αχιλλέας κινηθεί πολύ πιο γρήγορα, σε κάθε περίπτωση θα προχωρήσει, αλλά ο Ζήνων, πρώτα απ 'όλα, ήθελε να αποδείξει με το σκεπτικό του ότι οι εξιδανικευμένες μαθηματικές έννοιες του Το "σημείο στο χώρο" και η "στιγμή του χρόνου" δεν είναι πολύ κατάλληλα για σωστή εφαρμογή σε πραγματική κίνηση. Η Aporia αποκαλύπτει την ασυμφωνία μεταξύ της μαθηματικά ορθής ιδέας ότι τα μη μηδενικά διαστήματα του χώρου και του χρόνου μπορούν να διαιρεθούν επ' αόριστον (άρα η χελώνα πρέπει να είναι πάντα μπροστά) και της πραγματικότητας στην οποία ο ήρωας, φυσικά, κερδίζει τον αγώνα.
Παράδοξο χρονικού βρόχου
Τα παράδοξα που αφορούν το ταξίδι στο χρόνο αποτελούν εδώ και καιρό πηγή έμπνευσης για συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας και δημιουργούς ταινιών και τηλεοπτικών σειρών επιστημονικής φαντασίας. Υπάρχουν πολλές επιλογές για παράδοξα χρονικού βρόχου· ένα από τα απλούστερα και πιο γραφικά παραδείγματα ενός τέτοιου προβλήματος δόθηκε στο βιβλίο του «The New Time Travelers» από τον David Toomey, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Μασαχουσέτης.
Φανταστείτε ότι ένας ταξιδιώτης του χρόνου αγόρασε ένα αντίτυπο του Άμλετ του Σαίξπηρ από ένα βιβλιοπωλείο. Στη συνέχεια πήγε στην Αγγλία την εποχή της Παρθένου Βασίλισσας Ελισάβετ Α' και, βρίσκοντας τον Ουίλιαμ Σαίξπηρ, του παρέδωσε το βιβλίο. Το ξαναέγραψε και το εξέδωσε ως δικό του έργο. Περνούν εκατοντάδες χρόνια, ο Άμλετ μεταφράζεται σε δεκάδες γλώσσες, αναδημοσιεύεται ατελείωτα και ένα από τα αντίτυπα καταλήγει στο ίδιο βιβλιοπωλείο, όπου ένας ταξιδιώτης του χρόνου το αγοράζει και το δίνει στον Σαίξπηρ, ο οποίος κάνει ένα αντίγραφο, κ.ο.κ. Ποιος πρέπει να θεωρηθεί σε αυτή την περίπτωση ο συγγραφέας μιας αθάνατης τραγωδίας;
Το παράδοξο ενός κοριτσιού και ενός αγοριού
Στη θεωρία πιθανοτήτων, αυτό το παράδοξο ονομάζεται επίσης «Τα παιδιά του κυρίου Σμιθ» ή «Το πρόβλημα της κυρίας Σμιθ». Διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Αμερικανό μαθηματικό Μάρτιν Γκάρντνερ σε ένα από τα τεύχη του περιοδικού Scientific American. Οι επιστήμονες διαφωνούν για το παράδοξο εδώ και αρκετές δεκαετίες και υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης του. Αφού σκεφτείτε το πρόβλημα, μπορείτε να βρείτε τη δική σας λύση.
Η οικογένεια έχει δύο παιδιά και είναι σίγουρο ότι το ένα από αυτά είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα και το δεύτερο παιδί να είναι αρσενικό; Με την πρώτη ματιά, η απάντηση είναι αρκετά προφανής - 50/50, είτε είναι πραγματικά αγόρι είτε κορίτσι, οι πιθανότητες πρέπει να είναι ίσες. Το πρόβλημα είναι ότι για τις οικογένειες με δύο παιδιά, υπάρχουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί των φύλων των παιδιών - δύο κορίτσια, δύο αγόρια, ένα μεγαλύτερο αγόρι και ένα μικρότερο κορίτσι και αντίστροφα - ένα μεγαλύτερο κορίτσι και ένα μικρότερο αγόρι. Το πρώτο μπορεί να αποκλειστεί, αφού ένα από τα παιδιά είναι σίγουρα αγόρι, αλλά σε αυτή την περίπτωση μένουν τρία πιθανές επιλογές, όχι δύο, και η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι επίσης αγόρι είναι μία στις τρεις πιθανότητες.
Το παράδοξο του Jourdain με μια κάρτα
Το πρόβλημα, που πρότεινε ο Βρετανός λογικός και μαθηματικός Philip Jourdain στις αρχές του 20ου αιώνα, μπορεί να θεωρηθεί μια από τις ποικιλίες του διάσημου παραδόξου ψεύτη.
Φανταστείτε να κρατάτε στα χέρια σας μια καρτ ποστάλ που λέει: «Η δήλωση στο πίσω μέρος της κάρτας είναι αληθινή». Αναποδογυρίζοντας την κάρτα αποκαλύπτεται η φράση «Η δήλωση στην άλλη πλευρά είναι ψευδής». Όπως καταλαβαίνετε, υπάρχει μια αντίφαση: αν η πρώτη πρόταση είναι αληθής, τότε η δεύτερη είναι επίσης αληθής, αλλά στην περίπτωση αυτή η πρώτη πρέπει να είναι ψευδής. Αν η πρώτη όψη της καρτ ποστάλ είναι ψευδής, τότε ούτε η φράση της δεύτερης μπορεί να θεωρηθεί αληθής, πράγμα που σημαίνει ότι η πρώτη δήλωση γίνεται ξανά αληθινή... Ακόμα περισσότερα ενδιαφέρουσα επιλογήΤο παράδοξο του ψεύτη βρίσκεται στην επόμενη παράγραφο.
Σοφιστική "Κροκόδειλος"
Μια μητέρα και ένα παιδί στέκονται στην όχθη του ποταμού, ξαφνικά ένας κροκόδειλος κολυμπάει κοντά τους και σέρνει το παιδί στο νερό. Η απαρηγόρητη μητέρα ζητά να επιστρέψει το παιδί της, στην οποία ο κροκόδειλος απαντά ότι συμφωνεί να το επιστρέψει σώος αν η γυναίκα απαντήσει σωστά στην ερώτησή του: «Θα επιστρέψει το παιδί της;» Είναι σαφές ότι μια γυναίκα έχει δύο επιλογές απάντησης - ναι ή όχι. Αν ισχυριστεί ότι ο κροκόδειλος θα της δώσει το παιδί, τότε όλα εξαρτώνται από το ζώο - θεωρώντας την απάντηση αληθινή, ο απαγωγέας θα απελευθερώσει το παιδί, αλλά αν πει ότι η μητέρα έκανε λάθος, τότε δεν θα δει το παιδί , σύμφωνα με όλους τους κανόνες της σύμβασης.
Η αρνητική απάντηση της γυναίκας περιπλέκει τα πάντα σημαντικά - αν αποδειχθεί σωστό, ο απαγωγέας πρέπει να εκπληρώσει τους όρους της συμφωνίας και να απελευθερώσει το παιδί, αλλά έτσι η απάντηση της μητέρας δεν θα ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Για να διασφαλιστεί η αναλήθεια μιας τέτοιας απάντησης, ο κροκόδειλος χρειάζεται να επιστρέψει το παιδί στη μητέρα, αλλά αυτό είναι αντίθετο με τη σύμβαση, γιατί το λάθος της θα πρέπει να αφήσει το παιδί με τον κροκόδειλο.
Αξίζει να σημειωθεί ότι η συμφωνία που προτείνει ο κροκόδειλος περιέχει μια λογική αντίφαση, επομένως η υπόσχεσή του είναι αδύνατο να εκπληρωθεί. Ο συγγραφέας αυτού του κλασικού σοφισμού θεωρείται ρήτορας, στοχαστής και πολιτικό πρόσωποΟ Κοράξ των Συρακουσών, που έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ.
Απορία "Διχοτομία"


