Sofizmi i paradoksi. Sofizmi i logički paradoksi Paradoksi u logici

LOGIČKI PARADOKS

LOGIČKI PARADOKS

tvrdnja koja isprva još nije očigledna, ali, suprotno očekivanjima, izražava istinu. U antičkoj logici, paradoks se nazivao paradoksom, čija se dvosmislenost prvenstveno odnosi na njegovu ispravnost ili neispravnost. U modernoj matematici, paradoksi su zapravo matematički. aporia.

Filozofski enciklopedijski rječnik. 2010 .

LOGIČKI PARADOKS

Razvoj modernih logičkih metoda doveo je do novih logičkih paradoksa. Na primjer, Brouwer je ukazao na sljedeći paradoks klasičnog postojanja: u bilo kojoj dovoljno jakoj klasičnoj teoriji postoji dokaziva formula oblika ExA(x), za koju je nemoguće konstruirati bilo koje specifično t tako da je A(t) dokazivo .

Konkretno, nemoguće je konstruisati jedan nestandardni model realnih brojeva u teoriji skupova, iako se takvi modeli mogu dokazati. Ovaj paradoks pokazuje da su koncepti postojanja i konstruktivnosti nepovratno divergentni u klasičnoj matematici.

Nadalje, nestandardni modeli, koji su zahtijevali eksplicitnu razliku između jezika i metajezika, doveli su do sljedećeg paradoksa: „Skup svih standardnih realnih brojeva dio je nestandardnog konačnog skupa. Dakle, može biti dio konačnog.”

Ovaj paradoks oštro je u suprotnosti sa uobičajenim shvatanjem odnosa između konačnog i beskonačnog. Zasniva se na činjenici da „biti standardan“ pripada metajeziku, ali se može precizno tumačiti u nestandardnom modelu. Stoga se u nestandardnom modelu može govoriti o istinitosti i neistinitosti bilo koje matematičke tvrdnje koje uključuju koncept „bića (nestandardnog“, ali za njih nije potrebno da se očuvaju svojstva standardnog modela, sa izuzetkom logičkih tautologija Ovaj paradoks je postao osnova teorije poluskupova, u kojoj mogu postojati podklase skupova.

I konačno, posljednja klasa logičkih paradoksa nastaje na granicama između formaliziranih i neformalnih koncepata. Razmotrimo jednog od njih (Simona); „Sve što se može precizno izraziti može se izraziti jezikom Turingovih mašina. Stoga se u humanističkim naukama mogu razmatrati samo oni modeli koji se mogu izraziti jezikom Turingovih mašina. Štaviše, prema metodi dijagonalizacije, svaki precizan prigovor na datu tačku gledišta sam se prevodi i uključuje u Turingove mašine.”

Ovaj paradoks je podstakao nastanak teorije neformalizabilnih koncepata, ali zbog činjenice da nije odmah prepoznat kao paradoks, ujedno je doveo do tužnih posljedica, budući da je ova, u kojoj je fundamentalna izražajnost (zahtjeva nerealistična resursi) i stvarni opisi bili su zbunjeni, percipirano je kao precizno zaključivanje i, kako je navedeno u radovima o kognitivnoj nauci, paralisalo je zapadnu psihologiju skoro 10 godina. Odbacivanje Simonovog argumenta nakon spoznaje njegove sofističke prirode bilo je strukturirano na takav način da je dovelo do potpunog odbacivanja preciznih koncepata i time u suštini poslužilo kao motivacija za pokrete kao što je postmodernizam. U ovom slučaju je napravljena logična greška u zamjeni kontradiktorne presude suprotnom.

Ya. Ya. Nepeyvoda

Nova filozofska enciklopedija: u 4 toma. M.: Misao. Uredio V. S. Stepin. 2001 .

Pogledajte šta je “LOGIČKI PARADOKS” u drugim rječnicima:

- (grč. paradoxos neočekivan, čudan) u širem smislu: izjava koja oštro odstupa od opšteprihvaćenog, utvrđenog mišljenja, poricanje onoga što se čini „bezuslovno tačnim“; u užem smislu, dve suprotstavljene izjave, za ... ... Philosophical Encyclopedia

Galileov paradoks je primjer koji ilustruje svojstva beskonačnih skupova. Ukratko: prirodnih brojeva ima onoliko koliko je kvadrata prirodnih brojeva, odnosno skup 1, 2, 3, 4... ima isti broj elemenata kao skup 1, 4, 9, 16. ... ... Wikipedia

Paradoks- (od grčkog paradoxos neočekivan, čudan) 1) mišljenje, obrazloženje ili zaključak koji oštro, neočekivano, neobično odstupa od opšteprihvaćenog, u suprotnosti (ponekad samo na prvi pogled) zdravom razumu; 2) neobična, neočekivana pojava, ne..... Počeci moderne prirodne nauke

Paradoks ubijenog djeda je predloženi paradoks koji uključuje putovanje kroz vrijeme, koji je prvi opisao (pod ovim naslovom) pisac naučne fantastike René Barjavel u svojoj knjizi Le Voyageur Imprudent iz 1943. godine. Paradoks je... ... Wikipedia

Smaleov paradoks. Jedna od srednjih konfiguracija, Morinova površina (engleski) Paradoks ... Wikipedia

Stevensonov paradoks Satanic Bottle je logičan paradoks opisan u priči "The Satanic Bottle" R. L. Stevensona. Sadržaj 1 Zaplet 2 Suština paradoksa 3 Vidi također... Wikipedia

Paradoks pogubljenja iznenađenja je logički paradoks, poznat i kao paradoks zatvorenika. Prvi (u julu 1948.) koji je objavio članak o ovom paradoksu bio je D. J. O'Connor, filozof sa Univerziteta Exeter. O'Konorova formulacija uključivala je oficira... ... Wikipedia

paradoks- PARADOKS (od grčkog para izvan i doxa mišljenje). 1) U širem (nelogičkom) smislu, sve što na ovaj ili onaj način dolazi u sukob (razilazi) sa opšteprihvaćenim mišljenjem, potvrđenim tradicijom, zakonom, pravilom, normom ili zdravim razumom.... Enciklopedija epistemologije i filozofije nauke

Stil ovog članka je neenciklopedijski ili krši norme ruskog jezika. Članak treba ispraviti prema stilskim pravilima Wikipedije. Paradoks neočekivanog izvršenja (eng. Unexpected hanging par ... Wikipedia

Potrebno je razlikovati od sofizma logički paradoksi(iz grčkog paradoksi -"neočekivano, čudno") Paradoks u širem smislu riječi je nešto neobično i iznenađujuće, nešto što odstupa od uobičajenih očekivanja, zdravog razuma i životnog iskustva. Logički paradoks je tako neobična i iznenađujuća situacija kada dvije kontradiktorne tvrdnje ne samo da su istovremeno istinite (što je nemoguće zbog logičkih zakona kontradikcije i isključene sredine), već i slijede jedna iz druge i uslovljavaju jedna drugu. Ako je sofistika uvijek nekakav trik, namjerna logička greška koja se može otkriti, razotkriti i otkloniti, onda je paradoks nerješiva ​​situacija, neka vrsta mentalne bezizlazne situacije, „kamen spoticanja“ u logici: kroz svoju povijest mnogo je različitih predložene su metode za prevazilaženje i otklanjanje paradoksa, međutim, nijedan od njih još uvijek nije iscrpan, konačan i opšteprihvaćen.

Najpoznatiji logički paradoks je paradoks “lažljivaca”. Često ga nazivaju "kraljem logičkih paradoksa". Otvoren je ponovo unutra Ancient Greece. Prema legendi, filozof Diodorus Kronos zakleo se da neće jesti dok ne razriješi ovaj paradoks i umro je od gladi, ne postigavši ​​ništa; a drugi mislilac, Filet sa Kosa, pao je u očaj zbog nemogućnosti da pronađe rešenje za paradoks „lažova“ i izvršio samoubistvo bacivši se sa litice u more. Postoji nekoliko različitih formulacija ovog paradoksa. Formulira se najkraće i najjednostavnije u situaciji kada osoba izgovara jednostavnu frazu: Ja sam lažov. Analiza ove elementarne i na prvi pogled domišljate izjave dovodi do zapanjujućeg rezultata. Kao što znate, bilo koja izjava (uključujući gorenavedenu) može biti istinita ili lažna. Razmotrimo sukcesivno oba slučaja, od kojih je u prvom ova tvrdnja tačna, au drugom netačna.

Pretpostavimo da je fraza Ja sam lažov istina, tj. osoba koja ju je izgovorila je rekla istinu, ali u ovom slučaju je zaista lažov, pa je izgovaranjem ove fraze lagao. Pretpostavimo da je ta fraza Ja sam lažov je lažna, odnosno lagala je osoba koja ju je izgovorila, ali u ovom slučaju on nije lažov, već kazivač istine, pa je izgovaranjem ove fraze rekao istinu. Ispada nešto neverovatno, pa čak i nemoguće: ako je neko rekao istinu, onda je lagao; a ako je lagao, onda je rekao istinu (dvije kontradiktorne tvrdnje ne samo da su istovremeno istinite, već i slijede jedna iz druge).

Još jedan čuveni logički paradoks koji je početkom 20. veka otkrio engleski logičar i filozof

Bertrand Russell, je paradoks „seoskog berberina“. Zamislimo da u nekom selu postoji samo jedan berberin koji brije one stanovnike koji se ne briju sami. Analiza ove jednostavne situacije dovodi do izvanrednog zaključka. Zapitajmo se: može li seoski berberin sam da se obrije? Razmotrimo obje opcije, od kojih se u prvoj brije sam, a u drugoj ne.

Pretpostavimo da se seoski berberin sam brije, ali onda je on jedan od onih stanovnika sela koji se sami briju i koje berberin ne brije, dakle, u ovom slučaju, ne brije se sam. Sada pretpostavimo da se seoski berberin ne brije sam, ali onda on pripada onim seljanima koji se ne briju sami i koje brijac brije, dakle, u ovom slučaju, brije se sam. Kao što vidimo, ispostavlja se nevjerovatna stvar: ako se seoski berberin brije sam, onda se ne brije; a ako se ne brije, onda se brije (dve kontradiktorne tvrdnje su istovremeno tačne i međusobno uslovljavaju).

Paradoksi „lažov” i „seoski berberin”, zajedno sa drugim sličnim paradoksima, takođe se nazivaju antinomije(iz grčkog antinomija“protivrječnost u zakonu”), odnosno obrazloženje u kojem se dokazuje da dvije izjave koje se međusobno poriču slijede jedna iz druge. Antinomije se smatraju najekstremnijim oblikom paradoksa. Međutim, vrlo često se pojmovi “logički paradoks” i “antinomija” smatraju sinonimima.

Manje iznenađujuća formulacija, ali ništa manje poznata od paradoksa „lažljivca“ i „seoskog berberina“, jeste paradoks „Protagore i Eutala“, koji se, kao i „lažljivac“, pojavio u staroj Grčkoj. Zasnovan je na naizgled jednostavnoj priči, a to je da je sofista Protagora imao učenika Euathlusa, koji je od njega uzeo lekcije iz logike i retorike.

(u ovom slučaju – politička i sudska elokvencija). Učitelj i učenik su se složili da će Euathlus platiti Protagori školarinu samo ako dobije prvo suđenje. Međutim, po završetku obuke, Evatl nije učestvovao ni u jednom procesu i, naravno, nije isplatio nastavniku nikakav novac. Protagora mu je zaprijetio da će ga tužiti, a onda će Euathlus u svakom slučaju morati platiti. „Ili ćeš biti osuđen da platiš taksu, ili nećeš biti osuđen“, rekao mu je Protagora, „ako si osuđen da platiš, moraćeš da platiš po presudi suda; ako ne budete osuđeni na plaćanje, onda ćete vi, kao pobjednik vašeg prvog suđenja, morati platiti prema našem dogovoru.” Na to mu je Evatl odgovorio: „Sve je tačno: ili ću biti osuđen na naknadu, ili neću biti osuđen; ako budem osuđen da platim, onda ja, kao gubitnik moje prve parnice, neću platiti po našem dogovoru; ako ne budem osuđen na plaćanje, onda neću platiti sudsku presudu.” Stoga je neodlučno pitanje da li Euatlus treba da plati Protagori honorar ili ne. Sporazum između nastavnika i učenika, iako je potpuno nevin izgled, je interno, ili logično, kontradiktorno, jer zahtijeva izvođenje nemoguće radnje: Evatl mora i platiti obuku i ne platiti u isto vrijeme. Zbog toga sam sporazum između Protagore i Euathlusa, kao i pitanje njihove parnice, ne predstavlja ništa drugo do logički paradoks.