Άλλο ένα παράδοξο από τον Ζήνωνα της Ελέας, που καταδεικνύει την ανακρίβεια του εξιδανικευμένου μαθηματικό μοντέλοκινήσεις. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί ως εξής: ας υποθέσουμε ότι ξεκινήσατε να περπατήσετε σε κάποιο δρόμο της πόλης σας από την αρχή μέχρι το τέλος. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ξεπεράσετε το πρώτο μισό του, μετά το μισό του υπόλοιπου μισού, μετά το μισό του επόμενου τμήματος και ούτω καθεξής. Με άλλα λόγια, περπατάτε τη μισή ολόκληρη απόσταση, μετά ένα τέταρτο, ένα όγδοο, ένα δέκατο έκτο - ο αριθμός των μειούμενων τμημάτων του μονοπατιού τείνει στο άπειρο, αφού οποιοδήποτε υπόλοιπο τμήμα μπορεί να χωριστεί στα δύο, πράγμα που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να περπατήσετε ολόκληρο το μονοπάτι. Διατυπώνοντας ένα κάπως τραβηγμένο παράδοξο με την πρώτη ματιά, ο Ζήνων θέλησε να δείξει ότι οι μαθηματικοί νόμοι έρχονται σε αντίθεση με την πραγματικότητα, γιατί στην πραγματικότητα μπορείτε εύκολα να καλύψετε ολόκληρη την απόσταση χωρίς να αφήσετε ίχνος.
Aporia "Flying Arrow"
Το περίφημο παράδοξο του Ζήνωνα της Ελέας αγγίζει τις βαθύτερες αντιφάσεις στις ιδέες των επιστημόνων για τη φύση της κίνησης και του χρόνου. Η απορία διατυπώνεται ως εξής: ένα βέλος που εκτοξεύεται από τόξο παραμένει ακίνητο, αφού ανά πάσα στιγμή βρίσκεται σε ηρεμία και δεν κινείται. Αν σε κάθε στιγμή το βέλος βρίσκεται σε ηρεμία, τότε είναι πάντα σε κατάσταση ηρεμίας και δεν κινείται καθόλου, αφού δεν υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία το βέλος κινείται στο διάστημα.


Τα εξαιρετικά μυαλά της ανθρωπότητας προσπαθούν να επιλύσουν το παράδοξο του ιπτάμενου βέλους εδώ και αιώνες, αλλά από λογική άποψη συντίθεται απολύτως σωστά. Για να το αντικρούσουμε, είναι απαραίτητο να εξηγήσουμε πώς μια πεπερασμένη χρονική περίοδος μπορεί να αποτελείται από άπειρες στιγμές χρόνου - ακόμη και ο Αριστοτέλης, ο οποίος επέκρινε πειστικά την απορία του Ζήνωνα, δεν μπόρεσε να το αποδείξει αυτό. Ο Αριστοτέλης σωστά επεσήμανε ότι μια χρονική περίοδος δεν μπορεί να θεωρηθεί το άθροισμα ορισμένων αδιαίρετων μεμονωμένων στιγμών, αλλά πολλοί επιστήμονες πιστεύουν ότι η προσέγγισή του δεν είναι βαθιά και δεν αντικρούει την ύπαρξη ενός παραδόξου. Αξίζει να σημειωθεί ότι θέτοντας το πρόβλημα ενός ιπτάμενου βέλους, ο Ζήνων δεν επιδίωξε να αντικρούσει τη δυνατότητα της κίνησης ως τέτοιας, αλλά να εντοπίσει αντιφάσεις σε ιδεαλιστικές μαθηματικές έννοιες.
Το παράδοξο του Γαλιλαίου
Στους Λόγους και Μαθηματικές Αποδείξεις σχετικά με δύο νέους κλάδους της επιστήμης, ο Galileo Galilei πρότεινε ένα παράδοξο που καταδεικνύει τις περίεργες ιδιότητες των άπειρων συνόλων. Ο επιστήμονας διατύπωσε δύο αντιφατικές κρίσεις. Πρώτον, υπάρχουν αριθμοί που είναι τα τετράγωνα άλλων ακεραίων, όπως 1, 9, 16, 25, 36 κ.ο.κ. Υπάρχουν άλλοι αριθμοί που δεν έχουν αυτήν την ιδιότητα - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 και παρόμοια. Έτσι, ο συνολικός αριθμός των τέλειων τετραγώνων και των συνηθισμένων αριθμών πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των τελείων τετραγώνων μόνο. Η δεύτερη πρόταση: για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει το ακριβές τετράγωνό του και για κάθε τετράγωνο υπάρχει μια ακέραια τετραγωνική ρίζα, δηλαδή ο αριθμός των τετραγώνων είναι ίσος με τον αριθμό των φυσικών αριθμών.
Με βάση αυτή την αντίφαση, ο Γαλιλαίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο συλλογισμός για τον αριθμό των στοιχείων εφαρμόστηκε μόνο σε πεπερασμένα σύνολα, αν και αργότερα οι μαθηματικοί εισήγαγαν την έννοια της δύναμης ενός συνόλου - με τη βοήθειά του, η εγκυρότητα της δεύτερης κρίσης του Γαλιλαίου αποδείχθηκε για άπειρα σύνολα.
The Potato Bag Paradox