Odvojena grupa paradoksi su aporia(iz grčkog aporia„poteškoće, zbunjenost“) – razmišljanje koje pokazuje suprotnosti između onoga što opažamo svojim čulima (vidimo, čujemo, dodirujemo, itd.) i onoga što se mentalno može analizirati (drugim riječima, kontradikcije između vidljivog i zamislivog). Najpoznatiju aporiju iznio je starogrčki filozof Zenon iz Eleje, koji je tvrdio da se kretanje koje posvuda opažamo ne može učiniti predmetom mentalne analize, odnosno kretanje se može vidjeti, ali se ne može misliti. Jedna od njegovih aporija se zove "Dihotomija" (grč. dihotomija"prepolovljenje"). Pretpostavimo da određeno tijelo treba da krene od tačke A to point IN. Nema sumnje da možemo vidjeti kako tijelo, napuštajući jednu tačku, nakon nekog vremena stiže u drugu. Međutim, nemojmo vjerovati svojim očima, koje nam govore da se tijelo kreće, i pokušajmo uočiti kretanje ne očima, već mislima; pokušajmo da ga ne vidimo, već da razmišljamo o njemu. U ovom slučaju ćemo dobiti sljedeće. Pre nego što krenete skroz od tačke A to point IN, telo treba da pređe pola ovog puta, jer ako ne pređe pola puta, onda, naravno, neće ići do kraja. Ali prije nego što tijelo prijeđe na pola puta, mora prijeći 1/4 puta. Međutim, prije nego što pređe ovu 1/4 dijela puta, treba prijeći 1/8 dijela puta; a još prije toga treba proći 1/16 puta, a prije toga - 1/32, a prije toga - 1/64, a prije toga - 1/128, i tako u nedogled. Dakle, da krenem od tačke A to point IN, tijelo mora preći beskonačan broj segmenata ove staze. Da li je moguće proći kroz beskonačnost? Nemoguće! Stoga tijelo nikada neće moći završiti svoj put. Dakle, oči svjedoče da će se put proći, ali misao, naprotiv, to poriče (vidljivo protivreči zamislivom).

Još jedna poznata aporija Zenona iz Eleje - "Ahilej i kornjača" - kaže da možemo dobro vidjeti kako brzonogi Ahil sustiže i sustiže kornjaču koja polako puzi ispred njega; Međutim, mentalna analiza nas dovodi do neobičnog zaključka da Ahilej nikada ne može sustići kornjaču, iako se kreće 10 puta brže od nje. Kada pređe razdaljinu do kornjače, tada će za isto vrijeme (uostalom i ona se kreće) preći 10 puta manje (pošto se kreće 10 puta sporije), odnosno 1/10 puta kojim je prešao Ahilej, a ovo 1/10. će biti ispred njega.

Kada Ahilej pređe ovu 1/10 puta, kornjača će preći 10 puta manju udaljenost za isto vreme, odnosno 1/100 puta i biće ispred Ahila za ovu 1/100. Kada prođe 1/100-tu stazu koja ga razdvaja od kornjače, tada će ona istovremeno preći 1/1000-tu stazu, ostajući ispred Ahila, i tako u nedogled. Dakle, ponovo smo uvjereni da nam oči govore o jednoj stvari, a misao - o nečemu sasvim drugom (vidljivo negira zamislivo).

Još jedna Zenonova aporija - "Strijela" - poziva nas da mentalno razmotrimo let strijele iz jedne tačke u prostoru u drugu. Naše oči, naravno, pokazuju da strijela leti ili se kreće. Međutim, šta će se dogoditi ako pokušamo, apstrahujući od vizuelnog utiska, zamisliti njegov let? Da bismo to učinili, postavimo sebi jednostavno pitanje: gdje je sada leteća strijela? Ako u odgovoru na ovo pitanje kažemo npr. Ona je sada ovde ili Ona je sada ovde ili Ona je sada tamo onda će svi ovi odgovori značiti ne let strele, već upravo njenu nepokretnost, jer biće ovdje, ili ovdje, ili tamo - znači mirovati i ne kretati se. Kako možemo odgovoriti na pitanje - gdje je sada leteća strijela - na način da odgovor odražava njen let, a ne njenu nepokretnost? Jedini mogući odgovor u ovom slučaju bi trebao biti sljedeći: Ona je sada svuda i nigde. Ali da li je moguće biti svuda i nigde u isto vreme? Dakle, kada smo pokušavali da zamislimo let strele, naišli smo na logičku kontradikciju, na apsurd – strela je svuda i nigde. Ispada da se kretanje strijele može vidjeti, ali se ne može zamisliti, zbog čega je nemoguće, kao i svako kretanje općenito. Drugim riječima, kretanje, sa stanovišta misli, a ne iz čulnih percepcija, znači biti na određenom mjestu i ne biti na njemu u isto vrijeme, što je, naravno, nemoguće.

Zenon je u svojoj aporiji u „sučeljavanju“ spojio podatke čula (govoreći o mnogostrukosti, deljivosti i kretanju svega što postoji, uveravajući nas da će brzonogi Ahil sustići sporu kornjaču, a strelicu će dostići cilj) i spekulacije (koje ne mogu zamisliti kretanje ili mnoštvo objekata svijeta, a da ne padnu u kontradikciju).

Jednom, kada je Zenon demonstrirao gomili ljudi nepojmljivost i nemogućnost kretanja, među njegovim slušaocima bio je i podjednako poznati filozof Diogen iz Sinope u staroj Grčkoj. Ne rekavši ništa, ustao je i počeo hodati uokolo, vjerujući da time bolje od bilo koje riječi dokazuje stvarnost kretanja. Međutim, Zenon nije bio u nedoumici i odgovorio je: „Ne hodajte i ne mašite rukama, već pokušajte da umom riješite ovaj složeni problem. O ovoj situaciji postoji čak i sljedeća pjesma A. S. Puškina:

Nema pokreta, rekao je bradati mudrac,

Drugi je ućutao i krenuo ispred njega.

Nije se mogao snažnije usprotiviti;

Svi su pohvalili zamršen odgovor.

Ali, gospodo, ovo je smiješan slučaj

Još jedan primjer mi pada na pamet:

Uostalom, svaki dan Sunce hoda ispred nas,

Međutim, tvrdoglavi Galileo je u pravu.

I zaista, sasvim jasno vidimo da se Sunce kreće po nebu svaki dan od istoka prema zapadu, ali je u stvari nepomično (u odnosu na Zemlju). Pa zašto onda ne pretpostavimo da drugi objekti koje vidimo da se kreću zapravo mogu biti nepomični i ne požurimo da kažemo da je Eleatski mislilac pogrešio?

Kao što je već navedeno, mnogi načini za rješavanje i prevazilaženje paradoksa su stvoreni u logici. Međutim, nijedan od njih nije bez primjedbi i nije općeprihvaćen. Razmatranje ovih metoda je dug i zamoran teorijski postupak, koji u ovom slučaju ostaje izvan naše pažnje. Radoznali čitalac će u dodatnoj literaturi moći da se upozna sa različitim pristupima rešavanju problema logičkih paradoksa. Logički paradoksi pružaju dokaz da logika, kao i svaka druga nauka, nije potpuna, već da se stalno razvija. Očigledno, paradoksi upućuju na neke duboke probleme logičke teorije, podižu veo nad nečim što još nije sasvim poznato i shvaćeno i ocrtavaju nove horizonte u razvoju logike.

Poznato je da je formulisanje problema često važnije i teže od njegovog rješavanja. „U nauci“, napisao je engleski hemičar F. Sodi, „problem, pravilno postavljen, više od polovine je rešen. Proces mentalne pripreme potreban da bi se shvatilo da određeni problem postoji često traje više vremena nego rješavanje samog problema.”
Oblici u kojima se problemska situacija manifestuje i prepoznaje veoma su raznoliki. Ne otkriva se uvijek u obliku direktnog pitanja koje se postavlja na samom početku studije. Svijet problema je složen koliko i proces spoznaje koji ih generiše. Identifikacija problema vezana je za samu suštinu kreativnog mišljenja. Paradoksi su najzanimljiviji slučaj implicitnih, neupitnih načina postavljanja problema. Paradoksi su uobičajeni u ranim fazama razvoja naučnih teorija, kada se čine prvi koraci u još neistraženom području i najviše opšti principi pristup tome.

Paradoksi i logika

U širem smislu, paradoks je stav koji oštro odstupa od opšteprihvaćenih, ustaljenih, ortodoksnih mišljenja. „Općeprihvaćena mišljenja i ono što se smatra davno odlučenim pitanjem najčešće su vrijedni istraživanja“ (GLihtenberg). Paradoks je početak takvog istraživanja.
Paradoks u užem i specijaliziranijem smislu su dvije suprotstavljene, nespojive tvrdnje, za svaku od kojih postoje naizgled uvjerljivi argumenti.
Najekstremniji oblik paradoksa je antinomija, obrazloženje koje dokazuje ekvivalentnost dvaju iskaza, od kojih je jedna negacija druge.
Paradoksi su posebno poznati u najrigoroznijim i najpreciznijim naukama — matematici i logici. I to nije slučajnost.

Logika- apstraktna nauka. U njemu nema eksperimenata, nema čak ni činjenica u uobičajenom smislu te riječi. Kada konstruiše svoje sisteme, logika na kraju polazi od analize stvarnog mišljenja. Ali rezultati ove analize su sintetički i nediferencirani. Oni nisu iskazi bilo kakvih pojedinačnih procesa ili događaja koje bi teorija trebala objasniti. Takva analiza se očigledno ne može nazvati posmatranjem: konkretan fenomen se uvek posmatra.
Dizajniranje nova teorija, naučnik obično polazi od činjenica, od onoga što se može uočiti u iskustvu. Koliko god slobodna bila njegova kreativna mašta, ona mora uzeti u obzir jednu neizostavnu okolnost: teorija ima smisla samo ako je u skladu sa činjenicama koje se na nju odnose. Teorija koja odstupa od činjenica i zapažanja je nategnuta i nema vrijednost.
Ali ako u logici nema eksperimenata, nema činjenica i samog posmatranja, šta onda koči logičku fantaziju? Koji se faktori, ako ne činjenice, uzimaju u obzir prilikom stvaranja novih logičkih teorija?
Nesklad između logičke teorije i prakse stvarnog mišljenja često se otkriva u obliku manje ili više akutnog logičkog paradoksa, a ponekad čak i u obliku logičke antinomije, što govori o unutrašnjoj nedosljednosti teorije. To upravo objašnjava važnost koja se pridaje paradoksima u logici i veliku pažnju koju u njima uživaju.

Varijante paradoksa lažova

Najpoznatiji i, možda, najzanimljiviji od svih logičkih paradoksa je paradoks „lažljivca“. Upravo je on taj koji je uglavnom proslavio ime Eubulida iz Mileta, koji ga je otkrio.
Postoje varijacije ovog paradoksa ili antinomije, od kojih su mnoge samo naizgled paradoksalne.
U najjednostavnijoj verziji "Lažljivca", osoba izgovara samo jednu frazu: "Lažem". Ili kaže: "Izjava koju sada iznosim je lažna." Ili: “Ova izjava je lažna.”

Ako je izjava lažna, onda je govornik rekao istinu, a to znači da ono što je rekao nije laž. Ako izjava nije lažna, ali govornik tvrdi da je lažna, onda je njegova izjava lažna. Ispada, dakle, da ako govornik laže, on govori istinu, i obrnuto.

U srednjem vijeku bila je uobičajena sljedeća formulacija:

„Ono što je Platon rekao je laž“, kaže Sokrat.

„Ono što je Sokrat rekao je istina“, kaže Platon.

Postavlja se pitanje ko od njih izražava istinu, a koji laž?
Evo modernog preformulisanja ovog paradoksa. Recimo da su na prednjoj strani kartice ispisane samo riječi: "Na drugoj strani ove kartice je ispisana istinita izjava." Jasno je da ove riječi predstavljaju značajnu izjavu. Okrećući karticu, moramo ili pronaći obećanu izjavu, ili je nema. Ako je napisano na poleđini, onda je ili tačno ili nije. Međutim, na poleđini su riječi: “Na drugoj strani ove kartice je ispisana lažna izjava” - i ništa više. Pretpostavimo da je izjava na prednjoj strani tačna. Tada izjava na poleđini mora biti istinita i stoga izjava na prednjoj strani mora biti lažna. Ali ako je izjava na prednjoj strani lažna, onda izjava na poleđini također mora biti lažna, pa stoga izjava na prednjoj strani mora biti istinita. Rezultat je paradoks.
Paradoks lažova ostavio je veliki utisak na Grke. I lako je shvatiti zašto. Pitanje koje postavlja na prvi pogled izgleda prilično jednostavno: laže li onaj ko samo kaže da laže? Ali odgovor „da“ dovodi do odgovora „ne“, i obrnuto. A promišljanje uopšte ne razjašnjava situaciju. Iza jednostavnosti, pa čak i rutine pitanja, ono otkriva neku nejasnu i neizmjernu dubinu.
Postoji čak i legenda da je izvjesni Filit Kossky, očajan da riješi ovaj paradoks, izvršio samoubistvo. Kažu i da se jedan od poznatih antičkih grčkih logičara, Diodorus Kronos, već u padu godina zakleo da neće jesti dok ne pronađe rješenje za “Lažljivca” i ubrzo umro ne postigavši ​​ništa.
U srednjem vijeku ovaj paradoks je svrstan u jednu od tzv. neodlučivih rečenica i postao je predmet sistematske analize, au modernom vremenu “Lažov” dugo nije privlačio pažnju. Kod njega nisu vidjeli nikakve, čak ni manje poteškoće u upotrebi jezika. I to samo u našoj tzv modernim vremenima Razvoj logike je konačno dostigao nivo na kojem je postalo moguće strogo formulisati probleme koji izgledaju iza ovog paradoksa.
Sada se "Lažov" - ovaj tipični nekadašnji sofizam - često naziva kraljem logičkih paradoksa. Njemu je posvećena obimna naučna literatura. Pa ipak, kao i kod mnogih drugih paradoksa, ostaje nejasno koji se problemi kriju iza toga i kako ih se riješiti.

Jezik i metajezik

Sada se “Lažov” obično smatra karakterističnim primjerom poteškoća koje proizlaze iz zbrke dvaju jezika: jezika koji govori o stvarnosti koja leži izvan sebe i jezika koji govori o samom prvom jeziku.