Ας υποθέσουμε ότι ένας συγκεκριμένος αγρότης έχει ένα σακουλάκι με πατάτες που ζυγίζει ακριβώς 100 κιλά. Έχοντας εξετάσει το περιεχόμενό του, ο αγρότης ανακαλύπτει ότι η σακούλα ήταν αποθηκευμένη σε υγρές συνθήκες - το 99% της μάζας της είναι νερό και το 1% άλλες ουσίες που περιέχονται στις πατάτες. Αποφασίζει να στεγνώσει λίγο τις πατάτες, ώστε η περιεκτικότητά τους σε νερό να πέσει στο 98% και να μεταφέρει τη σακούλα σε ξηρό μέρος. Την επόμενη μέρα αποδεικνύεται ότι ένα λίτρο (1 κιλό) νερού έχει πράγματι εξατμιστεί, αλλά το βάρος της σακούλας έχει μειωθεί από 100 σε 50 κιλά, πώς μπορεί να είναι αυτό; Ας υπολογίσουμε - το 99% των 100 kg είναι 99 kg, που σημαίνει ότι ο λόγος της μάζας του ξηρού υπολείμματος προς τη μάζα του νερού ήταν αρχικά ίσος με 1/99. Μετά την ξήρανση, το νερό αντιπροσωπεύει το 98% της συνολικής μάζας του σάκου, που σημαίνει ότι η αναλογία της μάζας του ξηρού υπολείμματος προς τη μάζα του νερού είναι τώρα 1/49. Δεδομένου ότι η μάζα του υπολείμματος δεν έχει αλλάξει, το υπόλοιπο νερό ζυγίζει 49 κιλά.
Φυσικά, ένας προσεκτικός αναγνώστης θα ανακαλύψει αμέσως ένα χονδροειδές μαθηματικό σφάλμα στους υπολογισμούς - το φανταστικό κόμικ «παράδοξο με σάκο πατάτας» μπορεί να θεωρηθεί εξαιρετικό παράδειγμα του πώς, με τη βοήθεια φαινομενικά «λογικού» και «επιστημονικά υποστηριζόμενου» συλλογισμού, μπορεί κανείς κυριολεκτικά να οικοδομήσει από την αρχή μια θεωρία που έρχεται σε αντίθεση με την κοινή λογική.. λογική.
Raven παράδοξο
Το πρόβλημα είναι επίσης γνωστό ως το παράδοξο του Hempel - έλαβε το δεύτερο όνομά του προς τιμήν του Γερμανού μαθηματικού Carl Gustav Hempel, του συγγραφέα της κλασικής εκδοχής του. Το πρόβλημα διατυπώνεται πολύ απλά: κάθε κοράκι είναι μαύρο. Από αυτό προκύπτει ότι οτιδήποτε δεν είναι μαύρο δεν μπορεί να είναι κοράκι. Αυτός ο νόμος ονομάζεται λογική αντίθεση, δηλαδή εάν μια ορισμένη υπόθεση «Α» έχει συνέπεια «Β», τότε η άρνηση του «Β» ισοδυναμεί με την άρνηση του «Α». Εάν κάποιος δει ένα μαύρο κοράκι, αυτό ενισχύει την πεποίθησή του ότι όλα τα κοράκια είναι μαύρα, κάτι που είναι πολύ λογικό, αλλά σύμφωνα με την αντίθεση και την αρχή της επαγωγής, είναι λογικό να δηλωθεί ότι παρατηρώντας αντικείμενα που δεν είναι μαύρα (ας πούμε, κόκκινο μήλα) αποδεικνύει επίσης ότι όλα τα κοράκια είναι βαμμένα μαύρα. Με άλλα λόγια, το γεγονός ότι ένας άνθρωπος μένει στην Αγία Πετρούπολη αποδεικνύει ότι δεν μένει στη Μόσχα.
Από λογικής άποψης, το παράδοξο μοιάζει άψογο, αλλά έρχεται σε αντίθεση πραγματική ζωή- τα κόκκινα μήλα σε καμία περίπτωση δεν μπορούν να επιβεβαιώσουν το γεγονός ότι όλα τα κοράκια είναι μαύρα.

Στα παραδείγματα Νο. 4, 5,6 χρησιμοποιείται η ίδια τεχνική: διαφορετικές έννοιες, καταστάσεις, θέματα αναμειγνύονται σε όμοιες λέξεις, εκ των οποίων η μία δεν είναι ίση με την άλλη, δηλαδή παραβιάζεται ο νόμος της ταυτότητας.

2. Λογικά παράδοξα

Το παράδοξο (από το ελληνικό απροσδόκητο, περίεργο) είναι κάτι ασυνήθιστο και εκπληκτικό, κάτι που αποκλίνει από τις συνήθεις προσδοκίες, την κοινή λογική και την εμπειρία ζωής.

Ένα λογικό παράδοξο είναι μια τόσο ασυνήθιστη και εκπληκτική κατάσταση όταν δύο αντιφατικές προτάσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα (κάτι που είναι αδύνατο λόγω των λογικών νόμων της αντίφασης και της αποκλειόμενης μέσης), αλλά επίσης ακολουθούν η μία την άλλη και εξαρτώνται η μία την άλλη.

Το παράδοξο είναι μια άλυτη κατάσταση, ένα είδος ψυχικού αδιεξόδου, ένα «εμπόδιο» στη λογική: σε όλη την ιστορία του, έχουν προταθεί πολλοί διαφορετικοί τρόποι υπέρβασης και εξάλειψης των παραδόξων, αλλά κανένας από αυτούς δεν είναι ακόμη εξαντλητικός, οριστικός και γενικά αποδεκτός.

Μερικά παράδοξα (παράδοξα του «ψεύτη», «κουρέας του χωριού» κ.λπ.) ονομάζονται και αντινομίες (από τα ελληνικά: αντίφαση δικαίου), δηλαδή συλλογισμός με τον οποίο αποδεικνύεται ότι απορρέουν δύο δηλώσεις που αρνούνται η μία την άλλη. ο ένας τον άλλον. Πιστεύεται ότι οι αντινομίες αντιπροσωπεύουν την πιο ακραία μορφή παραδόξων. Ωστόσο, αρκετά συχνά οι όροι «λογικό παράδοξο» και «αντινομία» θεωρούνται συνώνυμοι.

Μια ξεχωριστή ομάδα παραδόξων είναι η απορία (από τα ελληνικά - δυσκολία, αμηχανία) - συλλογισμός που δείχνει αντιφάσεις ανάμεσα σε αυτό που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας (βλέπουμε, ακούμε, αγγίζουμε κ.λπ.) και σε αυτό που μπορεί να αναλυθεί νοητικά (αντιφάσεις μεταξύ ορατού και το φανταστικό).