U svakodnevnom jeziku ne postoji razlika između ovih nivoa: mi govorimo i o stvarnosti i o jeziku na istom jeziku. Na primjer, osoba čiji je maternji jezik ruski ne vidi nikakvu posebnu razliku između izjava: „Staklo je prozirno“ i „Tačno je da je staklo providno“, iako je jedna o staklu, a druga o izjava o staklu.
Ako bi neko imao ideju o potrebi da se na jednom jeziku govori o svetu, a na drugom o svojstvima ovog jezika, mogao bi da koristi dva različita postojeća jezika, recimo ruski i engleski. Umjesto da se jednostavno kaže: „Krava je imenica“, rekli bi se „Krava je imenica“, a umjesto: „Tvrdnja „Staklo nije providna“ je netačna.“ Sa dva različita jezika koja se koriste na ovaj način, ono što se govori o svijetu jasno bi se razlikovalo od onoga što se govori o jeziku kojim se svijetom govori. U stvari, prve izjave bi se odnosile na ruski jezik, dok bi se druge odnosile na engleski.

Ako bi naš jezični stručnjak dalje želio da progovori o nekim okolnostima vezanim za engleski jezik, mogao bi koristiti drugi jezik. Recimo nemački. Da bismo razgovarali o ovoj posljednjoj tački, moglo bi se pribjeći, recimo, tome španski itd.
Dakle, ono što se pojavljuje je neka vrsta ljestvice, ili hijerarhije, jezika, od kojih se svaki koristi za vrlo specifičnu svrhu: u prvom govore o objektivnom svijetu, u drugom o ovom prvom jeziku, u trećem o drugi jezik itd. Takva razlika između jezika prema području njihove primjene rijetka je pojava u svakodnevnom životu. Ali u naukama koje se posebno bave jezicima, poput logike, ponekad se ispostavi da je vrlo korisno. Jezik na kojem se govori o svijetu obično se naziva predmetni jezik. Jezik koji se koristi za opisivanje predmetnog jezika naziva se metajezik.

Jasno je da ako se jezik i metajezik razlikuju na ovaj način, izjava „lažem“ se više ne može formulisati. Govori o neistinitosti onoga što je rečeno na ruskom, te stoga pripada metajeziku i mora se izraziti na engleski jezik. Konkretno, trebalo bi da zvuči ovako: „Sve što govorim na ruskom je lažno“ („Sve što sam rekao na ruskom je lažno“); ova engleska izjava ne govori ništa o njemu samom i ne nastaje nikakav paradoks.
Razlika između jezika i metajezika omogućava nam da eliminišemo paradoks „lažljivca“. Tako postaje moguće ispravno, bez kontradiktornosti, definirati klasični koncept istine: izjava je istinita ako odgovara stvarnosti koju opisuje.
Pojam istine, kao i svi drugi semantički koncepti, relativan je po prirodi: uvijek se može pripisati određenom jeziku.

Kako je pokazao poljski logičar ATarski, klasična definicija istine mora biti formulisana na jeziku širem od jezika za koji je namenjena. Drugim riječima, ako želimo naznačiti šta znači izraz „izjava istinita u datom jeziku“, moramo, osim izraza ovog jezika, koristiti i izraze koji nisu u njemu.
Tarski je uveo koncept semantički zatvorenog jezika. Takav jezik, pored izraza, uključuje i njihova imena, ali i, što je važno naglasiti, iskaze o istinitosti rečenica koje su u njemu formulisane.

Ne postoji granica između jezika i metajezika u semantički zatvorenom jeziku. Njegova sredstva su toliko bogata da omogućavaju ne samo da se tvrdi nešto o vanjezičkoj stvarnosti, već i da se ocijeni istinitost takvih izjava. Ova sredstva su dovoljna, posebno, za reprodukciju antinomije „Lažljivac“ u jeziku. Dakle, semantički zatvoren jezik ispada interno kontradiktornim. Svaki prirodni jezik je očigledno semantički zatvoren.
Jedini prihvatljiv način da se eliminiše antinomija, a samim tim i unutrašnja nedoslednost, prema Tarskom, jeste odbijanje upotrebe semantički zatvorenog jezika. Ovaj put je prihvatljiv, naravno, samo u slučaju vještačkih, formaliziranih jezika koji omogućavaju jasnu podelu na jezik i metajezik. U prirodnim jezicima, sa njihovom nejasnom strukturom i mogućnošću da se o svemu priča na istom jeziku, ovakav pristup nije baš realističan. Nema smisla postavljati pitanje unutrašnje konzistentnosti ovih jezika. Njihove bogate izražajne mogućnosti imaju i svoju lošu stranu – paradokse.

Druga rješenja paradoksa

Dakle, postoje izjave koje govore o vlastitoj istini ili neistini. Ideja da ovakve izjave nemaju smisla je vrlo stara. Branio ga je starogrčki logičar Krisip.
U srednjem vijeku, engleski filozof i logičar W. Ockham je izjavio da je izjava “Svaka izjava lažna” besmislena, jer govori, između ostalog, i o vlastitoj neistinitosti. Iz ove izjave direktno slijedi kontradikcija. Ako je svaka izjava lažna, onda se to odnosi na samu izjavu; ali činjenica da je lažna znači da nije svaka izjava lažna.

Slična je situacija i sa tvrdnjom “Svaka izjava je tačna”. Također ga treba klasificirati kao besmisleno i također dovodi do kontradikcije: ako je svaka izjava istinita, onda je istinita i negacija te izjave, odnosno izjava da nije svaka izjava istinita.
Zašto, međutim, izjava ne može smisleno govoriti o svojoj istini ili neistini?
Već savremenik Occam-a, francuskog filozofa iz 14. vijeka. J. Buridan se nije složio sa njegovom odlukom. Sa stanovišta običnih ideja o besmislenosti, izrazi poput „lažem“, „Svaka izjava je tačna (netačna)“ itd. prilično smisleno. O čemu možete razmišljati, o čemu možete govoriti - to je opći princip Buridana. Osoba može razmišljati o istinitosti izjave koju izgovara, što znači da može o njoj govoriti. Nije svaki razgovor o sebi besmislen. Na primjer, izjava “Ova rečenica je napisana na ruskom” je tačna, ali izjava “U ovoj rečenici ima deset riječi” je netačna. I oba imaju savršenog smisla. Ako je dozvoljeno da izjava može govoriti o sebi, zašto onda ne može smisleno govoriti o takvom svojstvu kao što je istina?
Sam Buridan smatrao je izjavu “lažem” ne besmislenom, već lažnom. On je to ovako opravdao.

Kada osoba tvrdi da je prijedlog, on time tvrdi da je istinit. Ako rečenica za sebe kaže da je i sama lažna, onda je to samo skraćena formulacija složenijeg izraza koji potvrđuje i svoju istinitost i svoju neistinitost. Ovaj izraz je kontradiktoran i stoga lažan. Ali to nikako nije besmisleno.

Buridanov argument se još uvijek ponekad smatra uvjerljivim.
Postoje i druga područja kritike rješenja paradoksa „lažljivaca“, koje je Tarski detaljno razradio. Zar zaista nema protuotrova za paradokse ovog tipa u semantički zatvorenim jezicima - a takvi su svi prirodni jezici?
Kad bi to bilo tako, onda bi pojam istine mogao biti striktno definiran samo u formaliziranim jezicima. Samo u njima je moguće razlikovati predmetni jezik kojim se govori o svijetu oko nas i metajezik kojim se govori o ovom jeziku. Ova hijerarhija jezika izgrađena je po modelu usvajanja strani jezik uz pomoć domorodca. Proučavanje takve hijerarhije dovelo je do mnogih zanimljivih zaključaka, au određenim slučajevima i značajnog. Ali to nije na prirodnom jeziku. Hoće li ga to diskreditirati? I ako jeste, u kojoj mjeri? Uostalom, u njemu se još uvijek koristi koncept istine, i to obično bez ikakvih komplikacija. Je uvođenje hijerarhije jedini način izuzimajući paradokse poput „Lažljivac?“

1930-ih, odgovori na ova pitanja izgledali su nesumnjivo potvrdni. Međutim, sada nekadašnje jednoumlje više nema, iako je tradicija eliminisanja paradoksa ovog tipa „stratifikacijom“ jezika i dalje dominantna.
IN U poslednje vreme Egocentrični izrazi privlače sve više pažnje. Oni sadrže riječi poput „ja“, „ovo“, „ovdje“, „sada“, a njihova istinitost ovisi o tome kada, ko i gdje ih koristi.

U izjavi “Ova izjava je netačna” pojavljuje se riječ “to”. Na koji se objekat tačno odnosi? “Lažljivac” možda kaže da riječ “to” nije relevantna za značenje izjave. Ali na šta se onda odnosi, šta znači? I zašto se ovo značenje još uvijek ne može označiti riječju "ovo"?
Ne ulazeći ovdje u detalje, samo je vrijedno napomenuti da je u kontekstu analize egocentričnih izraza “Lažljivac” ispunjen potpuno drugačijim sadržajem nego ranije. Ispostavilo se da on više ne upozorava na brkanje jezika i metajezika, već ukazuje na opasnosti povezane s pogrešnom upotrebom riječi “to” i sličnih egocentričnih riječi.
Problemi povezani sa “Lažovom” tokom vekova radikalno su se menjali u zavisnosti od toga da li se na njega gledalo kao na primer dvosmislenosti, ili kao na izraz koji se spolja pojavljuje kao primer zbrke jezika i metajezika, ili, konačno, kao tipičan primjer zloupotrebe egocentričnih izraza. I nema sigurnosti da drugi problemi neće biti povezani sa ovim paradoksom u budućnosti.

Čuveni moderni finski logičar i filozof G. von Wright je u svom djelu posvećenom “Lažljivcu” napisao da ovaj paradoks ni u kom slučaju ne treba shvatiti kao lokalnu, izoliranu prepreku koja se može otkloniti jednim inventivnim pokretom misli. “Lažljivac” dotiče mnoge od njih važne teme logiku i semantiku. Ovo je definicija istine, i tumačenje kontradikcije i dokaza, i čitav niz važnih razlika: između rečenice i misli koju izražava, između upotrebe izraza i njegovog spominjanja, između značenja imena i objekat koji označava.
Slična je situacija i sa drugim logičkim paradoksima. “Antinomije logike”, piše von Wrigg, “zagonetke su nas od svog otkrića i vjerovatno će nas uvijek zbunjivati. Mislim da ih moramo posmatrati ne toliko kao probleme koji čekaju rešenje, već kao nepresušnu sirovinu za razmišljanje. Oni su važni jer razmišljanje o njima dotiče najosnovnija pitanja svake logike, a time i svakog mišljenja.”

Da zaključimo ovaj razgovor o “Lažljivcu”, možemo se prisjetiti jedne neobične epizode iz vremena kada se formalna logika još uvijek učila u školi. U udžbeniku logike objavljenom kasnih 40-ih, učenicima osmog razreda ponuđeni su zadaća- kao zagrijavanje, da tako kažem, da pronađemo grešku napravljenu u ovoj naizgled jednostavnoj izjavi: "Lažem." I, iako to možda ne izgleda čudno, vjerovalo se da se većina školaraca uspješno nosi sa ovim zadatkom.

§ 2. Raselov paradoks

Najpoznatiji od paradoksa otkrivenih već u našem veku je antinomija koju je otkrio B. Rasel i koju je on saopštio u pismu G. Fergeu. O istoj antinomiji su istovremeno u Getingenu raspravljali nemački matematičari Z. Zermelo i D. Hilbert.
Ideja je bila u zraku, a njeno objavljivanje je imalo efekat eksplozije bombe. Ovaj paradoks izazvao je, prema Hilbertu, efekat potpune katastrofe u matematici. Najjednostavniji i najvažniji logički metodi, najčešći i najkorisniji koncepti su ugroženi.
Odmah je postalo očigledno da ni u logici ni u matematici, u čitavoj dugoj istoriji njihovog postojanja, nije razvijeno apsolutno ništa što bi moglo poslužiti kao osnova. eliminisanje antinomije. Odmak od konvencionalnih načina razmišljanja bio je očigledno neophodan. Ali s kojeg mjesta i u kom pravcu? Koliko bi bilo radikalno odvojiti se od ustaljenih načina teoretiziranja?
S daljnjim istraživanjem antinomije, uvjerenje o potrebi za fundamentalno novim pristupom stalno je raslo. Pola veka nakon njegovog otkrića, stručnjaci za osnove logike i matematike L. Frenkel i I. Bar-Hillel već su bez ikakvih rezervi izjavili: „Smatramo da će svaki pokušaj da se iz situacije izvuče tradicionalnim (tj. onima u upotrebe prije 20. stoljeća) načini razmišljanja, koji su do sada uporno propadali, očigledno su nedovoljni za ovu svrhu.”
Moderni američki logičar H. Curry je nešto kasnije pisao o ovom paradoksu: „U smislu logike poznate u 19. veku, situacija se jednostavno nije mogla objasniti, iako, naravno, u našem obrazovanom dobu možda postoje ljudi koji će videti (ili misle da će vidjeti), u čemu je greška.”

Raselov paradoks u svom izvornom obliku povezan je s konceptom skupa, odnosno klase.
Možemo razgovarati o setovima razni objekti, na primjer, o skupu svih ljudi ili skupu prirodnih brojeva. Element prvog skupa će biti svaka pojedinačna osoba, element drugog skupa će biti svaki prirodni broj. Dozvoljeno je i same skupove smatrati nekim objektima i govoriti o skupovima skupova. Možete čak uvesti koncepte kao što je skup svih skupova ili skup svih koncepata.

Set običnih kompleta

Što se tiče bilo kojeg proizvoljnog skupa, čini se razumnim zapitati se da li je to njegov vlastiti element ili ne. Skupovi koji sami sebe ne sadrže kao element nazivat će se običnim. Na primjer, skup svih ljudi nije osoba, kao što skup atoma nije atom. Setovi koji su sami po sebi bit će neobični. Na primjer, skup koji ujedinjuje sve skupove je skup i stoga sadrži sebe kao element.
Razmotrimo sada skup svih običnih skupova. Pošto je mnogo, može se i zapitati, da li je obična ili neobična. Međutim, ispada da je odgovor obeshrabrujući. Ako je običan, onda, prema svojoj definiciji, mora sadržavati sebe kao element, budući da sadrži sve obične skupove. Ali to znači da je to neobičan set. Pretpostavka da je naš skup običan skup stoga dovodi do kontradikcije. To znači da ne može biti običan. S druge strane, ni to ne može biti neobično: neobičan skup sadrži sebe kao element, a elementi našeg skupa su samo obični skupovi. Kao rezultat, dolazimo do zaključka da skup svih običnih skupova ne može biti ni običan ni neobičan skup.

Dakle, skup svih skupova koji nisu pravi elementi je vlastiti element ako i samo ako nije takav element. Ovo je jasna kontradikcija. A dobijen je na osnovu najvjerovatnijih pretpostavki i uz pomoć naizgled neospornih koraka.Protivrečnost sugeriše da takav skup jednostavno ne postoji. Ali zašto ne može postojati? Na kraju krajeva, sastoji se od objekata koji zadovoljavaju jasno definiran uvjet, a sam uvjet ne izgleda nekako izuzetan ili nejasan. Ako tako jednostavno i jasno definiran skup ne može postojati, u čemu je, zapravo, razlika između mogućih i nemogućih skupova? Zaključak o nepostojanju dotičnog skupa zvuči neočekivano i izaziva zabrinutost. To čini naš opći koncept skupa amorfnim i haotičnim, i nema garancije da ne može dovesti do nekih novih paradoksa.

Raselov paradoks je izuzetan po svojoj ekstremnoj opštosti. Da biste ga konstruirali, nisu vam potrebni nikakvi složeni tehnički koncepti, kao u slučaju nekih drugih paradoksa, dovoljni su koncepti „skup“ i „element skupa“. Ali ova jednostavnost govori upravo o njenoj fundamentalnoj prirodi: ona zadire u najdublje temelje našeg razmišljanja o skupovima, budući da ne govori o nekim posebnim slučajevima, i općenito o skupovima.

Druge verzije paradoksa

Raselov paradoks nije specifično matematičke prirode. Koristi koncept skupa, ali ne dotiče nikakva posebna svojstva vezana specifično za matematiku.
Ovo postaje očigledno ako preformulišemo paradoks u čisto logičkim terminima.

Za svako svojstvo se, po svoj prilici, može zapitati da li se ono odnosi na sebe ili ne.
Svojstvo da je vruće, na primjer, ne odnosi se na sebe, budući da ono samo po sebi nije vruće; svojstvo konkretnosti se takođe ne odnosi na sebe, jer je apstraktno svojstvo. Ali svojstvo biti apstraktan, biti apstraktan, primjenjivo je na sebe. Nazovimo ova svojstva koja se ne mogu primijeniti na sebe. Da li se primjenjuje svojstvo neprimjenjivosti na sebe? Ispada da je neprimjenjivost neprimjenjiva samo ako nije. Ovo je, naravno, paradoksalno.
Logička verzija Raselove antinomije koja se odnosi na svojstvo je jednako paradoksalna kao i njena matematička verzija koja se odnosi na skupove.
Russell je također predložio sljedeću popularnu verziju paradoksa koji je otkrio.

Zamislimo da je vijeće jednog sela ovako definisalo dužnosti berberina: da brije sve muškarce u selu koji se ne briju sami, i samo ove muškarce. Da li treba da se obrije? Ako je tako, onda će liječiti one koji se sami briju, ali one koji se briju ne treba da se briju. Ako ne, on će biti jedan od onih koji se ne briju, pa će se zato morati sam brijati. Tako dolazimo do zaključka da se ovaj brijač sam brije ako i samo ako se ne brije. To je, naravno, nemoguće. Argument o frizeru počiva na pretpostavci da takav frizer postoji. Nastala kontradikcija znači da je ova pretpostavka pogrešna i da nema stanovnika sela koji bi obrijao sve one i samo one seljane koji se ne briju sami.
Dužnosti frizera na prvi pogled ne djeluju kontradiktorno, pa zaključak da ne može postojati zvuči pomalo neočekivano. Ali ovaj zaključak nije paradoksalan. Uslov koji mora da zadovolji seoski berberin je zapravo interno kontradiktoran i stoga ga je nemoguće ispuniti. U selu ne može biti takvog berberina iz istog razloga što u njemu nema starijeg od njega ili koji je rođen prije njegovog rođenja.
Rasprava o frizeru može se nazvati pseudo-paradoksom. Po svom toku, on je striktno sličan Rasellovom paradoksu i zato je zanimljiv. Ali to još uvijek nije pravi paradoks.

Još jedan primjer istog pseudo-paradoksa je čuveni argument o katalogu.
Određena biblioteka je odlučila da sastavi bibliografski katalog koji bi obuhvatio sve one i samo one bibliografske kataloge koji ne sadrže veze na sebe. Treba li takav direktorij uključiti vezu do sebe?
Nije teško pokazati da je ideja stvaranja takvog kataloga neizvediva; jednostavno ne može postojati, jer mora istovremeno uključivati ​​referencu na sebe, a ne uključivati ​​je.
Zanimljivo je primijetiti da se katalogiziranje svih direktorija koji ne sadrže referencu na sebe može smatrati beskonačnim, beskrajnim procesom. Pretpostavimo da je u nekom trenutku sastavljen direktorij, recimo K1, uključujući sve direktorije različite od njega koji ne sadrže veze na sebe. Kreiranjem K1 pojavio se još jedan direktorij koji nije sadržavao vezu na sebe. Budući da je problem napraviti kompletan katalog svih kataloga koji se ne pominju, očito je da K1 nije rješenje. On ne spominje jedan od tih imenika — sebe. Uvrštavanjem ovog njegovog spominjanja u K1, dobijamo katalog K2. Pominje K1, ali ne i sam K2. Dodavanjem takvog spominjanja na K2 dobijamo KZ, koji je opet nepotpun zbog činjenice da se ne spominje. I tako dalje i bez kraja.

§ 3. Paradoksi Grelinga i Berija

Zanimljiv logički paradoks otkrili su njemački logičari K. Grelling i L. Nelson (Grellingov paradoks). Ovaj paradoks se može vrlo jednostavno formulisati.

Autoološke i heterološke riječi

Neke riječi svojstva imaju upravo ono svojstvo koje imenuju. Na primjer, pridjev "ruski" je sam po sebi ruski, "višesložan" je sam po sebi višesložan, a "petosložni" sam po sebi ima pet slogova. Takve riječi koje se odnose na same sebe nazivaju se samovrijednim ili autoološkim.
Nema mnogo sličnih riječi; velika većina prideva nema svojstva koja imenuju. “Novo” nije, naravno, novo, “vruće” je vruće, “jednosložno” je jedan slog, a “engleski” je engleski. Riječi koje nemaju svojstvo koje su njima označene nazivaju se strano značenje ili heterologte. Očigledno je da će svi pridjevi koji označavaju svojstva koja se ne mogu primijeniti na riječi biti heterološki.
Ova podjela prideva u dvije grupe čini se jasnom i bez prigovora. Može se proširiti na imenice: “riječ” je riječ, “imenica” je imenica, ali “sat” nije sat, a “glagol” nije glagol.
Paradoks nastaje čim se postavi pitanje: kojoj od te dvije grupe pripada sam pridjev „heterološki“? Ako je autologno, ima svojstvo koje označava i mora biti heterološko. Ako je heterološka, ​​ona nema svojstvo koje naziva i stoga mora biti autoološka. Postoji paradoks.

Po analogiji sa ovim paradoksom, lako je formulisati druge paradokse iste strukture. Na primjer, da li neko ko ubije svaku ne-suicidalnu osobu i ne ubije nijednu osobu samoubojicu počini samoubistvo ili ne?

Ispostavilo se da je Grelligov paradoks bio poznat još u srednjem vijeku kao antinomija izraza koji se ne imenuje. Može se zamisliti kakav je bio odnos prema sofizmima i paradoksima u moderno doba kada bi problem koji je zahtijevao odgovor i izazvao živu raspravu iznenada zaboravljen i ponovo otkriven tek petsto godina kasnije!

Još jednu, naizgled jednostavnu antinomiju, na samom početku našeg veka ukazao je D. Beri.

Skup prirodnih brojeva je beskonačan. Skup onih naziva za ove brojeve koji su, na primjer, u ruskom jeziku i sadrže manje od, recimo, sto riječi, je konačan. To znači da postoje prirodni brojevi za koje ne postoje nazivi na ruskom jeziku koji se sastoje od manje od stotinu riječi. Među ovim brojevima očigledno je najmanji broj. Ne može se nazvati ruskim izrazom koji sadrži manje od sto riječi. Ali izraz: „Najmanji prirodni broj za koji na ruskom jeziku nema složenog naziva, koji se sastoji od manje od sto riječi“ je upravo naziv ovog broja! Ovo ime je samo formulisano na ruskom jeziku i sadrži samo devetnaest reči. Očigledan paradoks: ispostavilo se da je imenovani broj onaj za koji ne postoji ime!

§ 4. Nerešivi spor

Jedan poznati paradoks zasnovan je na naizgled malom incidentu koji se dogodio prije više od dvije hiljade godina i nije zaboravljen do danas.

Čuveni sofista Protagora, koji je živeo u 5. veku. pne, postojao je student po imenu Euathlus, koji je studirao pravo. Prema sporazumu koji su zaključili, Evatl je morao da plati obuku samo ako dobije prvo suđenje. Ako izgubi ovaj proces, uopšte nije dužan da plati. Međutim, nakon završetka studija, Evatl nije učestvovao u procesima. To je trajalo dosta dugo, nastavniku je ponestalo strpljenja, pa je tužio svog učenika. Dakle, za Euathlusa je ovo bio prvi proces. Protagora je svoj zahtjev obrazložio na sljedeći način:

"Kakva god odluka suda bila, Evatl će mi morati platiti." Ili će dobiti ovo prvo suđenje ili će izgubiti. Ako pobijedi, platit će prema našem dogovoru. Ako izgubi, platit će prema ovoj odluci.

Čini se da je Euathlus bio sposoban učenik, jer je odgovorio Protagori:

- Zaista, ili ću dobiti suđenje ili ga izgubiti. Ako pobijedim, odluka suda će me osloboditi obaveze plaćanja. Ako odluka suda nije u moju korist, to znači da sam izgubio prvi slučaj i neću platiti zbog našeg dogovora.

Rješenja paradoksa Protagore i Euathlusa

Zbunjen ovakvim razvojem događaja, Protagora je posvetio poseban esej ovom sporu s Euathlusom, “Sužba za plaćanje”. Nažalost, ona, kao i većina onoga što je Protagora napisao, nije stigla do nas. Ipak, moramo odati počast Protagori, koji je odmah naslutio problem iza jednostavnog sudskog incidenta koji zaslužuje posebno proučavanje.

G. Leibniz, koji je i sam po obrazovanju pravnik, također je ozbiljno shvatio ovaj spor. U svojoj doktorskoj disertaciji „Studija o konfuznim pravnim slučajevima“ pokušao je da dokaže da svi slučajevi, pa i oni najkomplikovaniji, poput parnice Protagore i Eubatla, moraju naći ispravno rešenje zasnovano na zdravom razumu. Prema Leibnizu, sud bi trebao odbiti Protagoru zbog neblagovremenog podnošenja tužbe, ali bi, međutim, trebalo da zadrži pravo da traži isplatu novca od Euathlusa kasnije, odnosno nakon prvog slučaja koji je dobio.

Predložena su mnoga druga rješenja za ovaj paradoks.

Oni su se posebno osvrnuli na činjenicu da sudska odluka treba da ima veću snagu od privatnog sporazuma između dvije osobe. Na ovo možemo odgovoriti da bez ovog sporazuma, ma koliko on izgledao beznačajno, ne bi bilo ni suda ni njegove odluke. Na kraju krajeva, sud mora da donese odluku upravo o tome i na osnovu toga.

Takođe su se okrenuli opštem principu da se sav rad, a samim tim i rad Protagore, mora platiti. Ali poznato je da je ovaj princip oduvijek imao izuzetke, posebno u robovlasničkom društvu. Štaviše, to jednostavno nije primjenjivo na konkretnu situaciju spora: na kraju krajeva, Protagora je, iako je garantirao visok nivo obuke, i sam odbio da prihvati isplatu ako njegov učenik nije uspio u prvom procesu.