Η πιο διάσημη απορία προτάθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα από την Ελαία, ο οποίος υποστήριξε ότι η κίνηση που παρατηρούμε παντού δεν μπορεί να γίνει αντικείμενο νοητικής ανάλυσης. Μια από τις διάσημες αποριές του ονομάζεται «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Λέει ότι μπορούμε κάλλιστα να δούμε πώς ο στόλος Αχιλλέας προλαβαίνει και προσπερνά τη χελώνα που σέρνεται αργά. Ωστόσο, η νοητική ανάλυση μας οδηγεί στο ασυνήθιστο συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να προλάβει τη χελώνα, αν και κινείται 10 φορές πιο γρήγορα από αυτήν. Όταν διανύσει την απόσταση μέχρι τη χελώνα, την ίδια στιγμή θα καλύψει 10 φορές λιγότερα, δηλαδή το 1/10 της διαδρομής που διένυσε ο Αχιλλέας, και αυτό το 1/10 θα είναι μπροστά του. Όταν ο Αχιλλέας διανύσει αυτό το 1/10 της διαδρομής, η χελώνα θα διανύσει 10 φορές λιγότερη απόσταση ταυτόχρονα, δηλαδή το 1/100ο της διαδρομής, και θα είναι μπροστά από τον Αχιλλέα στο 1/100ο της διαδρομής. Όταν περάσει το 1/100ο του μονοπατιού που χωρίζει αυτόν και τη χελώνα, τότε ταυτόχρονα θα καλύψει το 1/1000ο του μονοπατιού, παραμένοντας ακόμα μπροστά από τον Αχιλλέα, και ούτω καθεξής επ’ άπειρον. Γινόμαστε πεπεισμένοι ότι τα μάτια μας λένε ένα πράγμα, αλλά η σκέψη μας λέει κάτι εντελώς διαφορετικό (το ορατό το αρνείται το φανταστικό).

Η λογική έχει δημιουργήσει πολλούς τρόπους επίλυσης και υπέρβασης παραδόξων. Ωστόσο, κανένα από αυτά δεν είναι χωρίς αντιρρήσεις και δεν είναι γενικά αποδεκτό.

2.1 Παραδείγματα λογικών παραδόξων

Το πιο διάσημο λογικό παράδοξο είναι το παράδοξο του «ψεύτη». Συχνά αποκαλείται «βασιλιάς των λογικών παραδόξων». Ανακαλύφθηκε στην Αρχαία Ελλάδα. Σύμφωνα με το μύθο, ο φιλόσοφος Διόδωρος Κρόνος ορκίστηκε να μην φάει μέχρι να λυθεί αυτό το παράδοξο και πέθανε από την πείνα, χωρίς να πετύχει τίποτα. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές διατυπώσεις αυτού του παραδόξου. Διατυπώνεται πιο συνοπτικά και απλά σε μια κατάσταση όταν ένα άτομο προφέρει μια απλή φράση: «Είμαι ψεύτης». Η ανάλυση αυτής της δήλωσης οδηγεί σε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα. Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε δήλωση μπορεί να είναι αληθινή ή ψευδής. Ας υποθέσουμε ότι η φράση «είμαι ψεύτης» είναι αληθινή, δηλαδή αυτός που την πρόφερε είπε την αλήθεια, αλλά στην προκειμένη περίπτωση είναι πραγματικά ψεύτης, επομένως, λέγοντας αυτή τη φράση είπε ψέματα. Ας υποθέσουμε ότι η φράση «είμαι ψεύτης» είναι ψευδής, δηλαδή αυτός που την είπε είπε ψέματα, αλλά στην προκειμένη περίπτωση δεν είναι ψεύτης, αλλά αληθής, επομένως, προφέροντας αυτή τη φράση, είπε η αλήθεια. Αποδεικνύεται κάτι εκπληκτικό και ακόμη και αδύνατο: αν κάποιος είπε την αλήθεια, τότε είπε ψέματα. και αν είπε ψέματα, τότε είπε την αλήθεια (δύο αντιφατικές κρίσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα, αλλά απορρέουν και η μία από την άλλη).

Ένα άλλο διάσημο λογικό παράδοξο που ανακαλύφθηκε τον 20ο αιώνα. Ο Άγγλος λογικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ, είναι το παράδοξο του «κουρέα του χωριού». Ας φανταστούμε ότι σε ένα συγκεκριμένο χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας που ξυρίζει όσους κατοίκους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Η ανάλυση αυτής της απλής κατάστασης οδηγεί σε ένα εξαιρετικό συμπέρασμα. Ας αναρωτηθούμε: μπορεί ένας χωριάτικος κουρέας να ξυριστεί; Ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού ξυρίζεται μόνος του, αλλά τότε είναι ένας από τους κατοίκους του χωριού που ξυρίζονται μόνοι τους και τους οποίους ο κουρέας δεν ξυρίζεται, επομένως, σε αυτή την περίπτωση δεν ξυρίζεται μόνος του. Ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού δεν ξυρίζεται μόνος του, αλλά είναι ένας από εκείνους τους κατοίκους του χωριού που δεν ξυρίζονται μόνοι τους και τους οποίους ο κουρέας ξυρίζεται, επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, ξυρίζεται μόνος του. Αποδεικνύεται απίστευτο: αν ένας κουρέας του χωριού ξυριστεί, τότε δεν ξυρίζεται μόνος του. και αν δεν ξυριστεί μόνος του, τότε ξυρίζεται (δύο αντιφατικές κρίσεις είναι ταυτόχρονα αληθινές και αλληλοϋποθέτουν η μία την άλλη).