Ponekad se ovako svađaju. I Protagora i Euatlus su djelimično u pravu, a nijedan od njih uopšte nije u pravu. Svaki od njih uzima u obzir samo polovinu mogućnosti koje su im korisne. Potpuno ili sveobuhvatno razmatranje otvara četiri mogućnosti, od kojih je samo polovina korisna za jednog od učesnika u sporu. Koja od ovih mogućnosti će se ostvariti, neće odlučivati ​​logika, već život. Ako presuda sudija ima veću snagu od ugovora, Euathlus će morati da plati samo ako izgubi slučaj, tj. na osnovu sudske odluke. Ako je privatni ugovor postavljen više od odluke sudija, onda će Protagora dobiti isplatu samo ako Euathlus izgubi proces, tj. na osnovu sporazuma sa Protagorom.Ovaj poziv na život potpuno sve zbunjuje. Čime se, ako ne logikom, sudije mogu rukovoditi u uslovima kada su sve relevantne okolnosti potpuno jasne? A kakvo će to biti vođstvo ako Protagora, koji traži isplatu preko suda, to postigne samo gubitkom procesa?

Međutim, Leibnizovo rješenje, koje na prvi pogled djeluje uvjerljivo, nešto je bolje od nejasne opozicije logike i života. U suštini, Leibniz predlaže da se retroaktivno zamijeni tekst ugovora i odredi da prvo suđenje Euathlusa, čiji će ishod odlučiti o pitanju plaćanja, ne bude suđenje Protagori. Ova misao je duboka, ali nije vezana za određeni sud. Da je takva klauzula postojala u prvobitnom sporazumu, ne bi bilo potrebe za sudskim sporom.

Ako pod rješenjem ove poteškoće podrazumijevamo odgovor na pitanje treba li Euathlus platiti Protagori ili ne, onda su sva ova, kao i sva druga zamisliva rješenja, naravno neodrživa. Oni ne predstavljaju ništa drugo do udaljavanje od suštine spora; oni su, da tako kažem, sofistički trikovi i trikovi u bezizlaznoj i nerazrješivoj situaciji. Ni za jedno ni za drugo zdrav razum, niti bilo koja opšta načela koja se tiču ​​društvenih odnosa nisu u stanju da reše spor.
Nemoguće je zajedno izvršiti ugovor u izvornom obliku i sudsku odluku, kakva god da je potonja. Da bi se ovo dokazalo, dovoljna su jednostavna logička sredstva. Koristeći ista sredstva, može se pokazati i da je ugovor, uprkos svom potpuno nevinom izgledu, iznutra kontradiktoran. Zahtijeva implementaciju logički nemoguće prijedloga: Evatl mora istovremeno platiti obuku i istovremeno ne platiti.

Pravila koja vode u ćorsokak

Naravno, ljudskom umu, naviklom ne samo na svoju snagu, već i na njegovu fleksibilnost, pa čak i snalažljivost, teško je pomiriti se s tim apsolutnim beznađem i priznati da je zaveden u ćorsokak. Ovo je posebno teško kada situaciju zastoja stvara sam um: on, da tako kažem, posrće iz vedra neba i završi u svojim mrežama. Pa ipak, moramo priznati da ponekad, ali ne tako retko, dogovori i sistemi pravila, nastali spontano ili namerno uvedeni, dovode do nerešivih, bezizlaznih situacija.

Primjer iz nedavnog šahovskog života još jednom će potvrditi ovu ideju.

Međunarodna pravila za šahovska takmičenja obavezuju šahiste da jasno i čitko bilježe potez po potez. Donedavno je u pravilima stajalo i da šahista koji je zbog nedostatka vremena propustio da snimi nekoliko poteza mora, „čim mu vremenska muka prođe, odmah popuniti formular, bilježeći propuštene poteze“. Na osnovu ovog uputstva, jedan sudija na Šahovskoj olimpijadi 1980. (Malta) prekinuo je partiju pod velikim vremenskim pritiskom i zaustavio sat, rekavši da su kontrolni potezi napravljeni i da je vreme da se zapisnici partija stave u red.

„Ali izvinite“, povikao je učesnik, koji je bio na ivici gubitka i računajući samo na žestinu strasti na kraju utakmice, „na kraju krajeva, ni jedna zastava još nije pala i niko nikada ne može (ovo je također zapisano u pravilima) recite koliko je poteza napravljeno.”
Sudiju je, međutim, podržao i glavni arbitar, koji je izjavio da je, zaista, pošto je vremenska muka prošla, neophodno, po slovu pravila, početi sa evidentiranjem promašenih poteza.
U ovoj situaciji nije imalo smisla raspravljati: sama pravila su dovela do ćorsokaka. Preostalo je samo da se izmijene njihove formulacije kako se slični slučajevi ne bi javljali u budućnosti.
To je učinjeno na kongresu Međunarodne šahovske federacije, koji se održavao u isto vrijeme: umjesto riječi „čim prestane vremenski pritisak“, pravila sada glase: „čim zastava označava kraj vrijeme.”
Ovaj primjer jasno pokazuje kako se ponašati u situacijama zastoja. Beskorisno je raspravljati o tome koja je strana u pravu: spor je nerješiv i neće biti pobjednika. Ostaje samo da se pomirimo sa sadašnjošću i vodimo računa o budućnosti. Da biste to učinili, morate preformulisati originalne sporazume ili pravila tako da nikoga drugog ne dovedu u istu bezizlaznu situaciju.
Naravno, takvo postupanje nije rješenje nerješivog spora ili izlaz iz bezizlazne situacije. To je prije zaustavljanje ispred nepremostive prepreke i puta oko nje.

Paradoks "Krokodil i majka"

U staroj Grčkoj, priča o krokodilu i majci, koja se po svom logičkom sadržaju poklapa sa paradoksom „Protagora i Euatlus“, bila je veoma popularna.
Krokodil je oteo njeno dijete od Egipćanke koja je stajala na obali rijeke. Na njenu molbu da vrati dete, krokodil je, prolivajući, kao i uvek, krokodilsku suzu, odgovorio:

“Tvoja nesreća me je dirnula i daću ti priliku da vratiš svoje dijete.” Pogodi da li ću ti ga dati ili ne. Ako tačno odgovoriš, vratiću dete. Ako ne pogodiš, neću ga dati.

Nakon razmišljanja, majka je odgovorila:

- Nećeš mi dati dijete.

"Nećete ga dobiti", zaključio je krokodil. “Ili ste rekli istinu ili niste rekli istinu.” Ako je istina da neću dati dijete, neću ga dati, jer inače neće biti istina. Ako ovo što je rečeno nije tačno, onda niste tačno pogodili, a ja se po dogovoru neću odreći deteta.

Međutim, majci ovo rezonovanje nije bilo uvjerljivo.

“Ali ako sam rekao istinu, onda ćeš mi dati dijete, kako smo se dogovorili.” Ako nisam pogodio da se nećete odreći djeteta, onda ga morate dati meni, inače ovo što sam rekao neće biti neistina.

Ko je u pravu: majka ili krokodil? Na šta obećanje koje je dao obavezuje krokodila? Dati dete ili, naprotiv, ne dati ga? I za oboje u isto vrijeme. Ovo obećanje je iznutra kontradiktorno i stoga nije ispunjeno po zakonima logike.
Misionar je završio sa kanibalima i stigao taman na ručak. Omogućuju mu da odabere u kom obliku će ga jesti. Da bi to učinio, mora izgovoriti neku izjavu uz uvjet da će ga, ako se pokaže istinitom, prokuvati, a ako se pokaže da je lažna, spržit će ga.

Šta biste trebali reći misionaru?

Naravno, on mora reći: "Ispeći ćeš me."

Ako je zaista pržen, ispostaviće se da je govorio istinu, a to znači da mora biti prokuhan. Ako je prokuhan, njegova izjava će biti lažna i treba ga samo spržiti. Kanibali neće imati izbora: od "pržiti" dolazi "kuvati" i obrnuto.

Ova epizoda s lukavim misionarom je, naravno, još jedna parafraza spora između Protagore i Euathlusa.

Paradoks Sanča Panze

Jedan stari paradoks, poznat još u staroj Grčkoj, odigran je u „Don Kihotu“ M. Servantesa. Sančo Panza je postao guverner ostrva Baratarija i upravlja sudom.
Prvi koji mu dolazi posetilac i kaže: „Gospodine, jedno imanje je podeljeno na dve polovine rekom punom vodom... Dakle, postoji most preko ove reke, a tu na ivici postoji vješalo i postoji nešto kao sud, u kojem obično sjedi četiri sudije, a oni sude na osnovu zakona koji izdaje vlasnik rijeke, mosta i cijelog imanja, koji je zakon sastavljen u ovom način: „Svako ko prelazi mostom preko ove rijeke mora se pod zakletvom izjasniti: kuda i zašto ide, i ko govori istinu neka prođu, a one koji lažu, bez ikakve popustljivosti, pošaljite ih na vješala koja se tamo nalaze i pogubi ih.” Od kada je ovaj zakon u svoj svojoj strogosti proglašen, mnogi su uspeli da pređu most, a čim su se sudije uverile da prolaznici govore istinu, pustili su ih da prođu. Ali onda se jednog dana neki čovjek, položen zakletvom, zakleo i rekao: kune se da je došao da bude obješen baš na ova vješala, i ni za što drugo. Ova zakletva je zbunila sudije, pa su oni rekli: „Ako dopustimo ovom čovjeku da nesmetano nastavi, to će značiti da je prekršio zakletvu i da je po zakonu kriv za smrt; ako ga objesimo, onda se zakleo da je došao samo da bi bio obješen na ovim vješalima, dakle, njegova zakletva, ispostavilo se, nije lažna i na osnovu istog zakona treba ga pustiti.” I zato vas pitam, gospodine guverneru, šta da rade sudije sa ovim čovekom, jer su i dalje zbunjeni i neodlučni...
Sancho je predložio, možda ne bez lukavstva: neka se pusti polovina onoga koji je rekao istinu, a polovina koja je lagala neka bude obješena i tako će se u potpunosti poštovati pravila prelaska mosta. Ovaj odlomak je zanimljiv na više načina.
Prije svega, to je jasna ilustracija činjenice da se s bezizlaznom situacijom opisanom u paradoksu može susresti – i to ne u čistoj teoriji, već u praksi – ako ne stvarna osoba, onda barem književni junak.

Rješenje koje je predložio Sancho Panza, naravno, nije rješenje paradoksa. Ali upravo je to bilo rješenje kojem se u njegovoj situaciji preostalo samo pribjeći.
Nekada davno, Aleksandar Veliki, umesto da razriješi lukavi Gordijev čvor, što nikome nikada nije pošlo za rukom, jednostavno ga je presekao. Sancho je uradio isto. Nije imalo smisla pokušavati riješiti zagonetku pod vlastitim uvjetima; jednostavno je bila nerješiva. Ostalo je samo da odbacimo ove uslove i uvedemo svoje.
I jedan trenutak. Servantes ovom epizodom jasno osuđuje preterano formalnu skalu srednjovjekovne pravde, prožetu duhom sholastičke logike. Ali koliko su u njegovo vrijeme - a to je bilo prije otprilike četiri stotine godina - bile rasprostranjene informacije iz polja logike! Nije samo sam Servantes svjestan ovog paradoksa. Pisac smatra da je moguće pripisati svom junaku, nepismenom seljaku, sposobnost da shvati da je pred njim nerešivi zadatak!

§ 5. Ostali paradoksi

Gore navedeni paradoksi su argumenti koji rezultiraju kontradikcijom. Ali postoje i druge vrste paradoksa u logici. Ističu i neke poteškoće i probleme, ali to čine u manje oštroj i beskompromisnoj formi. To su, posebno, paradoksi o kojima se govori u nastavku.

Paradoksi nepreciznih pojmova

Većina pojmova ne samo u prirodnom jeziku, već iu jeziku nauke je neprecizna ili, kako ih još nazivaju, nejasna. Često se ispostavi da je to uzrok nesporazuma, sporova, pa čak i jednostavno dovodi do zastoja.
Ako je koncept neprecizan, granica područja objekata na koje se primjenjuje nedostaje je oštrina i zamagljena. Uzmimo, na primjer, koncept "gomile". Jedno zrno (zrno peska, kamen, itd.) nije gomila. Hiljadu zrna je očigledno gomila. Šta je sa tri zrna? Šta kažeš na deset? Uz dodatak koliko zrna nastaje hrpa? Nije baš jasno. Kao što nije jasno sa uklanjanjem kojeg zrna gomila nestaje.
Empirijske karakteristike „veliki“, „teški“, „uski“ itd. su netačne. Uobičajeni koncepti kao što su “žadja”, “konj”, “kuća” itd. su netačni.
Ne postoji zrno pijeska za koje, kada se ukloni, možemo reći da se ono što je preostalo više ne može nazvati domom. Ali, čini se da to znači da ni u jednom trenutku u postepenom razbijanju kuće – sve do njenog potpunog nestanka – nema osnova da se kaže da kuća ne postoji! Zaključak je očigledno paradoksalan i obeshrabrujući.
Lako je vidjeti da se rasuđivanje o nemogućnosti formiranja gomile provodi dobro poznatom metodom matematičke indukcije. Jedno zrno ne formira gomilu. Ako n zrna ne formiraju hrpe, onda n+1 zrna ne formiraju hrpe. Stoga, nijedan broj zrna ne može formirati gomilu.
Mogućnost da ovaj i slični dokazi dovedu do apsurdnih zaključaka znači da princip matematičke indukcije ima ograničen domet. Ne treba ga koristiti u rasuđivanju s nepreciznim, nejasnim konceptima.

Dobar primjer kako ovi koncepti mogu dovesti do nerješivih sporova je neobično suđenje koje se dogodilo 1927. u Sjedinjenim Državama. Skulptor C. Brancusi se obratio sudu tražeći da se njegova djela priznaju kao umjetnička djela. Među radovima koji su poslani u New York na izložbu bila je i skulptura "Ptica", koja se danas smatra klasikom apstraktnog stila. To je modulirani stup od polirane bronze visok oko jedan i po metar, koji nema vanjsku sličnost s pticom. Carinici su kategorički odbili da priznaju Brancusijeve apstraktne kreacije Umjetnička djela. Stavili su ih pod rubriku „Metalni bolnički pribor i potrepštine“ i nametnuli im veliku carinu. Ogorčen, Brancusi je podnio tužbu.

Običaju su podržali umjetnici – članovi Nacionalne akademije, koji su branili tradicionalne tehnike u umjetnosti. Oni su na suđenju nastupali kao svjedoci odbrane i kategorički su insistirali da je pokušaj da se “Ptica” predstavi kao umjetničko djelo samo prevara.
Ovaj sukob jasno naglašava poteškoću upotrebe koncepta „umjetničkog djela“. Skulptura se tradicionalno smatra vrstom vizualna umjetnost. Ali stupanj sličnosti skulpturalne slike s originalom može varirati u vrlo širokim granicama. I u kom trenutku skulpturalna slika, koja se sve više udaljava od originala, prestaje biti umjetničko djelo i postaje „metalni pribor“? Na ovo pitanje je teško odgovoriti kao i na pitanje gdje je granica između kuće i njenih ruševina, između konja s repom i konja bez repa itd. Inače, modernisti su općenito uvjereni da je skulptura predmet ekspresivne forme i da ne mora biti slika.

Stoga rukovanje nepreciznim konceptima zahtijeva određenu dozu opreza. Nije li onda bolje da ih se potpuno napusti?

Njemački filozof E. Husserl bio je sklon da zahtijeva od znanja takvu ekstremnu strogost i tačnost kakve nema čak ni u matematici. S tim u vezi, Husserlovi biografi ironično se prisjećaju incidenta koji mu se dogodio u djetinjstvu. Dobio je perorez i, odlučivši da oštrica bude izuzetno oštra, naoštrio ju je sve dok od oštrice nije ostalo ništa.
Precizniji koncepti su poželjniji od nepreciznih u mnogim situacijama. Uobičajena želja da se razjasne korišteni koncepti sasvim je opravdana. Ali to, naravno, mora imati svoje granice. Čak i u jeziku nauke, značajan dio pojmova je neprecizan. I to nije zbog subjektivnih i slučajnih grešaka pojedinih naučnika, već zbog same prirode naučnog znanja. U prirodnom jeziku, velika većina nepreciznih pojmova; ovo govori, između ostalog, o njegovoj fleksibilnosti i skrivenoj snazi. Svako ko zahteva ekstremnu preciznost od svih koncepata rizikuje da ostane bez jezika. „Lišite riječi svake dvosmislenosti, svake neizvjesnosti“, pisao je francuski estetičar J. Joubert, „pretvorite ih... u jednocifrene – igra će ostaviti govor, a sa njom rječitost i poeziju: sve što je pokretno i promjenjivo u osjećajima duše , neće moći naći svoj izraz. Ali šta ja kažem: lišiti... reći ću više. Uskratite riječ bilo kakve nepreciznosti, pa ćete čak biti lišeni i aksioma.”
Dugo vremena i logičari i matematičari nisu obraćali pažnju na poteškoće povezane s nejasnim konceptima i njihovim odgovarajućim skupovima. Pitanje je postavljeno ovako: koncepti moraju biti precizni, a sve nejasno je nedostojno ozbiljnog interesovanja. Poslednjih decenija, međutim, ovaj prestrog stav je izgubio svoju privlačnost. Izgrađene su logičke teorije koje posebno uzimaju u obzir jedinstvenost zaključivanja s nepreciznim konceptima.
Matematička teorija takozvanih rasplinutih skupova, loše definiranih kolekcija objekata, aktivno se razvija.
Analiza problema nepreciznosti korak je ka približavanju logike praksi običnog mišljenja. I možemo pretpostaviti da će donijeti još mnogo zanimljivih rezultata.

Paradoksi induktivne logike

Možda ne postoji nijedna grana logike koja nema svoje paradokse.
Induktivna logika ima svoje paradokse protiv kojih se aktivno bori, ali do sada bez većeg uspeha, skoro pola veka. Posebno je zanimljiv paradoks potvrde koji je otkrio američki filozof K. Hempel. Prirodno je pretpostaviti da su opšte odredbe, a posebno naučni zakoni, potvrđene svojim pozitivnim primjerima. Ako uzmemo u obzir, recimo, izjavu "Sve A su B", onda će njeni pozitivni primjeri biti objekti koji imaju svojstva A i B. Konkretno, prateći primjeri za izjavu "Sve vrane su crne" su objekti koji su oba gavrana i crna. Ova izjava je, međutim, ekvivalentna tvrdnji „Sve što nije crno nisu vrane“, a potvrda ove druge mora biti i potvrda prve. Ali “Sve što nije crno nije vrana” potvrđuje svaki slučaj necrnog predmeta koji nije vrana. Ispada, dakle, da su zapažanja “Krava je bijela”, “Cipele su smeđe” itd. potvrdite izjavu "Sve vrane su crne."

Iz naizgled nevinih premisa slijedi neočekivani paradoksalan rezultat.

U logici normi, brojni njeni zakoni izazivaju zabrinutost. Kada se formulišu u smislenim terminima, njihova nedoslednost sa uobičajenim idejama o tome šta je ispravno, a šta zabranjeno postaje očigledna. Na primjer, jedan od zakona kaže da iz naredbe "Pošalji pismo!" slijedi naredba “Pošalji pismo ili ga spali!”.
Drugi zakon kaže da ako je neko prekršio neku od svojih dužnosti, ima pravo da radi šta hoće. Naša logička intuicija ne želi da se pomiri sa ovakvim „zakonima nužnosti“.
U logici znanja intenzivno se raspravlja o paradoksu logičkog sveznanja. Tvrdi da čovjek zna sve logične posljedice koje proizlaze iz pozicija koje prihvata. Na primjer, ako osoba poznaje pet postulata Euklidove geometrije, onda zna svu ovu geometriju, budući da iz njih proizlazi. Ali to nije istina. Osoba se može složiti sa postulatima, a istovremeno ne može dokazati Pitagorinu teoremu i stoga sumnjati da je ona uopće istinita.

§ 6. Šta je logički paradoks

Ne postoji iscrpna lista logičkih paradoksa, niti je to moguće.
Paradoksi o kojima se raspravlja samo su dio svih do sada otkrivenih. Vjerovatno će se u budućnosti otkriti i mnogi drugi paradoksi, pa čak i potpuno novi tipovi njih. Sam koncept paradoksa nije toliko definisan da bi bilo moguće sastaviti listu barem već poznatih paradoksa.
„Paradoksi teorijske skupove su veoma ozbiljan problem, međutim, ne za matematiku, već pre za logiku i teoriju znanja“, piše austrijski matematičar i logičar K. Gödel. “Logika je konzistentna. Nema logičkih paradoksa”, kaže matematičar D. Bočvar. Ove vrste neslaganja su ponekad značajne, ponekad verbalne. Poenta uvelike zavisi od toga šta se tačno podrazumeva pod logičkim paradoksom.

Jedinstvenost logičkih paradoksa

Logički rečnik se smatra neophodnom karakteristikom logičkih paradoksa.
Paradoksi klasifikovani kao logički moraju se formulisati u logičkim terminima. Međutim, u logici ne postoje jasni kriterijumi za podjelu pojmova na logičke i nelogičke. Logika, koja se bavi ispravnošću rasuđivanja, nastoji da svede na minimum pojmove od kojih zavisi ispravnost praktično primenjenih zaključaka. Ali ovaj minimum nije unaprijed nedvosmisleno određen. Osim toga, nelogički iskazi se mogu formulirati u logičkim terminima. Nije uvijek moguće jednoznačno utvrditi da li određeni paradoks koristi samo čisto logičke premise.
Logički paradoksi nisu striktno odvojeni od svih drugih paradoksa, kao što se ovi drugi ne razlikuju jasno od svega što je neparadoksalno i u skladu sa preovlađujućim idejama. Na početku proučavanja logičkih paradoksa činilo se da se oni mogu identificirati kršenjem neke, još neproučene, odredbe ili pravila logike. Princip začaranog kruga koji je uveo B. Russell posebno je aktivno tražio ulogu takvog pravila. Ovaj princip kaže da kolekcija objekata ne može sadržavati članove koje može definirati samo ta ista zbirka.
Svi paradoksi imaju jedno zajedničko svojstvo - samoprimjenjivost, odnosno kružnost. U svakom od njih predmetni predmet karakterizira određeni skup objekata kojem i sam pripada. Ako izdvojimo, na primjer, najlukaviju osobu, to radimo uz pomoć skupa ljudi, koji uključuje ova osoba. A ako kažemo: „Ova izjava je lažna“, karakteriziramo dotičnu izjavu upućivanjem na skup svih lažnih izjava koji je uključuje.

U svim paradoksima dolazi do samoprimjenjivosti pojmova, što znači da postoji, takoreći, kretanje u krugu koje na kraju vodi do početne točke. U nastojanju da okarakteriziramo predmet koji nas zanima, okrećemo se ukupnosti objekata koja ga uključuje. Međutim, ispada da je za svoju određenost i njemu samoj potreban predmet o kojem je riječ i da se bez njega ne može jasno razumjeti. U tom krugu, možda, leži izvor paradoksa.
Situacija je, međutim, komplikovana činjenicom da je takav krug prisutan u mnogim potpuno neparadoksalnim argumentima. Circular je ogromna raznolikost najobičnijih, bezopasnih i istovremeno pogodne načine izrazi. Primjeri kao što su “najveći od svih gradova”, “najmanji od svih prirodnih brojeva”, “jedan od elektrona atoma željeza” itd., pokazuju da svaki slučaj samoprimjenjivosti ne vodi u kontradikciju i da je važno ne samo u običnom jeziku, već iu jeziku nauke.
Samo pozivanje na upotrebu samoprimjenjivih koncepata stoga nije dovoljno za diskreditaciju paradoksa. Potreban je neki dodatni kriterij da se odvoji samoprimjenjivost, koja vodi do paradoksa, od svih ostalih slučajeva.
Bilo je mnogo prijedloga po ovom pitanju, ali uspješno pojašnjenje cirkularnosti nikada nije pronađeno. Pokazalo se da je nemoguće okarakterizirati kružnost na način da svako kružno razmišljanje vodi do paradoksa, a svaki paradoks je rezultat nekog kružnog rasuđivanja.
Pokušaj pronalaženja nekog specifičnog principa logike, čije bi kršenje bilo karakteristična karakteristika svi logički paradoksi, nisu doveli ni do čega određenog.
Nesumnjivo bi bila korisna neka klasifikacija paradoksa, podjela na tipove i tipove, grupiranje nekih paradoksa i suprotstavljanje drugima. Međutim, ni po ovom pitanju nije postignuto ništa trajno.

Engleski logičar F. Ramsay, koji je umro 1930. godine, kada još nije imao dvadeset sedam godina, predložio je podjelu svih paradoksa na sintaktičke i semantičke. Prvi uključuje, na primjer, Russellov paradoks, drugi uključuje paradoks „Lažljivca“, Grellinga itd.
Prema Ramseyu, paradoksi prve grupe sadrže samo pojmove koji pripadaju logici ili matematici. Potonji uključuju koncepte kao što su "istina", "definibilnost", "imenovanje", "jezik", koji nisu striktno matematički, već su povezani s lingvistikom ili čak teorijom znanja. Čini se da semantički paradoksi svoju pojavu ne duguju nekoj logičkoj grešci, već nedorečenosti ili dvosmislenosti nekih nelogičkih pojmova, pa se problemi koje postavljaju tiču ​​jezika i mora ih rješavati lingvistika.

Ramseyu se činilo da matematičari i logičari nemaju potrebe da se zanimaju za semantičke paradoksi. Kasnije se, međutim, pokazalo da su neki od najznačajnijih rezultata moderne logike dobijeni upravo u vezi sa dubljim proučavanjem upravo ovih nelogičkih paradoksa.
Podjela paradoksa koju je predložio Ramsey u početku je bila široko korištena i danas zadržava određeni značaj. Istovremeno, postaje sve jasnije da je ova podjela prilično nejasna i da se prvenstveno oslanja na primjere, a ne na dubinsku komparativnu analizu dvije grupe paradoksa. Semantički koncepti su sada precizne definicije, i teško je ne priznati da se ovi koncepti zaista odnose na logiku. Sa razvojem semantike, koja definiše svoje osnovne koncepte u terminima teorije skupova, razlika koju pravi Ramsey postaje sve nejasnija.

Paradoksi i moderna logika

Koji zaključci za logiku slijede iz postojanja paradoksa?
Prije svega, prisustvo velikog broja paradoksa govori o snazi ​​logike kao nauke, a ne o njenoj slabosti, kako bi se moglo činiti.