Το παράδοξο του Πρωταγόρα και του Ευάθλου εμφανίστηκε στην Αρχαία Ελλάδα. Βασίζεται σε μια φαινομενικά απλή ιστορία, που είναι ότι ο σοφιστής Πρωταγόρας είχε μαθητή τον Εύαθλο, ο οποίος πήρε μαθήματα λογικής και ρητορικής από αυτόν. Δάσκαλος και μαθητής συμφώνησαν με τέτοιο τρόπο ότι ο Εύαθλος θα πλήρωνε στον Πρωταγόρα δίδακτρα μόνο αν κέρδιζε την πρώτη του δοκιμασία. Ωστόσο, με την ολοκλήρωση της εκπαίδευσης, ο Evatl δεν συμμετείχε σε καμία διαδικασία και φυσικά δεν πλήρωσε χρήματα στον δάσκαλο. Ο Πρωταγόρας τον απείλησε ότι θα του κάνει μήνυση και τότε ο Εύαθλος θα έπρεπε να πληρώσει σε κάθε περίπτωση. «Ή θα καταδικαστείς σε αμοιβή, ή δεν θα σε καταδικάσουν», του είπε ο Πρωταγόρας, «αν καταδικαστείς να πληρώσεις, θα πρέπει να πληρώσεις σύμφωνα με την ετυμηγορία του δικαστηρίου. εάν δεν καταδικαστείτε να πληρώσετε, τότε εσείς, ως νικητής της πρώτης σας δοκιμής, θα πρέπει να πληρώσετε σύμφωνα με τη συμφωνία μας». Σε αυτό ο Evatl του απάντησε: «Όλα είναι σωστά: ή θα καταδικαστώ να πληρώσω ένα τέλος, ή δεν θα καταδικάσω. αν καταδικαστώ να πληρώσω, τότε εγώ ως χαμένος της πρώτης μου αγωγής δεν θα πληρώσω σύμφωνα με τη συμφωνία μας. αν δεν καταδικαστώ να πληρώσω, τότε δεν θα πληρώσω την ετυμηγορία του δικαστηρίου». Έτσι, το ερώτημα αν ο Euathlus πρέπει να πληρώσει τον Πρωταγόρα ή όχι είναι αναπάντητο. Η σύμβαση μεταξύ δασκάλου και μαθητή, παρά την εντελώς αθώα εμφάνισή της, είναι εσωτερικά, ή λογικά, αντιφατική, αφού απαιτεί την υλοποίηση μιας αδύνατης ενέργειας: Η Evatl πρέπει και να πληρώνει για την εκπαίδευση και να μην πληρώνει ταυτόχρονα. Εξαιτίας αυτού, η ίδια η συμφωνία μεταξύ Πρωταγόρα και Ευάθλου, καθώς και το ζήτημα της αντιδικίας τους, αντιπροσωπεύει κάτι άλλο από ένα λογικό παράδοξο.

Εργασία 2

Προσδιορίστε τη δομή, τον τύπο της κρίσης, κάντε μια συμβολική σχέση μεταξύ των όρων, υποδεικνύοντας την κατανομή τους:

«Τα άτομα έχουν υψηλές πνευματικές ικανότητες»

1. Δομή κρίσης:

1) Θέμα – «υψηλές πνευματικές ικανότητες»

2) Κατηγόρημα - "σε μεμονωμένα άτομα"

3) Ο σύνδεσμος εκφράζεται

4) Ποσοτικοποιητική λέξη "Is" (εκφράζεται)

Συχνά καταφατικό κάποιο S είναι P

Το QS είναι το P

2. Η κρίση είναι γενική ποσοτικά και καταφατική ποιοτικά

3. Σε μια ρητή λογική μορφή: «Τα άτομα έχουν υψηλές διανοητικές ικανότητες».