Nije slučajno što se otkrivanje paradoksa poklopilo s periodom najintenzivnijeg razvoja moderne logike i njenim najvećim uspjesima.
Prvi paradoksi otkriveni su i prije pojave logike kao posebne nauke. Mnogi paradoksi su otkriveni u srednjem vijeku. Kasnije se, međutim, pokazalo da su zaboravljeni i ponovo otkriveni u našem veku.
Srednjovekovni logičari nisu bili svesni pojmova „skupa“ i „elementa skupa“, koji su u nauku uvedeni tek u drugoj polovini 19. veka. Ali smisao za paradokse toliko je izoštren u srednjem vijeku da je već u to vrijeme izražena određena zabrinutost oko samoprimjenjivih koncepata. Najjednostavniji primjer je koncept „biti svoj element“, koji se pojavljuje u mnogim trenutnim paradoksima.
Međutim, takva zabrinutost, kao i sva upozorenja o paradoksima uopšte, nisu bila dovoljno sistematična i određena sve do našeg veka. Nisu doveli do jasnih prijedloga za reviziju uobičajenih načina razmišljanja i izražavanja.
Samo je moderna logika izbacila iz zaborava sam problem paradoksa i otkrila ili ponovo otkrila većinu specifičnih logičkih paradoksa. Ona je dalje pokazala da su metode mišljenja koje tradicionalno proučava logika potpuno nedostatne za otklanjanje paradoksa i ukazala na fundamentalno nove metode za njihovo suočavanje.
Paradoksi postavljaju važno pitanje: gdje nam, zapravo, ne uspijevaju neke konvencionalne metode formiranja pojmova i metode zaključivanja? Uostalom, djelovale su potpuno prirodno i uvjerljivo, sve dok se nije pokazalo da su paradoksalne.

Paradoksi potkopavaju uvjerenje da uobičajene metode teorijskog mišljenja same po sebi i bez ikakve posebne kontrole nad njima obezbjeđuju pouzdan napredak ka istini.
Tražeći radikalnu promjenu u previše lakovjernom pristupu teoretiziranju, paradoksi predstavljaju oštru kritiku logike u njenom naivnom, intuitivnom obliku. Oni igraju ulogu faktora koji kontroliše i postavlja ograničenja na način konstruisanja deduktivnih sistema logike. I ova uloga se može uporediti sa ulogom eksperimenta koji testira ispravnost hipoteza u naukama kao što su fizika i hemija, i nameće promene na te hipoteze.
Paradoks u teoriji govori o nespojivosti pretpostavki koje su u njenoj osnovi. Djeluje kao blagovremeno otkriveni simptom bolesti, bez kojeg bi se mogla previdjeti.
Naravno, bolest se manifestira na različite načine, a na kraju se može otkriti bez tako akutnih simptoma kao što su paradoksi. Recimo, temelji teorije skupova bi bili analizirani i razjašnjeni čak i da u ovoj oblasti nisu otkriveni paradoksi. Ali ne bi bilo oštrine i hitnosti s kojom su paradoksi otkriveni u njemu postavili problem revizije teorije skupova.

Opsežna literatura posvećena je paradoksima, a predložen je i veliki broj objašnjenja. Ali nijedno od ovih objašnjenja nije općenito prihvaćeno, a ne postoji potpuna saglasnost o porijeklu paradoksa i načinima da ih se riješimo.
“Tokom proteklih šezdeset godina stotine knjiga i članaka posvećeno je cilju rješavanja paradoksa, ali rezultati su zapanjujuće loši u poređenju sa uloženim naporima”, piše A. Frenkel. “Čini se,” zaključuje H. Curry svoju analizu paradoksa, “da je potrebna potpuna reforma logike, a matematička logika može postati glavno oruđe za provođenje ove reforme.”

Ako niste potpuno zbunjeni nakon čitanja ove zbirke, onda ne razmišljate dovoljno jasno.
Od davnina, naučnici i mislioci vole da zabavljaju sebe i svoje kolege postavljajući nerešive probleme i formulišući razne vrste paradoksa. Neki od ovih misaonih eksperimenata ostaju relevantni hiljadama godina, što ukazuje na nesavršenost mnogih popularnih naučnih modela i „rupe“ u opšteprihvaćenim teorijama koje su dugo smatrane fundamentalnim. Pozivamo vas da razmislite o najzanimljivijim i iznenađujućim paradoksima, koji su, kako se sada kaže, „oduvali umove“ više od jedne generacije logičara, filozofa i matematičara.
Aporija "Ahilej i kornjača"
Paradoks Ahila i kornjače je jedna od aporija (logički tačnih, ali kontradiktornih izjava) koje je formulisao starogrčki filozof Zenon iz Eleje u 5. veku pre nove ere. Njegova suština je sljedeća: legendarni heroj Ahil odlučio je da se takmiči u utrci s kornjačom. Kao što znate, kornjače nisu poznate po svojoj agilnosti, pa je Ahil svom protivniku dao prednost od 500 m. Kada kornjača savlada ovu udaljenost, junak kreće u poteru brzinom 10 puta većom, tj. puzi 50 m, Ahilej uspeva da pretrči hendikep na 500 m koji mu je dat. Zatim trkač savlada narednih 50 m, ali u ovom trenutku kornjača se udaljava još 5 m, čini se da će je Ahilej sustići, ali rival je još uvijek ispred i dok on trči 5 m, ona uspijeva napredovati još pola metra i tako dalje. Udaljenost između njih se beskrajno smanjuje, ali u teoriji, junak nikada ne uspijeva sustići sporu kornjaču, nije mnogo, ali je uvijek ispred njega.


Naravno, sa stanovišta fizike, paradoks nema smisla – ako se Ahilej kreće mnogo brže, on će u svakom slučaju napredovati, ali Zenon je, pre svega, svojim rasuđivanjem hteo da pokaže da idealizovani matematički koncepti “tačka u prostoru” i “trenutak vremena” nisu previše pogodni za ispravnu primjenu na stvarno kretanje. Aporia razotkriva nesklad između matematički zdrave ideje da se intervali prostora i vremena različiti od nule mogu dijeliti na neodređeno vrijeme (tako da kornjača uvijek mora biti ispred) i stvarnosti u kojoj junak, naravno, pobjeđuje u utrci.
Paradoks vremenske petlje
Paradoksi koji uključuju putovanje kroz vrijeme dugo su bili izvor inspiracije za pisce naučne fantastike i kreatore naučnofantastičnih filmova i TV serija. Postoji nekoliko opcija za paradokse vremenske petlje; jedan od najjednostavnijih i najgrafičnijih primjera takvog problema dao je u svojoj knjizi “Novi putnici kroz vrijeme” David Toomey, profesor na Univerzitetu Massachusetts.
Zamislite da je putnik kroz vrijeme kupio primjerak Šekspirovog Hamleta u knjižari. Zatim je otišao u Englesku u vrijeme djevice kraljice Elizabete I i, pronašavši Williama Shakespearea, predao mu knjigu. Prepisao ga je i objavio kao svoje djelo. Stotine godina prolaze, Hamlet biva preveden na desetine jezika, beskonačno iznova objavljivan, a jedan od primjeraka završava u istoj knjižari, gdje ga putnik kroz vrijeme kupi i daje Shakespeareu, koji pravi kopiju i tako dalje. Koga u ovom slučaju treba smatrati autorom besmrtne tragedije?
Paradoks devojke i dečaka
U teoriji vjerovatnoće, ovaj paradoks se također naziva "djeca gospodina Smitha" ili "problem gospođe Smith". Prvi ga je formulirao američki matematičar Martin Gardner u jednom od izdanja časopisa Scientific American. Naučnici se spore oko paradoksa već nekoliko decenija, a postoji nekoliko načina da se on riješi. Nakon što razmislite o problemu, možete doći do vlastitog rješenja.
Porodica ima dvoje djece i pouzdano se zna da je jedno od njih dječak. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete muško? Na prvi pogled odgovor je sasvim očigledan - 50/50, bilo da je on zaista dečak ili devojčica, šanse bi trebalo da budu jednake. Problem je što su za porodice sa dvoje djece moguće četiri kombinacije polova djece - dvije djevojčice, dva dječaka, stariji dječak i mlađa djevojčica, i obrnuto - starija djevojčica i mlađi dječak. Prvo se može isključiti, jer je jedno od djece definitivno dječak, ali u ovom slučaju ostaje troje moguće opcije, a ne dva, a vjerovatnoća da je i drugo dijete dječak je jedna šansa od tri.
Jourdainov paradoks sa kartom
Problem, koji je početkom 20. veka predložio britanski logičar i matematičar Philip Jourdain, može se smatrati jednom od varijanti poznatog paradoksa lažova.
Zamislite da u rukama držite razglednicu na kojoj piše: "Izjava na poleđini razglednice je tačna." Okretanjem kartice otkriva se fraza "Izjava s druge strane je lažna." Kao što razumete, postoji kontradikcija: ako je prva izjava tačna, onda je i druga tačna, ali u ovom slučaju prva mora biti lažna. Ako je prva strana razglednice lažna, onda se ni fraza na drugoj ne može smatrati istinitom, što znači da prva tvrdnja opet postaje istinita... Čak i više zanimljiva opcija Paradoks lažova je u sledećem pasusu.
Sofistika "Krokodil"
Majka i dijete stoje na obali rijeke, odjednom krokodil dopliva do njih i odvuče dijete u vodu. Neutješna majka traži da joj vrati dijete, na što krokodil odgovara da je pristao da ga vrati neozlijeđenog ako žena tačno odgovori na njegovo pitanje: „Hoće li joj vratiti dijete?“ Jasno je da žena ima dvije mogućnosti odgovora - da ili ne. Ako ona tvrdi da će joj krokodil dati dijete, onda sve ovisi o životinji - smatrajući da je odgovor tačan, otmičar će dijete pustiti, ali ako kaže da je majka pogriješila, onda dijete neće vidjeti , prema svim pravilima ugovora.
Ženin negativan odgovor sve znatno komplikuje - ako se pokaže tačnim, otmičar mora ispuniti uslove dogovora i osloboditi dijete, ali tako majčin odgovor neće odgovarati stvarnosti. Da bi se osigurao netačnost takvog odgovora, krokodil treba dijete vratiti majci, ali to je suprotno ugovoru, jer bi njena greška trebala ostaviti dijete s krokodilom.
Vrijedi napomenuti da dogovor koji je predložio krokodil sadrži logičnu kontradikciju, pa je njegovo obećanje nemoguće ispuniti. Autor ovog klasičnog sofizma smatra se govornikom, misliocem i politička ličnost Koraks iz Sirakuze, koji je živeo u 5. veku pre nove ere.
Aporija "Dihotomija"


Još jedan paradoks iz Zenona iz Eleje, koji pokazuje neispravnost idealiziranog matematički model pokreta. Problem se može postaviti ovako: recimo da ste krenuli da prošetate nekom ulicom u svom gradu od početka do kraja. Da biste to učinili, morate savladati prvu polovicu, zatim polovinu preostale polovine, zatim polovinu sljedećeg segmenta, i tako dalje. Drugim riječima, hodate pola cijele udaljenosti, zatim četvrtinu, jednu osminu, jednu šesnaestinu - broj opadajućih dionica staze teži beskonačnosti, jer se svaki preostali dio može podijeliti na dva, što znači da je nemoguće hodati ceo put. Formulirajući na prvi pogled pomalo nategnut paradoks, Zeno je želio pokazati da su matematički zakoni u suprotnosti sa stvarnošću, jer zapravo možete lako preći cijelu udaljenost bez ostavljanja traga.
Aporia "Leteća strijela"
Čuveni paradoks Zenona iz Eleje dotiče najdublje kontradikcije u idejama naučnika o prirodi kretanja i vremena. Aporija je formulirana na sljedeći način: strijela ispaljena iz luka ostaje nepomična, budući da u svakom trenutku miruje i ne kreće se. Ako u svakom trenutku vremena strela miruje, onda je ona uvek u stanju mirovanja i uopšte se ne kreće, pošto ne postoji trenutak u kome se strela kreće u prostoru.


Izvanredni umovi čovječanstva stoljećima pokušavaju razriješiti paradoks leteće strijele, ali s logičke tačke gledišta, ona je sastavljena apsolutno ispravno. Da bismo to opovrgli, potrebno je objasniti kako se konačni vremenski period može sastojati od beskonačnog broja trenutaka vremena - čak ni Aristotel, koji je uvjerljivo kritizirao Zenonove aporije, to nije uspio dokazati. Aristotel je s pravom istakao da se vremenski period ne može smatrati zbirom određenih nedjeljivih izolovanih trenutaka, ali mnogi naučnici smatraju da njegov pristup nije dubok i ne opovrgava postojanje paradoksa. Vrijedi napomenuti da postavljanjem problema leteće strijele, Zenon nije nastojao da opovrgne mogućnost kretanja kao takvog, već da identificira kontradikcije u idealističkim matematičkim konceptima.
Galilejev paradoks
U svojim Raspravama i matematičkim dokazima u vezi s dvije nove grane nauke, Galileo Galilei je predložio paradoks koji pokazuje čudna svojstva beskonačnih skupova. Naučnik je formulisao dva kontradiktorna suda. Prvo, postoje brojevi koji su kvadrati drugih cijelih brojeva, kao što su 1, 9, 16, 25, 36, itd. Postoje i drugi brojevi koji nemaju ovo svojstvo - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 i slično. Dakle, ukupan broj savršenih kvadrata i običnih brojeva mora biti veći od broja samih savršenih kvadrata. Drugi prijedlog: za svaki prirodan broj postoji tačan kvadrat, a za svaki kvadrat postoji cijeli kvadratni korijen, odnosno broj kvadrata je jednak broju prirodnih brojeva.
Na osnovu ove kontradikcije, Galileo je zaključio da se rasuđivanje o broju elemenata primjenjuje samo na konačne skupove, iako su kasniji matematičari uveli koncept moći skupa - uz pomoć njega je dokazana valjanost drugog Galileovog suda za beskonačne skupove.
Paradoks vrećice za krompir


Recimo da neki farmer ima vreću krompira od tačno 100 kg. Pregledavši njen sadržaj, farmer otkriva da je vreća bila pohranjena u vlažnim uslovima - 99% njene mase je voda i 1% druge supstance sadržane u krompiru. Odlučio je da krompir malo osuši tako da mu sadržaj vode padne na 98% i premješta vrećicu na suho mjesto. Sutradan se ispostavilo da je jedna litra (1 kg) vode zaista isparila, ali je težina vreće smanjena sa 100 na 50 kg, kako je to moguće? Izračunajmo - 99% od 100 kg je 99 kg, što znači da je odnos mase suvog ostatka i mase vode u početku bio jednak 1/99. Nakon sušenja, voda čini 98% ukupne mase vreće, što znači da je odnos mase suhog ostatka i mase vode sada 1/49. Kako se masa ostatka nije promijenila, preostala voda teži 49 kg.
Naravno, pažljiv čitalac će odmah otkriti grubu matematičku grešku u proračunima - imaginarni strip "paradoks vreće krompira" može se smatrati odličnim primjerom kako se uz pomoć naizgled "logičnog" i "naučno potkrijepljenog" razmišljanja, može se bukvalno izgraditi teorija od nule koja je u suprotnosti sa zdravim razumom.
Raven paradox
Problem je poznat i kao Hempelov paradoks - dobio je svoje drugo ime u čast njemačkog matematičara Carla Gustava Hempela, autora njegove klasične verzije. Problem je vrlo jednostavno formuliran: svaki gavran je crn. Iz ovoga slijedi da sve što nije crno ne može biti gavran. Ovaj zakon se zove logička kontrapozicija, odnosno ako određena premisa „A” ima posledicu „B”, onda je negacija „B” ekvivalentna negaciji „A”. Ako osoba vidi crnog gavrana, to učvršćuje njegovo uvjerenje da su svi gavranovi crni, što je sasvim logično, ali u skladu sa kontrapozicijom i principom indukcije, logično je konstatovati da promatranje predmeta koji nisu crni (recimo crveni jabuke) takođe dokazuje da su sve vrane obojene u crno. Drugim riječima, činjenica da osoba živi u Sankt Peterburgu dokazuje da ne živi u Moskvi.
Sa logične tačke gledišta, paradoks izgleda besprekorno, ali je u suprotnosti pravi zivot- crvene jabuke ni na koji način ne mogu potvrditi činjenicu da su sve vrane crne.

U primjerima br. 4, 5, 6 koristi se ista tehnika: različita značenja, situacije, teme miješaju se u identične riječi, od kojih jedna nije jednaka drugoj, odnosno krši se zakon identiteta.

2. Logički paradoksi

Paradoks (od grčkog neočekivano, čudno) je nešto neobično i iznenađujuće, nešto što odstupa od uobičajenih očekivanja, zdravog razuma i životnog iskustva.

Logički paradoks je tako neobična i iznenađujuća situacija kada dvije kontradiktorne tvrdnje ne samo da su istovremeno istinite (što je nemoguće zbog logičkih zakona kontradikcije i isključene sredine), već i slijede jedna iz druge i uslovljavaju jedna drugu.

Paradoks je nerazrješiva ​​situacija, svojevrsni mentalni ćorsokak, „kamen spoticanja“ u logici: kroz njegovu povijest predlagano je mnogo različitih načina za prevazilaženje i otklanjanje paradoksa, ali nijedan od njih još uvijek nije iscrpan, konačan i općeprihvaćen.

Neki paradoksi (paradoksi „lažljivca“, „seoskog berberina“ itd.) nazivaju se i antinomijama (od grčkog: kontradikcija u zakonu), odnosno rasuđivanje u kojem se dokazuje da iz jedno drugo. Smatra se da antinomije predstavljaju najekstremniji oblik paradoksa. Međutim, vrlo često se pojmovi “logički paradoks” i “antinomija” smatraju sinonimima.

Posebna grupa paradoksa su aporije (od grčkog - teškoća, zbunjenost) - razmišljanje koje pokazuje protivrečnosti između onoga što opažamo svojim čulima (vidimo, čujemo, dodirujemo, itd.) i onoga što se mentalno može analizirati (protivurečnosti između vidljivog i ono što se može zamisliti).

Najpoznatiju aporiju iznio je starogrčki filozof Zenon iz Eleje, koji je tvrdio da se kretanje koje posvuda opažamo ne može učiniti predmetom mentalne analize. Jedna od njegovih poznatih aporija zove se "Ahilej i kornjača". Ona kaže da možemo vidjeti kako brzonogi Ahil sustiže i prestiže kornjaču koja polako puzi; Međutim, mentalna analiza nas dovodi do neobičnog zaključka da Ahilej nikada ne može sustići kornjaču, iako se kreće 10 puta brže od nje. Kada pređe razdaljinu do kornjače, ona će za isto vreme preći 10 puta manje, odnosno 1/10 puta koji je prešao Ahilej, a ova 1/10 će biti ispred njega. Kada Ahilej pređe ovu 1/10 puta, kornjača će preći 10 puta manju udaljenost za isto vreme, odnosno 1/100 puta, i biće ispred Ahila za ovu 1/100. Kada prođe 1/100-tu stazu koja ga razdvaja od kornjače, tada će ona istovremeno preći 1/1000-tu stazu, ostajući ispred Ahila, i tako u nedogled. Postajemo uvjereni da nam oči govore jedno, a misao nam govori nešto sasvim drugo (vidljivo poriče zamislivo).

Logika je stvorila mnoge načine za rješavanje i prevazilaženje paradoksa. Međutim, nijedan od njih nije bez primjedbi i nije općeprihvaćen.

2.1 Primjeri logičkih paradoksa

Najpoznatiji logički paradoks je paradoks “lažljivaca”. Često ga nazivaju "kraljem logičkih paradoksa". Otkriven je još u staroj Grčkoj. Prema legendi, filozof Diodorus Kronos zakleo se da neće jesti dok se ovaj paradoks ne riješi i umro je od gladi, ne postigavši ​​ništa. Postoji nekoliko različitih formulacija ovog paradoksa. Najkraće i najjednostavnije se formuliše u situaciji kada osoba izgovori jednostavnu frazu: „Ja sam lažov“. Analiza ove izjave dovodi do zapanjujućeg rezultata. Kao što znate, svaka izjava može biti istinita ili lažna. Pretpostavimo da je fraza “ja sam lažov” tačna, odnosno da je onaj ko ju je izgovorio rekao istinu, ali u ovom slučaju je zaista lažov, pa je izgovaranjem ove fraze lagao. Pretpostavimo da je fraza “ja sam lažov” lažna, odnosno da je osoba koja ju je izgovorila lagala, ali u ovom slučaju nije lažov, već kazivač istine, pa je izgovaranjem ove fraze rekao istina. Ispada nešto neverovatno, pa čak i nemoguće: ako je neko rekao istinu, onda je lagao; a ako je lagao, onda je rekao istinu (dva kontradiktorna suda ne samo da su istovremeno tačna, već i proizilaze jedna iz druge).

Još jedan poznati logički paradoks otkriven u 20. veku. Engleski logičar i filozof Bertrand Rasel, paradoks je „seoskog berberina“. Zamislimo da u nekom selu postoji samo jedan berberin koji brije one stanovnike koji se ne briju sami. Analiza ove jednostavne situacije dovodi do izvanrednog zaključka. Zapitajmo se: može li seoski berberin sam da se obrije? Pretpostavimo da se seoski berberin sam brije, ali onda je on jedan od onih stanovnika sela koji se sami briju i koje berberin ne brije, dakle, u ovom slučaju se ne brije sam. Pretpostavimo da se seoski berberin ne brije sam, ali je onda jedan od onih stanovnika sela koji se sami ne briju i koje brijac brije, dakle, u ovom slučaju, brije se sam. Ispada nevjerovatno: ako se seoski berberin brije sam, onda se ne brije; a ako se ne brije, onda se brije (dva kontradiktorna suda su istovremeno tačna i međusobno se uslovljavaju).

Paradoks Protagore i Euatlusa pojavio se u staroj Grčkoj. Zasnovan je na naizgled jednostavnoj priči, a to je da je sofista Protagora imao učenika Euathlusa, koji je od njega uzeo lekcije iz logike i retorike. Učitelj i učenik dogovorili su se na način da će Euathlus platiti Protagori školarinu samo ako dobije prvo suđenje. Međutim, po završetku obuke, Evatl nije učestvovao ni u jednom procesu i, naravno, nije isplatio nastavniku nikakav novac. Protagora mu je zaprijetio da će ga tužiti, a onda će Euathlus u svakom slučaju morati platiti. „Ili ćeš biti osuđen da platiš taksu, ili nećeš biti osuđen“, rekao mu je Protagora, „ako si osuđen da platiš, moraćeš da platiš po presudi suda; ako ne budete osuđeni na plaćanje, onda ćete vi, kao pobjednik vašeg prvog suđenja, morati platiti prema našem dogovoru.” Na to mu je Evatl odgovorio: „Sve je tačno: ili ću biti osuđen na naknadu, ili neću biti osuđen; ako budem osuđen da platim, onda ja, kao gubitnik moje prve parnice, neću platiti po našem dogovoru; ako ne budem osuđen na plaćanje, onda neću platiti sudsku presudu.” Stoga je neodgovorno pitanje da li Euathlus treba platiti Protagori ili ne. Ugovor između nastavnika i učenika, uprkos svom potpuno nevinom izgledu, interno je, ili logično, kontradiktoran, jer zahtijeva provedbu nemoguće radnje: Evatl mora i platiti obuku i ne platiti u isto vrijeme. Zbog toga sam sporazum između Protagore i Euathlusa, kao i pitanje njihove parnice, predstavlja nešto drugo od logičkog paradoksa.

Zadatak 2

Odredite strukturu, vrstu suda, napravite simbolički odnos između pojmova, ukazujući na njihovu distribuciju:

"Pojedinci imaju visoke intelektualne sposobnosti"

1. Struktura presude:

1) Predmet – “visoke intelektualne sposobnosti”

2) Predikat – “u pojedinim ljudima”

3) Ligament je izražen

4) Kvantifikatorska riječ “Jeste” (izražena)

Često afirmativno neko S je P

QS je P

2. Presuda je po kvantitetu opšta i po kvalitetu afirmativna

3. U eksplicitnom logičkom obliku: “Pojedinci imaju visoke intelektualne sposobnosti.”

4. Formula: Svi S su P. Presuda – A.

5. R

7. Subjekt je raspoređen, predikat nije raspoređen.

10 -

“Ne postoji osoba koja ne bi voljela poklone.”

1. Struktura presude:

1) Predmet – “Pokloni”

2) Predikat – “Čovek”

3) Link je izražen – što se ne bi svidjelo

4) Kvantifikatorska riječ “Sve” (nije izražena)

2. Presuda je opšta po kvantitetu i generalno negativna po kvalitetu

3. U eksplicitnom logičnom obliku: “Svi ljudi vole poklone.”

4. Formula: No S je P. Presuda – E. općenito negativna

5. R

6. Pojmovi su u odnosu - subordinacija.

7. Subjekt je raspoređen, predikat nije raspoređen

11 -

Zadatak 3

Odredite vrstu zaključka, izvedite zaključak, konstruirajte dijagram zaključivanja, uspostavite logičku konzistentnost rasuđivanja:

“Osoba koja je prvi put počinila lakše krivično djelo može biti puštena na slobodu krivična odgovornost, ako se pokajalo ili pomirilo sa žrtvom. Ivanov je odlučan da se ili pokaje ili da se pomiri sa žrtvom, što znači...”

Ivanov je odlučan da se ili pokaje ili da se pomiri sa žrtvom, što znači da ako je prvi put počinio krivično djelo lakše težine, može biti oslobođen krivične odgovornosti.

1. Vrste presuda u prostorijama:

1. premisa: „Osoba koja je prvi put počinila krivično djelo lakše težine može se osloboditi krivične odgovornosti ako se pokajala ili pomirila sa žrtvom. Ivanov je odlučan da se pokaje ili da se pomiri sa žrtvom.” – implikativno-konjunktivni prijedlog, koji se sastoji od dvije implikacije ujedinjene veznikom.

p – lice može biti oslobođeno krivične odgovornosti

g – pokajao se za ono što je uradio ili se pomirio sa žrtvom

q – nije se pokajalo i nije pokušalo

2. premisa: “Osoba će se ili pokajati i pomiriti sa žrtvom, ili ne.” – disjunktivna presuda koja se sastoji od 2 alternative.

2.Šema zaključivanja:

(p→g) Λ (¬p→q)

p V ¬p________________

g V q

3. Jednostavna dizajnerska dilema

4. Zaključak: „Osoba koja je počinila lakši zločin ili će biti puštena ili ne“.

5.Reference

1) Getmanova A.D. Udžbenik logike. M.: Vladoš, 1994.

2) Gusev D.A. Udžbenik logike za univerzitete. Moskva: Unity-Dana, 2004

3) Ivin A.A. Umetnost pravilnog razmišljanja. M.: Obrazovanje, 1990.

4) Koval S. Od zabave do znanja / Prev. O. Unguryan. Varšava: Naučno-tehnička izdavačka kuća, 1972.