4. Τύπος: Όλα τα S είναι P. Judgment – ​​Α.

5. Ρ

7. Το υποκείμενο κατανέμεται, το κατηγόρημα δεν κατανέμεται.

10 -

«Δεν υπάρχει τέτοιο άτομο που δεν θα ήθελε δώρα».

1. Δομή κρίσης:

1) Θέμα - "Δώρα"

2) Κατηγόρημα - "Άνθρωπος"

3) Ο σύνδεσμος εκφράζεται – κάτι που δεν θα άρεσε

4) Ποσοτικοποιητική λέξη «Όλα» (δεν εκφράζεται)

2. Η κρίση είναι γενική ποσοτικά και γενικά αρνητική ποιοτικά

3. Σε ρητή λογική μορφή: «Τα δώρα αγαπούν όλοι οι άνθρωποι».

4. Τύπος: Όχι S είναι P. Κρίση - Ε. γενική αρνητική

5. Ρ

6. Οι όροι είναι σε σχέση – υποταγή.

7. Το υποκείμενο κατανέμεται, το κατηγόρημα δεν κατανέμεται

11 -

Εργασία 3

Προσδιορίστε τον τύπο συμπερασμάτων, εξάγετε ένα συμπέρασμα, κατασκευάστε ένα διάγραμμα συμπερασμάτων, καθορίστε τη λογική συνέπεια του συλλογισμού:

«Ένα άτομο που έχει διαπράξει ένα μικρό έγκλημα για πρώτη φορά μπορεί να αποφυλακιστεί ποινική ευθύνηαν μετανόησε ή συμφιλιώθηκε με το θύμα. Ο Ιβάνοφ είναι αποφασισμένος είτε να μετανοήσει είτε να συμφιλιωθεί με το θύμα, που σημαίνει...».

Ο Ιβάνοφ είναι αποφασισμένος είτε να μετανοήσει είτε να συμφιλιωθεί με το θύμα, πράγμα που σημαίνει ότι εάν έχει διαπράξει αδίκημα ήσσονος σοβαρότητας για πρώτη φορά, μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη.

1. Είδος δικαστικών αποφάσεων στις εγκαταστάσεις:

1η υπόθεση: «Ένα άτομο που διέπραξε για πρώτη φορά αδίκημα ήσσονος βαρύτητας μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη εάν έχει μετανοήσει ή συμφιλιωθεί με το θύμα. Ο Ιβάνοφ είναι αποφασισμένος είτε να μετανοήσει είτε να συμφιλιωθεί με το θύμα. – μια συνεπακόλουθη-συνεκτική πρόταση, που αποτελείται από δύο συνεπακόλουθα που ενώνονται με έναν σύνδεσμο.

p - το άτομο μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη

ζ - μετανόησε για την πράξη του ή δοκίμασε το θύμα

q - δεν μετανόησε και δεν προσπάθησε

2η υπόθεση: «Ένας άνθρωπος είτε μετανοεί και δοκιμάζει το θύμα, είτε όχι. - μια διασπαστική κρίση, αποτελούμενη από 2 εναλλακτικές.

2.Σχήμα συμπερασμάτων:

(p→g) Λ (¬p→q)

p V ¬p________________

g V q

3. Απλό σχεδιαστικό δίλημμα

4. Συμπέρασμα: «Ένα άτομο που έχει διαπράξει μικρό έγκλημα είτε θα αφεθεί ελεύθερος είτε όχι.

5.Αναφορές

1) Getmanova A.D. Το εγχειρίδιο λογικής. Μ.: Βλάδος, 1994.

2) Gusev D.A. Το εγχειρίδιο λογικής για τα πανεπιστήμια. Μόσχα: Unity-Dana, 2004

3) Ivin A.A. Η τέχνη της σωστής σκέψης. Μ.: Εκπαίδευση, 1990.

4) Koval S. Από την ψυχαγωγία στη γνώση / Μετάφρ. O. Unguryan. Βαρσοβία: Επιστημονικός και Τεχνικός Εκδοτικός Οίκος, 1972.